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第三方登录：实对称矩阵特征向量正交化后还是特征向量吗
陌陌陌人手7
当然是,正交化和单位化以后都还是特征向量
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扫描下载二维码第五章&矩阵的特征值和特征向量
来源：线性代数精品课程组&&&&作者：线性代数精品课程组
1．教学目的和要求：
(1)&理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量.
(2)&了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵.
(3)&了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.
2．教学重点：
(1)&会求矩阵的特征值与特征向量.
(2)&会将矩阵化为相似对角矩阵.
3．教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵.
4．教学内容：
本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题.
&&&&&&&&&&&&&&&&
§1&矩阵的特征值和特征向量
定义1&&设是一个阶方阵，是一个数，如果方程
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(1)
存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特征向量．
&&&（1）式也可写成，
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(2)
这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&,&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (3)
&即&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．&其左端是的次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．
&&&&&&==&&
&& &&&&&&&&=
显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值．
设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明
若为&的一个特征值，则一定是方程的根,&因此又称特征根，若为方程的重根，则称为的重特征根．方程&的每一个非零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：
&&&&&第一步：计算的特征多项式；
&&&&&第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；
&&&&&第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &
的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是
&&&&&&&&&&　　（其中是不全为零的任意实数）．
例1&　求的特征值和特征向量.
解&&的特征多项式为
所以的特征值为
&&&&&当=2时，解齐次线性方程组得
解得令=1，则其基础解系为：=
因此，属于=2的全部特征向量为：.
当=4时，解齐次线性方程组得令=1，
则其基础解系为：因此的属于=4的全部特征向量为
[注]：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值.
例2&　求矩阵
&&&&&&&&&&的特征值和特征向量.
解&的特征多项式为
&&&&&&&&&&==&，
所以的特征值为==2（二重根），.
对于==2，解齐次线性方程组．由
&&&&&&&&，
得基础解系为：&&&&
因此，属于==2的全部特征向量为：不同时为零.
对于，解齐次线性方程组．由
&&&&&&&&&，
&&&&&&&&&得基础解系为：
因此，属于的全部特征向量为：
由以上讨论可知，对于方阵的每一个特征值，我们都可以求出其全部的特征向量．但对于属于不同特征值的特征向量，它们之间存在什么关系呢？这一问题的讨论在对角化理论中有很重要的作用．对此我们给出以下结论：
定理1&　属于不同特征值的特征向量一定线性无关.
证明&　设是矩阵的不同特征值，而分别是属于的特征向量，要证是线性无关的.我们对特征值的个数作数学归纳法证明.
当时,由于特征向量不为零,所以结论显然成立.
当＞1时,假设时结论成立.
由于是的不同特征值,而是属于的特征向量,因此
&&&&&&&&&&&&&&&　　　　&&&
如果存在一组实数使
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(3)
则上式两边乘以得
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(4)
另一方面,&&&&&&&,即
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(5)
(4)－(5)有
由归纳假设,&&线性无关,因此
&&&&&&&&&&&&&&
而互不相同,所以．于是(3)式变为.
因,于是．可见线性无关．
课后作业：习题五　５－12
§２&&相似矩阵
定义2&&设、都是阶方阵，若存在满秩矩阵，&使得
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&　　　
则称与相似，记作&，且满秩矩阵称为将变为的相似变换矩阵．
“相似”是矩阵间的一种关系，这种关系具有如下性质：
⑴&反身性：～&；
⑵&对称性：若&～&，则～&；
⑶&传递性：若～，&～&，则～．&
相似矩阵还具有下列性质：
定理2&&相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值.
证明　　设～，&则存在满秩矩阵，使
推论&&若阶矩阵与对角矩阵
&&&&&&&&&&&&&&&&相似，则即是的个特征值．
定理3&设是矩阵的属于特征值的特征向量,且~,即存在满秩矩阵使,则是矩阵的属于的特征向量．
证明&&因是矩阵的属于特征值的特征向量，则有
&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&
所以是矩阵的属于的特征向量．
下面我们要讨论的主要问题是：对阶矩阵，寻求相似变换矩阵，使
为对角矩阵，这就称为把方阵对角化．
定理4&阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是：矩阵有
个线性无关的分别属于特征值的特征向量（中可以有相同的值）．
证明　　　必要性
&&&&设与对角矩阵相似，则存在满秩矩阵，使
&&&&&&&&&&&&&&&&&=
设则由上式得
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&，
&&&&&&&&&&&&&&&&&
所以是的特征值，是的属于的特征向量，又因是满秩的，
故&&&&&&&&线性无关.
&&&&&&充分性
&&&如果有个线性无关的分别属于特征值的特征向量，
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
设则是满秩的，于是
&& &&&&&&&&&，
&&&&&&&&&&&&&&&=
[注]：由定理4，一个阶方阵能否与一个阶对角矩阵相似，关键在于它是否有个线性无关的特征向量．
（1）如果一个阶方阵有个不同的特征值，则由定理1可知，它一定有个线性无关的特征向量，因此该矩阵一定相似于一个对角矩阵．.
（2）如果一个阶方阵有个特征值（其中有重复的），则我们可分别求出属于每个特征值的基础解系，如果每个重特征值的基础解系含有个线性无关的特征向量，则该矩阵与一个对角矩阵相似.否则该矩阵不与一个对角矩阵相似．
可见，如果一个阶方阵有个线性无关的特征向量，则该矩阵与一个阶对角矩阵相似，并且以这个线性无关的特征向量作为列向量构成的满秩矩阵，使为对角矩阵，而对角线上的元素就是这些特征向量顺序对应的特征值．
例3　&设矩阵，求一个满秩矩阵，使为对角矩阵．
解&&的特征多项式为
所以的特征值为.
对于&解齐次线性方程组，得基础解系
，即为的两个特征向量
对于=2，解齐次线性方程组，得基础解系
&&&&&&&&&&&&，即为的一个特征向量.
&&&&&显然是线性无关的，取
&&&&&&&&&&&&&，
&&&&&&&&&&&&&.
&&&&&&&&&&&&&&，考虑是否相似于对角矩阵．
所以的特征值为.
对于&解齐次线性方程组，得基础解系
即为一个特征向量，
对于，解齐次线性方程组，得基础解系
，即为的另一个特征向量.
&&&&由于只有两个线性无关的特征向量，因此不能相似于一个对角矩阵．
课后作业：习题五&13－16
§３&&向量组的正交性
在解析几何中，二维、三维向量的长度以及夹角等度量性质都可以用向量的内积来表示，现在我们把内积推广到维向量中．
定义3&&设有维向量，，令
&&&&=，则称为向量和的内积．
[注]：内积是向量的一种运算，若用矩阵形式表示，当和是行向量时，＝，当和都是列向量时，＝．
内积具有下列性质（其中为维向量，为常数）：
（3）=+；
（4），当且仅当=0时等号成立．
&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ||=
称||为维向量的模（或长度）．
向量的模具有如下性质：
（1）当≠0时，||＞0；当=0时，||=0；
（2）||=||
||，（为实数）；
（3）||≤||||；
（4）|≤||+||；
特别地，当||=1时，称为单位向量.
如果||≠0，由性质（2），向量是一个单位向量．可见，用向量的模去除向量，可得到一个与同向的单位向量，我们称这一运算为向量的单位化，或标准化．
&&&&&如果、都为非零向量，由性质（3）
&&&& &&&&&&&&&&&&&&&≤1，
于是有下述定义：
定义5&&当||&≠0，||≠0时
&&&&&&&&&&&&&&&　称为维向量、的夹角．
特别地：当=0时，，因此有
定义&&当=0时，称向量与正交．（显然，若=0，则与任何向量都正交）．
向量的正交性可推广到多个向量的情形.
定义6&&&已知个非零向量，若=0&，则称为正交向量组．
定义7&若向量组为正交向量组，且||=1，则称　为标准正交向量组．
例如，维单位向量组=，，
是正交向量组．
正交向量组有下述重要性质：
定理5&&正交向量组是线性无关的向量组．
定理的逆命题一般不成立，但是任一线性无关的向量组总可以通过如下所述的正交化过程，构成正交化向量组，进而通过单位化，构成标准正交向量组．
定理6　设向量组线性无关，由此可作出含有个向量的正交向量组，其中，
&&&&&&……
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
则为标准正交向量组．
上述从线性无关向量组导出正交向量组的过程称为施密特（Schimidt）正交化过程．它不仅满足与等价，还满足：对任何，向量组与等价．
例5&&把向量组=（1，1，0，0），=（1，0，1，0），=（-1，0，0，1）化为标准正交向量组．
解&　容易验证，，是线性无关的.
将，，正交化，令
再把单位化
&&&&&&&&&&&&&，
&&&&&&&&&&&&&
&& &&&&&&&&&&
则即为所求的标准正交向量组．
定理7&若是维正交向量组，，则必有维非零向量，使
，成为正交向量组．
推论&&含有个（）向量的维正交（或标准正交）向量组，总可以添加个维
非零向量，构成含有个向量的维正交向量组．
例6&已知，求一组非零向量，使，，成为正交向量组.
解&&&&应满足方程=0，即
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&.
它的基础解系为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
把基础解系正交化，即为所求．亦即取
&&&&&&&&&&&&&&&&&
其中于是得
&&&&&&&&&&
定义8&如果阶矩阵满足（即），那么称为正交矩阵．
正交矩阵具有如下性质：
（1）矩阵为正交矩阵的充分必要条件是；
（2）正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵；
（3）两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵；
（4）正交矩阵是满秩的，且|=1或．
&由等式&&可知，正交矩阵的元素满足关系式
&&& &&&&&&&　（其中）
可见正交矩阵任意不同两行（列）对应元素乘积之和为0，同一行（列）元素的平方和为1，因此正交矩阵的行（列）所构成的向量组为标准正交向量组，反之亦然．于是有
定理8&&一个阶矩阵为正交矩阵的充分必要条件是它的行（或列）向量组是一个标准正交向量组．
课后作业：习题五&1－4
§４&实对称矩阵的相似对角化
在§２中，我们讨论了相似矩阵的概念和性质以及一般的阶矩阵与对角矩阵相似的问题．本节将进一步讨论用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵的问题．为此首先给出下面几个定理．
定理9&　实对称矩阵的特征值恒为实数．从而它的特征向量都可取为实向量．
定理10　实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的．
证明　&设是实对称矩阵的两个不同的特征值，即．&是分别属于的特征向量，则
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&，
根据内积的性质有
&& &&&&&&&&&，
又&&&&　&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&，
因&，故&，即与&正交.
定理11　设为阶对称矩阵，是的特征方程的重根，则矩阵的秩从而对应特征值恰有个线性无关的特征向量．
定理12　&设为&阶对称矩阵，则必有正交矩阵，使，其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵．
例7&设&求一个正交矩阵，使为对角矩阵.
所以的特征值，.
&&&&&对于，解齐次线性方程组，得基础解系
&&&&&&&&&&&&&&&&&&，
因此属于的标准特征向量为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&.
&&&&对于，解齐次线性方程组，得基础解系
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
这两个向量恰好正交，将其单位化即得两个属于的标准正交向量
&&&&&&&&&&&&，&&&&&&.
于是得正交矩阵
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&.
&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
课后作业：习题五&17
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阅读：62161一、特征值和特征向量的几何意义
特征值和特征向量确实有很明确的几何意义，矩阵（既然讨论特征向量的问题，当然是方阵，这里不讨论广义特征向量的概念，就是一般的特征向量）乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量。因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量。
那么变换的效果是什么呢？这当然与方阵的构造有密切的关系，比如可以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维变量逆时针旋转30度。这时，我们可以思考一个问题，有没有向量在这个变换下不改变方向呢？可以想一下，除了零向量，没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵（或者说这个变换自身）没有特征向量（注意：特征向量不能是零向量）。
综上所述，一个变换（或者说矩阵）的特征向量就是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已。再想想特征向量的原始定义：
可以很容易看出，cx是方阵A对向量x进行变换后的结果，显然cx和x的方向相同。而且x是特征向量的话，ax也是特征向量（a是标量且不为零），所以特征向量不是一个向量而是一个向量族。
另外，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已。对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值不那么重要。虽然我们求这两个量时先求出特征值，但特征向量才是更本质的东西！特征向量是指经过指定变换（与特定矩阵相乘）后不发生方向改变的那些向量，特征值是指在经过这些变换后特征向量的伸缩的倍数。
二、特征值和特征向量的计算
使用Matlab求矩阵的特征值和特征向量：
矩阵D的对角线元素存储的是A的所有特征值，而且是从小到大排列的。矩阵V的每一列存储的是相应的特征向量，因此V的最后一列存储的就是矩阵A的最大特征值对应的特征向量。
三、特征值和特征向量的性质
性质1. n阶方阵A=(aij)的所有特征根为l1，l2，…, ln(包括重根)，则
性质2. 若 l 是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则 是A-1的一个特征根，x仍为对应的特征向量。
性质3. 若 l 是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则lm是Am的一个特征根，x仍为对应的特征向量。
性质4. 设 l1，l2，…, lm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于li 的特征向量( i=1,2,…,m)，则 x1,x2,…,xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关 。
性质4可推广为：设 l1，l2，…, lm为方阵A的互不相同的特征值，x11,x12,…,x1,k1是属于l1的线性无关特征向量，……，xm1,xm2,…,xm,k1是属于lm 的线性无关特征向量。则向量组 x11,x12,…,x1,k1,…, xm1,xm2,…,xm,k1也是线性无关的。即对于互不相同特征值，取他们各自的线性无关的特征向量，则把这些特征向量合在一起的向量组仍是线性无关的。
对于任意一个矩阵，不同特征值对应的特征向量线性无关。
对于实对称矩阵或埃尔米特矩阵来说，不同特征值对应的特征向量必定正交（相互垂直）。
埃尔米特矩阵（Hermitian matrix）(又称“自共轭矩阵”)是共轭对称的方阵。埃尔米特矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素共轭相等。
阅读(...) 评论()对称矩阵对角化的意义何在？？
现在在看线性代数中的对称矩阵对角化，看计算都觉得复杂，不明白这样对角化的意义何在，书本也未作说明。。。我个人习惯是知道学了有什么用，才比较有兴趣去学的。所以想问问，对称矩阵对角化在线性代数研究、工程计算方面（好像结构动力学计算有用到）或者其他理论研究方面的实际意义是什么？这样对角化有什么优点？？先行感谢各位大神的回答。
谢邀。首先对称矩阵和二次型是一回事。简单来说，只要是见到二次型的地方我们就会想把她对角化，因为对角化相当于换一个标架，这样形式简单嘛，而关键点在于，我们研究的很多性质都是无关标架的。看对角化的应用那么只要看哪里有二次型就好了。而另一方面，对称矩阵和自伴算子也是一回事，不过一般说自伴算子都是在无穷维的Hilbert空间里，对角化的推广就是谱分解，这件事情就不知道说不说得清了。。先说几个简单的碰得到二次型的地方：二次曲线or曲面的分类这件事情应该是在解析几何课上会讲到的，但是不知道高数里讲不讲。比如二维的二次曲线：我们知道二维的非退化的二次曲线有椭圆，抛物线和双曲线，那么问题来了：什么时候上面的曲线是退化的？什么时候代表椭圆、双曲线或者抛物线？如果这条曲线的形状知道了，那么几何量（如椭圆的长轴短轴焦距，双曲线的实轴虚轴焦距，抛物线的焦点准线）各是多少？这些一定要去做对角化的。三维也是一样，三维空间的二次曲面类型就更多了，什么锥面、双曲抛物面、椭圆抛物面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭球面……反正是类似的做就好了转动惯量矩阵依稀记得一个刚体的转动惯量是一个矩阵，然后可以通过对角化找到惯量主轴和主转动惯量。我力学特别烂，相信题主的力学肯定比我好。二阶PDE的分类其实和二次曲面那个差不多，因为二阶PDE也就是上面那样的一个形式，而不同点在于上面的系数都是常数，但是在PDE里面系数可以是函数。所以给一个二阶PDE都可以相应的化成标准形式，再去分类，比如说分成椭圆型的抛物型的还有双曲型的。这个分类的意义在于，不同类型的二阶PDE性质差别非常大，椭圆的是极好的，比如调和方程，可以有regularity，还有极值原理对吧；抛物型的，比如热方程，也很好；而双曲型的就呵呵了，比如可能会有一个曲面让这个二次型全部退化掉，在这上面就会出现间断。说个稍微麻烦一点的，Morse theory. 简单来说，就是通过manifold上面的Morse function去看她的拓扑性质。所谓Morse function，简单来说就是导数等于0的点二阶导不等于0，而因为是高维的情形嘛，所以就变成了Jacobian退化的时候Hessian是非退化的，这种点叫做临界点。在临界点附近，可以看Taylor展开，常数项不看，一阶项没有，那么函数就差不多是Hessian确定的那个二次型，对这个二次型做对角化，实际上也就是线性空间换一组基，就变成了事实上可以做的更精细，就是在临界点附近做一个坐标变换，让这个函数直接等于这个就是Morse's lemma.我们知道二次型的不变量是正负惯性指数，因为Hessian是非退化的所以这两个知道一个就行了，就把负惯性指数叫做这个函数的index，index是多少差不多就能决定这个manifold在这个临界点附近的形状，而非临界点可以直接跳过去，所以整个就清楚了大概这样。当然这里省略了大量细节和后续工作……抛砖引玉～
意义是把多个耦合的变量尽可能的解耦。
个人观点：“分解”是科学发展史中很重要的一个思想/方法/套路。面对一个比较复杂、不好分析的对象，人们经常会采取这样的方法：想办法弄清楚这个对象是由哪些更基本、相对更简单的“元素”/"元对象"以某种方式组合构成的。具体到数学中，比如一般的正整数不好研究，我们就采取这样的观点：把每个正整数都看做由更基本的“素数”通过“乘法”组合而成。然后我们只要专心研究素数就好了。然后从素数的研究就出来了一大堆成果。类似的例子其实非常多。比如研究函数，一般的函数性质很难刻画啊，但我们知道多项式函数非常好、很容易研究，那么能不能用多项式函数作为元对象研究一般函数呢？这就是泰勒展开。比如积分，从更高的观点看的话就可以理解为是由更基本的元素“测度”按照某种加权方式（被积函数）“组合”（积分）而成。然后研究这些更基本的“测度”，就有了测度论、现代概率论等等什么的。泛函分析里为什么要费那么大劲搞出来谱分解？因为它是对算子的“分解”啊，肯定有用的。这个思路不一定是科学家真实采用的想法，但我觉得对于初学者理解还是很有帮助的。这个过程中注意有两个要点：一是元对象要够基本、更容易研究，二是组合方式要合理、应用性广、够丰富。所以类似地，研究矩阵的话，我们也希望采用这个思路来搞。最直观的思路可能是把矩阵每个位置上的元素当做元对象、横竖排列方式当做其组合方式。但这思路是有缺点的，因为“横竖排列方式”不是个应用性广、够丰富的组合方式，并且也不属于传统的数学组合方式（初等代数运算、微分积分等）之中，既陌生又没搞头，所以没人采用这种方式对矩阵“分解”。后来人们发现，矩阵的乘法很常用，很重要。（事实上这是有原因的，因为矩阵就是线性变换的表示，矩阵乘法就对应着线性变换的复合，所以当然常用。不过一般工科生并不了解这方面的观点，所以我就不多谈这个角度了）那么，能不能从矩阵乘法入手搞一个分解呢？最后出来的就是对角化分解，对角矩阵是足够简单了并且也比一般矩阵多出很多非常好的性质、容易研究；同时它是以矩阵乘法的方式联系到一般矩阵的，这也很好。进一步的事实发展证明对角化操作很有用。最基本的，你想算一个方阵A的n次幂，用对角化容易多了吧？你会问算个幂有什么了不起？这用处就大了，有了A的n次幂我们就可以有关于A的函数的多项式展开啊！而利用多项式展开又可以反过来定义一些矩阵函数啊！（比如exp^A, sinA）等等等等吧，总之好处很多。其中的原因都可以归为上述两条：对角矩阵性质太好太容易研究发展了，而矩阵乘法又太重要太常见。
工程力学狗来提一下对称矩阵对角化在连续介质力学中的应用本人数学和力学学的都不算太好，当年线代也是稀里糊涂，学完就忘，大三再学弹性力学时用了很多线代的知识重新复习才找到了点豁然开朗的感觉，以下都是个人的一些比较粗浅的想法和观点，分享一下，抛砖引玉。如有不严谨之处还请指正。首先来引入应力的概念：物体由于外因（受力、湿度、温度场变化等）而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并试图使物体从变形后的位置恢复到变形前的位置。在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力。同截面垂直的称为正应力或法向应力，同截面相切的称为剪应力或切应力。
（自百度百科）正应力的典型例子是在一个受拉力的圆轴上（如图），在一个两端受拉力的圆轴上取一个垂直于轴线的截面，认为截面上均匀分布着内力，内力大小等于外力F，由静力平衡条件，有此处的正应力，A为圆截面面积。应力的量纲为牛每米方，故单位与压强相同，为帕斯卡（Pa）切应力的典例为受扭矩的圆轴，问题如图，推导可参考材料力学教材，结论是，当圆轴受扭转时，其垂直轴线的圆截面上的分布有随半径线性变化的作用于圆截面内的切应力，如图，切应力用符号推导可参考材料力学教材，结论是，当圆轴受扭转时，其垂直轴线的圆截面上的分布有随半径线性变化的作用于圆截面内的切应力，如图，切应力用符号来表示。以上两种都是简单的单一应力状态，显然外力是可以共同作用的，若一根杆受扭矩和拉力，那么在横截面上就会出现正应力和切应力组合的情况。我们以垂直横截面的方向为X轴，建立空间直角坐标系，可以把横截面上的应力分解为 以数学来看，这是一个矢量，即一个面上的应力矢量，它表征了某一个截面微元上的应力状态对于一些简单的问题，以上分析就足够了，因为他们都可以简单的把问题变为一种平面内的问题，通过一个面内的应力矢量确定应力状态，分析结构刚度（变形大小）和强度（是否发生破坏），但对于复杂的结构问题，必须讨论一点处的应力状态。连续介质力学的研究方法来自微积分，求解过程使用的是数个微分方程的联立，所以最基本的方法是在复杂的应力的实体中取一个无限小的微元体，进行分析，研究其上的应力状态，如图：即，一个无限小的微元体上的应力状态，或者，一点处的应力状态，在直角坐标下，可以用在三个正交平面上作用的应力矢量来表达。可以用9个分量来表达。回想一下高中学过的矢量的问题，速度矢量的分量，, 一起才可以表达物体运动的速度矢量V。这里也一样，9个标量和起来才能表达一点处的应力状态，所以把这9个量和在一起，表述为一个量，怎么做呢？前人把这9个量和在一起，写成矩阵的形式，叫做应力张量：（注意张量并不等价矩阵，下面会提到）其中元素下标的第一个字母表示表示应力分量所在面垂直的坐标轴，第二个字母标识应力分量的方向与某一个坐标轴的方向平行。如就表示作用在垂直于x轴的面上，与y轴方向平行的应力分量。值得注意的是，当物理受外力后处于平衡状态的时候，这个矩阵其实是天生的实对称矩阵，即=，力学上称为切应力互等定理，由微元体的静力平衡条件的力矩平衡直接得到。相关推导可以参考材料力学的教材。现在，我们得到了一个实对称矩阵来表达物体一点处的应力状态，线代告诉我们这玩意一定可以化为一个对角化为一个对角矩阵。但这玩意有什么意义？变换用的正交矩阵Q又是嘛玩意？答案很简单：坐标变换这个“左乘Q的转置、右乘Q”的正交矩阵Q就是坐标变换矩阵，我学后扔了快两年了记得不太清楚了，大部分线代教材上在向量组和向量空间的章节应该都有描述，大家可以自己参考。对比上面应力张量的表达，显然，一点处由9个量表达的应力状态（对称矩阵）通过坐标变换可以用三个正交面上的正应力（对角阵）来表达，如图所示（直接从我们教学资料上拍了一张= =）：（材料力学中没有直接给出变换矩阵这个概念，但有一个叫应力圆的概念，表达的是同样的意思）这个转换后的坐标系就叫主坐标系，三个正应力叫做主应力（其实就是线代里所说的特征值）。那么求出主应力有什么用呢？需要注意，坐标转换前后的两个矩阵表达的是同一点处的同一个应力状态（或者说，表达的是同一个张量），后者的形式更为简洁，可以更清晰的体现一点的应力状态，分析复杂应力状态下的强度判据的四大强度理论就大多需要用主应力为判断准则。一般应力状态是通过建系，假设，列微分方程联立求得的（绝大多数都很难得到准确的解析解，现在多使用有限元等计算机数值方法），这就导致一般解出的应力分布是9个分量表达的一般形式，需要使用坐标变换变为主应力的形式来校核强度。以上P.S提到的几门课中，材料力学是弹性力学的先修课程，大部分学机械的工科生都需要接触这门课，以理论力学的静力分析和高数为先修课程。 在大量简化的基础上讨论棒类物体的受力、变形、稳定性和破坏极限问题。弹性力学的研究对象弹性体结构的受力、变形与其间的对应关系。这里只是为了讲明矩阵对角化的应用只浅谈里应力状态相关的部分内容。一般好像只有学土木和结构的同学会接触。参考资料：杨桂通. 弹性力学,高等教育出版社单辉祖，材料力学，高等教育出版社
结构工程师的角度简单回答一下，结构自振方程M×Z''+C×Z'+K×Z=0,不考虑阻尼求解自由振动方程(K-w^2M)Z=0,为了求得特征值以及特征向量，最基本方法的就是|K-w^2M|=0,四次以上就没法用多项式求解了。这个时候我们就可以采用两类方法:第一类直接法，第二大类间接法求解(逆迭代法，子空间法，利兹向量法，lanzos法等等)。第一类就是把特征值问题通过jacobi对角转换求得标准特征值，还用一种QR法。结构工程或者工程中更多碰到的是稀疏矩阵的特征值问题，而且用到的一般是低阶特征值，所以工程有限元（FEM）更多采用高效的ritz，lanzos、子空间等等，这些方法作用后的低阶矩阵的往往采用逆迭代法或者jacobi法。
求特征向量和特征值如果是应力矩阵 那么求的就是主应力大小和方向 三个没有切应力的正交面如果是刚度阵 那么求的就是自振频率和振型力学狗只懂这些 献丑了
前面已经有人提到了量子力学，我就来多讲讲吧对于一个算符A，我们有我们值得，特征向量可以使得矩阵对角化，那么我们的算符可以表示为我们可以得到这个算符在测量时塌缩到某态的概率是基于此的量子力学中对角化应用很多。
我觉得可以这样理解。对角方阵（diagonal square matrix）是最好的矩阵之一。给出一个满秩的对角方阵，我们可以一眼看出它的特征值，特征向量，逆矩阵，行列式的值，迹等等重要的特性。对角方阵表征线性变换时，这个变换是解耦的，在二维和三维，其几何意义更是显而易见的。等等。因此，人们更愿意去处理对角方阵。因此，人们千方百计的把一些不好的矩阵变成好的矩阵。这也就是各种对角化方法的意义。
作为学渣，我只知道：对角化之后可以大大的简化计算。试想原本你计算一个n阶矩阵的很多次方，那么每次算新的矩阵的一个元素都要算n次乘法再相加，累死了吧？可是对角化后就再作n次方就简单了太多，两三步得到结果。
不是很清楚在工程方面的应用。但是刚刚学了理论力学感觉有一点想法。经典力学里面的惯量矩阵排名第一的答案也有提到啦。大概就是惯量张量本来是一个对称阵，对角化之后对角元为主惯量，每个主惯量是刚体对应一个惯量主轴的惯量，这样变换之后不同坐标的各种量就分开啦，你可以单独算动能呀之类的。所以嘛，我觉得，对角化变成标准二次型之后，就好像减少了不同坐标的交叉项，把不同坐标分开之后各种运算都简便了不少。而且使对称阵对角化一定是正交变换，所以各种性质保持，可是用起来方便多啦。前面的答案都好厉害的样子。果然只有到了要讲的时候才发现自己多学渣(╯﹏╰)
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