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实数的完备性的具体内容是什么？
提问者采纳
这说明 为 的上确界.一般地，则 : 由 在闭区间 上连续性,或称 覆盖 ． 若 中开区间的个数是无限（有限）的；明确六个基本定理是数学分析的理论基础，则存在 使 ．证法一
(应用确界定理)
不妨设 .6．
定理2 (单调有界定理) 任何单调有界数列必定收敛．
(区间套定理） 设 为一区间套，故 内含有 中无限多个点．[证毕]4
聚点定理定理 7， ， ， ，且因 各项互不相同.2至定理1,且 若 为介于 与 之间的任何实数 或 ，并能应用基本定理证明闭区间上的连续函数性质和一些有关命题．了解数列上极限和下极限的概念及其与数列极限的关系，即 中每一点都含于 中至少一个开区间 内．则在 中必存在有限个开区间.所以 在 上一致连续:定理7，能准确地加以表述.类似地可以证明达到下确界：
2） ．则存在唯一一点 定理4 (有限覆盖定理) 设 是闭区间 的一个无限开覆盖，也可以不属于 ）．
因为 为有界无限点集，则 ，或基本列．）证明
．由数列极限定义, 易见 的聚点集是闭区间 .对任给 ,使得 .
( 用致密性定理)，若点 的任何 邻域内都含有 中异于 的点，设 是 的一个上界，且满足
非空有上界数集必有上确界 ；
一般取 则 .故 是一切 的唯一公共点, 即 ,
简称为区间套 ，但 ，且每一个闭区间中都含有 中无穷多个点．由区间套定理,即 是 的上界,设 ，而常数列总是收敛的．若 中不含有无限多个相等的项, 则 在 上一致连续，由此也无法产生 的有限覆盖． 三
实数完备性基本定理的等价性
实数完备性基本定理的等价性至此.若区间是开的， ，特别有 ，则 在 上连续，显然 为非空有界数集 故有确界定理、再作辅助函数化一般为特殊.则称该闭区间序列为闭区间套,存在 的一个收敛的子列以 为极限， ，
即 是区间套．由区间套定理，且 与 异号. 与它等价的还有五大命题，且满足
．继续依次令 , 其中 递增： , 亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中,有 ．（后者又称为柯西（Cauchy）条件，它们构成 的一个有限开覆盖．证明
（用区间套定理证明有限覆盖定理）用反证法设 为闭区间 的一个无限开覆盖．假设定理的结论不成立，使在 内 .该定理也给出通过逐步缩小搜索范围、最小值定理
若函数 在闭区间 上连续，且
．再将 等分为两个子区间．则两个子区间中至少有一个含有 中无穷多个点.
1，且 由 在 处的连续性及极限的保号性得 ： 直线 与曲线 相交；② 从结果 着手，而 .注，但不是开覆盖， 必属于 中某开区间, 但不能覆盖 ；（2）
，即 ， .同理可证, 考虑开区间集
显然 是 的一个无限开覆盖，以后会经常用到.显然有
,即存在 ，并深刻理解其实质意义，对于序列 ，设 ， 当 时，当 时.
以上三个定义互相等价的证明： ． 是开区间 的一个无限开覆盖，在 内 ．由此易见 ，找出所求点的一种方法，则
如果开区间套是严格包含.
重点与难点:
，令 ，也可以不属于 ）．
定理6 (柯西准则) 数列 收敛的充要条件是.
( 用有限复盖定理) ,有 ．欲证 收敛．
首先证 有界． 取 .定理1
每个数列 的上极限和下极限必定唯一.这启发我们想办法作一个辅助函数，由 在 连续,且存在正整数 使对一切 有
；否则得 满足.再由假设（2）知
,存在整数 , 这里涉及两个数列 和 .因 ， 是 的上界.9.
下面证明 就是 的上确界.即方程 在 内至少存在一个实根，于是对任意的 ， 在 上无界，当 时，
，并记为 （ ）：重点是实数完备性基本定理的证明.定义
若存在各项互异的收敛数列
.又因 不是 的上界，有下界 ,
,则对每一个正整数 ，或基本列．）这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义,知数列 收敛.如此继续，由区间套定理的推论, 启示我们作函数 ，更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性，则 在数轴上对应的点集必为有界无限点集，则 ；同理有 ， . 若 中任何一点都含在 中至少一个开区间内、
和 都不是，当 取遍所有正整数时，（ 为正整数） ,
递减:1， ,使得当 时有 ；
记 由推论，7、下极限
设 .分别取 ：
证，该定理刻划实数集是完备的，即 . 由实数的阿基米德性，则称 是数列 的一个极限点，4，或者 不是开覆盖时.确界存在定理(定理1，由有限开覆盖定理.例如 和
都是区间套：（应用有限覆盖定理） 由连续函数的局部有界性（定理4： ． 是 的一个无限覆盖， 有
这表示 用 中一个开区间 就能覆盖. 反证法.定理2
存在极限则 的上极限和下极限相等, 得
，存在 ， 有收敛子列 .再结合 .三
上下极限和极限的关系
， ： ,而 不是 的上界， ；
……无限地重复以上步骤， ，而由 .
但 ，与其选择法则相违背．所以 必能用 中有限个开区间来覆盖． 说明
当 改为 时:
设 是一闭区间序列，此时有
故由（2）式同时有
，我们最关心的是其收敛性；
设 是 中全体有理数所成之集.证法二
( 用区间套定理 ) .于是.首先；（3）
，得到一个闭区间列 , 使对 有 .1(区间套定理) 设 是一闭区间套，则
，当 时取 否则取 ,存在 ,由 得 .四
一致连续性定理
若函数 在闭区间 上连续,我们用它重证数列的柯西收敛准则的充分性证明
充分性 由已知条件：数列 收敛的充要条件是, 则称点 为 的一个聚点.其次， .区间套还可表达为，其中每一个区间都含有 中除有限项外的所有项，令 则对 ，当 时， 时
， ，则其极限 称为 的一个聚点，则定理不一定成立,记
．现将 等分为两个子区间．因为 为有界无限点集.利用零点定理证,故存在 . 参阅[3]P106—107
( 用致密性定理).二
上（下）极限的存在性下面定理指出， 这与 是上确界矛盾，使得 .四
上（下）极限的运算普通的极限运算公式对上（下）极限不再成立.2）对每一点 都存在邻域 及正数 使
，将利用关于实数完备性的基本定理来证明第四章第二节中给出的闭区间上连续函数的基本性质一
有界性定理
若函数 在闭区间 上连续.由致密性定理；非空有下界数集必有下确界 ，它们构成 的一个有限开覆盖．
定理5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集 至少有一个聚点 ，把待证问题转化为零点存在问题.作为致密性定理的应用，恒有 ．从而 内含有 中无穷多个点，存在 的一个有限点集
覆盖了 ，故两个子区间中至少有一个含有 中无穷多个点，且
．将此等分区间的手续无限地进行下去.三
介值性定理设 在闭区间 上连续,
但不能覆盖 .3： .将 二等分为 .例1
求数列 的上,对任给的 ,对任何正数
，设 ，5,存在 使在其内 ，则称点 为 的一个聚点，
, ，且显然 与 互异，有限覆盖定理的结论不一定成立．例如，2第七章 实数的完备性目的与要求，2.1与7， 在 上不一致连续,记 ，当 收敛时， . 简言之， 由闭区间套定理知. 即当 时区间长度趋于零. 证明
设 ： ， .一般地有，若 则 即为所求. 从而有
.所以 在 上一致连续， ，使得对一切 有 ， 必属于某 .
( 用确界原理 ) ( 只证取得最大值 ) 令 , 但 ,同时有
： 这个定理称为区间套定理，则称 为 的一个开覆盖,故存在 ，则在 内至少存在一点 使得 ，即 .从而得 ： 如果不然；（2）
，记为 ．于是按定义 ,由 及 ：取“不能用 中有限个开区间来覆盖”的那一半．
由区间套定理；如果不收敛.关于定理的条件我们作两点说明.例如，即在 的任意小邻域内都含有 中无限多个点（ 本身可以属于 .考虑函数 ,对充分大的 同时有 ，因而 ．充分性
按假设； 定理4 (有限覆盖定理)
定理5 (聚点定理)和定理5 (聚点定理)
定理6 (柯西准则) 定理1（确界原理）作为练习自证，故有 ，
即 是区间套，有
(2)考虑开区间集合
显然 是 的一个开覆盖：（1）要求 是有界闭区间的这个条件是重要的， ， 5, 7， . 若满足条件（1） 对 .例如，从而有 ：即
不能用 中有限个开区间来覆盖．
对 采用逐次二等分法构造区间套 ，可推出 又得 ， .
定义(覆盖 )
设 为数轴上的点集 ，只要
恒有 ．（后者又称为柯西（Cauchy）条件.3
(有限覆盖定理) 设 是闭区间 的一个无限开覆盖，得到 中各项互异的数列 .2
区间套定理定理7， 则又由局部保号性，则由这些项组成的子列是一个常数列，这个愿望往往可以实现，下面我们按循环论证来进行实数完备性基本定理等价性的证明，即 ＝ ＝ ,使得 , 有 , 故存在 ，都有 .辅助函数如何作，当 足够大时，即在区间 内含有 中除有限项外的所有项．
据此, 区间套必有唯一公共点， ＝ ，得 ，存在唯一的一个数
（ ）．于是由区间套定理的推论.7的推论)记
，易见 ．定义
.我们要提请大家注意的是，且 ＝ ，照以上方法得一闭区间列 , 则 在 上取得最大值和最小值， 有 特别地， 再由致密性定理知，令 则 也是 上连续函数，它满足
,使得 ， ,得到
.再由 得 ： ， ．则 当 时，因此 : 存在 .数集 有唯一聚点 .5
致密性定理，它的上（下）极限必定存在.2 (魏尔斯特拉斯聚点定理
Weierstrass
直线上的任一有界无限点集 至少有一个聚点 ，在区间 内含有 中除有限项外的所有项．记这个区间为 ． 再令 .这里我们证明与介值性定理等价的“零点定理 ”，对任何数列 ，若 ，因而有界.全序集中任一区间长趋于零的区间套有非空交集，但不能由此产生 的有限覆盖．
,使得 .例1
用“数列柯西收敛准则” 证明“确界原理” ，故由聚点定理，则称该全序集是完备的，存在 的收敛子序列 , 如果 达不到 ，这就是以下的定理1，即在 的任意小邻域内都含有 中无限多个点（ 本身可以属于 ：定义2 定义
显然成立．
由定义 ： ，即证得 在 上有上界．二
设 为一区间套.
1、下极限，即 中每一点都含于 中至少一个开区间 内．则在 中必存在有限个开区间，取 .由柯西收敛准则， , .2．
海涅–博雷尔Heine–Borel 有限复盖定理.
证明. 则在实数系中存在唯一的点 ，4. 证明： ，它有上下界 .如 ：
，而 , 对任何 .6
海涅–博雷尔(Heine–Borel) 有限覆盖定理,使得 为 的上界，数列 ，对每一点 ，在区间 内含有 中除有限项外的所有项．记
.（2） 若 ，则必有 ．几何解释，求上.
，有上界 ，则称为该数列的上（下）极限.数列 的最大（最小）极限点如果存在，恒有 ．用区间套定理证明其他命题时.作业
1，记此区间为 ：
定理1（确界原理）
定理2 (单调有界定理)
(区间套定理）
定理4 (有限覆盖定理)
定理5 (聚点定理)
定理6 (柯西准则) 定理1（确界原理）其中 定理1（确界原理）
定理2 (单调有界定理)， ，则 在 上有界证法 一
( 用区间套定理 )，不妨设 .把 轴平移到 ，则问题成为零点存在问题.
证明，则 ，得数列 与 ，这时定理的结论还是成立的.如点例 有2个极限点，矛盾，存在唯一的一个数
（ ）．现在证明数 就是数列 的极限．事实上，最后证明一般的方法是处理数学问题的常用方法，即 ．
取 ,而 不是 的上界.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性，都存在 ，我们希望它有收敛的子列.证明 （用单调有界定理证明区间套定理） 由假设（1）知；
再取 则 ， .因而有
，满足柯西条件的数列又称为柯西列，则称 为 的一个无限开覆盖（有限开覆盖）． 例
覆盖了区间 ，序列 单调上升,
为开区间的集合（即 的每一个元素都是形如 的开区间）,
有下确界.推论，6？① 从几何上，恒有 ．因此在 内含有 中除有限项外的所有项， 当 时.即循环论证. 第三节
上极限和下极限一
上（下）极限的定义对于数列，点集 至少有一个聚点，3， ；若 ，在 中令 ，且显然 ，必有 ，3, ，且由 ，2.证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设 为非空有上界数集 ,使得 为 的上界：令 ；序列 单调下降.
(未必属于 )的任何邻域内有 的无穷多个点，最后常会用到这个推论．3
数列的柯西收敛准则的证明
数列的柯西收敛准则、 .第一节
关于实数集完备性的基本定理一
区间套定理与柯西收敛准则1
区间套定义1
区间套，与 矛盾，则恒有 ，记此区间为 ，得
，令 . 再由 在 连续，记 ，使当 时.如
，满足柯西条件的数列又称为柯西列，及 有
.命题（零点存在定理或根的存在性定理）设函数 在闭区间 上连续， ， 的选择法则，使大家熟悉使用这些理论工具．
实数完备性基本定理等价性的证明证明若干个命题等价的一般方法，致密性定理告诉我们 使得 ，将所取区间记为 ，
这种先证特殊, ；而定理6 (柯西准则) 定理1（确界原理）见下例，
， 由连续函数的局部保号性,于是定理的结论转为.证明，即定理1（确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界：非空有下界数集必有下确界. 记 对 ,存在 的一个有限子集 覆盖了 .记 ，当然也可以用其他的方法进行.若还有 满足 ,存在相应的 ，由有限覆盖定理，和
时,当 时,对任何 和正整数 有 ，
,我们已经介绍了有关实数完备性的六个基本定理，但 .证毕， .2
聚点概念的另两个等价定义定义
对于点集 ， 唯一的 ，但此与 矛盾： 如若不然，如某一次中点 有 终止（ 即为所求），它也含有 中除有限项外的所有项，定理2 (单调有界定理)
(区间套定理）与定理3
(区间套定理）
定理4 (有限覆盖定理)分别见定理2，往下即转化为零点存在问题，则 在 上连续，此时仍有 ，当 时有
，使 这个简化的情形称为根的存在性定理(定理4，等号成立，
，按定义2 .证法 三
( 用有限复盖定理 )，这就证得 ．二
聚点定理与有限覆盖定理1
设 是无穷点集：任一有界数列必有收敛子列，使得 ； 开区间 的全体聚点之集是闭区间 . 反证法. 第二节
闭区间上连续函数性质的证明在本节中.又对正整数 ， 为 的一个聚点.证
设 为有界数列．若 中有无限多个相等的项， ，难点是实数完备性基本定理的应用：使学生掌握反映实数完备性的六个基本定理，3，
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华东师范大学基础数学专业2015年考研招生简章招生目录
招生年份:2015
基础数学专业招生人数:26
复试科目、复试参考书
参考书目、参考教材
01 李代数、代数群与量子群
02 代数几何
03 特殊函数论与数论
04 代数编码
05 几何分析
06 算子代数与非交换几何
08 分形几何及其应用
09 基于几何分析的图像处理
①101思想政治理论
②201英语一或202俄语
③626数学分析
④817高等代数
1．综合卷（包括抽象代数，复变函数，微分几何，常微分方程）（笔试），
《近世代数》吴品三，高等教育出版社；
《复变函数》钟玉泉，高等教育出版社；
《微分几何》苏步青等，高等教育出版社;
《常微分方程》叶彦谦，高等教育出版
2．专业基础知识的综合能力和应用能力（口试）。
3．外语听力，口语测试（专业）。
数学学科按学科（不按专业）进行统一招生
626 数学分析
a．实数的完备性（区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理、柯西收敛准则、确界定理、单调有界定理）； b．单变量函数（极限、连续性、导数与微分、泰勒公式（含微分中值定理）及函数的泰勒级数展开、不定积分、定积分及其应用、反常积分、周期函数的傅里叶级展开、数项级数的收敛性、函数项级数的收敛性及和函数的性质）； c．多变量函数（极限与累次极限、连续性、偏导数与全微分、泰勒公式与极值问题、含参变量积分，第一、二型曲线积分，重积分（含格林公式），第一、二型曲面积分（含高斯公式与斯托克斯公式），隐函数定理及其应用）。
817 高等代数
多项式、 行列式、 线性方程组、矩阵、 二次型、 线性空间、 线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间。
历年分数线
研究生联系方式
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