过椭圆C x^2/8+y^2/4=1上一点P(X0,Y0)向圆Ox^2+y^2=4引两条切线PA PB AB为切点 AB与x轴 y轴交于MN 1.若向量PA*向量PB=0 求P坐标2.求AB方程（用x0 y0表示）3.求三角形MON面积的最小值_百度作业帮
过椭圆C x^2/8+y^2/4=1上一点P(X0,Y0)向圆Ox^2+y^2=4引两条切线PA PB AB为切点 AB与x轴 y轴交于MN 1.若向量PA*向量PB=0 求P坐标2.求AB方程（用x0 y0表示）3.求三角形MON面积的最小值
过椭圆C x^2/8+y^2/4=1上一点P(X0,Y0)向圆Ox^2+y^2=4引两条切线PA PB AB为切点 AB与x轴 y轴交于MN 1.若向量PA*向量PB=0 求P坐标2.求AB方程（用x0 y0表示）3.求三角形MON面积的最小值
1.由题意向量PA和向量OB均不为零向量所以PA⊥PB,因此OA⊥OB,又因为OA=OB所以四边形OAPB是正方形因此PO²=x0²+y0²=8①而点P在椭圆上.所以x0²+2y0²=8②由①②得x0=±2根号2 y0=0所以P（±2根号2,0）2.首先求过圆O上任意点的切线方程.事实上,设圆O上一点（x3,y3）与圆心连线斜率为y3/x3.（先假设斜率存在）.则切线斜率为-x3/y3.所以切线方程为x3x+y3y=4.容易证明当与圆心连线斜率为0或不存在时也满足此方程.下面回到原题设A（x1,y1）B（x2,y2）则过A,B切线方程分别为x1x+y1y=4 x2x+y2y=4因此都过P（x0,y0).所以有x1x0+y1y0=4 x2x0+y2y0=4可见,直线x0x+y0y=4过A,B两点.由两点决定一条直线可知直线AB方程为x0x+y0y=43.不难求得M（4/x0,0) N(0,4/y0)再令x0=2根号2sinα,y0=2cosα所以S△OMN=2根号2/|sin2α|而|sin2α|最大值为1所以△OMN面积最小值为2根号2如图,经过点P(2,3),且中点在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆上,椭圆M的离心率为0.5若椭圆M的弦pA,PB所在直线分别交x轴于c,d两点,且pc=pd,求证 ab的斜率是一个定值_百度作业帮
如图,经过点P(2,3),且中点在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆上,椭圆M的离心率为0.5若椭圆M的弦pA,PB所在直线分别交x轴于c,d两点,且pc=pd,求证 ab的斜率是一个定值
如图,经过点P(2,3),且中点在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆上,椭圆M的离心率为0.5若椭圆M的弦pA,PB所在直线分别交x轴于c,d两点,且pc=pd,求证 ab的斜率是一个定值
e² = c²/a² = (a² - b²)/a² = 1 - b²/a² = 1/4,b² = 3a²/4x²/a² + 4y²/(3a²) = 1过P(2,3):4/a² + 36/(3a²) = 1a² = 16,b² = 12x²/16 + y²/12 = 1设PA斜率为k,显然PB的斜率为-kPA:y - 3 = k(x - 2),y = kx + 3 - 2k 与x²/16 + y²/12 = 1联立,可得一元二次方程,其一解为x = 2,另一解为(A):x = (8k² - 24k -6)/(4k² + 3),y = 3 - (24k² + 12k)/(4k² + 3)PB:y - 3 = -k(x - 2)与x²/16 + y²/12 = 1联立,可得一元二次方程,其一解为x = 2,另一解为(B):x = (8k² + 24k -6)/(4k² + 3),y = 3 - (24k² - 12k)/(4k² + 3)两点横坐标之差 ∆x = 48k/(4k² + 3)两点纵坐标之差 ∆y = 24k/(4k² + 3)AB斜率为:∆y/(∆x) = 1/2b>0)与x轴交于AB两点,点P是椭圆C上异于AB的任意一点,直线PA,PB分别与y轴交于点M N 求证 向量AN×向量BM为定值b^2-a^2（2）类比（1）可得如下命题 双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0 b">
(1)椭圆Cx^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与x轴交于AB两点,点P是椭圆C上异于AB的任意一点,直线PA,PB分别与y轴交于点M N 求证 向量AN×向量BM为定值b^2-a^2（2）类比（1）可得如下命题 双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0 b_百度作业帮
(1)椭圆Cx^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与x轴交于AB两点,点P是椭圆C上异于AB的任意一点,直线PA,PB分别与y轴交于点M N 求证 向量AN×向量BM为定值b^2-a^2（2）类比（1）可得如下命题 双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0 b
(1)椭圆Cx^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与x轴交于AB两点,点P是椭圆C上异于AB的任意一点,直线PA,PB分别与y轴交于点M N 求证 向量AN×向量BM为定值b^2-a^2（2）类比（1）可得如下命题 双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0 b＞0）与x轴交于AB两点,点P是双曲线异于AB的任意一点,直线PA PB分别与y轴交于点MN,求证向量AN×向量BM为定值,请写出这个定值（不要求写出解题过程）
设AP,BP的斜率分别是k1 ,k2（一定存在,因为点P异于A、B）又设点P坐标为（x,y）则k1=y/x+a ,k2=y/x-a （斜率公式）k1*k2=y^2/(x^2-a^2)由椭圆公式,解出y^2的值,代入上式 得k1*k2= [b^2-(b^2*x^2)/a^2]/(x^2-a^2) 这里只是分子代入了椭圆方程 仔细看下上式化简得 k1*k2=-b^2/a^2 （给分子提取公因式-b^2/a^2,则余下部分约掉了 ）现使用点斜式,分别写出AP ,BP的直线方程,求其与y轴交点AP ：y=k1(x+a) BP :y=k2 (x-a)令x=0,分别求得 y=a*k1 和 y=-a*k2则M点坐标（0,a*k1） N(0,-a*k2),所以可以求得向量AN=（a,-a*k2）,向量BM=(-a,a*k1)向量AN·向量BM= -a^2-a^2*k1*k2 (横纵坐标之积的和)=-a^2 (1+k1*k2)=-a^2 (1-b^2/a^2) （前面求的）=b^2-a^2（2）应该是b^2+a^2
石门一中寒假作业？？？可惜我没写。唉~~~
...................（3人评价）
1877人阅读
评价文档：
相关文档推荐
高中数学审核员
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
直线和圆锥曲线经常考查的一些题型
解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤：
（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存在；
（2）联立直线和曲线的方程组；
（3）讨论类一元二次方程
（4）一元二次方程的判别式
（5）韦达定理，同类坐标变换
（6）同点纵横坐标变换
（7）x,y,k(斜率)的取值范围
（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等
运用的知识：
1、中点坐标公式：
x, y 是点 A(x , y )，B(x , y ) 的中点坐
2、弦长公式：若点
A(x1, y1)，B(x2 , y2 ) 在直线 y ? kx ? b(k ? 0) 上，
y1 ? kx1 ? b，y2 ? kx2 ? b ，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，
(1? k 2 )[(x ? x )2 ? 4x x ] 或者 AB ? (1? )[(y ? y )2 ? 4y y ]
3、两条直线
l1 : y ? k1x ? b1,l2 : y ? k2 x ? b2 垂直：则 k1k2 ? ?1
两条直线垂直，则直线所在的向量
v1 ?v2 ? 0
4、韦达定理：若一元二次方程
ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有两个不同的根
x1, x2 ，则
, x x ? 。
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
常见的一些题型：
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
1、已知直线
l : y ? kx ?1与椭圆 C :
?1 始终有交点，求
的取值范围
练习：1、过点
P(3,2) 和抛物线
y ? x 2 ? 3x ? 2
只有一个公共点的直线有（
②②A．4②②B．3②②C．2②②D．1
题型二：弦的垂直平分线问题
弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，
用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。
T(-1,0)作直线 l 与曲线
： y2 ? x 交于 A、B
x 轴上是否存在一点
E( x0 ,0)，使得 ?ABE
是等边三角形，若存在，求出
x0 ；若不存在，请说明理由。
3、已知椭圆
? y 2 ? 1的左焦点为
为坐标原点。
（Ⅰ）求过点
O、F，并且与
x ? ?2 相切的圆的方程；
（Ⅱ）设过点
F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于
两点，线段
AB 的垂直平分线与
x 轴交于点
G 横坐标的
取值范围。
1：已知椭圆
?1(a ? b ? 0) 过点 (1, ) ，
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线
l : y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆交于不同的
的垂直平分线过定点
求 k 的取值范围。
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
分别是椭圆
? 1的左右焦点．是否存在过点
A( 5 , 0) 的直线 l 与椭
圆交于不同的两点
C、D，使得
F 2C ? F 2 D ？若存在，求直线
l 的方程；若不存在，请说
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
题型三：动弦过定点的问题
圆锥曲线自身有一些规律性的东西，其中一些性质是和直线与圆锥曲线相交的弦有关系，
对这样的一些性质，我们必须了如指掌，并且必须会证明。随着几何画板的开发，实现了
机器证明几何问题，好多以前我们不知道的、了解不深入的几何或代数性质，都如雨后春
笋般的出来了，其中大部分都有可以遵循的规律，高考出题人，也得设计好思维，让我们
在他们设好的路上“走”出来。下面我们就通过几个考题领略一下其风采。
4、已知椭圆
?1(a ? b ? 0) 的离心率为
x 轴上的顶点分别为
A1(-2,0),A2(2,0)。
（I）求椭圆的方程；
（II）若直线
l : x ? t(t ? 2) 与 x 轴交于点 T,点 P 为直线
l 上异于点
T 的任一点，直线
PA1,PA2 分别与椭圆交于
点，试问直线
是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。
山东理）已知椭圆
C 的中心在坐标原点，焦点在
x 轴上，椭圆
到焦点距离的最大值为
3；最小值为
（Ⅰ）求椭圆
C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线
l：y ? kx ? m 与椭圆
B 两点（A，B
不是左右顶点），且以
AB 为直径的圆
C 的右顶点。求证：直线
l 过定点，并求出该定
点的坐标。
练习：直线
? kx ? m 和抛物线
y2 ? 2 px 相交于 A、B，以
AB 为直径的圆过抛物线的
顶点，证明：直线
l：y ? kx ? m 过定点，并求定点的坐标。
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
若直线过的定点在已知曲线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程
（或类一元二次方程），考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的
坐标，进而解决问题。下面我们就通过例题领略一下思维过程。
(a ? b ? 0) 上的三点，其中点
A (2 3,0) 是椭圆的右顶
过椭圆的中心
? BC ? 0 ，
? 2 AC ，如图。
(I)求点 C 的坐标及椭圆
E 的方程；
(II)若椭圆
E 上存在两点
P、Q，使得直线
QC 关于直线
3 对称，求直线
PQ 的斜率。
1、已知椭圆
?1(a ? b ? 0) 的离心率为
x 轴上的顶点分别为
A1(-2,0),A2(2,0)。
（I）求椭圆的方程；
（II）若直线
l : x ? t(t ? 2) 与 x 轴交于点 T,点 P 为直线
l 上异于点
T 的任一点，直线
PA1,PA2 分别与椭圆交于
点，试问直线
是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。
2、：（2009
辽宁卷文、理）已知，椭圆
），两个焦点为（－1，
0）（1，0）。
C 的方程；
E,F 是椭圆
C 上的两个动点，如果直线
AE 的斜率与
AF 的斜率互为相反数，证明
EF 的斜率为定值，并求出这个定值。
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
题型五：共线向量问题
解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理----
--同类坐标变换，将问题解决。此类问题不难解决。
D(0,3)的直线交曲线
DP = l DQ ,求实数
l 的取值范围。
福建理科）如图，已知点
F （1，0），直线
为平面上的动点，过
l 的垂线，垂足为点
uuur uuur uuur uuur
?QF ? FP ? FQ
（Ⅰ）求动点
C 的方程；
（Ⅱ）过点
F 的直线交轨迹
两点，交直线
? ?1 AF, AF ? ?2 BF ，求 ?1 ? ?2 的值。
练习：设椭圆
? 1 (a ? 0) 的左、右焦点分别为
F ，A 是椭圆
? F F ? 0 ，坐标原点
（1）求椭圆
C 的方程；
C 上的一点，过
l 交 x 轴于点
P(?1, 0) ，较
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
? 2QP ，求直线
l 的方程．
?1有相同的焦点，直线
y= 3x 为 C 的一条渐近线。
C 的方程；
(II)过点 P(0,4)的直线
l ，交双曲线
A,B 两点，交
C 的顶点不重合）
? ? QA ? ? QB ，且
Q 点的坐标。
练习：已知椭圆
C 的中心在原点，焦点在
x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线
x2 ? 4y 的
焦点，离心率等于
（1）求椭圆
C 的标准方程；
P 为椭圆上一点，弦
分别过焦点
F1、F2，（PA、PB
x 轴垂直，其
uuur uuuur
P 的纵坐标不为
PF1 ? ?1 F1 A, PF2 ? ?2 F2 B ，求 ?1 ? ?2 的值。
题型六：面积问题
陕西理）已知椭圆
? 1 （a＞b＞0）的离心率为
个端点到右焦点的距离为
（Ⅰ）求椭圆
C 的方程；
（Ⅱ）设直线
两点，坐标原点
l 的距离为
面积的最大值。
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
浙江理）如图，直线
y ? kx ? b 与椭圆
? y2 ?1交于
（Ⅰ）求在
k ? 0 ， 0 ? b ?1的条件下，
S 的最大值；
? 1时，求直线
AB 的方程。
题型七：弦或弦长为定值问题
湖北理科）在平面直角坐标系
xOy 中，过定点
C（0，p）作直线与抛物
x2=2py（p>0）相交于
（Ⅰ）若点
C 关于坐标原点
O 的对称点，求
面积的最小值；
（Ⅱ）是否存在垂直于
y 轴的直线
AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出
l 的方程；
若不存在，说明理由。（此题不要求在答题卡上画图）
练习、（山东
09 理）（22）（本小题满分
?1（a,b>0）过
6 ,1)两点，O
为坐标原点，
（I）求椭圆
E 的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆
E 恒有两个交点
? OB ？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆
?1（a,b>0）过
6 ,1)两点,
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
E 的方程为
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆
E 恒有两个交点
? y ? kx ? m
A,B,且 OA ? OB ,设该圆的切线方程为
y ? kx ? m 解方程组 ? x2 y2
x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 (1? 2k 2 )x2 ? 4kmx ? 2m2 ?8 ? 0 ,
则△=16k 2m2 ? 4(1? 2k 2 )(2m2 ?8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0 ,即8k 2 ? m2 ? 4 ? 0
1 2 1? 2k 2
k 2 (2m2 ?8) 4k 2m2
y y ? (kx ? m)(kx ? m) ? k 2 x x ? km(x ? x ) ? m2 ? ?
OA ? OB ,需使 x x ? y y ? 0 ,即
0 ,所以 k 2
0 又8k 2 m2
y ? kx ? m 为圆心在原点的圆的一条切
线,所以圆的半径为
,所求的圆为
x2 ? y2 ? ,此时圆的切线
y ? kx ? m 都满足 m ?
,而当切线的斜
率不存在时切线为
?1的两个交点为
) 满足 OA ? OB ,综上,
存在圆心在原点的圆
x2 ? y2 ? ，使得该圆
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
的任意一条切线与椭圆
E 恒有两个交点
A,B,且 OA ? OB .
8(8k 2 ? m2 ? 4)
(x ? x )2 ? (x ? x )2 ? 4x x ? (? )2 ? 4?
(1? 2k 2 )2
8(8k ? m ? 4)
| AB |? (x ? x )2 ? ?y ? y ? ? (1? k 2 )(x ? x )2 ? (1? k 2 )
(1? 2k 2 )2
4k 4 ? 5k 2 ?1 32
4k 4 ? 4k 2 ?1 3
4k 4 ? 4k 2 ?1
①当 k ? 0 时| AB |?
因为 4k 2 ?
? 4 ? 8 所以 0 ?
4k 2 ? ? 4
4k 2 ? ? 4
6 ?| AB |? 2 3 当且仅当 k ? ?
时取”=”.
当 k ? 0 时,| AB |? .
当 AB 的斜率不存在时,
两个交点为
) ,所以此时
综上, |AB |的取值范围为
6 ?| AB |? 2 3 即: | AB |?[ 6,2 3]
【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭
圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有
关参数问题以及方程的根与系数关系.
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
题型八：角度问题
重庆理）如图（21）图，M（-2，0）和
N（2，0）是平面上的两点，动点
（Ⅰ）求点
P 的轨迹方程；
1? cos?MPN
解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点
P 的轨迹是以
为焦点，长轴长
2a=6 的椭圆.
因此半焦距
c=2，长半轴
a=3，从而短半轴
a2 ? c2 ? 5 ，
所以椭圆的方程为
1? cos MPN
gPN cos MPN
? 1, P 不为椭圆长轴顶点，故
构成三角形.在
? 4,由余弦定理有
? 2 PM gPN
将①代入②，得
? 2( PM gPN
为焦点，实轴长为
3 的双曲线
? y2 ?1上.
由(Ⅰ)知，点
P 的坐标又满足
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
??5x ? 9y ? 45,
?x2 ? 3y2 ? 3.
即 P 点坐标为
，）或（，-
福建理）已知方向向量为
v=(1, 3 )的直线
l 过点（0，－2
3 ）和椭圆
? 1(a>b>0)的焦点，且椭圆
C 的中心关于直线
l 的对称点在椭圆
C 的右准线
（Ⅰ）求椭圆
C 的方程；
（Ⅱ）是否存在过点
E（－2，0）的直线
M、N，满足
6 cot∠MON≠0（O
为原点）.若存在，求直线
m 的方程；若不存在，
请说明理由.
本小题主要考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解题
（I）解法一：直线
l : y ? 3x ? 2 3 ，
过原点垂直
l 的直线方程为
∵椭圆中心
O（0，0）关于直线
l 的对称点在椭圆
C 的右准线上，
l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.
? 2,a 2 ? 6,b 2 ? 2.
故椭圆 C 的方程为
解法二：直线
l : y ? 3x ? 2 3 .
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
设原点关于直线
l 对称点为（p，q），则
? 3 ? ? ?1.
∵椭圆中心
O（0，0）关于直线
l 的对称点在椭圆
C 的右准线上，
∵直线 l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.
? 2,a 2 ? 6,b 2 ? 2.
故椭圆 C 的方程为
（II）解法一：设
x1 , y1 ），N（ x2 , y2 ）.
x 轴时，直线
m : y ? k(x ? 2) 代入③，整理得
(3k 2 ?1)x 2 ?12k 2 x ?12k 2 ? 6 ? 0,
? x ? x ? ?
12k 2 ? 6 2 6(1? k 2 )
| MN |? 1? k 2 (x ? x ) 2 ? 4x x ? 1? k 2 (? ) 2 ? 4 ?
6 cot ?MON, 即
| OM | ? | ON | cos?MON ? 6
?| OM | ? | ON | sin ?MON ? 6,?S
6.?| MN | ?d ? 6,
6 | k | k 2 ?1 ?
6(3k 2 ?1).
x 轴时，也满足
m 的方程为
, 或 x ? ?2.
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
经检验上述直线均满足
所以所求直线方程为
, 或 y ? ?
, 或 x ? ?2.
解法二：设
x1 , y1 ），N（ x2 , y2 ）.
x 轴时，直线
m：y=k(x+2)代入③，整理得
(3k 2 ?1)x 2 ?12k 2 x ?12k 2 ? 6 ? 0,
? x ? x ? ? ,
∵E（－2，0）是椭圆
C 的左焦点，
∴|MN|=|ME|+|NE|
? x1 ) ? e( ? x2 ) ? (x1 ? x2 ) ? 2a ? ? (? ) ? 2 6 ?
以下与解法一相同.
解法三：设
x1 , y1 ），N（ x2 , y2 ）.
m : x ? ty ? 2 ，代入③，整理得
(t 2 ? 3)y 2 ? 4ty ? 2 ? 0.
t 2 ? 3 1 2
|y1-y2|= (y ? y ) ? 4y y =
(t 2 ? 3) 2
6 cot ?MON, 即
| OM | ? | ON | cos?MON ? 6
?| OM | ? | ON | sin ?MON ? 6,?S
24t 2 ? 24
| OE | ? | y ? y |?
(t 2 ? 3) 2
24t 2 ? 24 2
6 ，整理得
t 4 ? 3t 2 .
(t 2 ? 3) 2 3
t ? ? 3, 或 t ? 0.
m 的方程为
, 或 y ? ?
, 或 x ? ?2.
经检验上述直线方程为
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
所以所求直线方程为
, 或 y ? ?
, 或 x ? ?2.
四川理）设
F 、 F 分别是椭圆
? y 2 ? 1的左、右焦点。
P 是该椭圆上的一个动点，求
PF1 · PF2 的最大值和最小值；
（Ⅱ）设过定点
M (0,2) 的直线
l 与椭圆交于不同的两点
A 、 B ，且∠
O 为坐标原点），求直线
k 的取值范围。
本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问
题及推理计算能力。
解：（Ⅰ）解法一：易知
a ? 2,b ?1,c ? 3
F1 ?? 3,0?, F2 ? 3,0?
uuur uuuur
PF1 ? PF2 ? ? 3 ? x,?y , 3 ? x,?y ? x ? y ? 3 ? x ?1?
uuur uuuur
x ???2,2?，故当
x ? 0 ，即点
P 为椭圆短轴端点时，
PF1 ? PF2 有最小值
uuur uuuur
x ? ?2 ，即点
P 为椭圆长轴端点时，
PF1 ? PF2 有最大值1
解法二：易知
a ? 2,b ?1,c ? 3
F1 ?? 3,0?, F2 ? 3,0?
uuur 2 uuuur 2 uuuur 2
uuur uuuur uuur uuuur
uuur uuuur PF1 ? PF2
PF1 ? PF2 ? PF1 ? PF2 ?cos?F1PF2 ? PF1 ? PF2 ?
uuur uuuur
2 PF1 ? PF2
? y2 ? x ? 3
? y2 ?12? ? x2 ? y2 ? 3 （以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线
x ? 0 不满足题设条件，可设直线
l : y ? kx ? 2, A?x1, y2 ?, B?x2 , y2 ?，
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
? y ? kx ? 2
y ，整理得：
x2 ? 4kx ? 3 ? 0
∴ x ? x ? ?
由 ? ? ?4k ? ? 4? k ? ??3 ? 4k ? 3 ? 0 得： k ? 或 k ? ?
又 00 ? ?A0B ? 900 ? cos?A0B ? 0 ? OA?OB ? 0
∴ OA?OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0
又 y y ? kx ? 2 kx ? 2 ? k 2 x x ? 2k x ? x ? 4 ? ?
? 0 ，即 k 2 ? 4
∴ ?2 ? k ? 2
故由①、②得
?2 ? k ? ?
练习 3、（08
陕西理）已知抛物线
C ： y ? 2x2 ，直线 y ? kx ? 2 交 C 于 A，B 两点，
AB 的中点，过
M 作 x 轴的垂线交
C 于点 N ．
（Ⅰ）证明：抛物线
N 处的切线与
（Ⅱ）是否存在实数
k 使 NAgNB ? 0 ，若存在，求
k 的值；若不存在，说明理由．
解法一：（Ⅰ）如图，设
A(x1，2x1 ) ， B(x2，2x2 ) ，把 y ? kx ? 2 代入 y ? 2x 得
2x2 ? kx ? 2 ? 0 ，
由韦达定理得
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
设抛物线在点
N 处的切线
l 的方程为
? m? x ? ? ，
将 y ? 2x2 代入上式得
2x2 ? mx ?
l 与抛物线
? ? m ? 2mk ? k ? (m ? k) ? 0 ，?m ? k ．
即 l ∥ AB ．
（Ⅱ）假设存在实数
k ，使 NAgNB ? 0 ，则 NA ? NB ，又Q
AB 的中点，
由（Ⅰ）知
(y ? y ) ? (kx ? 2 ? kx ? 2) ? [k(x ? x ) ? 4]
1 ? k 2 ? k 2
? x 轴，?| MN
|?| y ? y |? ? 2 ?
又| AB |? 1? k g| x1 ? x2 |? 1? k g (x1 ? x2 ) ? 4x1x2
? 1? k g ? ? ? 4?(?1) ?
k 2 ?1g k 2 ?16 ，解得 k ? ?2 ．
k ? ?2 ，使 NAgNB ? 0 ．
解法二：（Ⅰ）如图，设
A(x1，2x，1 )，B(x2 2x2 ) ，把 y ? kx ? 2 代入 y ? 2x 得
2x2 ? kx ? 2 ? 0 ．由韦达定理得 x ? x ? ，x
?抛物线在点
N 处的切线
l 的斜率为
? k ，?l ∥ AB ．
（Ⅱ）假设存在实数
k ，使 NAgNB ? 0 ．
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
k 2 ? uuur ? k
由（Ⅰ）知
NA ? ? x1 ? ，2x，1 ?， ? NB ? ? x2 ? 2x2 ? ? 则
NAgNB ? ? x1 ? ?? x2 ? ? ? ? 2x1 ? ?? 2x2 ? ?
? 2 k ?? 2 k ?
? ? x1 ? ?? x2 ? ? ? 4? x1 ? ?? x2 ? ?
? ? x1 ? ?? x2 ? ?g?1? 4? x1 ? ?? x2 ? ??
? ?x1x2 ? ?x1 ? x2 ?? ?g?1? 4x1x2 ? k(x1 ? x2 ) ? ?
? ? ?1? ? ?
?g?1? 4?(?1) ? k ? ? ?
? ? ?1? ?? ?3? k ?
? 0 ，??3?
k 2 ? 0 ，解得 k ? ?2 ．
k ? ?2 ，使 NAgNB ? 0 ．
问题九：四点共线问题
10、（08 安徽理）设椭圆
?1(a ? b ? 0) 过点 M ( 2,1) ，且着焦点为
（Ⅰ）求椭圆
C 的方程；
（Ⅱ）当过点
P(4,1) 的动直线 l 与椭圆 C 相交与两不同点
A, B 时，在线段
uuur uuur uuur uuur
AP gQB ? AQ gPB ，证明：点
Q 总在某定直线上
22 解 (1)由题意：
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
??c ? a ? b
的坐标分别为
(x, y),(x1, y1),(x 2 , y2 ) 。
uuur uuur uuur uuur
AP , PB , AQ , QB 均不为零，记
uuur ? uuur ,则 ? ? 0 且 ? ? 1
uuur uuur uuur
又 A，P，B，Q
四点共线，从而
AP ? ??PB, AQ
x2 ? ? 2 x2
y2 ? ? 2 y2
2 ? 4x ，L
2 ? y ，L L
x1 ? 2y1 ? 4,L L (3)
x2 ? 2y2 ? 4,L L (4)
（1）+（2）×2
并结合（3），（4）得
4s ? 2y ? 4
Q(x, y) 总在定直线
2x ? y ? 2 ? 0 上
uuur uuur uuur uuur
Q(x, y), A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，由题设， PA , PB , AQ , QB 均不为零。
uuur ? uuur
uuur uuur uuur
P, A,Q, B 四点共线，可设
PA ? ?? AQ, PB ? ?BQ(?
? 0,?1) ,于是
A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 在椭圆 C 上，将（1），（2）分别代入
x2 ? 2y2 ? 4, 整理得
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
(x2 ? 2y2 ? 4)? 2 ? 4(2x ? y ? 2)? ?14 ? 0
(x2 ? 2y2 ? 4)? 2 ? 4(2x ? y ? 2)? ?14 ? 0
(4)－(3) ②②②得
8(2x ? y ? 2)? ? 0
∵∴? ? 0,
2x ? y ? 2 ? 0
Q(x, y) 总在定直线
2x ? y ? 2 ? 0 上
四川理）设椭圆
(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为
F1 、 F2 ，离心率
uuuur uuuur
，右准线为
N 是 l 上的两个动点，
F1M gF2 N ? 0 ．
F M |?| F N |? 2 5 ，求 a 、 b 的值；
uuuur uuuur uuuur
（Ⅱ）证明：当|
| 取最小值时，
F1M ? F2 N 与 F1F2 共线．
解析：数列和解几位列倒数第三和第二，意料之中．开始挤牙膏吧．
（Ⅰ）由已知，
F1(?c,0) F2 (c,0)
∴ a2 ? 2c2 ．
又 a2 ? b2 ? c2 ，
? c2 ， a2 ? 2b2 ．
M (2c, y1) N(2c, y2 )
NF2 交 MF1 于
P ，记右准线
l 交 x 轴于 Q ．
uuuur uuuur
uuuur uuuur
F1M ? F2 N ? 0 F1M ? F2 N F1M ? F2 N
由平几知识易证
QN ? F1Q ? 3c QM ? F2Q ? c
y1 ? c y2 ? 3c
uuuur uuuur
F1M ? F2 N ? 2 5
∴9c2 ? c2 ? 20 ， c2 ? 2 ，b2 ? 2 ， a2 ? 4 ．
a ? 2 ，b ? 2 ．
uuuur uuuur
（Ⅰ）另解：∵
F1M ? F2 N ? 0 (3c, y1)?(c, y2 ) ? 0 y1 y2 ? ?3c ? 0
uuuur uuuur
F1M ? F2 N ? 2 5
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
?y y ? ?3c2
?9c ? y1 ? 20
?c ? y2 ? 20
(20 ? 9c2 )(20 ? c2 ) ? 9c2 ，
整理得：9c4
? 209c2 ? 400 ? 0 ，
(c2 ? 2)(9c2 ? 200) ? 0 ．解得 c2 ? 2 ．
但解此方程组要考倒不少人．
uuuur uuuur
F1M ? F2 N ? (3c, y1)?(c, y2 ) ? 0
y1 y2 ? ?3c ? 0
? y1 ? y2 ? y1 ? y2 ? 2y1 y2 ．
?2y1 y2 ? 2y1 y2 ? ?4y1 y2 ?12c
时，取等号．此时
y1 ? ?y2 ? 3c y2 ? ?y1 ? 3c
uuuur uuuur
F M ? F N ? (3c,? 3c) ? (c,m 3c)
? (4c,0) ? 2F1F2
uuuur uuuur uuuur
F1M ? F2 N F F
uuuur1 2uuuur
（Ⅱ）另解：∵
F1M ? F2 N ? 0
(3c, y1)?(c, y2 ) ? 0 y1 y2 ? ?3c
的斜率分别为
由 ?y ? k(x ? c)
? y1 ? 3kc
由 ?y ? ? (x ? c)
MN ? y ? y ? c ? 3k ? ? 2 3c
当且仅当3k
即 k 2 ? ， k ? ? 时取等号．
MN 最小时，
uuuur uuuur
F M ? F N ? (3c,3kc) ? (c,? )
uuuur uuuur uuuur
F1M ? F2 N F1F2
　　? (3c,? 3c) ? (c,m 3c) ? (4c,0) ? 2F1F2
点评：本题第一问又用到了平面几何．看来，与平面几何有联系的难题真是四川风格
啊．注意平面几何可与三角向量解几沾边，应加强对含平面几何背景的试题的研究．本题
好得好，出得活，出得妙！均值定理，放缩技巧，永恒的考点．
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
问题十：范围问题（本质是函数问题）
1、已知直线
y ? ?x ?1与椭圆
? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B
（1）若椭圆的离心率为
（2）若向量
OA与向量OB
互相垂直（其中
O 为坐标原点），当椭圆的离心率
] 时，求椭圆的长轴长的最大值。
（07 四川理）设
F 分别是椭圆
? y 2 ? 1的左、右焦点。
P 是该椭圆上的一个动点，求
PF1 · PF2 的最大值和最小值；
（Ⅱ）设过定点
M (0,2) 的直线
l 与椭圆交于不同的两点
A 、 B ，且∠
O 为坐标原点），求直线
k 的取值范围。
本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问
题及推理计算能力。
解：（Ⅰ）解法一：易知
a ? 2,b ?1,c ? 3
F1 ?? 3,0?, F2 ? 3,0?
uuur uuuur
PF1 ? PF2 ? ? 3 ? x,?y , 3 ? x,?y ? x ? y ? 3 ? x ?1?
uuur uuuur
x ???2,2?，故当
x ? 0 ，即点
P 为椭圆短轴端点时，
PF1 ? PF2 有最小值
uuur uuuur
x ? ?2 ，即点
P 为椭圆长轴端点时，
PF1 ? PF2 有最大值1
解法二：易知
a ? 2,b ?1,c ? 3
F1 ?? 3,0?, F2 ? 3,0?
uuur 2 uuuur 2 uuuur 2
uuur uuuur uuur uuuur
uuur uuuur PF1 ? PF2
PF1 ? PF2 ? PF1 ? PF2 ?cos?F1PF2 ? PF1 ? PF2 ?
uuur uuuur
2 PF1 ? PF2
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
? y2 ? x ? 3 ? y2 ?12? ? x2 ? y2 ? 3 （以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线
x ? 0 不满足题设条件，可设直线
l : y ? kx ? 2, A?x1, y2 ?, B?x2 , y2 ?，
? y ? kx ? 2
y ，整理得：
x2 ? 4kx ? 3 ? 0
∴ x ? x ? ?
由 ? ? ?4k ? ? 4? k ? ??3 ? 4k ? 3 ? 0 得： k ? 或 k ? ?
又 00 ? ?A0B ? 900 ? cos?A0B ? 0 ? OA?OB ? 0
∴ OA?OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0
又 y y ? kx ? 2 kx ? 2 ? k 2 x x ? 2k x ? x ? 4 ? ?
? 0 ，即 k 2 ? 4
∴ ?2 ? k ? 2
故由①、②得
?2 ? k ? ?
09 理）（22）（本小题满分
?1（a,b>0）过
6 ,1)两点，O
为坐标原点，
（I）求椭圆
E 的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆
E 恒有两个交点
OA ? OB ？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
解:（1）因为椭圆
?1（a,b>0）过
6 ,1)两点,
E 的方程为
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆
E 恒有两个交点
? y ? kx ? m
A,B,且 OA ? OB ,设该圆的切线方程为
y ? kx ? m 解方程组 ? x2 y2
x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 (1? 2k 2 )x2 ? 4kmx ? 2m2 ?8 ? 0 ,
则△=16k 2m2 ? 4(1? 2k 2 )(2m2 ?8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0 ,即8k 2 ? m2 ? 4 ? 0
1 2 1? 2k 2
k 2 (2m2 ?8) 4k 2m2
y y ? (kx ? m)(kx ? m) ? k 2 x x ? km(x ? x ) ? m2 ? ?
OA ? OB ,需使 x x ? y y ? 0 ,即
0 ,所以 k 2
0 又8k 2 m2
y ? kx ? m 为圆心在原点的圆的一条切
线,所以圆的半径为
,所求的圆为
x2 ? y2 ? ,此时圆的切线
y ? kx ? m 都满足 m ?
,而当切线的斜
率不存在时切线为
?1的两个交点为
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
) 满足 OA ? OB ,综上,
存在圆心在原点的圆
x2 ? y2 ? ，使得该圆
的任意一条切线与椭圆
E 恒有两个交点
A,B,且 OA ? OB .
8(8k 2 ? m2 ? 4)
(x ? x )2 ? (x ? x )2 ? 4x x ? (? )2 ? 4?
(1? 2k 2 )2
8(8k ? m ? 4)
| AB |? (x ? x )2 ? ?y ? y ? ? (1? k 2 )(x ? x )2 ? (1? k 2 )
(1? 2k 2 )2
4k 4 ? 5k 2 ?1 32
4k 4 ? 4k 2 ?1 3
4k 4 ? 4k 2 ?1
①当 k ? 0 时| AB |?
因为 4k 2 ?
? 4 ? 8 所以 0 ?
4k 2 ? ? 4
4k 2 ? ? 4
6 ?| AB |? 2 3 当且仅当 k ? ?
时取”=”.
当 k ? 0 时,| AB |? .
当 AB 的斜率不存在时,
两个交点为
) ,所以此时
综上, |AB |的取值范围为
6 ?| AB |? 2 3 即: | AB |?[ 6,2 3]
（2009 湖南卷文）（本小题满分
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
C 的中心在原点，焦点在
x 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点
为顶点的四边形是一个面积为
8 的正方形（记为
（Ⅰ）求椭圆
（Ⅱ）设点
C 的左准线与
x 轴的交点，过点
M,N 两点，当线段
的中点落在正方形
Q 内（包括边界）时，求直线
l 的斜率的取
（Ⅰ）依题意，设椭圆
C 的方程为
?1(a ? b ? 0), 焦距为 2c ，
由题设条件知，
a2 ? 8,b ? c,
所以 b2 ? a2 ? 4.
C 的方程为
（Ⅱ）椭圆
C 的左准线方程为
x ? ?4, 所以点
k 存在，所以直线
l 的方程为
y ? k(x ? 4) 。
如图，设点
的坐标分别为
(x1, y1),(x2 , y2 ), 线段 MN 的中点为 G (x0 , y0 ) ，
?y ? k(x ? 4),
得 (1? 2k )x ?16k
x ? 32k ?8 ? 0 .
由 ? ? (16k 2 )2 ? 4(1? 2k 2 )(32k 2 ?8) ? 0 解得 ? ? k ? .
x , x 是方程①的两根，所以
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
y ? k(x ? 4) ?
? 0 ，所以点
G 不可能在
y 轴的右边，
F1B2 , F1B1 方程分别为
y ? x ? 2, y ? ?x ? 2,
G 在正方形
Q 内（包括边界）的充要条件为
?y0 ? x0 ? 2,
??2k ? 2k ?1? 0,
2 ? 2, 亦即
y ? x ? 2.
2k 2 ? 2k ?1? 0.
??1? 2k 2 1? 2k 2
，此时②也成立.
l 斜率的取值范围是[?
问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线
y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形
（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）
(2009 山东卷理)（本小题满分
?1（a,b>0）过
6 ,1)两点，O
为坐标原点，
（I）求椭圆
E 的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆
E 恒有两个交点
? OB ？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆
?1（a,b>0）过
6 ,1)两点,
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
E 的方程为
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆
E 恒有两个交点
? y ? kx ? m
A,B,且 OA ? OB ,设该圆的切线方程为
y ? kx ? m 解方程组 ? x2 y2
x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 (1? 2k 2 )x2 ? 4kmx ? 2m2 ?8 ? 0 ,
则△=16k 2m2 ? 4(1? 2k 2 )(2m2 ?8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0 ,即8k 2 ? m2 ? 4 ? 0
1 2 1? 2k 2
k 2 (2m2 ?8) 4k 2m2
y y ? (kx ? m)(kx ? m) ? k 2 x x ? km(x ? x ) ? m2 ? ?
OA ? OB ,需使 x x ? y y ? 0 ,即
0 ,所以 k 2
0 又8k 2 m2
y ? kx ? m 为圆心在原点的圆的一条切
线,所以圆的半径为
,所求的圆为
x2 ? y2 ? ,此时圆的切线
y ? kx ? m 都满足 m ?
,而当切线的斜
率不存在时切线为
?1的两个交点为
) 满足 OA ? OB ,综上,
存在圆心在原点的圆
x2 ? y2 ? ，使得该圆
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
的任意一条切线与椭圆
E 恒有两个交点
A,B,且 OA ? OB .
8(8k 2 ? m2 ? 4)
(x ? x )2 ? (x ? x )2 ? 4x x ? (? )2 ? 4?
(1? 2k 2 )2
8(8k ? m ? 4)
| AB |? (x ? x )2 ? ?y ? y ? ? (1? k 2 )(x ? x )2 ? (1? k 2 )
(1? 2k 2 )2
4k 4 ? 5k 2 ?1 32
4k 4 ? 4k 2 ?1 3
4k 4 ? 4k 2 ?1
①当 k ? 0 时| AB |?
因为 4k 2 ?
? 4 ? 8 所以 0 ?
4k 2 ? ? 4
4k 2 ? ? 4
6 ?| AB |? 2 3 当且仅当 k ? ?
时取”=”.
当 k ? 0 时,| AB |? .
当 AB 的斜率不存在时,
两个交点为
) ,所以此时
综上, |AB |的取值范围为
6 ?| AB |? 2 3 即: | AB |?[ 6,2 3]
【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭
圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有
关参数问题以及方程的根与系数关系.
(2009 山东卷文)（本小题满分
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
R ,在平面直角坐标系中,已知向量
a ? (mx, y ?1) ,向量 b ? (x, y ?1) , a ? b ,动
(x, y) 的轨迹为
（1）求轨迹
E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹
E 恒有两个交
A,B,且 OA ? OB (O 为坐标原点),并求出该圆的方程;
l 与圆 C: x ? y ? R
(1<R<2)相切于
A1,且 l 与轨迹
E 只有一个公共
B1,当 R 为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.
解:（1）因为
a ? b , a ? (mx, y ?1) , b ? (x, y ?1) ,
a ?b ? mx2 ? y2 ?1 ? 0 ,
即 mx2 ? y2 ?1 .
m=0 时,方程表示两直线,方程为
方程表示的是圆
? 0 且 m ? 1时,方程表示的是椭圆;
? 0 时,方程表示的是双曲线.
(2).当 m ?
E 的方程为
? y2 ?1,设圆心在原点的圆的一条切线为
y ? kx ? t ,
? y ? kx ? t
x2 ? 4(kx ? t)2 ? 4 ,即 (1? 4k 2 )x2 ? 8ktx ? 4t 2 ? 4 ? 0 ,
要使切线与轨迹
E 恒有两个交点
64k 2t 2 ?16(1? 4k 2 )(t 2 ?1) ?16(4k 2 ? t 2 ?1) ? 0 ,
? t ?1 ? 0 ,即 t ? 4k ?1,
k 2 (4t 2 ? 4) 8k 2t 2 t 2 ? 4k 2
y y ? (kx ? t)(kx ? t) ? k 2 x x ? kt(x ? x ) ? t 2 ? ?
4t 2 ? 4 t 2 ? 4k 2 5t 2 ? 4k 2 ? 4
x x ? y y ? 0 ,即
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
5t 2 ? 4k 2 ? 4 ? 0 ,
即 5t 2 ? 4k 2 ? 4 且 t 2 ? 4k 2 ?1,
即 4k 2 ? 4 ? 20k 2 ? 5 恒成立.
所以又因为直线
y ? kx ? t 为圆心在原点的圆的一条切线,
当切线的斜率不存在时,切线为
? y2 ?1交于点
存在圆心在原点的圆
x2 ? y2 ? ，使得该圆的任意一条切线与椭圆
E 恒有两个交
A,B,且 OA ? OB .
E 的方程为
? y2 ?1,设直线
l 的方程为
y ? kx ? t ,因为直线 l 与圆 C:
(1<R0）与 x 轴
的左、右两个交点，直线
l 过点 B,且与
x 轴垂直，S
B 的一点，连结
C 为半圆，点
>>AB 的三等分点，试求出点
S 的坐标；
（II）如图，点
SB 为直径的圆与线段
TB 的交点，试问：是否存在
O,M,S 三点共线？若存在，求出
a 的值，若不存在，请说明理由。
19.【解析】
(Ⅰ)当曲线
C 为半圆时，
a ?1, 如图，由点
>>AB 的三等分点得∠BOT=60°或
(1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°.
AB=2,故在△SAE
SB ? AB ? tan 30? ? ,?s(t,
(2)当∠BOT=120°时,同理可求得点
S 的坐标为
(1,2 3) ,综上, S(1,
)或S( 1, 2 3)
(Ⅱ)假设存在
a(a ? 0) ,使得 O,M,S 三点共线.
SB 为直线的圆上,故
k>0,可设直线
AS 的方程为
y ? k(x ? a) .
得(1? a k )x ? 2a k x ? a k ? a ? 0
?y ? k(x ? a)
a2k 2 ? a2
(x , y ),? x ? (?a) ?
? k(x ? a) ?
a ? a2k 2 2ak
1? a2k 2 1? a2k 2
?2a2k 2 2ak
Q B(a,0),?BT ? ((
1? a2k 2 1? a2k 2
s(a,2ak),?OS ? (a,2ak).
?y ? k(x ? a)
uuur uuur ?2a2k 2 ? 4a2k 2
BT ? OS ,可得 BT ?OS ?
? 0 即 ?2a2k 2 ? 4a2k 2 ? 0
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
Q k ? 0,a ? 0,?a ? 2
a ? 2 时,O,M,S 三点共线.
a ? 2 ,使得
O,M,S 三点共线.
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)假设存在
a,使得 O,M,S 三点共线.
SO 为直径的圆上,故
K>0,可设直线
AS 的方程为
y ? k(x ? a)
得(1? a b )x ? 2a k x ? a k ? a ? 0
?y ? k(x ? a)
a4k 2 ? a2
(x , y ) ,则有 x ? (?a) ?
a ? a2k 2 2ak
,从而y亦即?
k(x ? a) ?
1? a2k 2 1? a2k 2
Q B(a,0),?kBT ?
? ? 2 , kSM ? a k
得S( a, 2ak) , 所直线 SM 的方程为
y ? 2ak ? a k(x ? a)
?y ? k(x ? a)
O,S,M 三点共线当且仅当
2ak ? a2k(?a) .
Q a ? 0, K ? 0,?a ? 2
2 ,使得 O,M,S 三点共线.
(2009 陕西卷理)（本小题满分
已知双曲线
C 的方程为
?1(a ? 0,b ? 0) ，离心率
，顶点到渐近线的
（I）求双曲线
C 的方程；
(II)如图，P
C 上一点，A，B
两点在双曲线
C 的两条渐近线上，且分别位于第
一、二象限，若
? ?PB,? ?[
面积的取值范围。
28．（本小题满分
已知双曲线
C 的方程为
?1(a ? 0,b ? 0),
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
, 顶点到渐近线的距离为
（Ⅰ）求双曲线
C 的方程；
（Ⅱ）如图，P
C 上一点，A,B
两点在双曲线
C 的两条渐近线上，且分别位于
第一，二象限.若
AP ? ?PB,? ?[ ,2], 求△AOB 面积的取值范围.
解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线
(O,a) 到渐近线
ax ? by ? 0的距离为，
C 的方程为
?c2 ? a2 ? b2 ?
（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线
C 的两条渐近线方程为
设 A(m,2m), B(?n,2n),m ? 0,n ? 0.
m ? ?n 2(m ? ?n)
由 AP ? ?PB 得 P 点的坐标为
将 P 点坐标代入
? x2 ?1, 化简得 mn ?
? 2?,Q tan( ?? ) ? 2,?tan? ? ,sin? ? ,sin 2? ? .
| OA |? 5m4 | OB |? 5n?
| OA |g| OB |gsin 2? ? 2mn ? (? ? ) ?1.
S(?) ? (? ? ) ?1,? ?[ ,2],
由 S '(?) ? 0得?又?S(1,1) =2, S( ) ? , S(2) ? ,
中国现代教育网
全国最大教师交流平台
当 ? ?1时，△AOB
的面积取得最小值
? ? 时，△AOB
的面积取得最大值
面积的取值范围是[2,
解答二（Ⅰ）同解答一
（Ⅱ）设直线
AB 的方程为
y ? kx ? m, 由题意知| k |? 2,m ? 0.
y ? kx ? m
得 A 点的坐标为
2 ? k 2 ? k
y ? kx ? m
得 B 点的坐标为
2 ? k 2 ? k
由 AP ? ?PB 得 P 点的坐标为
1? ? 2 ? k 2 ? k 1? ? 2 ? k 2 ? k
将 P 点坐标代入
设 Q 为直线
AB 与 y 轴的交点，则
Q 点的坐标为（0，m）.
| OQ |g| XA | ? | OQ |g| x8 |? mg(xA ? xB)
(? ? ) ?1.
2 ? k 2 ? k 2 4 ? k 2 2