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第一讲&&工程问题工程问题是特殊的分数应用题，它是从分率的角度来研究工作总量，工作时间以及工作效率
本讲知识介绍：
工程问题是特殊的分数应用题，它是从分率的角度来研究工作总量，工作时间以及工作效率三者之间关系的问题。其特点是：将工作总量看成单位1，用分率来表示工作效率。例如：一条路10天修完，这里把这条路的长度看成单位1，根据分数的意义，每天修了这条路的1/10（十分之一）就是用分率表示的工作效率。
工作总量、工作效率、工作时间三者之间的关系（公式）是：
工作效率&工作时间=工作总量
工作总量&工作效率=工作时间
工作总量&工作时间=工作效率
通俗地理解：
工作总量：需要完成的工作任务
工作效率：完成工作任务的快慢速度
工作时间：完成工作任务需要的时间
培养能力：理解能力 分析能力
综合能力 推算能力 以及转化能力。
训练思维：假设思维 比较思维
对应思维& 恒等思想。
教会学生方法：
1、只要看到完成的天数，马上就要想到工作效率为1&天数=1/天数（即“天数分之一”）。
2、只要看到“一项工程”，马上想到把“这项工程”看成单位1。
3、合作的天数与各自做的天数可以灵活转化，如甲、乙合作了8天指的在相同时间内，甲乙各自都做了8天，在时间上是同时进行的；再如甲工作了10天，乙工作了12天，可以转化为甲、乙合作了10天，乙再单独做了2天。
4、再根据公式& 工作总量&工作效率=工作时间 来解题。
分数应用题里面有一个非常重要的公式
对应量&对应分率=单位1
现在有一条公路要修，甲工程队5天可以修完。又知道甲工程队星期一修了600米，请问这条公路全长多少米？
分析：首先把这条公路全长看成单位1。5天修完，那么每天就修1/5，这个1/5是每天修的，是用分率表示的工作效率，而题目中还告诉我们甲工程队每天（星期一就是一天的时间）可以修600米，这个600米的工作效率是一个具体的数量，其实1/5和600米都是讲的甲工作队的工作效率，是甲工程队的工作效率的两种不同表示方法，一个是分率一个是量。两者是对应的关系。
在讲对应关系时，我们武汉童老师奥数辅导中心一般是这样介绍的
六年级一班的班长是小明，那么有一天，大家在课间休息的时候，班主任跑到教室门口，叫
“班长过来一下”，或者是“小明过来一下。”
大家可能都有这样的经验，当听到“班长过来一下”时大家都会想到老师找小明干什么？当听到“小明过来一下”时，大家都会想到老师找班长干什么？这里，班长和小明就是一个对应关系。
根据& 对应量&对应分率=单位1
600&1/5=3000（米）这个3000米就是单位1这条公路的长度。
一条公路，甲乙两个工程队12天可以修完，甲乙两个工程队合修8天后，剩下的由乙队独修10天才能修完，求甲乙两队独修这条公路各需要多少天？
分析：把一条公路看成单位1，甲乙工作效率的和为1&12=1/12&
甲乙合修8天完成了1/12&8=2/3&&
还剩下1-2/3=1/3&&
剩下的1/3乙独修了10天完成，乙的工作效率为1/3&10=1/30&&
甲的工作效率就为1/12-1/30=1/20&&&
所以甲单独完成需要多少天？1&1/20=20（天）乙单独完成需要多少天？&
1&1/30=30（天）
一件工程，甲乙合作需要10天完成，乙丙合作需要12天完成，甲丙合作需要15天完成。现在由甲乙丙三人合作需要多少天完成？
分析：把一件工程看成单位1，那么甲乙工作效率的和为1&10=1/10&
乙丙的工作效率的和为1&12=1/12&&
甲丙的工作效率的和为1&15=1/15&
甲的工作效率+乙的工作效率=1/10
乙的工作效率+丙的工作效率=1/12
甲的工作效率+丙的工作效率=1/15
三个式子一相加得到：
（甲工作效率+乙工作效率+丙工作效率）&2=1/10+1/12+1/15
所以得到甲乙丙三人工作效率的和为（1/10+1/12+1/15）&2=1/8
所以甲乙丙三人合作完成的时间就是1&1/8=8（天）
一项工程，甲队独做需要30天，乙队独做需要20天。现在由甲乙两队合作，甲队在施工过程中因故离开，使得这次工程从开工到结束一共花了16天时间。求甲队离开了几天？
分析：把这项工程看成单位1，乙队没有离开，那么乙队就工作了16天，乙队的工作效率是1&20=1/20&
乙队工作了16天完成了1/20&16=4/5&&
那么甲一共完成了多少工作量呢？1-4/5=1/5&&
又知道甲队的工作效率为1&30=1/30&&
所以甲队完成1/5用了多少天呢？
1/5&1/30=6（天）
所以甲队离开了16-6=10（天）时间。
一项工程，甲、乙合作5小时完成。乙、丙合作4小时完成。现在乙先做6小时后离开，甲、丙接着合作2小时正好做完。那么甲单独做需要多少小时？
分析：把一项工程看成单位1，甲乙的工作效率的和为1/5,乙丙的工作效率的和为1/4。现在乙先做6小时后离开，甲丙接着合作2小时正好做完。可以转化为甲乙合作2小时，乙丙合作2小时，乙再单独做2小时恰好做完。
甲乙合作2小时完成1/5&2=2/5
乙丙合作2小时完成1/4&2=1/2
可见乙单独做2小时完成的工作量为1-1/2-2/5=1/10
所以乙的工作效率为1/10&2=1/20
又知道甲乙的工作效率的和为1/5，那么甲的工作效率为1/5-1/20=3/20
那么甲单独完成一项工程所需要的时间为1&3/20=6又2/3（小时）
师徒二人合作10天可以完成一批零件。现在师傅先做1天后离开，徒弟接着做5天，这时还剩下这批零件的23/30。已知土地一共比师傅多加工96个。求这批零件有多少个？
分析：把这批零件看成单位1,师徒二人的工作效率的和为1/10。现在“师傅先做1天后离开，徒弟再接着做5天”可以转化为“师徒二人合作1天后，徒弟再接着单独做4天”完成了这批零件的1-23/30=7/30&&
师徒二人合作1天完成了1/10&
可见徒弟单独做4天一共完成了这批零件的7/30-1/10=2/15&&
徒弟每天完成2/15&4=1/30 师傅的工作效率为1/10-1/30=1/15&
&徒弟一共做了5天，一共完成了1/30&5=1/6&
师傅1天1共完成了1/15&1=1/15&
所以徒弟比师傅一共多完成了这批零件的1/6-1/15=1/10…….徒弟比师傅多完成的分率
对应&& 徒弟比师傅多完成的量96个零件。
对应量&对应分率=单位1
96&1/10=960（个）…...单位1即这批零件的个数总数。
甲、乙、丙三人合修一条公路，甲、乙6天合修1/3；乙、丙2天合修余下的1/4，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成。现在领工资2700元。依工作量分配，甲、乙、丙应该各得多少元工资？
分析：把一条路的全长看成单位1,
甲乙6天合修了1/3&&
乙丙2天合修了余下的即（1-1/3）=2/3的1/4即2/3 &1/4=1/6，
那么一共修了1/3+1/6=1/2&
所以甲乙丙三人合修5天一共合修了1-1/2=1/2.，所以甲乙丙三人的工作效率的和为1/2 &5=1/10 ，
甲乙每天合修1/3&6=1/18即甲乙的工作效率的和，
乙丙每天合修1/6&2=1/12即乙丙的工作效率的和，
又知道甲乙的工作效率的和为1/18&
所以丙的工作效率为1/10-1/18=2/45，&
又知道乙丙的工作效率的和为1/12，所以甲的工作效率为1/10-1/12=1/60，
又知道三人工作效率的和为1/10，
所以乙的工作效率为1/10-1/12-2/45=7/180 ，
修好这条路前后
甲一共工作了6+5=11（天）乙一共工作了6+2+5=13（天）&
丙一共工作了2+5=7（天）
那么甲一共完成了1/60&11=11/60的工作量&
乙一共完成了7/180&13=91/180的做量&
丙一共完成了2/45&7=14/45的工作量
修了这条路的几分之几就应该得到几分之几的工资，否则就会不公平。
所以甲应该得到工资的11/60即=495（元）
乙应该得到工资的91/180即=1365（元）
丙应该得到工资的14/45即=840（元）
一项工程由甲、乙两队承包2又2/9天可以完成，需要支付1800元；由乙、丙两队承包3又1/13天可以完成，需要支付1520元；由甲、丙两队承包2又2/3天可以完成，需要支付1680元。现在要在保证7天内完工的前提下，选择哪一个工程队单独承包花费最少？
分析：题目求的是在保证7天内完工的前提下，选择哪个工程队单独承包花费最少。
要在时间上满足等于7天或者少于7天。
再在时间满足的基础上考虑哪个的费用最少
要知道三个队各自单独完成这项工程所用的时间，那么就需要知道三个队各自的工作效率。知道了各自的工作效率，再求出所对应的各自的工作时间，就可以排除其中的一个或者是两个，显然这里是排除一个。
再找个时间的基础上，我们再求出三个队各自每天需要支付的工资是多少？
再求出在满足时间前提下各自所需要的总的花费各是多少，谁越少就选择谁？
把一项工程看成单位1
先求出各自的工作效率
甲乙的工作效率的和为1&2又2/9=9/20
乙丙的工作效率的和为1&3又1/13=13/40
甲丙的工作效率的和为1&2又2/3=3/8
甲乙丙三人工作效率的和为=（9/20+13/40+3/8）&2=23/40
甲的工作效率为23/40-13/40=1/4
乙的工作效率为23/40-3/8=1/5
丙的工作效率为23/40-9/20=1/8
可见甲乙丙三人单独完成这项工程所需要的时间分别是
1&1/4=4（天）
1&1/5=5（天） 1&1/8=8（天）
所以丙的时间大于7天，被排除了。
时间少于7天的内，只有甲乙两个符合。
现在再考虑花费问题。
甲乙1天一共花费/9=810（元）
乙丙1天一共花费/13=494（元）
甲丙1天一共花费/3=630（元）
那么甲乙丙三人一天一共花费（810+494+630）&2=（元）
这里只要求甲和乙就行，甲一天花费967-494=473（元）
乙1天花费967-630=337（元）
再综合考虑甲乙两人单独完成的时间内各自共花费多少元？
甲每天花费473元，需要4天一共花费473&4=1892（元）
乙每天花费337元，需要5天一共花费337&5=1685（元）
所以乙工程队花费少，而且还能在规定时间内完成，所以选择乙工程队。
甲乙丙三人合做一项工作，计划按照甲乙丙的顺序每人一天轮流去做，正好整数天可以完成，并且结束工作的是乙；如果按乙丙甲的顺序每人一天轮流去做，就比计划多用1/2天；如果按照丙甲乙的顺序每人一天轮流去做，就比计划多用1/3天。已知甲单独完成这项工作需要9天，求三人一起合做需要多少天完成？
分析：把这项工作看成单位1。
计划情况、第一种假设情况& 第二种假设情况分别如下图
甲乙丙& 甲乙丙& 甲乙丙&
甲乙丙……..甲乙丙&&
甲乙丙& ∣甲、乙
乙丙甲& 乙丙甲& 乙丙甲&
乙丙甲……..乙丙甲&&
乙丙甲& ∣乙、丙、甲的1/2天
丙甲乙& 丙甲乙& 丙甲乙&
丙甲乙……..丙甲乙&&
丙甲乙& ∣丙、甲、乙的1/3天
不管是三种里面的那一种，每个周期都是3天，每个周期都包括甲乙丙三人各一天的工作，所以每个周期完成的工作量是相等的。所以计划情况中竖线左边有多少个甲乙丙的周期，第二种第三种情况就会对应多少个“乙丙甲“和多少个“丙甲乙”。所以竖线右边的工作量也是一样多的。
可见甲1天+乙1天=乙1天+丙1天+甲的1/2天
所以得到甲的1/2天=丙1天
甲的工作效率：丙的工作效率=2:1=4:2
甲1天+乙1天=丙1天+甲1天+乙的1/3天
乙的2/3天=丙的1天
所以乙的做效率：丙的工作效率=1:2/3=3:2
所以甲工作效率：乙工作效率：丙工作效率=4:3:2
又知道甲的工作效率求得是1&9=1/9
乙的工作效率为1/9&3/4==1/12
丙的工作效率为1/9&2/4=1/18
所以甲乙丙三人工作效率的和为
1/9+1/18+1/12=1/4
所以三人合作时间为1&1/4=4（天）完成。
练习试题：
一项工程甲独做10天可以完成，乙独做20天可以完成。甲先做1天后，甲乙再合作做，还要多少天可以完成？
王老师打一篇文章需要6小时打完，打了4小时后，还剩12页没有打完。这篇文章一共有多少页？
甲乙两个工程队修一条路，甲工程队5天修了这段路的1/6，乙工程队4天修了这段路的1/5。现在甲乙合修需要多少天修完？
一辆小轿车从甲城开往乙城需要6小时。一辆大卡车从乙城开往甲城需要10小时。两车同时出发，经过多少小时相遇？
甲乙两个工程队合铺一条路需要18天，甲独修需要30天，乙独修需要多少天？
某件工作如果一个人完成，甲需要12小时，乙需要10小时。丙需要15小时，如果甲乙合作3小时后，丙再加入一起做，还要几小时才能完成任务？
甲乙两人合作加工一批零件，甲独做需要10小时完成，乙独做需要12小时完成。甲每小时比乙每小时多做3个零件。这批零件一共有多少个？甲每小时做多少个零件？
一件工作，甲5小时完成了1/4，乙6小时完成了3/8。余下的任务甲乙合作还需要多少小时完成？
一条公路甲乙合修需要30天完成，如果甲乙两队合修12天后，余下的乙还要独修24天才能完成任务。那么乙独修这条公路需要多少天？
10、&&&&&&&&&&&&&
一条公路，甲队独修24天完成，乙队独修30天可以完成。甲乙两队合修若干天以后，乙队停工休息，甲队继续修了6天我弄成。乙队修了几天？甲队修了几天？
一项工程，甲队独做需要做12天才能完成，乙队独做需要4天完成。如果甲队先做了若干天后，由乙队单独接着做余下的工程。直至全部完工。这样前后一共用去了6天，求甲队先做了几天？
一项工程，甲队单独20天可以做完。乙队单独做30天可以完成。现在他们合作，甲在中途因为有事请了5天假。工程完工一共要多少天？
一项工程由20人做，一天只完成了5/14，余下的工程如果要在一天内完成，yagi增加多少人？
一项工程，甲独做需要30天，乙独做需要45天，丙独做需要90天。现在甲乙丙合作完成，在工作过程中，甲休息了2天，乙休息了3天，丙没有休息，最后把工程完成了，问这项工程前后一共用了多少天？
做一批零件，甲乙合作6小时完成，乙丙合作8小时完成；甲先做2小时后离开，乙接着做9小时，然后乙离开丙接着做2小时完成。乙独做需要多少小时？
一项工作甲乙合作8天完成，乙丙合作9天完成。甲丙合作18天完成。如果丙一个人做，完成这项工作需要多少天？
甲乙两个工程队共同完成一项工程需要18天。如果甲队做了3天，乙队做了4天，则完成这项工程的1/5，那么甲乙两队单独完成这项工作各需要多少天？
甲乙丙三人承包一项工程，一共发给他们工资2700元。甲如果单独做需要20天，乙如果单独做需要30天，丙如果单独做需要60天。现在他们合作完成，按工作量来发工资，甲乙丙各自应该得工资多少元？
一项工程，甲独做需要150天，乙独做需要180天。当两队合作时，甲做5天休息2天，乙做6天休息1天。那么完成这项工程前后一共需要多少天的时间？
10、&&&&&&&&&&&&&
甲乙丙三队合修一条水渠，甲乙合修5天完成工程的1/3，乙丙合修2天完成余下的1/4，剩下的甲丙两队合修5天完成。如果三队合修这条水渠要多少天？
某个工厂生产一批农药，甲车间肚子生产需要12天完成，乙车间独自生产需要15天完成。两个车间共同完成了7天，超额完成42吨，计划生产农药多少吨？
甲乙两个工程队合作一件工作，7天能完成。两队先合作5天后，甲工程队的全部员工和乙工程队人员的1/5调到其他工地。剩下的工作由乙工程队留下的人做，又过6天刚好完成。那么甲工程队单独做完需要多少天？
一项工程，甲队先做63天，然后乙队接着独做28天可以完成。或者两队合做48天也可以完工。现在甲队先做42天后离开，乙队接着做直到完工。这项工程一共花费13600元。甲乙两个工程队各得多少元？
某项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做需要30天完成。现在这项工程由甲队先做一段时间，然后移交给乙队独做，一直做完。其中乙队比甲队多做10天，求甲队做了多少天？
一批零件，甲队单独做5天可以完成零件总数的5/8，乙队单独做这批零件所需要的时间比甲队少2天。现在由甲乙两队合做3天后，甲队又做了160个零件。乙队又做了零件总数的1/10，全部完工。完成任务时，甲队比乙队少做多少个零件？
一批零件，甲独做14小时可以完成。乙独做20小时可以完成。如果按照先由甲做1小时，再由乙做1小时，然后甲做1小时…….两人如此交替工作，需要多少小时完工？
一项工程，先由甲队独做2天，然后甲乙合作3天可以完成。如果独做，甲所需要的时间是乙队的5/6，那么乙队独做需要多少天呢？
甲乙两个工程队合修一条公路。如果先由甲队修7天，再由乙队修6天，可以修完这条公路的25%。已知乙队的工效比甲队工效高1/3.。如果这条路由甲队独修需要多少天？
本讲练习题参考答案
第一个1至10题&
45页& 6.&&
10.&& 10天&
&第二个1至10题
甲队先做了3天&&
完工一共需要15天&&
应该增加16人&&&
前后一共17天&&
5.&& 乙独做需要12小时&
48天&& 7.&
甲队单独45天乙队单独30天&&&
8.& 甲得到工资1350元&
乙得到工资900元& 丙得到工资450元 9.&
第三个1至8题&&
3.&& 各得到6800元&
4.& 8天& 5.&
16又2/5小时完工&&&
思考题（答案没有给出，做了以后一并给出详细解答）
项工程，甲独做需要10天，乙独做需15天。如果两人合作，工作效率就要降低，甲只能完成原来的4/5，乙只能完成原来的9/10，现在要在8天内完成这项工程，两人合作的天数要进可能少，那么两人要合作多少天？
某工厂的一个生产小组，生产一批零件，当每个工人在自己原来岗位工作时，9小时可以完成这项生产任务，如果交换工人A和B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可以提前一个小时完成这项生产任务。如果交换工人C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，也可以提前一个小时完成这项生产任务。问：如果同时交换A和B，C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变，可以提前几分钟完成这项生产任务？
甲工程队每工作6天休息1天，乙工程队每工作5天休息2天。一项工程，甲队单独做需要97天，乙队单独做需要75天完成。如果两队合作，从日开工，几月几日可以完工？
有甲、乙两项工作，张师傅单独完成甲工作需要9天，单独完成乙工作需要12天，王师傅单独完成甲工作需要3天，单独完成乙工作需要15天，如果两人合做完成这两项工作最少需要多少天？
一个蓄水池上装有甲丙两条进水管和乙丁两条排水管，要注满一池水，单开甲管要用3小时，丙管需要用5小时，排光一池水单开乙管需要用4小时，单开丁管需要用时6小时。现在池内有1/6池水，如果按照甲乙丙丁四管轮流各开一小时的顺序进水和排水。问经过多少小时以后水开始溢出水池？
有甲、乙两间教室，分别由A、B、C三位同学负责打扫卫生，其中甲的工作量比乙教室的工作量多1/3。A、B、C三位同学单独打扫完教室的时间依次为10分钟、12分钟和15分钟。为了同时放学回家，安排任务时规定B、C先打扫甲教室，A打扫乙教室，中途B到乙教室帮助A。问：B、C应同时打扫甲教室多少分钟？
一项工作，甲队单独完成比两队合做完成要多用16天，乙队单独完成要比两队合作完成多用9天。求如果按照甲队做一天，乙队做一天的顺序去完成，一共需要多少天？
已投稿到：时间为什么用60进制？
13:22:43　来源: (广州)　
　　1小时等于60分，1分等于60秒。为什么时间是60进制?
60进制在不少领域内都有应用。比如时间、角度，还有我国的天干、地支记年法等等。那么，为什么时间要用60进制呢？
观点一：古罗马帝国的传统
我国自古以来最吉利的数字是5和9，而古罗马帝国是6和0。所以在很久以前，古罗马帝国时间就是60进制，再由于帝国间商人的文化交流，因而被采纳，沿用至今。
观点二：巴比伦人的应用
最早的文字记载显示巴比伦人使用的是以60为基的六十进制数字体系。使用六十进制，巴比伦人把75表示成“1，15”，这和我们把75分钟写成1小时15分钟是一样的。
大约公元前2000年出现了一种仅使用两个楔形符号的以60为基的位－值体系。在该体系中，“T”形的楔形文字表示1，“〈”形的楔形文字表示10。这一数字体系被进一步推广到六十进制分数的表示上，但是没有表示0的符号。尽管如此，它对计算是非常有效的。同时，它奠定了时间的计量标准。
观点三：圆周规定为360度的结果
来自尼西亚（在今天的土耳其）的数学家喜帕恰斯（公元前190年－前120年）被认为是当时最伟大的天文学家。他创立了基于希腊几何学原理的天文学。他把圆分成360度，每一度又细分成60分，以此作为三角学的基础。
为了方便，就把时间也用60进制划分。
观点四：按天干、地支60甲子划分的结果
时间的60进制是按照天干、地支的60甲子的关系划分成的，古人很多东西都运用了这种运算关系，但最初还是易经之因。因为易经本身就是古代人们的一种运算方式。60进制是人类在生存中所摸索出来的一大发明。
60进制得到应用的原因
有推测认为：10和60相比融通性较差，10只有2和5两个约数，而60有1、2、3、4、5、6、10、12、20、30、60等12个约数。
在现实生活中经常会出现某一数被分成2、3、4、5等分的情况，目前还在广泛使用的1/4单位（quarter）就是例子。4不能整除10，但能整除60，所以60进制比10进制更容易避开小数的复杂计算。
使用60进制最大的理由是表示小数的分数数量要比10进制多得多。实际使用中，将某一区间10等分则会变成0.1、0.2、0.3、…、0.9、1，再将它们10等分，就会变成0.01、0.02、0.03、…、0.09、0.1，如此继续下去，可将分数变成小数。但不幸的是最简单的1/3却不能用小数表示，因为3不是10的约数。
本文来源：网易探索
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