已知函数f(x)=x^2+2x (1)若x属于[-2,a],a&-2,求f(x)的值域 （2）若存在实数t，当x属于[1,m],m&1时，f(x+t)_百度知道
已知函数f(x)=x^2+2x (1)若x属于[-2,a],a&-2,求f(x)的值域 （2）若存在实数t，当x属于[1,m],m&1时，f(x+t)
-2,a],a>,求f(x)的值域
（2）若存在实数t，求实数m的取值范围，当x属于[1,m],m&1时，f(x+t)小于等于3x恒成立已知函数f(x)=x^2+2x
(1)若x属于[-2
提问者采纳
1)若1<,a^2+2a](2)设F(x)=f(x+t)-3x=x^2+(2t-1)x+t^2+2t。 抛物线y=F(x)开口向上。 存在t属于[-4;a&=0,m]上恒小于等于0，此时3&=0，使得g(t)&=-1/=-1;-4;=0，等价于g(t)在[-4，1<，-m-1&=-m-1&=3;=0，最小值g(-m-1)=-3m-1&m<。 g(t)的对称轴是t=-m-1&=0，则-4&=0;m<，值域是[a^2+2a;=0，则f(x)在[-2(1)f(x)的对称轴是x=-1。 2)若m>，最大值是f(-2)=0,0]
2)若-1<，值域是[-1，最小值g(-4)=m^2-9m+8<。 1)若-2<,0]
3)若a>，1<，值域是[-1;m&=8;-2，则有F(1)&0;=0，最小值是f(-1)=-1，则f(x)的最大值是f(-2)=0;=t<，最小值是f(a)=a^2+2a。 F(1)=t^2+4t&a<,0];=0。 设g(t)=t^2+(2m+2)t+m^2-m;-2;m<，在闭区间[1;=3，则-4<，m&3;3;=8，此时1<，F(m)<。 综上所述;=8,a]上递减，最小值是f(-1)=-1，则f(x)的最大值是f(a)=a^2+2a,0]上的最小值小于等于0。 F(m)=m^2+(2t-1)m+t^2+2t=t^2+(2m+2)t+m^2-m&=m<
提问者评价
非常感谢！！！
为您推荐：
其他1条回答
值域为[f(a);=0时,f(-2)] 即[-1,f(-2)] 即[a^2+2*a;(x)=2x+2=0=&当-1<,即对称轴为x=-1，值域为[f(-1)f'0是;a&当a<,即[-1;x=-1，函数单调递减，值域为[f(-1)，最小值为f(-1)=-1;=-1时,0]当a>,f(a)],0]
等待您来回答
下载知道APP
随时随地咨询
出门在外也不愁若f（x）=（m-2）x^2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间（-1，0）和区间（1，2）内，求m的取值范围_百度知道
若f（x）=（m-2）x^2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间（-1，0）和区间（1，2）内，求m的取值范围
0呢;0我看过你的答案，想知道为什么不能用x1+x2>。即-b/a>,x1x2<,c/a&0;0
提问者采纳
x1=-2，就满足你的条件。 f(-1)=m-2-m+2m+1=2m-1f(0)=2m+1 f(1)=m-2+m+2m+1=4m-1f(2)=4(m-2)+2m+2m+1=8m-7 因为两个零点分别在区间（-1;2) 为什么不能用x1+x2>首先,所以f(-1)和f(0)以及f(1)和f(2)异号f(-1)*f(0)<,x1x2&4;0(2m-1)(2m+1)&1-1/04m^2&4&0，0）和区间（1;m<,x2=3;0;1/7/2 f(1)*f(2)&0(4m-1)(8m-7)&m&01/, 1/，2）内: 例如，但不符合题设条件;2&8 因此m的取值范围是(1/，f(x)在R上显然是连续函数
我的意思是：两个零点分别在区间（-1，0）和区间（1，2）内，X1,X2分别是此区间内的零点
我明白，我是说-2和3不在这个范围，而x1x2,x1+x2在你说的范围
这是举一个反例
能不能这样理解，x1，x2本身可以单独画出区间，以此在-b/a和c/a中体现算出答案！
我只是说你说的那个解法为什么不成立
提问者评价
谢谢你的耐心！！
来自团队：
其他类似问题
为您推荐：
其他1条回答
【 charles_swen|十五级最快回答 】 的回答
取值范围的相关知识
等待您来回答
下载知道APP
随时随地咨询
出门在外也不愁您所在的位置： >
请选择版本
资源展示 >
区域：不限地区
江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题一 第3讲 基本初等函数、函数与方程及函数应用（2）教学案
教学内容：基本初等函数、函数与方程及函数应用（2）
掌握基本初等函数的图象及性质。理解函数与方程的关系，掌握函数的应用。
教学重点：
二次函数、指数函数、对数函数及简单的复合函数。
教学难点：
单调性、奇偶性、周期性等综合应用．
教学过程：
一、基础训练：
1．设函数f(x)＝21－x，x≤1，1－log2x，x>1，则满足f(x)≤ 2 的x的取值范围是________．
答案 [0，＋∞)
解析 当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；
当x>1时，1－log2x≤2，解得x≥12，所以x>1.综上可知x≥0.
2．已知函数f(x)＝a－3x＋5，x≤1，2ax，x>1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是________．
答案 (0,2]
解析 由题意，得a－30，a－3＋5≥2a，解得0<a≤2.
3．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，
f(x)＝gx＋x＋4，x<gx，gx－x，x≥gx， 则f(x)的值域是______________________．
答案 [－94，0]∪(2，＋∞)
解析 由x<g(x)得x<x 2－2，∴x2；
由x≥g(x)得x≥x2－2，∴－1≤x≤2.∴f(x)＝x2＋x＋2，x2，x2－x－2，－1≤x≤2.
即f(x)＝x＋12&#，x2，x－12&#，－1≤x≤2.
当x2；当x>2时，f(x)>8.
∴当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)．
当－1≤x≤2时，－94≤f(x)≤0.
∴当x∈[－1,2]时，函数的值域为[－94，0]．
综上可知，f(x)的值域为[－94，0]∪(2，＋∞)．
4．已知f(x)＝－2x －1≤x≤0，x
0<x≤1， 则下列函数的图象错误的是________．
解析 先在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，再将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到y＝f(x－1)的图象，因此①正确；作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形，即可得到y＝f(－x)的图象，因此②正确；y＝f (x)的值域是[0,2]，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，③正确；y＝f(|x|)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝x，相应这部分图象不是一条线段，因此④不正确．
二、例题教学：
例1 (;常州信息卷)某商场分别投入x万元，经销甲、乙两种商品，可分别获得利润y1、y2万元，利润曲线分别为C1：y1＝max＋ b，C2：y2＝cx，其中m，a，b，c都为常数．如图所示：
(1)分别求函数y1、y2的解析式；
(2)若该商场一共投资12万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最小值．(可能要用的数ln 2≈0.7)
[解] (1)由函数y1＝m•ax＋b过点(0,0)，(2，516)，(4，2516)可得
m＋b＝0m•a2＋b＝516m•a4＋b＝2516，
可得a＝2b＝－548m＝548
∴y1＝548•2x－548.
由函数y2＝cx过点(3，74)可得c＝712，∴y2＝712x.
(2)设该商场经销甲商品投 入x万元，乙商品投入12－x万元，该商场所获利润为y万元，
则y＝y1＋y2 ＝548•2x－548＋712(12－x )
＝548•2x－712x＋33148，
y′＝548•2xln 2－712＝548&#x－712＝796•2x－712，
令y′＝0可得x＝3，y′在(0,3)单调 递增，
∴当x∈(0,3)，y′0，y在(3，＋∞)单调递增，
当x＝3时，利润y有最小值28748.
所以该商场所获利润的最小值为28748.
[方法归纳] 应用函数模型解决实际问题的一般程序是：
读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答
与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．
例2 (;连云港高考最后一讲)经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400 km的水果批发市场．据测算，J型卡车满载行驶时，每100 km所消耗的燃油量u(单位：L)与速度v(单位：km/h)的关系近似地满足u＝100v＋23，0＜v≤50，v2500＋20，v＞50.除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元．已知燃油价格为每升(L)7.5元．
(1)设运送这车水果的费用为y(元)(不计返程费用)，将y表示成速度v的函数关系式；
(2)卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果 的费用最少？解：(1)由题意，当0＜v≤50时，y＝7.5&#u＋300&#v＝30&#v＋23＋300&#v＝123 000v＋690，
当v＞50时，y＝7.5&#u＋300&#v＝30&#＋20＋300&#v＝3v250＋120 000v＋600，
所以y＝123 000v＋690，0＜v≤50，3v250＋120 000v＋600，v＞50.
(2)当0＜v≤50时，y＝123 000v＋690是单调减函数，
故v＝50时，y取得最小值ymin＝123 0＝3 150；
当v＞50时，y＝3v250＋120 000v＋600(v＞50)，
由y′＝3v25－120 000v2＝3B&#＝0，得v＝100.
当50＜v＜100时，y′＜0，函数y＝3v250＋120 000v＋600单调递减；
当v>100时，y′>0，函数y＝3v250＋120 000v＋600单调递增．
所以当v＝100时，y取得最小值ymin＝3×0 0＝2 400.
由于3 150＞2 400，所以当v＝100时， y取得最小值．
即当卡车以100 km/h的速度行驶时，运送这车水果的费用最少．
巩固练习：
1．设函数f(x)＝log x，x>0，log2－x，xf(－m)，则实数m的取值范围是________．
答案 (－∞，－1)∪(0,1)
解析 若m>0，则－mf(－m)，得－log2m>log2m，即log2m<0,0<m<1；若m0，f(－m)＝log
(－m)＝－log2(－m)，f(m)＝log2(－m)，由f(m)>f(－m)得log2(－m)>－log2(－m)，解得m1.设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是____________________．
答案 (－∞，－2]∪(－1，－34)
解析 f(x)＝x2－2，x2－2－x－x2≤1，x－x2，x2－2－x－x2>1，
即f(x)＝x2－2，－1≤x≤32，x－x2，x32，
f(x)的图象如图所示，由图象可知c的取值范围为
(－∞，－2]∪(－1，－34)．
7．已知函数f(x)＝log2x，x>0，fx＋2＋1，x≤0，则f(－3)的值为________．
解析 f(－3)＝f(－1)＋1＝f(1)＋2＝2.
8．已知函数f(x)＝x2＋2ax，x≥2，2x＋1，x3a2，则a的取值范围是________．
答案 －1<a3a2⇔6a＋9>3a2，解得－1<a<3.
区域：不限地区
苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题一 第3讲 基本初等函数、函数与方程及函数应用（3）教学案
教学内容：基本初等函数、函数与方程及函数应用（3）
教学目标：
掌握基本初等函数的图象及性质。理解函数与方程的关系，掌握函数的应用。
教学重点：
二次函数、指数函数、对数函数及简单的复合函数。
教学难点：
单调性、奇偶性、周期性等综合应用．
教学过程：
一、基础训 练：
1．设f(x)为偶函数，对于任意的x>0，都有f(2＋x)＝－2f(2－x)，已知f(－1)＝4，那么f(－3)＝________.
解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝4，f(－3)＝f(3)，
当x＝1时，f(2＋1)＝(－2)•f(2－1)，∴f(3)＝(－2)×4＝－8，∴f(－3)＝－8.
2．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的________条件．
解析 若函数y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)．此时|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，因此y＝|f(x)|是偶函数，其图象关于y轴对称，但当y＝|f(x)|的图象关于y轴对称时，未必能推出y＝f(x)为奇函数，故“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的必要不充分条件．
3．若f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是增函数，又f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为________．
解析 因为f(x)为奇函数，且f(－2)＝0，所以f(2)＝0作出f(x)大致图象，如图所示，由图象可知：
当－2<x0，所以xf(x)<0；
当0<x<2时，f(x)<0，所以xf(x)<0.故不等式xf(x)－1且a≠0)的图象过定点A，且点A在函数g(x)＝log3(x＋a)的图象上．
(1)求a的值；
(2)若g(x－12)＋g(x－4)＝f(－2)，求x值的集合．
解： (1)∵f(x)＝(a＋1)x＋2＋1过定点(－2,2)，∴A(－2,2)，
∵A点在函数g(x)＝log3(x＋a)的图象上，∴2＝log3(－2＋a )，
∴a－2＝9，∴a＝11.
(2 )由(1)知f(－2)＝2，且g(x)＝ log3(x＋11)，∵g(x－12)＋g(x－4)＝f(－2)，
∴log3(x－1)＋log3(x＋7)＝2，∴(x－1)(x＋7)＝9，即x2＋6x－16＝0，
解得x＝2或x＝－8.经检验x＝2是原方程的根，x＝－8是增根，
故x的值的集合为{2}．
变式训练：
已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
(1)若存在x∈R使f(x)<b•g(x)，求实数b的取值范围；
(2)设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数m的取值范围．
解：(1)∃x∈R，f(x)<bg(x)⇒∃x∈R，x2－bx＋b0⇒b4.
故b的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)．
(2)F(x)＝x2－mx＋ 1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4.
①当Δ≤0，即－255≤m≤255时，
则必需m2≤0，－255≤m≤255⇒－255≤m≤0.
②当Δ>0，即m255时，设方程F(x)＝0的根为x1， x2(x1<x2)．
若m2≥1，则x1≤0，即m2≥1，Fǡ＝1－m2≤0⇒m≥2；
若m2≤0，则x2≤0，即m2≤0，Fǡ＝1－m2≥0⇒－1≤m<－255.
综上所述，m的取值范围为[－1,0]∪[2，＋∞)．
例2 (;南师附中模拟)将52名志愿者分成A，B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆沙棘树苗．假定A，B两组同时开始种植．
(1)根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时．应如何分配A，B两组的人数，使植树活动持续时间最短？
(2)在按(1)分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨 树苗用时仍为25小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树 苗实际用时23小时，于是从A组抽调6名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所持续的时间．
解：(1)设A组人数为x，且0<xF(20)．
所以当A、B两组人数分别为20,32时，使植树活动持续时间最短．
(2)A组所需时间为1＋150×25－20×120－6＝367(小时)，
B组所需时间为1＋200×23－32×132＋6＝323(小时),
所以植树活动所持续的时间为367小时．
巩固练习：
5．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)的定义域及值域均为[－a，a](常数a>0)，其图象如图所示，则方程f(g(x))＝0根的个数为________．
解析 由f(x)的图象可知方程f(x)＝0有三个根，分别设为x1，x2，x3，因为f(g(x))＝0，所以g(x)＝x1，g(x)＝x2或g(x)＝x3，因为－a<x1<a，g(x)∈[－a，a]，所以由g(x)的图象可知y＝x1与y＝g(x)的图象有两个交点，即方程g(x)＝x1有两个根，同理g(x)＝x2，g(x)＝x3各有两个根，所以方程f(g(x))＝0有6个根 ．
6．如图，偶函数f(x)的图象如字母M，奇函数g(x)的图象如字母N，若方程f(f(x))＝0，f(g(x))＝0的实根个数分别为m，n，则m＋n＝________.
解析 由图象可知偶函数f(x)的1个零点是0，另外2个零点分别在区间(－2，－1)与(1,2)中，值域是[－1,1]；奇函数g(x)的1个零点是0，另外2个零点分别在区间(－1,0)与(0,1)中，值域是[－2,2]．①只有当f(x)＝0时，f(f(x))＝0，故实根个数m＝3.②存在3个实数x，使g(x)＝0，f(g(x))＝0；存在3个实数x，使g(x)∈(－2，－1)，f(g(x))＝0；存在3个实数x，使g(x)∈(1,2)，f(g(x))＝0，故实根个数n＝9.从而m＋n＝12.
7．若对于定义在R上的函数f(x)，存在常数t(t∈R)，使得f(x＋t)＋tf(x)＝0对任意实数x均成立，则称f(x )是t阶回旋函数，则下列命题正确的是________．(填序号)
①f(x)＝2x是－12阶回旋函数；②f(x)＝sin(πx)是1阶回旋函数；
③f(x)＝x2是1阶回旋函数；④f(x)＝logax是0阶回旋函数．
解析 对于函数f(x)＝sin πx，由诱导公式可知当t＝1时满足f(x＋1)＋f(x)＝sin π(x＋1)＋sin πx＝0，故f(x) ＝sin πx是1阶回旋函数，②正确．
8．设y＝f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于函数y＝f (x)的判断：
①y＝f(x)是周期函数；②y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；
③y ＝f(x)在[0,1]上是增函数；④f(12)＝0.其中正确判断的序号是________．
解析 由f(x＋1)＝－f(x)可得f(x＋2)＝f(x)，①正确；因为y＝f(x)是定义在R上的偶函数，可知y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，②正确；显然③错误；由f(－12＋1)＝－f(－12)＝－f(12)＝f(12)得f(12)＝0，④正确．
区域：不限地区
江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题一 第4讲 不等式（1）教学案
教学内容：不等式（1）
教学目标：
掌握不等式解法；基本不等式；线性规划；不等式的实际应用。
教学重点：
一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题。
教学难点：
不等式成立问题．
教学过程：
一、知识点复习：
1．必记的概念与定理
已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是p24.(简记：和定积最大)
确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法
(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线；(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．
2．记住几个常用的公式与结论
(1)几个重要的不等式
a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；ba＋ab≥2(a，b同号)．
ab≤a＋b22(a，b∈R)；a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)．
(2)一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二
次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
(3)简单分式不等式的解法
①变形⇒fxgx)⇔f(x)g(x)>0(0(a≠0)恒成立的条件是a>0，Δ<0.
②ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是a<0，Δ0⇒－1<x<0或0<x0，则不等式f(x)≥x2的解集是________．
解析：依题意得x≤0x＋2≥x2或x>0－x＋2≥x2⇒－1≤x≤0或0<x≤1⇒－1≤x≤1.
三、例题教学：
例1 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．
[解析] 由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝x＋a22＋b－a24.
∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－a24＝0，即b＝a24.
∴f(x)＝x＋a22.又∵f(x)<c.∴x＋a22<c，即－a2－c<xm(2a•b＋1)(其中m是满足mm(2x＋1)⇔x＋2x－mx>0，m<－2时，不等式的解集为：(m，－2)∪(0，＋∞)．
(2)∵2∉A，∴4－4a＋a2－1<0，即a2－4a＋3<0，解得1<a0，即x＝1010，y＝105时成立．
法二：令t＝2x＋y，则y＝t－2x，代入4x2＋y2＋xy＝1，
得6x2－3tx＋t2－1＝0，由于x是实数，故Δ＝9t2－24(t2－ 1)≥0，解得t2≤85，
即－2105≤t≤2105，即t的
最大值也就是2x＋y的最大值，为2105.
[方法归纳] 用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要 求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须 验证等号成立的条件．
变式训练：
(1)设△ABC的BC边上的高AD＝BC，a，b，c分别表示角A，B，C对应的三边，则bc＋cb的取值范围是________．
(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．
解析：(1)因为BC边上的高AD＝BC＝a，.所以S△ABC＝12a2＝12bc•sin A，所以sin A＝a2bc.又因为cos A＝b2＋c2－a22bc＝12(bc＋cb－a2bc)，所以bc＋cb＝2cos A＋sin A≤5，同时bc＋cb ≥2，所以bc＋cb∈[2，5]．
(2)∵x>0，y> 0，由x＋3y＝5xy得151y＋3x＝1.
∴3x＋4y＝15(3x＋4y)1y＋3x＝153xy＋4＋9＋12yx
＝135＋15 3xy＋12yx≥135＋15×23xy•12yx＝5(当且仅当x＝2y时取等号)，
∴3x＋4y的最小值为5.
巩固练习：
1．若不等式(12)x2－2ax＜23x＋a2对任意实数x都成立，则a的取值范围是________.
解析：先把不等式两边化成同底数，得(12)x2－2ax＜(12)－3x－a2.由指数函数的单调性，得x2－2ax＞－3x－a2，
即x2－(2a－3)x＋a 2＞0.由题意，解集为R，∴Δ＝(2a－3)2－4a2＝－12a＋9＜0，即a＞34.
2．若不等 式x2－kx＋k－1>0对x∈(1,2)恒成立，则实数k的取值范围是________．
解析：不等式x2－kx＋k－1>0对x∈(1,2)恒成立可化为(1－x)k>1－x2对x∈(1,2)恒成立，即k0，y>0且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．
解析： 法一：由2x＋8y－xy＝0得y(x－8)＝2x，
因为x>0，y>0，所以x－8>0，
y＝2xx－8，所以x＋y＝x＋2xx－8＝x＋2x－8＋16x－8＝(x－8)＋16x－8＋10≥2x－8 •16x－8＋10＝18(当且仅当x＝12，y＝6时取得最小值18)，
所以x＋y的最小值为18.
法二：由已知得2y＋8x＝1，所以x＋y＝(x＋y)(2y＋8x)＝10＋2xy＋8yx≥10＋216xyxy＝18(当且仅当x＝12，y＝6时取得最小值18)，所以x＋y的最小值为18.
4．关于x的不等式x2－4ax＋4a2＋a＋1a－1≤0不成立，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意，不等式x2－4ax＋4a2＋a＋1a－1≤0的解集为∅，
则x2－4ax＋4a2＋a＋1a－1>0对x ∈R都成立，
∴Δ＝16a2－4(4a2＋a＋1a－1)0，
∴a2－a＋1a－1>0.又∵a2－a＋1＝(a－12)2＋34>0恒成立，∴a－1>0，即a>1.
区域：不限地区
赣榆智贤中学学年度第二学期教学案例
编写时间：
号：NO:011
主 备 人：
复备人：
教学内容：不等式（2）
教学目标：
掌握不等式解法；基本不等式；线性规划；不等式的实际应用。
教学重点：
一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题。
教学难点：
不等式成立问题．
教学过程：
一、基础训练：
1．若A＝{x|x2＋(p＋2)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x>0}，且A∩B＝∅，则实数p的取值范围是________．
解析 当A＝∅时，Δ＝(p＋2)2－4<0，∴－4<p－4.
2．已知函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上的最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为________．
解析 ∵f(x)＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，当x＝1时，f(x)min＝2，故m≥1，又∵f(0) ＝3，f(2)＝3，∴m≤2.综上可知1≤m≤2.
3．方程x2－32x－m＝0在x∈[－1,1]上有实根，则m的取值范围是________．
解析 m＝x2－32x＝x－342－916，x∈[－1,1]．
当x＝－1时，m取最大值为52，当x＝34时，m取最小值为－916，∴－916≤m≤52.
4．已知函数f(x)＝x＋1，x≤0，x2－2x＋1，x>0，若关于x的方程f2(x)－af( x)＝0恰有5个不同的 实数解，则a的取值范围是________．
解析 设t＝f(x)，则方程为t2－at＝0，解得t＝0或t＝a，
即f(x)＝0或f(x)＝a.如图，作出函数f(x)的图象，
由函数图象，可知f(x)＝0的解有两个，
故要使方程f2(x)－af(x)＝0恰有 5个不同的解，
则方程f(x)＝a的解必有三个，此时0<ay，得x>12.
在△ABC中，∵AC2＝AB2＋BC2－2AB•BCcos 60°，∴(y－1)2＝y2＋4x2－2xy .
则y ＝4x2－12x－1.由y ＞ 0，及x>12，得x ＞ 1.
即y关于x的函数解析式为y＝4x2－12x－1(x ＞ 1)．
(2)M＝3(2y－1)＋4x＝12x2－3x－1－3＋4x.
令x－1＝t，则M＝12t＋1&#t－3＋4(t＋1)＝16t＋9t＋25≥49，
在t＝34，即x＝74，y＝152时，总造价M最低．
所以x＝74时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低．
巩固练习：
1．(;重庆改编)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于下列哪个区间________．(填序号①(a，b)和(b，c)内②(－∞，a)和(a，b)内
③(b，c)和(c，＋∞)内④(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析 由于a<b0，f(b)＝(b－c)(b－a)0.因此有f(a)•f(b)<0，f(b)•f(c)<0，
又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，
因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2.若f(x1)＝x1<x2，则关于x的方程3(f(x))2＋2af( x)＋b＝0的不同实根的个数为________．
解析 因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，可知关于导函数的方程f′(x)＝ 3x2＋2ax＋b＝0有两个不等的实根x1，x2.则方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的根的个数就是方程f(x)＝x1和f(x)＝x2的不等实根的个数之和，再结合图象可看出函数y＝f(x)的图象与直线y＝x1和直线y＝x2共有3个不同的交点，故所求方程有3个不同的实根 ．
3．若关于x的不等式(2x－1)2<ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是__________．
解析 因为不等式等价于( －a＋4)x2－4x＋10，且有4－a>0，故0<a<4，不等式的解集为12＋a<x<12－a，14<12＋a<12，则一定有{1,2,3}为所求的整数解集．所以3<12－a≤4，解得a的范围为259，4916.
4．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，则a的取值范围________．
解析 因为f(x)＝(x－a)2＋2－a2，所以此二次函数图象的对称轴为x＝a.
①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，
所以f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，
即2a＋3≥a，解得a≥－3，即－3≤a<－1.
②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，
即2－a2≥a，解得－2≤a≤1，即－1≤a≤1.综上，实数a的取值范围为[－3,1]．
区域：不限地区
赣榆智贤中学学年度第二学期教学案例
编写时间：
号：NO:012. .
主 备 人：
教学内容：不等式（3）
教学目标：
掌握不等式解法；基本不等式；线性 规划；不等式的实际应用。
教学重点：
一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题。
教学难点：
不等式成立问题．
教学过程：
一、基础训练：
1．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则a，ab，v的大小关系为________．
解析 设甲、乙两地之间的距离为s.
∵a<b，∴v＝2ssa＋sb＝2saba＋bs＝2aba＋ba2－a2a＋b＝0，∴v>a
2．若函数f(x)＝x＋1x－2 (x>2)在x＝a处取最小值，则a＝________.
解析 ∵x>2，∴f(x)＝x＋1x－2＝x－2＋1x－2＋2≥2x－2×1x－2＋2＝4，
当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时等号成立，即a＝3，f(x)min＝4
3．(;南通模拟)设a>0，b>0，若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为________．
解析 因为3a•3b＝3，所以a＋b＝1.
1a＋1b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2 ba•ab＝4，当且仅当ba＝ab，
即a＝b＝12时等号成立．
4．已知m＝a＋1a－2(a>2)，n＝x－2(x≥12)，则m与n之间的大小关系为________．
解析 m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2≥4(a>2)，
当且仅当a＝3时，等号成立．由x≥12得x2≥14，
∴n＝x－2＝1x2≤4即n∈(0,4]，∴m≥n.
二、例题教学：
例1 已知x＞0，a为大于2x的常数，
(1)求函数y＝x(a－2x)的最大值；
(2)求y＝1a－2x－x的最小值．
解：(1)∵x＞0，a＞2x，
∴y＝x(a－2x)＝12×2x(a－2x)≤122x＋a－2x22＝a28，当且仅当x＝a4时取等号，故函数的最大值为a28.
(2)y＝1a－2x＋a－2x2－a2≥2 12－a2＝2－a2.
当且仅当x＝a－22时取等号．故y＝1a－2x－x的最小值为2－a2.
变式训练：
已知关于x的不等式x＋2x2－1＋ax＋a>0.
(1)当a＝2时，求此不等式的解集；
(2)当a>－2时，求此不等式的解集．
解：(1) 当a＝2时，不等式可化为x＋2x－1x－2>0，所以不等式的解集{x|－2<x2}．
(2) 当a> －2时，不等式可化为x＋2x－1x－a>0，
当 －2<a<1时，解集为{x|－2<x1}；
当a＝1时，解集为{x |x>－2且x≠1}；
当a>1时，解集为{x|－2<xa}．
例2 某工厂利用辐射对食 品进行灭菌消毒，现准备在该 厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建造宿舍的费用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km)的关系式为p＝k3x＋5(0≤x≤8)，若距离为1 km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每千米的成本为6万元．设f(x)为建造宿舍与修路费用之和．
(1)求f(x)的表达式；
(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小，并求最小值．解：(1)根据题意得100＝k3×1＋5，所以k＝ 800，
故f(x)＝8003x＋5＋5＋6x,0≤x≤8.
(2)因为f(x)＝8003x＋5＋2(3x＋5)－5≥80－5＝75，
当且仅当8003x＋5＝2(3x＋5)即x＝5时f(x)min＝75.
所以宿舍应建在离厂5 km处，可使总费用f(x)最小，最小为75万元．
巩固练习 ：
1．已 知正数x，y满足x＋22xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．
解析 ∵x>0，y>0，
∴x＋2y≥22xy(当且仅当x＝2y时取等号)．
又由x＋22xy≤λ(x＋y)可得λ≥x＋22xyx＋y，
而x＋22xyx＋y≤x＋x＋2yx＋y＝2，
∴当且仅当x＝2y时，x＋22xyx＋ymax＝2.∴λ的最小值为2.
2．已知a>0，b>0，若不等式m3a＋b－3a－1b≤0恒成立，则m的最大值为________．
解析 因为a>0，b>0，所以由m3a＋b－3a－1b≤0恒成立得m≤(3a＋1b)(3a＋b)＝10＋3ba＋3ab恒成立．因为3ba＋3ab≥2 3ba•3ab＝6，
当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋3ba＋3ab≥16，
所以m≤16，即m的最大值为16.
3．若正实数x， y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．
解析 ∵x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，
∴22xy＋6≤xy，即xy－22xy－6≥0，解得xy≥18.
∴xy的最小值是18.
4．已知a>0，b>0，函数f(x)＝x2＋(ab－a－4b)x＋ab是偶函数，则f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为________．
解析 根据函数f(x)是偶函数可得ab－ a－4b＝0，函数f(x)的图象与y轴交点 的纵坐标为ab.由ab－a－4b＝0，得ab＝a＋4b≥4ab，解得ab≥16(当且仅当a＝8，b＝2时等号成立)，即f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为16.
区域：不限地区
赣榆智贤中学学年度第二学期教学案例
学科：SX
编写时间：
编号：NO:013
主备人：
复备人：
教学内容：导数及其应用（1）
教学目标：
1.导数的几何意义
2.利用导数研究函数的性质
教学重点：
1.导数的实际运用；
2.导数的综合运用
教学难点：
导数的综合运用
教学过程：
一、知识点复习：
1．必记的概念与定理
(1)导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(2)函数的单调性
在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.
f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．
(3)函数的极值
①函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数 y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
②函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点 x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点 x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
(4)函数的最值
①在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，要注意端点值与极值比较．
②若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为 函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若 函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
2．记住几个常用的公式与结论
四个易误导数公式及两个常用的运算法则
(1)(sin x)′＝cos x.
(2)(cos x)′＝－sin x.
(3)(ax)′＝axln a(a>0，且a≠1)． (4)(logax)′＝xln a(1)(a>0，且a≠1)．
(5)[f(x)•g(x) ]′＝f′( x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(6)g(x(f(x)′＝[g(x]2(f′(xg(x－f(xg′(x)(g(x)≠0)．
3．需要关注的易错易混点
导数与函数单调性的关系
(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.
(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调性．
函数的极值与最值
(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题．
(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．
(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有惟一的极值，则此极值一定是函数的最值．
二、基础训练：
1．(;太原模拟)曲线y＝x3－3x在点(0,0)处的切线方程为________．
解析： 因为曲线方程为y＝x3－3x，所以y′＝3x2－3，故y′(0)＝－3＝k，则切线方程为y－0＝－3(x－0)，即y＝－3x.
答案：y＝－3x
2．函数y＝12x2－ln x的单调递减区间为________．
解析： 因为y＝12x2－ln x，所以y′＝x－1x，由y′≤0，及x>0，可得0<x≤1.
答案： (0, 1]
3．(;天津模拟)若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于________．
解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，f′(－3)＝0，∴a＝5.
4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝________.
解析：f′(x)＝2f′(1)＋1x，令x＝1得f′(1)＝2f′(1)＋1，所以f′(1)＝－1
三、例题教学：
例1、 (;大连模拟)若曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线的方程为y＝2x＋1，则曲线f(x)＝g(x)＋ln x在点(1，f(1))处切线的斜率为________，该切线方程为________．
[解析] 由题意，g′(1)＝2，故曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线的方程为y－g(1)＝2(x－1)，即y＝2x＋g(1)－2，对比y＝2x＋1，得g(1)＝3.由f(x)＝g(x)＋ln x，得f(1)＝g(1)＋l n 1＝3，又f′(x)＝g′(x)＋x(1)，所以f′(1)＝g′(1)＋1(1)＝3.故曲线f(x)＝g(x)＋ln x在点(1，f(1))处切线的斜率为3，切线方程为y－f(1)＝f′(1)(x－1)，即y－3＝3(x－1)，即3x－y＝0.
3 3x－y＝0
变式训练：
1．(;高 考课标全国卷Ⅱ改编)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝________.
解析：y′＝a－x＋1(1)，根据已知得，当x＝0时，y′＝2，代入解得a＝3.
例2、设函数f(x)＝x3＋ax2－(2a＋3)x＋a2，a∈R.
(1) 若x＝1是f(x)的极大值点，求实数a的取值范围；
(2)设函数g(x)＝bx2－(2b＋1)x＋ln x(b≠0，b∈R)，若函数f(x)有极大值，且g(x)的极大值点与f(x)的极大值点相同．当a＞－3时，求证：g(x)的极小值小于－1.
(1) 因f′(x)＝3x2＋2ax－(2a＋3)＝(x－1)(3x＋2 a＋3)，由于x＝1是 f(x)极大值点，故－3(2a＋3)＞1，即a＜－3.
(2)证明：f′(x)＝3x2＋2ax－(2a＋3)＝(x－1)(3x＋2a＋3)．
g′(x)＝x(1)＋2bx－(2b＋1)＝x((x－1(2bx－1).
由于函数f(x)有极大值，故－3(2a＋3)≠1，即a≠－3.
当a＞－3时，即－3(2a＋3)＜1，则f(x)的极大值点x＝－3(2a＋3)，所以g(x)的极大值点为x＝2b(1)，极小值点为x＝1.
所以0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函 数，则a的最大值是________．
解析：f′(x)＝3x2－a在x∈[1，＋∞)上有f′(x)≥0，则f′(1)≥0⇒a≤3.[
3、已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________.
解析：设f(x)＝x3－3x＋c，对f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可得x＝±1，易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.
答案：－2或2
4、已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1,1]，则f(m)的最小值为________．
解析：求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x.由此可得f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以对m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
区域：不限地区
赣榆智贤中学学年度第二学期教学案例
学科：SX
编写时间：
编号：NO:014.
主备 人：
复备人：
教学内容：导数及其应用（2）
教学目标：
1.导数的几何意义
2.利用导数研究函数的性质
教学重点：
1.导 数的实际运用；
2.导数的综合运用
教学难点：
导数的综合运用
教学过程：
一、小题训练
1、(;盐城模拟) 函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是________．
解析： 因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，所以－1,1为函数的极值点．又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上f(x)max＝1，f(x)min＝－19.又由题设知在区间[－3，2]上f(x)max－f(x)min≤t，从而t≥20，所以t的最小值是20答案：20
2、(;武汉模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导函数为f′(x)，当x∈(－∞，0]时，恒有xf′(x)F(2x－1)的实数x的取值范围是________．
解析：由F(x)＝xf(x)，得F′(x)＝f(x)＋xf′(x)＝xf′(x)－f(－x)<0，所以F(x)在(－∞，0)上单调递减，又可证F(x)为偶函数，从而F(x)在[0，＋∞)上单调递增，故原不等式可化为－3<2x－1<3，解得－1<x<2.
答案：(－1,2)
二、例题教学：
例1 已知函数f(x)＝ aln x， x≥1(－x3＋x2＋bx＋c，x<1，)的图象过点(－1,2)，且在x＝3(2)处取得极值．
(1)求实数b，c的值；
(2)求f(x)在[－ 1，e](e为自然对数的底 数)上的最大值．
解 ：(1) 当x<1时，f′(x)＝－3 x2＋2x＋b，
由题意得＝0，(2)即＋b＝0，(4)
解得b＝c＝0.
(2) 由(1)知，f(x)＝aln x， x≥1.(－x3＋x2， x<1，)
①当－1≤x0，解得0<x<3(2)；令f′(x)<0，解得－1≤x<0或3(2)<x0时，f(x)>0，f(x)在[1，e]单调递增，此时，所以f(x)在[1，e]上的最大值为a.
综合①②得，所以当a≥2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为a；
当a<2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为2.
例2、如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M为︵(EF)的中点，其所在圆O的半径为4 dm(圆心O在弓形EFM内)，∠EOF＝3(2π).将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗)，AD∥EF，且点A、 D在︵(EF)上，设∠AOD＝2θ.
(1)求矩形铁片ABCD的面积S关于θ的函数关系式；
(2)当矩形铁片ABCD的面积最大时，求cos θ的值．
[解] (1)设矩形铁片的面积为S，∠AOM＝θ.
当0<θ<3(π)时(如图①)，AB＝4cos θ＋2，AD＝2×4sin θ，
S＝AB×AD＝(4cos θ＋2)(2×4sin θ)
＝16sin θ(2cos θ＋1)．
当3(π)≤θ<2(π)时(如图②)，AB＝2×4cos θ，
AD＝2×4sin θ，
故S＝AB×AD＝64sin θcos θ＝32sin 2θ.
综上得，矩形铁片的面积S关于θ的函数关系式为
(2)当0<θ<3(π)时，求导，得
S′＝16[cos θ(2cos θ＋1)＋sin θ(－2sin θ)]
＝16(4cos2θ＋cos θ－2)．
令S′＝0，得cos θ＝8(33－1).
记区间(0，3(π))内余弦值等于8(33－1)的角为θ0(惟一存在)．列表：
θ (0，θ0) θ0 (θ0，3(π))
S′ ＋ 0 －
S 增函数 极大值 减函数
又当3(π)≤θ<2(π)时，S＝32sin 2θ在[3(π)，2(π))上为单调减函数，
所以当θ＝θ0即cos θ＝8(33－1)时，矩形的面积最
变式训练：
一个圆柱形圆木的底面半径为1 m，长为10 m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD(如图所示，其中O为圆心，C，D在 半圆上)，设∠BOC＝θ，木梁的体积为V(单位：m3)，表面积为S(单位：m2)．
(1)求V关于θ的函数表达式；
(2)求θ的值，使体积V最大；
(3)问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．
解：(1)梯形ABCD的面积
SABCD＝2(2cos θ＋2)•sin θ＝sin θcos θ＋sin θ， θ∈(0，2(π))，
体积 V(θ)＝10(sin θcos
θ＋sin θ)，θ∈(0，2(π))．
(2)V′(θ)＝10(2cos2θ＋cos θ－1)＝10(2cos
θ－1)(cos θ＋1)．
令V′(θ)＝0，得cos θ＝2(1)，或cos θ＝－1(舍)．
∵θ∈(0，2(π))，∴θ＝3(π).
当θ∈(0，3(π))时，2(1)<cos θ0，V(θ)为增函数；
当θ∈(3(π)，2(π))时，0<cos θ<2(1)，V′(θ)<0，V(θ)为减函数．
∴当θ＝3(π)时，体积V最大．
(3)木梁的侧面积S侧＝(AB＋2BC＋CD)•10
＝20(cos θ＋2sin2(θ)＋1)，θ∈(0，2(π))．
S＝2SABCD＋S侧＝2(sin θcos θ＋sin θ)＋20(cos θ＋2sin2(θ)＋1)，θ∈(0，2(π))．
设g(θ)＝cos θ＋2sin2(θ)＋1，θ∈(0，2(π))．
∵g(θ)＝－2sin22(θ)＋2sin2(θ)＋2，
∴当sin2(θ)＝2(1)，即θ＝3(π)时，g(θ)最大．
又由(2)知θ＝3(π)时，sin θcos θ＋sin θ取得 最大值，
所以θ＝3(π)时，木梁的表面积S最大．
综上，当木梁的体积V最大。
巩固练习：
完成专题强化训练的相应内容。
区域：不限地区
赣榆智贤中学学年度第二学期教学案例
学科：SX
编写时间：
编号：NO:015
主备人：
复备人：
教学内容：导数及其应用（3）
教学目标：
1.导数的几何意义
2.利用导数研究函数的性质
教学重点：
1.导数的实际运用；
2.导数的综合运用
教学难点：
导数的综合运 用
教学过程：
一、例题教学：
例1、（;高考江苏卷)已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．
(1)证明：f(x)是R上的偶函数；
(2)若关于x的不等式mf(x )≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；
(3)已知正数a满足：存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0)0)，则t>1，
所以m≤－t－1t2－t＋1＝－1t－1＋1t－1＋1对任意t>1成立．
因为t－1＋1t－1＋1≥2t－1•1t－1＋1＝3，
所以－1t－1＋1t－1＋1≥－13，
当且仅当t＝2，即x＝ln 2时等号成立．
因此实数m的取值范围是－∞，－13.
(3)令函数g(x)＝ex＋1ex－a(－x3＋3x)，
则g′(x)＝ex－1ex＋3a(x2－1)．
当x≥1时，ex－1ex>0，x2－1≥0，又a>0，故g′(x)>0.
所以g(x)是[1，＋∞)上的单调增函数，因此g(x)在[1，＋∞)上的最小值是g(1)＝e＋e－1－2a.
由于存在x0∈[1，＋∞)，使ex0＋e－x0－a(－x30＋3x0)<0成立，当且仅当最小值g(1)<0.
故e＋e－1－2ae＋e－12.
令函数h(x)＝x－(e－1)ln x－1，则h′(x)＝1－e－1x.
令h′(x)＝0，得x＝e－1.
当x∈(0，e－1)时，h′(x)0，故h(x)是(e－1，＋∞)上的单调增函数．
所以h(x)在(0，＋∞)上的最小值是h(e－1)．
注意到h(1)＝h(e)＝0，所以当x∈(1，e－1)⊆(0，e－1)时，h(e－1)≤h(x)<h(1)＝0；
当x∈(e－1，e)⊆(e－1，＋∞)时，h(x)<h(e)＝0.
所以h(x)<0对任意的x∈(1，e)成立．
①当a∈e＋e－12，e⊆(1，e)时，h(a)<0，即a－1<(e－1)ln a，从而ea－1h(e)＝0，即a－1>(e－1)ln a，故ea－1>ae－1.
综上所述，当a∈e＋e－12，e时，ea－1ae－1.
变式训练：
(;淮安信息卷)已知函数f(x)＝ax3－x2＋bx(a，b∈R)，f′(x)为其导函数，且x＝3时f(x)有极小值－9.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若g(x)＝2mf′(x)＋(6m－8)x＋6m＋1，h(x)＝mx，当m>0时，对于任意x，g(x)和h(x)的值至少有一个是正数，求实数m的取值范围；
(3)若不等式f′(x)>k(xln x－1)－6x－4(k为正整数)对任意正实数x恒成立，求k的最大值．
解：(1)由f′(x)＝3ax2－2x＋b，因为函数在x＝3时有极小值－9，
所以27a－6＋b＝027a－9＋3b＝－9，从而得a＝13，b＝－3，
所求 的f(x)＝13x3－x2－3x，所以f′(x)＝x2－2x－3，
由f′(x)<0解得－1<x0时，若x>0，则h(x)＝mx>0，满足条件；
若x＝0，则g(0)＝1>0，满足条件；
若x<0，g(x)＝2m(x－4－m2m)2＋1－
①如果对称轴x0＝4－m2m≥0，即0＜m≤4时，g(x)的开口向上，故在(－∞，x0]上单调递减，又g(0)＝1，所以当x0；
②如果对称轴x0＝4－m2m＜0，即4＜m时，Δ＝(2m－8)2－8m<0，解得2<m<8，故4＜m 0.
所以m的取值范围为(0,8)．
(3)因为f′(x)＝x2－2x－3，所以f′(x)>k(xln x－1)－6x－4等价于x2＋4x＋1>k(xln x－1)，
即x＋k＋1x＋4－kln x>0，
记φ(x)＝x＋k＋1x＋4－kln x，则φ′(x)＝1－k＋1x2－kx＝x＋1x－k－1x2，
由φ′(x)>0，得x>k＋1，
所以φ(x)在(0，k＋1)上单调递减，在(k＋1，＋∞)上单调递增，
所以φ(x)≥φ(k＋1)＝k＋6－kln(k＋1)，
φ(x)>0对任意正 实数x恒成立，等价于k＋6－kln(k＋1)>0，即1＋6k－ln(k＋1)>0，
记m(x)＝1＋6x－ln(x＋1)，
则m′(x)＝－6x2－1x＋10，m(7)＝137－ln 8 0)．
(1) 当a＝2时，求f(x)的单调区间与极值；
(2) 对∀x∈(0，＋∞)，f(x)0)．
令f′(x)＝0，得x＝12.
f′(x) ＋ 0 －
所以，f(x)在0，12上单调递增，在12，＋∞上单调递减，f(x)极大值＝f12＝－ln 2－1，无极小值．
(2) 对∀x∈(0，＋∞)，f(x)<0恒成立，即对∀x∈(0，＋∞)，ln xx<a恒成立，因此ln xxmax0；x∈(e，＋∞)时 ，h′(x)1e，即a∈1e，＋∞.
区域：不限地区
江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题二 第1讲 三角函数（1）教学案
教学内容：三角函数的图象与性质（1）
教学目标：
1三角函数的图象与解析式
2.利用三角函数的图象与解析式
教学重点：
1.求三角函数的解析式；
教学难点：
三角函数的图象与解析式
教学过程：
一、知识点复习：
1．必记的概念与定理
(1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，sin αcos α＝tan α.
(2)诱导公式：在kπ2＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
(3)三角函数的图象及常用性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
单调性 在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[π2＋2kπ，3π2＋2kπ](k∈Z)上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减 在(－π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)上单调递增
对称性 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝π2＋kπ(k∈Z) 对称中心：(π2＋kπ，0 )(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z) 对称中心：(kπ2，0)(k∈Z)
2.记住几个常用的公式与结论
对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)要记住下面几个常用结论：
(1) 定义域： R.
(2)值域：[－A，A]．当x＝2kπ＋π2－φω(k∈Z)时，y取最大值A；当x＝2kπ－π2－φω(k∈Z)时，y取最小值－A.
(3)周期性：周期函数，周期为2πω.
(4)单调性：单调递增区间是
2kπ－π2－φω，2kπ＋π2－φω(k∈Z)；
单调递减区间是2kπ＋π2－φω，2kπ＋3π2－φω(k∈Z).
(5)对称性：函数图象与x轴的交点是对称中心，即对称中心是(kπ－φω，0)，对称轴与函数图象的交点纵坐标是函数的 最值，即对称轴是直线x＝kπ＋π2－φω，其中k∈Z.
(6)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，A影响函数图象的最高点和最低点，即函数的最值；ω影响函数图 象每隔多少重复 出现，即函数的周期；φ影响函数的初相．
(7)对于函数y＝Asin(ωx＋ φ)(A >0，ω>0)的图象，相邻的两个对称中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的四分之一．
3．需要关注的易错易混 点
三角函数图象平移问题
(1)看平移要求： 拿到这类问题，首先要看题目要求由哪个函数平移到哪个函数，这是判断移动方向的关键点．
(2)看移动方向： 在学习中，移动的方向一般我们会记为“正向左，负向右”，其实，这样不理解的记忆是很危险的．上述规则不是简单地看y＝Asin(ωx＋φ)中φ的正负，而是和它的平移要求有关．正确地理解应该是：平移变换中，将x变换为x＋φ，这时才是“正向左，负向右”．
(3)看移动单位： 在函数y＝Asin(ωx＋φ)中，周期变换和相位变换都是沿x轴方向的，所以ω和φ之间有一定的关系，φ是初相位，再经过ω的压缩，最后移动的单位是|φω|.
二、基础训练：
1 ．函数y＝tanx－π4的定义域是________．
解析： ∵x－π4≠kπ＋π2，
∴x≠kπ＋3π4，k∈Z.
答案：x|x≠kπ＋3π4，k∈Z
2．(;南京模拟)函数f(x)＝sin x cos x的最小正周期是________．
解析：由题知f(x)＝12sin 2x，所以T＝2π2＝π.
3．将函数y＝2sinπ3x的图象上每一点向右平移1个单位长度，再将所得 图象上每一点的横坐标扩大为原来的π3倍(纵坐标保持不变)，得函数y＝f(x)的图象，则f(x)的解析式为________．
解析：函数y＝2sinπ3x向右平移 1个单位得
y＝2sinπ3(x－1)＝2sinπ3x－π3，
将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的π3倍(纵坐标保持不变)，
则y＝2sinπ3•3πx－π3，
即y＝2sinx－π3.
答案： y＝2sinx－π3
4．(;连云港模拟)函数f(x)＝2sinx－π4，x ∈[－π，0]的单调增区间为________．
解析： 当x－π4∈2kπ－π2，2kπ＋π2，k∈Z时，f(x)单调递增，又因为x∈[－π，0], 故取k＝0得x∈－π4，0.
三、例题教学：
例1、 (;扬州模拟)若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，这个函数的解析式为________．
[解析] 由题意知：周期T＝2(5π6－π3)＝π，
ω＝2πT＝2，
设f(x)＝Asin(2x＋φ )，
点(π3，0)为五点作图中的第三点，所以2×π3＋φ＝π，
即φ＝π3.
设f(x)＝Asin(2x＋π3)，因为点(0，32)在原函数的图象上，故Asinπ3＝32，所以A＝3，综上知：
f(x)＝3sin(2x＋π3)．
[答案] f(x)＝3sin(2x＋π3)
变式训练：
1．(;高考江苏卷)已知函数y＝cos x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．
解析：由题意，得sin2×π3＋φ＝cosπ3，
因为0≤φ0，－π2<φ<π2)的图象如图所示，直线x＝3π8，x＝7π8是其两条对称轴．
(1)求函数f(x)的解析式并写出函数的单调增区间；
(2)若f(α)＝65，且π8<α0，故ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，
由f(3π8)＝2sin(3π4＋φ)＝2，解得φ＝2kπ－π4(k∈Z)，
又－π2<φ<π2，∴φ＝－π4，∴f(x)＝2sin(2x－π4)，
由2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2(k∈Z)知，
kπ－π8≤x≤kπ＋3π8，(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调增区间为[kπ－π8，kπ＋3π8](k∈Z)．
(2)依题意得：2sin(2α－π4)＝65，
即sin(2α－π4)＝35，
∵π8<α<3π8， ∴0<2α－π4<π2，
∴cos(2α－π4)＝ 1－sin22α－π4＝ 1－ǡ2＝45，
f(π8＋α)＝2sin[(2α－π4)＋π4]，
∵sin[(2α－π4)＋π4]＝sin(2α－π4)cosπ4＋cos(2α－π4)sinπ4＝22(35＋45)＝7210，
∴f(π8＋α)＝725.
巩固练习：
完成 专题强化训练。 复备栏
区域：不限地区
江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题二 第1讲 三角函数（2）教学案
教学内容 ：三角函数的图象与性质（2）
教学目标：
1三角函数的图象与解析式
2.利用三角函数的图象与解析式
教学重点：
1.求三角函数的解析式；
教学难点：
三角函数的图象与解析式
教学过程：
一、基础训练：
1 ．已知ω>0，函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．
解析：由π2<x 0得ωπ2＋π4<ωx＋π40，ω>0,0≤φ<2π)在R上的部分图象如图所示，则f(2 015)的值为________．
解析：由图知A＝5，T＝12，从而ω＝π6，φ＝π6，
解析式为f(x)＝5sin(π6x＋π6)，
故f(2 015)＝f(11)＝0.
3．(;连云港二模)若函数y＝3sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点π3，0中心对称，则φ＝________.
解析：由题意得sin23π＋φ＝0，所以23π＋φ＝kπ(k∈Z) ．又因为0<φ0，ω>0)的部分图象如图所示，记k＝1nf(k)＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n) ，则n＝111f(n)的值为 __________.
解析：由图象可解得f(x)＝2sin(π4x)，n＝111f(n)＝2(sinπ4＋sin2π4＋…＋sin11π4)＝22＋2.
答案：2＋22
（2）已知角φ的终边经过点P(1，－1)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)图象上的 任意两点，当|f(x1) －f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为π3，则fπ2＝________.
解析：当|f(x1)－f(x2)|＝2时， |x1－x2|的最小值为T2＝π3，所以12•2πω＝π3，所以ω＝3.又因为角 φ的终边经过点P(1，－1)，所以φ＝2kπ－π4(k∈Z)，所以f(x)＝sin3x－π4，
所以fπ2＝sin32π－π4＝sin54π＝－22.
答案： －22
例2、已知函数f(x)＝4sin xcosx＋π3＋3.
(1) 求f(x)的最小正周期；
(2) 求f(x)在区间 －π4，π6上的最大值和最小值及取得最值时x的值．
解：(1) f(x)＝4sin xcos xcosπ3－sin xsinπ3＋3
＝2 sin xcos x－23sin2x＋3
＝sin 2x＋3cos 2x
＝2sin2x＋π3，
所以T＝2π2＝π
(2) 因为－π4≤x≤π6，所以－π6≤2x＋π3≤2π3，
所以－12≤sin2x＋π3≤1，所以－1≤f(x)≤2，
当2x＋π3＝－π6，即x＝－π4时，f(x)min＝－1，
当2x＋π3＝π2，即x＝π12时，f(x)max＝2.
变式训练：
1、(;马鞍山模拟)已知函数f(x)＝cos2x－π3＋2sin2x，x∈R.
(1) 求函数f(x)的最小正周期及对称轴方程；
(2) 当x∈0，π2时，求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值．
解：(1)f(x)＝cos2x－π3＋2sin2x
＝12cos 2x＋32sin 2x＋1－cos 2x
＝32sin 2x－12cos 2x＋1＝sin2x－π6＋1.
所以f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π，
由2x－π6＝kπ＋π2，得对称轴方程为x＝kπ2＋π3，k∈Z.
(2) 当x∈ 0，π2时，－π6≤2x－π6≤5π6，
所以当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)max＝2；
当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(x)min＝12.
三、巩固练习：
完成专题强化训练的练习。
完成专题强化训练。 复备栏
网站合作&&|&&
友情链接&&|&&
联系我们&&|&&
新手上路&&|&&
我要留言&&|&&
版权声明&&|&&
网站地图&&|&&诚聘英才
免费热线：400-400-400 传真：010- 邮箱： 北京市公安局分局备案号：XX
Copyright (C) 2001 - 2015
区域教学资源管理平台 京ICP备1204439X号-88
