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一年上数学学情分析
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北京师范大学数学系本科学生学习状况调查
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北京师范大学数学系本科学生学习状况调查
官方公共微信怎么看待「互联网产品经理做数据分析，但没有统计学、数学等专业背景」？
产品经理很少是统计、数学等专业出身，面对繁杂的数据分析时，如何科学的分析数据呢？
而统计、数学等专业背景的人来担当产品经理，有何优势和劣势？
有的大公司有专业的数据分析挖掘人员，那产品经理如何和他们搭配合作？有的创业公司，没有专人充当数据分析，产品经理如何处理好数据、用户、产品等一系列工作呢？
感觉产品经理需要有：统计学、心理学、设计、程序开发、市场营销等各种专业知识，但如果只是其中一项精通，其他几项业余水平，这样能胜任产品一职吗？
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数据分析有很多层次，并非所有做数据分析的人都必须数理统计相关的专业出身才行。一般意义的数据分析，尤其是中小企业，传统的是对以往销售数据分析，辅助决策下个周期的采购或营销计划等。随着互联网的发展，个性化推荐与广告推送需求凸显，B2C也直接让数据的价值越来越明显，所以就有了很多数据分析相关的职位；而这些工作的胜任，只需要基础的计算和统计培训，再加上常规excel或者专业统计软件的基本用法的练习即可；相比而言对业务的理解能力更加重要，数据分析只是手段。真正数据挖掘相关的数据分析，或者说垂直领域的侠义的数据分析，就是指数据挖掘，从问题识别，建模，算法设计与计算求解，到后期 验证，对比分析，结论报告等，是将数理方法应用于实践问题的复杂过程。比如 我从事过的生物信息数据分析，面对的是ATCGAGAGAG这样的序列数据，一个人的基因组约3G，测序出来后会有N个乘数，也就是 3G x n，这是原始数据；基于此开始一系列常规的分析，然后每个细分的方向，各个小组开展各自的分析；出了常规分析，可能还需要从现有的数据中挖掘新的信息出来，尽可能地寻找与表型可能关联的“本质原因”，只有建立很多的关联可能性，才可能将基因组数据分析结论应用于个体的健康检测或疾病诊疗。这个层次所要求的不只是会使用statistica, R,SPSS,SAS这么简单(此时往往SPSS,SAS都不满足需求，大多用于工程类或实践性强的场景)，具备本科或研究生水平的数理统计专业知识背景，还要求全面的系统知识、丰富的实践经验、极强的动手实践能力，等等。 最简单的例子，你所面对的问题是：一个癌症病人，你拥有他的基因组数据，你能为他做些什么？ 虽然看起来很宏大，但实践起来也是一个一个的工作任务执行的。
又比如，我做过的一个数学建模：油田5年规划。 一个油田的产油量取决于很多因素，往往一口井开始时产量高，然后逐渐降低；油田为了稳产或持续增产，会采取N多措施。 如果在5年中合理采取N中措施，保持整个油田稳产或持续增产？已知过去的产油量数据。 这是典型的实践中的数据分析案例，结合了模拟、建模、预测、规划等问题，可以采取多种方法设计多种方案对比验证，最后给出报告。[ 实践中也确实如此，一个地方政府或部门的投资分析或财务规划就更典型了 ，类似的都属于“指定目标、优化分配资源以达成目标”的范畴。]综上，粗略地划分3个层次。LZ所谓的产品经理级别的数据分析属于level 2 。此类书籍可参考《数据分析之美》，《谁说菜鸟不会数据分析》等。
感谢邀请。最近一直在生病，基本晚上都很早休息，没有时间上线。
好吧。产品经理做数据分析，并不是从一堆原始数据里面扑拉出一堆数字，然后进行统计、分析。而更多的是在已经做好的数据上对数据与产品的关系上进行分析。
这样的分析，其实很多是现象-数据-现象这样并不复杂的联系，如果一定要每个产品经理都在数据分析上玩儿出花儿来，那让数据分析人员来做产品经理不就得了。
这里的关键在于，产品经理应该了解利用各种资源和资料，包括数据、设计、心理等各种层面的知识，帮助自己做好最重要的工作，即产品设计与运营。其他的都是扯淡。
这个问题像是“怎么看待不懂钛合金螺旋桨铸造工艺的人过年坐飞机回家”。。。
其实我们常见的互联网数据分析，并不需要太多技术背景，更重要的是对自身业务的理解，和数据化运营的科学态度(我勒个去...)
两年前我是从程序猿转到数据分析师的，不过不是因为会数据挖掘神马的高科技，而是因为感觉没有数据支持的推广和运营太不靠谱了，大把的钱投广告，大把的钱搞在线活动，你都不知道效果怎么样，心虚啊。。。
我理解的数据分析师，应该是了解业务，从业务需求出发，衔接数据挖掘等技术团队，获得所需的数据，通过自身对业务的理解得到答案，为相关业务部门提供指引的。
我们会发现这个角色并不需要太多技术基础，而是要深入的了解自己的产品。知道网站的流量都分布在哪些产品、每个产品的流量又分布在哪些功能和页面，要知道网站的流量来源、不同来源的用户行为有什么区别、喜欢哪些功能和内容。。。有了这些了解，他看到数字以后才能告诉你，数字背后意味着什么，让数据发挥它的价值。
然后我们回过头来看，上边那堆东西，不正好是一个产品经理应该了解的吗:)
“感觉产品经理需要有：统计学、心理学、设计、程序开发、市场营销等各种专业知识，但如果只是其中一项精通，其他几项业余水平，这样能胜任产品一职吗？”-------------------------------------------回答一下你最后一个问题：你提的这5项里，市场营销排第一，设计排第二。其它都不重要。
仅对技术的要求来看1.查数 = 数据分析（知道pv,uv,点击流，能写sql和脚本扫log）2.在1T的log级别上查数 = 大规模数据分析，用户行为分析（要用hadoop了）3.用svm,朴素贝叶斯，knn一类的，不能叫数据分析了，叫数据挖掘了（R，matlab，python科学计算等）技术其实不重要，关键是对业务的理解
他們什麼都知道，還要我們這些專門學統計的幹嘛？
企业中用数据来分析和解决问题，问题也许是很复杂的，但是问题的解决方法却不能复杂化。数据分析有一个很重要的功能，就是要用大家都能理解的数学语言来做沟通，除非是专业研究性质的分析工作和分析团队。不懂业务就做数据分析，很致命，工作中遇到很多人，拿着大学里学的数学方法或者模型，就以为可以做工作了，分析的结果必定价值很低，而且不少人都不喜欢钻研业务，始终处在技能和业务的中间游离状态。所以我目前的体会是，大多数企业以解决问题为导向的数据分析，一定要逻辑清晰，精通业务，善于发现问题，这是最核心的能力，而这正是产品经理的优势所在。
简单的说需要用的时候，就学呗...不要太把“专业背景”当回事就想想，在你的专业里，上几年大学真正学到核心的知识，有多少？要做定量的分析，去找本应用统计学之类的看看，基础的统计学知识挺易懂的要做定性的研究和掌握各种研究方法，也有一堆书可以读，在实践中探索一下最重要的是联系实际+应用+学习不要以为玩几个模型、顶个学位就叫“专业”了真的需要非常专业的数据挖掘和统计分析时就去请真正聚焦在这个上面的人做吧如果没人做又真需要呢？就自己再学深点...前几天和一个朋友聊，真正做产品的时候，别去想你以前是做技术的、做设计的还是其他的你就是要做好这东西缺啥补啥，做好就行
业务水平很容易培养，但是专业领域，诸如数学等是很难再工作中培养的。好多数学方法和思想不是一朝一夕可以学会的，比如建模，比如抽象问题的能力。
另外也需要一些基本的编程能力，比如给你10G的文本文件你怎么处理？ 产品经理不是神仙，仅靠热情是不够的，一些高端职位还是需要专业的人才来搞定。
如果用不起这样的人，干脆就不用设岗，一个不靠谱的人分析的结论你敢采用吗？
产品分析生物链：
1.产生需求-2.整合需求-3.数据实施-数据分析（报表+深度分析）-4.分析结果传递-5.产品经理应用-6.数据应用反馈；
整个过程中2、3是数据分析专业人员做的，但需求的提出、整合、沟通、应用反馈几乎是产品经理主导的，没有靠谱的需求就没有靠谱的分析更不可能有靠谱的应用了，所以：
1. 了解数据的基本概念与原理，因为数据也会撒谎，同一纬度的统计不同会产生完全不同的结论；
2.多看数据，数据的感觉与产品和其它艺术一样看多了培养起来的；
3.与分析师多沟通需求，把需求弄清楚细分挖掘比做一百个似是而非的需求强，宁精勿烂；
4.清楚业务之间的逻辑关系，数据从来不是独立的需要不断的看各数据间的关系，找出规律得出结论，有时候逻辑错了，方向就反了；
5.不要迷信数据但也不要轻视数据，欠久了基础到时候需要的时候可没那么好补；
6.数据分析是把那些隐藏的你看不到的真象给清楚的表达出来，是高效直接有力的，如同神经网络一样，数据分析不断的沟通过程是学习的过程，比较成功的分析结果是这个学习过程是成功的，最终的预测结论便是成功的，这个学习过程无逻辑可参考性低当然预测也就失败了。
产品经理只要清楚自己想知道哪些数据之间的什么样的关系就可以了，并能够准确表达给专门的数据分析师，由他们出报表。
人的时间是有限的，数据分析也不是产品经理的主要工作，所以不能要求自己对这方面很专业。即使没有专业人员帮你，玩好google analytics也够用了
和专业背景关系不大，欲望，如果你热爱你的产品，你会想尽一切办法，掌握好数据分析这一技能，做好自己的产品。如果不热爱，哪怕你是数据分析牛人，这种技能对产品也毫无用处。
我来分享一段微博。@陈果IBM：
IBM刚收购了牛叉的零售“价格优化软件”Demandtec。记得看过篇Forbes文章，某连锁店纸尿布销售缓慢，盈利能力低，求教于此牛软，通过分析历史销售、竞争对手和消费者数据，新生儿尿布价格卖得更贵，大孩卖得比竞争对手便宜。一年后，此品类销售上升27%，利润上升2%。地球人已没法阻止IBM的BAO脚步了。
同理于有一个超市通过把啤酒放在尿布旁边，来同时提升两者的销售额的一个闲谈故事。
从数据中看出人味，再得以利用。这是很多职业所需要的素质。
看到了有些回复质疑统计学和其他数理方法的应用，而且原因是因为他不够了解这些方法。既然是“数”据，就不能仅仅是文字或者用傻瓜软件处理一下，而是用相应数的逻辑（统计里叫做数据分布背后的东西）来发现有价值的规律。这个数的逻辑，软件并不拥有。虽说这些逻辑方法不一定在大部分情形下都是最好的，至于后来用文字描述其中的哲理，这是报告的部分，不在黑盒子里了。豆瓣阿北曾经提出一个“15分钟名组”问题，推荐给知乎网友们做一个相关思考。
我学统计学的，但我没找到数据分析的工作……
做数据分析必须要统计学或数学背景的人么？为什么呢？按照上面的逻辑，统计学和数学专业的人数据分析就没问题？其实数据分析分为2个过程，1数据整理 2数据分析整理需要统计专业、数学专业的相关人才来操作。但是，分析则人人都可以特提出自己的分析意见。
产品经理不搞数据挖掘，涉及不到什么统计算法，产品经理需要知道哪些数据与产品目标相关，数据如何帮助产品确定策略就行了，复杂的数据统计工作交给专业人士就可以，当然基本的EXCEL操作是必须的，不然怎么做月报，年度报告呢？
数据分析只是产品经理的一项技能之一，但是PM没必要一定要与BI专业。PM更重要的基于业务上的充分了解基础上，用数据分析结果去发现产品存在的问题，为下次产品迭代做好准备。有时候数据会说谎的，发现数据存在的问题，如何正确的运用分析结果，这才是产品经理的数据分析重中之重。
我觉得产品经理即使没有学过统计学等数学只是，只要会电脑EXCEL，也就差不多了。再说当下没有几个产品经理会吓到数据处理第一线吧，他们都应该是得到数据处理人员的整理，而后继续加工的。产品经理可以从数据中看到产品的前途，看到其价值的大小。
一、统计数据的思路 比 统计数据的技巧或能力更重要;好的产品下配备专业的数据分析员； 二、一般的产品只需要普通的EXCEL技巧就能完成常量的数据分析；不需要SPSS； 三、一般的本科生都具备一定的统计学知识，能应付多数产品的统计调研分析； 四、学习能力是产品经理必备素质，快速学习，现学现用上饶市潘红霞小学数学工作室
当前位置：&&
《学情分析与小学数学教学》 专题讲座
上传: 潘红霞 &&&&更新时间： 10:42:45
&&&&& & 教师的教和学生的学之间如何密切地配合好，与老师对学生情况是否了解有着非常重要的关系。所以在写教学设计的时候，都有关于学情分析的内容。其中更多的关注的是学生的学习情况，比如说相关的基础知识掌握的怎么样呢？但是只是这样的话又有点片面。如果只是从知识的角度来了解学生，虽然很重要，但是似乎不够全面，因此想从关注学生需求的角度，谈谈学生学习之前的各种情况，也就是说学生在学习知识的时候，在上课时候，其实他有各个方面的很多需求。对于这方面，如果我们老师对学生需求了解的多一些，了解的全面一些，了解的深入一些，那么对课堂教学和老师之间达成默契，提高课堂教学的效率，那是非常有好处的，下面从这个角度来说一说。
&&&&&&&& 一、关注兴趣需求，激发情感动力
&&&&&&& 我们大家都很重视学生学习的兴趣。有人说，兴趣是最好的老师。也有的专家讲过，小学数学教学这点事，不外乎主要是两个方面，一个是兴趣，一个是习惯，这两点都是非常重要的。但是我在这里想说，一个老师为了激发、调动学生的学习兴趣，往往会创造一个很有趣味的情境。您创造的那个情境，无论它怎样引起同学的兴趣，一定要和您这节课，这个单元所讲的知识要紧密相配合、紧密联系。如果说两者之间是两层皮的话，那是不可取的，与其要是创造一个与知识联系不大的情境的话，那么这个情境还不如不创设。开门见山，倒也不错，所以说关注学生的兴趣是很重要的，从中我觉得可以激发学生的一种情感动力，这是很重要的。
【 案例 1 】
&&&&&&&&我们举个例子来说，大家看到是一只很可爱的小猴子驮着一条常常的尾巴，我们上课的时候，会给同学们出示这个教具，这就是我们所看到的这只小猴子驮了一条尾巴。而且很明显，小猴子的身子是在一个正六边形上，而它的尾巴是在正四边形上。我们会给同学提出这样一个问题：如果我们把它转动起来，比如说这样转动一次，这样转动两次，然后问同学们：大家猜一猜，至少要转动多少次，猴子的尾巴就会重新回到它的身上来。老师们猜猜看，学生如果要说，他可能猜几次，可能猜几次，对了，很多学生都猜成六次，甚至几乎全班同学都异口同声都说六次。
&&&&&&&& 然后我们就用实物往上转一转，这里我们没有实物投影，我只有这样转转大家看，我们一起来数，这个转动一次，然后两次，三次，然后四次，转错了，我重新转。来，我们一起来转转看好吧！大家看，这样转动一次，两次，三次，四次，五次，六次，转了以后同学发现，好像是回来了，猴子尾巴回来了，但是方向却反了，朝那边了，他就觉得不可思议。一开始信誓旦旦的说六次，可是为什么转了六次以后，猴子尾巴没有回到他的身上来，你说产生一种困惑，产生一种需求，这种需求就要探究究竟为什么六次是不对的，当然这时候还有不少同学猜测，老师，看来六次不行，得十二次，于是 老师就带领大家继续转下去，等十二次以后，就回来了，就转到这里来了，大家又高兴了，于是我们就要研究了，为什么不是六次，而是十二次。想不想研究这个问题，学生说想研究，这个时候我们要发给各组学具，发给各组同学的学具是不太一样的。
&&&&&&&&比如说有的是狮子，这两小组都是狮子，大家会看到，狮子的头在正九边形上，而尾巴在正六边形上，现在老师就可以正确计算了，那么要使狮子的尾巴重新回到它的身上，至少需要转多少次呢？没有问题，十八次，对吧，十八次。还有的小组我们发的是这样的乌龟，乌龟的头在四边形上，身子在正五边形上，这么转、转，得转多少次才第一次回到它的身上来呢，当然他需要转二十次，我们还有一些其他的学具，其他的动物也都很可爱，很可惜我找不到了，所以只拿了这几张请大家来观摩。那么比如我们拿第一个例子来说，至少学习转十二次就可以回来，我们还可以引导同学进一步猜想，如果再继续转下去，继续转下去，下一次猴子的尾巴再回到它的身上应该是多少次呢，小孩很会猜，第二十四次，再下一次，三十六次，再一次，四十八次等等等等，我们就带领大家研究为什么没有六次，没有四次，而是十二次，二十四次。我们就会发现所转动次数，应该是 6 的倍数才能回到这个位置上来，而且还应该是 4 的倍数才能使猴子的尾巴成这样一个方向和状态。因此说所转的倍数、所转的次数应该是 6 的倍数，也同时应该是 4 的倍数，也就是说它应该是 6 和 4 之间那个公有的、共同的那个倍数，我们就把这样的数叫做 6 和 6 的公倍数。
&&&&&&& 像 12 、 24 、 36 、 48 、 60 、 72 等等，都是这样的，而在这个公倍数当中，其中最小的那一个我们就把它叫做最公倍数。好了，我们当年讲最小公倍数就是这样讲的，我们讲了以后，很多老师都很喜欢，纷纷跟我们借教具上这节课。当然后来也有老师问我，您怎么想的让学生在桌子面上转小猴子的尾巴、转狮子的尾巴，让他们通过这种方式学习最小公倍数，又有效，又有趣。说实话，我说我就是好像在几年以前看过一本低幼读物，儿童读物，幼儿园的读物，那个读物里面有一个转和平鸽的那么一个活动，转和平鸽的尾巴，我觉得幼儿园的小朋友通过&转&来达到他的动手能力，达到手口一致的协调性，我觉得效果很好。
&&&&&&& 我想，完全可以搬到我们小学来，五年级讲最小公倍数用这种方式，同学一定特别感兴趣，而且效果应该相当不错，就是这样的。我们北京版教材，有的老师不太清楚，还有北京版教材在编排这个，编辑最小公倍数的教材内容时候，就把我们这个方式也编进教材去了，那我当然也很高兴，因为我们这个方式也得到了专家的认可。好了，这一节课向大家汇报的，我们第一个节目就是要关注兴趣，关注兴趣。
【 案例 2 】
&&&&&&& 再举个例子，五年级的可能性，这是我在北京郊区听这个农村老师，一位男老师讲的可能性，我觉得讲的不错，向老师们来介绍。大家一眼看到四张卡片，分别写的是五、六、七、八。那节课是这样的，两个同学一组，老师发给他们一个线装口袋，当时要求同学们打开，把线装口袋里面的东西都抖落在桌面上，同学就会发现，都是五、六、七、八四张卡片。老师说，好，把它扣回去，打乱，像洗牌一样，打乱，老师说：不再动了。如果这时候两个人你摸一张，他摸一张，如果摸得的数相乘的积，得奇数的话，甲胜；相乘的奇为偶数的话，另外一个同学胜。同学们，你觉得游戏公平吗？老师们猜猜看，同学说公平，还有说不公平的，同学们几乎都说公平，他们都说公平，原因很简单，他们至少看到五、六、七、八四个数当中，有两个奇数，有两个偶数，他们觉得老师给的条件就是公平的，所以顺理成章的这个游戏就应该是公平的。
&&&&&&&&老师说：大家认为公平，那我们就开始玩，于是两个同时开始玩，你摸一张，他摸一张相乘，你摸一张，他摸一张相乘，结果老师们，很快很快同学们发现了不公平，而且他们发现极度不公平，纷纷举手强烈的要求，跟老师说，老师不公平，这游戏太不公平了，太不公平了。老师说好，你们敢说不公平，这点很好，但是我们要研究，它究竟为什么不公平？我觉得老师这样引导是对的，为什么不公平？于是老师带领同学们在黑板上，就不厌其烦地做了六道题，比如说 5 & 6=30 ， 5 & 7=35 ， 5 & 8=40 ， 6 & 7=42 ， 6 & 8=48 ， 7 & 8=56 ，同学一看，哇，六道题的结果，只有五七三十五，这是唯一的奇数，其余五个都是偶数，原来这么不公平，他们强烈的找到了原因，发现真的很不公平。
&&&&&&& 那么到这里我们说教学怎么样呢？我们觉得仍然不到位，咱们有的时候上课，校长，教学干部说你这样教学不到位，什么叫不到位？咱们拿这个例子来说，同学已经感觉到不公平，而且也找到了原因，一个奇数，五个偶数，但是别忘了，我们这一节课的内容讲的是可能性，讲的可能性。老师应该引导同学从可能性这个角度来认识这个问题，才能件件到位。所以老师说，那谁知道这种状态下，这个时候得奇数的可能性有多大，得偶数的可能性又有多大？老师们，有多大，就是要量化，用一个数，通常用一个分数，当然也可以用百分数，只不过五年级这时候没有学百分数，我们就可以用分数来表示可能性的大小，这是高年级讲可能性的特点。
&&&&&&& 同学不难得出，得奇数的可能性是 1/6 ，得偶数的可能性是 5/6 ，而且 1/6 小于 5/6 ， 5/6 大于 1/6 ，对吧，而且很大于 1/6 ，可以这么说， 5/6 是 1/6 的五倍，对不对？ 5/6 是 1/6 的五倍，老师们，五倍，很悬殊的倍数关系。有时候讲到这个时候，我发现很多老师对这个没有什么反应，是吧，一说五倍，觉得好像没什么了不起，五倍有什么了不起，我们轻轻的俩嘴唇一碰，是吧，小数点稍微移动，两倍，原来的数扩大一百倍，是吧，扩大一百倍，一千倍都不在话下，这区区五倍，好像似乎何足挂齿。其实您错了，要关注学生的感觉，五倍其实是个很悬殊的倍数关系。
&&&&&&& 我给您举个中国的例子，比如说您教两班数学，你的工资比如每月两千元，那位老师跟您兼一样的课程，一样一样的工作量，但是他的工资不是两千，是多少呢？一万，是一万，而且不是这一个月，是年年月月，每月两千前、两千、两千，他一万、一万、一万，我估计您觉悟再高，同事关系再好，您也不会坐在那里心平气和的说，嗨，他工资不就是五倍吗，工资不就是五倍吗，不就是五倍吗，那么轻描淡写，不会的，五倍是非常悬殊的一个倍数关系。同学们对工资当然没有什么概念，但是对刚才的这个游戏他却记忆犹新，为什么？他老输，玩那么多次，他老输，甚至我估计有的同学从开始玩到老师喊停，有可能他连一次都没赢过，都有可能，您说是不是？所以当时就说了，现在我们感觉到了它不公平，而且找到了原因，而且会用分数来表示它可能性的大小很重要。
&&&&&&& 下一步，老师们请注意了，下一步更重要，老师说什么呢？我们能不能改一改，我们能不能把这游戏改一改，改这样它公平一些，这一点非常重要。同学非常记住了，老师能改，能改，因为他隐隐约约已经感受到，只有奇数乘奇数才得奇数，偶数乘偶数得偶数，那个奇数乘偶数，倒霉就倒霉在奇数乘偶数，它也得偶数，所以他想适当的增加奇数，去掉些偶数，所以面对的 5 、 6 、 7 、 8 ，有些同学就出主意了，老师咱们换得了，把 6 或者 8 改成一个奇数就好办了，不能都改，都改了就没数了，是不是？改一个。
&&&&&&&& 老师们猜猜，学生说改 6 还是改 6 ，我在旁边听课，您现在猜，很多学生是改 6 还是改 8 ，我们很多老师，大家觉得改 6 改 8 没区别，不就是一个奇偶性问题吗，是不是，又不是想求它的大小是多少，所以改 6 、改 8 是对等的，是一样的，但在同学眼里不是这样的，我那天听到是很多同学纷纷说，老师咱把 6 改改吧，改 6 ，为什么改 6 ？他们说了，老师您看把这 6 ，就是说您别忘了，同学手里有四张卡片，这别忘了，有四张卡片，所以他们把 6 举起来，比如说这个，这个不是 6 ，这是猴子，咱就当作 6 ，老师您看咱们把 6 ，咱们把 6 翻过来就是九，这是 6 ，翻过来就是 9 ，你看他多会改，是吧，把 6 翻过来就是九，因为八翻过来没有， 8 八翻过来还是 8 ，如果把 8 横过来就行了，是吗，把 8 横过来无穷大，他又不认识，是不是，所以他把 6 改成 9 ，多好。
&&&&&&& 我估计老师为什么选五、六、七、八，可能蕴含着这个意图，把 6 改成 9 。好，现在我们也把 6 改成 9 ，老师说了，同学们你们看，现在公平了吧，小孩都纷纷说，公平了，但是带有一定猜测性质，说公平了。我想和老师们探讨了，这个时候同学们感觉公平了，他猜测公平，还有没有必要让同学们再玩一玩，刚才玩可以叫做感受不公平，现在玩叫做感受公平，您看还有没有必要带领同学再玩一玩，有吗？有的老师说&有&，有的老师大概说没有，我的意见绝对是没有必要让同学们再玩了。咱们不算时间帐，再玩玩，时间不算怎么办，拖堂怎么办，咱们先不考虑这问题，这是另外一个角度的问题。咱们想说什么呢，刚才在不公平的前提之下，他怎么玩，怎么不公平，我们是有把握的，现在理论上是公平了，可是一组一组一组的玩起来之后，老师们，您能保证每组同学玩的结果都是公平的吗，是吧？比如说玩十次，您能保证那个同学赢五次，这个同学赢五次，能保证吗，不能保证，依然会出现，他赢 6 次，她赢 4 次；他赢 7 次，她赢 3 次，甚至他赢 8 次，他赢两次的情况也一定会出现，而且一般来说，多数组都不会五比五，那么在那种时候如果同学们再嚷嚷起来又质疑了，老师，老师，还是不公平，怎么办呢？怎么办呢，老师们，您说怎么办呢，没办法了，谁也都没办法了。
&&&&&&&&那时候老师只有一个办法了，非常勉强的，非常苍白无力的办法，就是解释，上课不是不可以解释，但解释不一样，有的是偏重于讲解，有的是偏重于您无奈的辩解，这就很苍白。有的老师的课，我听过，有老师这么解释：同学们，其实你们不知道，理论上是公平的，为什么你玩这个不公平呢？我跟你说，理由只有一个，原因只有一个，就是因为，就是因为我们玩的次数太少，玩的次数太少，你不来十次吗，你玩一百次，你玩一千次，一万次试试。还跟人说，有的玩了二十万次抛硬币，吧，还可以说：同学们，玩的次数越多，可能性越渐显 1/2 ，结果言多语失，这句话说错了，还说错了。
&&&&&&& 再一个问题，至少有这么两个特点，一个它是客观的，它是随机的，它是不以人的意志为转移的，不是我想得什么就得什么的，我想视己就视己了，对不对？这是第一。第二它是不以活动的次数多少而改变的，比如抛硬币，是吗，比如我们前一段时间看世界杯，抛硬币，他不论抛多少次，它的正面朝上，或者反面朝上可能性都是各占 1/2 ，哪怕就是一次，他也是 1/2 。我们曾经出过这样的考题，比如说小明抛硬币，一共抛五次，前四次都是正面朝上，问它第五次正面朝上可能性应该是多少，我们几选一，比如 1/2 、 1/4 、 1/5 、 4/5 等等，老师们去选，老师您说第五次可能性应该多少呢，那当然还是 1/2 ，对吧，还是 1/2 ，这个不能凭好心，前四次都是正面朝上了，总给反面一个机会，所以反面朝上可能性应该大一些，不，这一次就这一次，跟前几次无关。
&&&&&&&& 而在这节课这时候我们老师们就不能保证同学们玩起来每组都是公平的，所以这时候最好就不要再玩了，于是，老师也没有让同学们再来计算，就直接来问，谁说你为什么感觉这时候就是公平的，一下上升了两个台阶，挺好的。当时我听有一个男孩子举手发言说的不错，他说老师您看现在 5 、 7 、 9 都是奇数，它们相乘可以得到三个奇数， 8 呢和 5 相乘，和 7 相乘，再乘 9 ，就可以得到三个偶数，这样就公平了，讲的不错。老师又进一步引导一下，说的没错，谁能明确说出来这个时候得奇数的可能性有多大，得偶数的可能性又该多大呢？有同学举手说了，老师得奇数的可能性是 3/6 ，得偶数的可能性也是 3/6 ，而 3/6 等于 3/6 ，用两个分数表达两个事情发生的可能性，并且等号连接起来，通过这样一个游戏，特别通过前后对比来加深学生对等可能性的认识，我们觉得教学是非常到位的，而同学的兴趣也是很高的。
&&&&&&& 因为你看一直在参与这个过程当中，而且也是在一边学习，一边游戏过程当中参与的，所以效果非常好。而在这里面老师和同学就都不同经历于一个有猜测，公平不公平，对吧，有猜测，到实践，究竟公平不公平，学生说了不算，老师说了也不算，谁说了算数呢，实践说了算数，对吧，实践是检验真理的标准，而且还是唯一的标准。当然上课不一定这么去说，但让同学们能够感悟到实践是非常重要的。通过实践，发现不公平，而更有意义的，发现不公平，不是就此罢休，应该尽可能去改一改，让它变得公平一些，这是发挥人的主观能动作用的一个好时机，我觉得这点是非常重要的。
&&&&&&& 二、关注知识需求，满足求知愿望
&&&&&&& 下面我们向老师们汇报第二个题目&&关注知识需求，满足求知愿望。关注知识需求，满足求知愿望。在这里我想多少做一点解释，就是什么叫学生的知识需求，一般来说上课的时候学生不会自己主动举起手来，有的学生说：老师我想学习什么，您教我们得了，那个同学，老师我想学习那个知识，您教给我们得了，一般来说是不会的，对吧，小学生还是习惯于老师这节课学习什么知识，我们大家就学习什么，是吧，这是很正常的。那么我在这时候谈的知识需求，就是我们在进行知识教学当中，从知识的角度看，学生可能会有些什么样的需求，老师要有一定的预见，并且把这种预见纳入到我们的备课过程当中去，然后在课堂教育当中给予体现，我觉得也是对同学的一种尊重，也是对他的知识需求的一种满足。
&&&&&&& 我举个例子说，好吧，这是我们六年级的一节课，叫做分数乘法当中的第一节，分数乘整数，我向大家汇报的是我曾经上过这节课，分数乘整数，当年的例题是2/9&4，那么我想学生会有什么需求呢，我们在讲这节课的时候，它是一节法则课，那我们就不应该仅仅让同学学会这节课的内容，比如说分数乘整数该怎么上，该怎么做，得多少，不是。因为满足同学另外一个更加深层次的对知识需求，比如说分数乘整数，这个内容与分数相加、分数加法有什么联系，有什么关系，与整数乘法又有什么关系，因为在这节课之前，他在中年级学过整数乘法，对吧，他在五年级学过分数加法，那么分数乘整数，就与整数乘法，与分数加法之间有着密切的联系。通过这个联系，学生可以深入理解分数乘整数的意义，深入理解分数乘整数的算积，并能够更好的掌握分数乘整数的计算方法。
&&&&&&& 觉得要让同学了解知识之间联系是很重要的，但是你想同学们不会提出来:老师我有那样的一个需求是不会的，通过我们的教学来完成他的这个需求，来满足他这个需求我觉得是非常重要的。那我课是怎么上的呢，我是这样上的，我给大家说，我就想2/9&4，学生不太容易感受到他体现的，他反映的是求几个相同加数的和的简便运算，因为简便二字的味道不是特别浓，也说2/9&4，不就是4个2/9相加，它们比较起来差别并不特别大。如果把2/9相加的个数增加，再增加，让他充分感受到有进位的加法太麻烦了，做对乘法那么简便，我觉得效果会很鲜明的。
&&&&&&&& 所以我上课是这样上的，请大家看，我会给同学出一组分数相加的口算题，大家看，我问问同学们，同学们看这是几，小孩会说2/9，没问题，请做第一道题，谁也不举手，全班抢答，看得几，看谁抢的又对，又快，我把第一题拉开，小孩一看，4/9，前面都会说4/9，没问题，对吧，到现在每逢暑假，我还经常爱上这节课，因为它特别适合在暑假里面上。好了，我又把它拉开了，同学们这道题得几，小孩看了看，6/9，6/9，当然也有同学说了，老师要约分的，要约分，就是2/3了，2/3，好啊约分是2/3，不约分就是6/9，挺好的。这道呢，抢答人更多了，因为它已经形成规律了，8/9，异口同声说，这道题呢，有人说10/9，当然也有同学说1 ，正在他们乱糟糟的，我就把全打开了，我说这道题多少，全打开了，这么多，让他去看，小孩一看，全笑了，如果听课老师他们也会笑，这么多2/9相加，他一下子谁也说不出得多少，都在笑，我也跟着在笑。
&&&&&&& 但是我很快就收敛了笑容，我跟同学说，同学们，如果我们真的一个2/9，一个2/9，一个2/9，一个2/9的加下去的话，你会有什么感觉，老师们，尽管远在课程改革之前很多年，我第一次上课已经是20多年前了，那时候我也很尊重学生的感觉，就你尊重他的感觉，那么他也会尊重你的感觉。那么师生之间就能达到很好的情感沟通和交流，这点是非常重要的，是上好课的一个前提，是吗？当然小孩会说，你有什么感觉，无疑的都会说，老师太麻烦了，太麻烦了，是吧？太麻烦了，我说好，有没有，有没有想到办法，有没有不太麻烦的办法呢？有没有不太麻烦的办法？他们就纷纷记住了，老师有，有，用乘法，用乘法，他就告诉你说用乘法来做，用乘法。
&&&&&&& 老师你想，这节课我没有出示课题，我没有告诉他们今天讲分数乘法，我出示只是这么多2/9连加，老师您想，他看着这么多2/9在相加的这样一个算式，他们自己主动说老师有，用乘法，您说是不是在他脑子里面就已经初步构建了一个分数乘法的一个模式，一个模型，也就是说他能够主动的把这样的分数相加题，如果和分母乘法给它相沟通，这就是在进行乘法意义教学，而这种乘法意义教学，不是老师说出来的，不像同学看那个文字，不是机械的去读和记，而是他自己内心的理解和迁移。通过这个迁移来建立分数乘法的概念，我觉得这点是很有意义的。当然我还会问，能用乘法做吗，小孩说：能。好了，如果真的把它改写成乘法算式的话，你现在特别需要知道什么？这是根据学生的需求，他一定会知道，一定想知道，我想知道几个2/9。
&&&&&&&&好了，我就再跟同学一块说，我们为了方便，咱们五个五个说，五个，然后十个，我们这么说，数完以后是多少没关系，是吗？比如我这个是28个，那是28个2/9相加，我问同学，28个2/9相加写成乘法算式，什么样呢，大家纷纷都说2/9&28，没问题，在黑板上板书9&28。写完以后我可以说，2/9&28，没问题，是分数乘整数，板述课题，然后说&是不是天下只有这一道题是分数乘整数呢'，学生说不是，当然说不是。但是你举个例子，你编一道分数乘整数题，不用计算，只是编就可以，同学们编出很多这样这样的题，编了很多，很有意思，我们请大家看一看，这是表示我抛出那么多2/9一个情景，是吧，学生编的题不外乎这么多，比如说像一个分数乘一位数的，一个分数乘两位数的，还有分数乘三位数的，当然很多情况下还有编出乘四位数等等，他们很敢编，我们今天只是举这几个例子。
&&&&&&& 让同学编题，我一个不落的都把它写在黑板上，竖着写，写在2/9&28的下面，一般来说能写个六七个，写这么多，学生编的题有什么用呢，我觉得意义非常大。远的不说，这节课两件事可以做，第一说一，课堂板述以来，那个分数乘整数的意义，与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算，这个的话我们取消了，删掉了，不写了，没关系。但是我觉得真正一个具体的算式还是要说出意义就更好，这是第一个意义。第二当这些个新课讲完之后，该练习的时候，我几乎就不再出什么笔答题了，就完全让同学做他们自己编的题，按顺序做，你编哪道题，我做哪道题，同学做自己编的题那他是一种享受，他觉得这个题是那么的真实，那么的生动。有时候我说这谁编题，我可不知道得多少，我真的不知道得多少，同学相信你是刚刚编出来的，对不对？那么他会有一种责任心在编，责任心去做，我一定好好把题做对了，告诉刘老师这道题得多少，因为他都不知道得多少，很有意思。
&&&&&&& 那么说一，我们举个例子，比如3/7&18，我一定会问同学，谁说3/7&18表示什么，表示什么，同学都会说，老师，3/7&18表示18个3/7是多少，我会说，说的对，说的对，但就是不够明确，谁能够更加明确的说一说3/7&18它表示18个3/7在干嘛，在干嘛，这又有同学说，老师它表示18个3/7在相乘，于是又遭到其他同学反对，课堂尚有同学认识的交锋是非常好看的一件事情，也非常有意思的事情，是吧。同学说老师不对，应该是18个3/7在相加，我会夸张的表扬，多好，大家看，明明是一个乘号，明明是一道乘法题，可是它却表示几个3/7在相加，而且求它们的和是多少，又一次加深了对乘法意义的认识。
&&&&&&& 我还可以说，同学们，3/7&18，既然表示18个3/7在相加，我们能不能把它还原成，还原成这个加法算式呢，小孩说&能&，于是我就带着同学们去加，这么说，3/7+3/7+3/7+3/7+3/7+3/7+3/7+3/7+3/7+3/7，大点声，+3/7，快点，+3/7+3/7+3/7+3/7+3/7，学生读完以后，我这叫习惯性爱挖苦他们，当然有的老师说不许挖苦学生，要尊重学生，我想：善意的，不是不可以。我怎么挖苦他们呢，我说你瞧瞧你们，读18个3/7就累成这个样子，你们听听我怎么读，小孩就充满了意愿，充满了期待，就听听老师怎么读，我就站在那里，站的很直，我认真的读，大家听，听我怎么读，3/7&18，小孩一听，这么读，就立刻有一种上当的感觉，这么读我们也会，是吧，就通过这两种不同的读法他就感受到，那个读那么麻烦，这个这么简单，甭说写起来那么麻烦，这个这么简单，甭说计算起来那个也那么麻烦，这个一定很简单，对吧。
&&&&&&& 我还会说同学们，尽管大家读18个3/7相加，累的上气不接下气，你们还得感谢我，还得感谢我，学生们一脸茫然，凭什么感谢你，他甚至说&为什么感谢你'，是吗，把我们累成这德行。我走向黑板前，指着最后一个算式，我会跟他们说，因为我没让你们加这个，比如说2/5&100，学生一听，就崩溃的笑了，2/5&100，到读100个2/5相加，不见得累成什么样子了。就通过这个波动，充分感受到分数乘整数是这样的简便，这样的可爱，它和分数乘法和分数加法，和整数乘法是那么有着密切联系，就能够促进他在迁移中学好新的知识。
&&&&&&& 三、关注思维需求，促进思维发展
&&&&&&& 第三，关注思维需求，促进思维发展。我在上课时候很注重学生的思维发展，数学课属于思维反响过低的话，那么这节课您最好先别上，您好好再备备课。
&&&&&&& 我们举个例子来说，这是我曾经上过的一节二年级的课，认识厘米，这是我两年前备过的一节课，在这节课老师们知道，我们总有一个内容，一个环节就是指导同学用刻度尺来测量一些小的物体的长度是多少厘米，当然都是整厘米数。但是我在想，学生在用尺子测量时候，我们都千叮咛万嘱咐的去讲，什么呢？一定从零刻度线开始测量，把物体一蹲，放在零刻度线上才能量准，甚至有老师说不放在零刻度线上就不能量，就量不准，这话要说对，也对，但是总是有点绝对，对是对的，绝对就是错的，为了打破这个定势，我设计这样一个情景，我给同学讲了一个故事。
&&&&&&& 我可以拿出一个纸做一个尺子跟同学们说：同学们，小明也有一把这样的尺子，他也会量，但是小明他们家遭遇一场不幸，很大的不幸，什么不幸呢？就是他们家着了一场大火，这场大火把他心爱的尺子烧坏了，于是我就拿出打火机对着这尺子一端，我这一烧，就把它烧坏了，然后把它捏灭了，就变成一把破尺子。我问同学，好端端一把尺子烧成了坏的，破尺子，同学们，你们说这把尺子还能量吗，老师您猜猜，学生说还能量吗，一二年级的小孩多数都说不能量了，但总有个别同学，老师能量，能量，为什么能量，破尺子为什么能量，&老师，因为你还没有烧光&，因为你还没有烧光，是不是？还有小孩说话更简便，&还够&，站起来就说还够，咱们都能懂他意思。但也有小孩表达特别好，&老师您看，您烧的是那一头，那头烧坏了，没有了，这一头您没烧，这头没有烧，那零还在&。零不是刻度，零不是起点，有起点就能量。
&&&&&&& 学生说得特别完美，于是大家就信服了，对，还能量，我说&大家表现特别好，这样一把破尺还能量，多好啊！我接着说，但是小明他们家太不幸了，又着了一场火，我就把打火机放到这一端，放到这一端，然后把它打着，我上课的时候不用课件，就是直接去烧，小孩一看特心疼，真烧啊，因为我觉得小学生从上一年级到六年级，我估计绝大多数小学生，没有见过数学老师在课上拿出打火机来，现场来把自己的教具给烧毁的，没有的，所以我会给他一个很强烈的印象，这时候我烧成这样了，我就问同学们，真就成一把破尺子了，你们说还能量吗，小学生几乎都说不能量了，但是我会等待，会启发，他们渐渐明白过来，我会说&能量&，有的孩子大声说&老师能量，零刻度线没有了，零不在了，咱们拿3当0&，我们就会把打火机放在上面，让他们研究，如果这边对准3，那边对准8，那么这个打火机长几厘米，他们会用各种方式说明为什么是5厘米，老师们，千万别小瞧学生，也同样别小瞧一年级、二年级的学生，他们的思维潜力是非常强的，是非常深厚的，只要我们给他一个平台，只要我们给他创造机会，他们真的会在我们的舞台上，能够演出生动活泼的戏剧来，要敢于相信他们。
&&&&&&& 在这个活动当中，我觉得老师的责任，就是在备课的时候，设置这样一个情景，来帮助同学们克服定势。什么定势，一定要从零刻度开始量，不从零开始量就不准，这就是一个定势，克服定势来培养学生思维的变通性。
&&&&&& &再举个例子，这是大家都很熟悉的三角形三边的关系，课程改革以前，我们教材里是没有这个内容的，课程改革以后就完善了，三角形三边的关系，也就是讲三角形，如果构成三角形的话，那么两边之和应该大于第三边的，但是中学还讲两边之差小于第三边，我们小学只讲这个，那年我们去参加北京市的京城杯大赛，青年教师就犯了这样的错。我们设计这个练习，我是挺满意的，请大家看一看，三角形一条边长12厘米，其余两条边的和是14厘米，这两条边，分别是几和几厘米，这道题既有一定的开发性，答案不唯一，所以我们觉得这道题很好，同学往往说，1和13，但是就遭到其他同学反对，因为1+13等于14没问题，可是1+12，恰好等于13，是不能构成三角形的，解决一个难点问题。14，同学会说2和12可以，然后3和11可以，4和10可以，5和9，6和8，7和7，都可以，挺好，下面数学模型，很完整，但是后来我认为，虽然这题编得不错，课堂教学试讲效果也很好，但是有一点不完美，什么呢，虽然同学认可，比如说3、11、12可以构成一个三角形，因为3+11大于12，3+12大于11，11+12更大于3，但是这只是理论上来说明这三个数据可以构成一个三角形，但是这三角形什么样的，小学生没看到。
&&&&&&&&而我们数学特别讲究数形相结合，这节课本身又是节形的课，可是同学们又没看到这个形，你说是不是个缺憾，如果让同学看到一个一个三角形，那该多好，这时候我就想到这一点，于是在家里面试着画了几个三角形，画完了以后一看特别好看，我们请大家也看一看。这是我们给定的那条边，那条线段，长12厘米，第一个三角形，就是2，12和12，原来是这样的一个三角形，还是一个躺着的等腰三角形，3、11和12；4，10和12，然后5，9，12；6，8，12；还有7，7，12，7，7，12当然也是个等腰三角形，像房屋脊，像红领巾，那么那边和它对称，就感觉到了，要不然他不容易感受到这一点，左边和右边对称的，意思就有8和几，9和几，11和几，12和几，打算跳着，排山倒海一样，我们还会用一条曲线，把它们围起来，问大家怎么样，好看吗，都说好看，然后像什么，像什么，老师猜猜：同学们说像什么，不少老师说像鸟巢吧，我们上这节课在五年前，那时候还没鸟巢呢，同学们都爱说什么呢，我不知道你想到没想到，我们在试讲的时候和上课的时候，小孩都爱说像汉堡包，就是小学生对吃的总是那么情有独钟。
&&&&&&& 当然也有学生说像帽子，像鱼网，在北京的孩子容易说出来，外地的孩子，兄弟省的孩子不容易说出来，北京的孩子能够说出来像什么，像中国大剧院，当我们把中国大剧院打出来以后，同学们就&哇&，那种感觉，特别神圣，特别神奇，特别感受到数学的魅力和它的价值，老师们不用多说，这种心情，这种情感的升华，对他发展来讲是非常有好处的，我们还出示一个从空中勾画出中国大剧院的情景，更让同学感受到它的魅力无穷。
&&&&&&& 四、关注认知误区，避免造成隐患
&&&&&&& 第四，关注认知误区，避免造成隐患。
&&&&&&& 我听过一次课，有一个老师，讲对称图形，他这节课自始至终都有问题，我就针对他这个问题，给他提了些建议，老师们看看，我给他提的建议是一组电子表盘，大家看，老师们最好不要说，他是对称图形吗，不太好这么说，婉转一点，退一步说，说什么呢，大家看，这是一个电子表盘，如果把这个电子表盘也看作一个图形的话，你们说，它是对称的话，可以这么说，松散一点，宽松一点，老师们看，20点20分，20时20分是对称图形吗，是对称的吗，当然不是，虽然20和20是全等的，它们平移可以做到完全重合，但是对折，老师们想一下，对折以后是不能做到处处完全重合的，所以20时20分不能说是对称的。
&&&&&&& 好了，我们看第二个图形，20：05是不是？当然20：05是，老师们可以想象到，同学们也能渐渐想象到，从中间对折以后，0和0没有问题，图形没有障碍，2和5，2不等于5，但是想象，就要靠想象，把那个5对折过去，或者2对折过来，它们居然可以做到严丝合缝，所以说20.05是对称图形，没有问题。12：51是不是呢？应该说&也是&，对不对，12：51也是；第四个，18：18是不是？很多同学，因为这是我的建议，我没有见到同学怎么说，可能有些老师会觉得18：18不是对称图形，因为它对折以后不能做到重合，但是您再换个角度思考，现在我们不左右对折，我们上下对折，是不是就可以做到处处完全重合了呢，没有问题吧，所以我觉得，我的设计意图就在这里，因为我发现那个老师的问题统统在于他所出的全部图形无一例外都是左右对称，什么蜻蜓，美丽的蝴蝶，还有什么埃菲尔铁塔，北京天安门城楼，还有小衣服，小房子，还有一些，有一些京剧脸谱，还有英文字母，大写的T，A，还有些汽车的车标，什么大众的车标，本田的车标，甚至还有一些国家的国旗，越南的，朝鲜的，多了，琳琅满目，二三十个，没有一个是上下对称的。
&&&&&&& 更没有斜着对称的，都是左右对称，左右对称，尽管这个老师，整个课程我听到，没有谈到一个左右二字，但是他仍然有不可推卸的责任，因为你给同学一步步带入一个误区，&对称&都是左右对称，这就十分有害，对完整理解知识是有害的，对吧，我们再看这个11：11，这个没有问题，人家还有两条对称轴，对吧。这个我简单说一说，我们讲圆的认识的时候，我们其余的老师开始导入很好，他出示这样一个图形，一个正方形，上面有8个同学，然后中间放一个篮筐，说同学们往中间投篮，投沙包，问同学们这个游戏公平吗，学生当然说&不公平&，因为远近距离不一样，老师说，请你设计一个图形，设计一个游戏，它就公平了，于是，同学们说：老师，咱们设计一个圆就可以！于是呢，我们就可以设计这样一个圆，为什么圆就可以呢，同学们就会说，圆从边上到中间距离相等，所以它就公平，老师说认识得很对，今天我们就来共同学习圆的认识，这不挺好吗？
&&&&&&& 但问题在哪里，问题就在于他留给同学一个定式，一个误区，什么呢，做一个游戏，圆是公平的，正方形就一定是不公平的，我觉得这个点带来的就是有害的，所以下课以后，我给这个老师提建议，我说呢，我建议你临下课的时候，你把这个内容再拿出来，跟同学商量，还是一个正方形，还是站满了8个同学，向中间投沙包，能不能做得公平一些呢，我估计同学会说，这是我估计，同学会说&老师别像刚才那么站了，咱们一边占俩，站得让它对称了就行了&，其实就是以正方形的中心为圆心，画一个不大不小的圆，使这个圆与正方形有八个交点，同学站在八个交点上，就符合要求，为什么呢？因为他所站的点是交点，因为它是圆上的点，所以这个游戏公平，它又是正方形上面的点，所以它符合游戏的规则，它就双重性，这有什么好处呢，用我的话说就是死题救活，就是你把原来不可能正确的东西，把它转变一下，让它变得公平了，让他觉得世界上的事情是变动的，不是一成不变的，不是僵死的，我觉得这对同学发展是非常有好处的，而且这个圆可以大一些，也可以小一些，只要不大到顶点上，或者和它相切就可以了。
&&&&&&& 五、关注解决问题的需求，提高理论联系实际的能力
&&&&&&& 第五，关注解决问题的需求，提高理论联系实际的能力。
&&&&&&& 大家看，这是一个表盘，很可惜，是一个残破的表盘，上课的时候我们给同学提出要求，就是说有这样一个圆形的表盘残片，请你能不能够想办法测量测量，计算计算，求一整个表盘的周长，大约是多少厘米。我们上课的时候，是发给每个同学这样一个残片，不是光课件上，屏幕上出现一个，是每个同学发了这样一个残片，让他想办法去得到这个残片所在圆的周长，大约是多少厘米。老师你也可以考虑考虑，六年级的同学，面对他学过圆的周长的计算以后，他会用什么方法来解决这个问题，我也上过这节课，同学的分发很多，给老师们汇报几个，比如说量量6到8这条线多长，或者6到7这条线多长，量量7有多长，乘以12就可以，如果要觉得不够精确，就量小的刻度，直线距离有多长，再乘以60，那么这就很接近它的周长，就像刘辉的割圆术，还可以有什么方法呢？还可以把6这个刻度线延长，把8刻度线也延长，延长以后，理论上一定会有一个交点，那个交点就是圆的圆心，这样就有个半径，还有什么办法呢？这是我想的，就是让同学们去自主的合作，这个办法同学们特别容易想到，他自觉的从两个层面、三个层面，五个、六个层面拼一拼，他们想用自己手上的残片拼成一个完整的圆，所以满盘都是六、七、八，那没关系，那是非本质属性。
&&&&&&& 事实证明，同学们还有自己的方法，他们说&老师我可以把这个圆形的表盘放到一个大纸上，拿铅笔描，我描出这个边以后我错一点再描，错一错再描，这么错着可以描出一个完整的圆，就好办了；还有同学说：老师，我把表盘放在一个尺子上，对准零刻度线，把6对准0，然后再尺子上这么一滚，这么一滚，就滚出了6到8这段弧，滚出了6到8这段弧有多长，然后乘以6，多精确，多好的创造力！所以我觉得，一个好的练习方式，可以大大的激活同学的思维和他的想象，当然各种方法，我们可以分析，无一例外的都是同学们通过多角度的、不同角度的观察，找到从这个角度出发的那个局部与整体的关系，就找到了解决问题的途径。
&&&&&&& 六、关注隐性需求，培养学生的数学意识
&&&&&&& 最后，谈谈关注隐性需求，培养学生的数学意识。关注隐性需求，什么是隐性需求呢，就是他明明应该有这个需求，但是他就是说不出来这种需求，这个靠老师，靠老师去发现，靠老师去预见是很重要的。
&&&&&&& 我们举个例子，小数加减法，这是去年5月份，我们区北京小学于萍老师代表北京市参加全国第九届年会上了这节课，效果很好。这节课里几个亮点，其中有一个想向大家汇报，与我们今天的题目有关的，就是它的倒数第二个练习，倒数第二个练习很简单，就是两道题，竖式计算的题，那么在这里，我出示了五个字很重要，小数点对齐，大家不难发现，小数点对齐是小数加减法法则当中的关键句，重点句，我还想和老师们进一步谈到，您说小数点对齐这五个字，这五个字，您觉得其中哪个字最重要。
&&&&&&& 当然也许老师说点最重要，没有点没法对，也有老师会说齐最重要，因为齐是目标，我觉得都有道理，我自己觉得&对&最重要，因为&齐&是目标，&点&是主体，但&对&是过程，&对&是行为，不对是齐不了的，要想&齐&就得&对&，我不是做文字游戏，更不是说绕口令，为什么我去研究字和字之间的关系，我觉得它能说明法则的特点，也说明我们教学的规律，小数点要通过&对&才能&齐&，&对&是为了&齐&，举个例子，就很像我们老说小学数学要渗透数学思想方法，对吧，比如说渗透两个字，我们怎么理解，我通常这么理解，渗透什么意思，渗是为了透，透是目标，渗是手段，要想透就必须渗，没有渗的方式就达不到透的效果。我还得举个例子，比如说下雨，一阵急风暴雨，哗下来了，轰一个闪电，很快雨过天晴，彩虹出现，您说这种雨能透吗，不能透，拿铁锹照着地里边挖一锹，表面一层湿的，底下全是干的，大部分雨水都顺着田边地沟流走了，因为没有用渗的方式，只有那个小雨不断的在下，这种雨就透了，一点雨水都没糟践，因为它是用渗的方式进行的，这就是渗透的特点和它的规律。如果我们了解下雨这个特点了，我们就知道，那我们渗透是一种思想方法，也不是一朝一夕的事，我想起来了我就渗透一下，忘了就忘了，不是，应该是有计划、有层次、有目的的一点一点的渗透才能达到效果，是不是这样？那么小数点对齐也是这样的，&齐&是目标，&对&是过程，但是学生关于这个对字，他缺什么呢，缺两点，第一，他缺&对得齐与对不齐'的对比，也就是我们课堂上呈现的都是对的齐的，很少出现没对齐的，这点就不好，为什么呢，就是你老讲对齐，对齐，对齐，你没有呈现一个对不齐，他就不能真正理解什么叫对不齐，我举个例子，比如说我们小孩子从生下来到现在就没见过谁长胡子，他所见到的，甭管男人女人，都没有胡子，然后课上您跟他讲：同学们，我们现在所讲的，我们所见到的人都没有胡子，他依然不懂什么叫没有胡子，他不懂，对比，你非得拉着一位有胡子的，比如咱们把马克思，马老先生请来，是吧，把恩格斯请来，他一看这是什么，老师说这是胡子，他看了这个，他才能真正理解，什么叫我们没有胡子，就是这个道理，所以他&缺对得齐和对不齐'的对比；第二点缺什么呢，他缺一个&对&的过程，上课老师讲&对齐&了，对齐了，太草率，太轻率。
&&&&&&& 同学们看着小数点对齐，一点完事，有的老师很重视，我看见过，拿着粉笔在小数点那使劲点，大家看着，看着，看着，小数点对齐，把粉笔黏的黑板直掉渣，哗啦哗啦往下掉渣，就要强调它的位置，意图很对，要加强，要拉长这小数点&对&的过程，让他感受&对&的过程是非常必要的，所以我们知道，在这两点上是做足了文章的，请大家看，这是第一道题，5.73-0.6，竖式，5.73-0.6，然后把减数0.6，放到平板大卡车上，请司机叔叔拉过来，老师会说一句话，同学们，当司机叔叔把0.6拉过来以后，请你注意，你觉得什么该停了，你就要高喊一声停，司机叔叔一定会把车停过来，当然老师不能这么说，不能说你觉得什么时候小数点齐了，对齐了，你就喊停，那是不是就太直白了，&现在准备开始&，老师们你想，学生能不全神贯注的来关注这辆车吗，是不是，老师一按鼠标，车就开过来了，结果无人喊停，车居然静悄悄停了，老师就很诧异，就问同学，谁喊停了，谁喊停了，同学们一脸的委屈，没喊停，没喊停，可不谁都没喊，没喊它怎么停了，同学们纷纷举手来辩解。
&老师老师，没举手，没喊停，就是司机他错了，他错了，他把这道题当成整数加减法了，整数减法末尾对齐就行了，它现在是小数减法，小数减法不能看末尾，得把小数点对齐才行，司机错了&，老师说：对了，大家解释很好，那怎么办呢？同学们说，让他接着开，于是车接着开同学们喊&停&，这时候小数点对齐了，相同的计数单位也都对齐了，数位对齐了，我们可以把汽车隐去，原来那条公路就变成了一条横线，把这道题可以完整的做完，并简单说说计算的过程。第二道题也一样，12+0.43，把0.43放在平板大卡车上，依然把它拉过来，然后学生这时候喊停、停、停，学生们越拼命喊停，这个车我行我素，径直的开了过去，于是呢，老师说&怎么开过去了&，你们喊停了吗，学生们说&喊了喊了&，&停了它为什么不停呢&，学生纷纷又要去解释，老师说：等等，把手放下，咱们听听吧，司机叔叔有话要说，看看司机叔叔怎么说，司机叔叔说12没小数点，怎么对齐，我这个小数点对齐，那个12没有，解决了整数和纯小数相加减的一个难点问题，同学们纷纷说&老师，那12有，12有小数点，就在12的右下角，整数的右下角，个位的右下角有一个小数点&，老师说&对呀，那怎么办呢&，同学们说&倒回去&，就让倒回去，于是车倒回来，同学们喊&停&，这时候停住了，就可以做一道加法题对吧。
&&&&&&& 这个内容，这个设计出了以后，无论在北京市，还是在洛阳上现场课的时候，效果都非常好，同学们的反应，老师们的反映都非常好，后来有老师问我，&刘老师，您怎么想出这个主意来的，把0.43，把0.6放在平板大卡车上，上司机叔叔拉过来，您怎么想的&？我跟这些老师说，&说实在话，我二十多年前，讲小数加减法的时候，我就是这样做的，当然那个时候没有电脑，没有课件，没有大屏幕，没有这么好的科技手段，那个时候我用的是什么呢，就是一张大白纸，八开的纸，这样大的纸，那么大的纸，拿刀子裁成四五条，每个条上拿毛笔写上几个数，什么12.3，0.42，1.8，5，0.06，写上这么几个数，上课的时候这手拿一纸条，这手拿一纸条，就这么来回移动，这种错，然后他说&什么时候该加了你说加，什么时候该减你就说减，就是这么做，特别朴素，但是特别实用，就是这么做的，那时特别简陋的，现在条件好了，有钱了，高科技手段也多了，所以就能把这事不仅做得有效，而且很漂亮，很有观赏性，而且同学们看了很舒服，很可爱。&
&&&&& 我觉得锦上添花这个效果非常好，老师们，我想最后用一句话来作为我的结尾。
&&&&&&& 这个不是我说的，是美国教育家波利亚说的，他这样说，他说&教师讲什么并不重要，学生想什么比这重要一千倍&，当然我想人家波利亚的意思也不是说老师讲什么都不重要，都不重要咱别讲了，打铃上课进门，40分钟出来不就完了吗，其实不是那么简单的，我是这么想，如果我们老师讲什么、怎样讲能够根据学生想什么和怎样想来设计和调整的话，那么我们老师的讲也一定是非常非常重要的。
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