平面向量与三角形四心的四心

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-02-21 10:45 标签： 向量与三角形的心
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三角形“四心”向量形式的充要条件应用 在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下： 知识点总结 1）O是的重心; 若O是的重心，则故; 为的重心. 2）O是的垂心; 若O是 非直角三角形 的垂心，则 故 3）O是的外心 或
若O是的外心 则 故 4）O是内心的充要条件是 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚才O是内心的充要条件可以写成：
O是内心的充要条件也可以是 若O是的内心，则　 故　; 的内心; 向量所在直线过的内心 是的角平分线所在直线 ； 范例
一 ．将平面向量与三角形内心结合考查 例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（
） （A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心 解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，
又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B. 点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
二 将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理” 例2．
H是△ABC所在平面内任一点，点H是△ABC的垂心. 由, 同理，.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略）） 例3. 湖南 P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（D　） A．外心　 B．内心　 C．重心　 D．垂心 解析:由.
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【数学】探究平面向量中的三角形“四心”问题
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B|+AC/|ACcosC|)
P一定通过ABC的？心
2 OP=1/3[(1-x)OA+(1-x)OB+(1+2x)OC]
P一定通过ABC的？心
（P为动点）
B|+AC/|ACcosC|)
P一定通过ABC的？心
解：在△ABC中，至少有两个锐角。不妨设&B,&C是锐角。则向量&AB,BC&=180&-&B,&AC,BC&=&C,
∴向量AB*BC=-|AB|*|BC|cosB,AC*BC=|AC|*|BC|cosC,
而AP=OP-OA=AB/|ABcosB|+AC/|ACcosC|,
∴向量AP*BC=AB*BC/|ABcosB|+AC*BC/|ACcosC|
=-|BC|+|BC|=0,
∴AP&BC,
∴P一定通过ABC的垂心。
2 OP=1/3[(1-x)OA+(1-x)OB+(1+2x)OC] P一定通过ABC的？心
解：取x=0,BC的中点D,则向量AD=1/2*(AB+AC)，
向量AP=OP-OA=1/3*（OB-OA+OC-OA)
=1/3*(AB+AC)=2/3*AD,
∴这时P是△ABC的重心，
∴P一定通过ABC的重心。
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