为什么要选用等底等高的圆柱与圆锥来推导圆锥的体积公式推导

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-03-23 20:45 标签： 圆锥的侧面积公式推导
辅导孩子学数学六下?第11课时　圆锥的体积
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课本第27～28页练习四第3～8题，生活中的数学。
理解并掌握圆锥体积的计算公式，会运用公式计算体积，解决有关的简单实际问题。
例2，分为“引出问题──联想、猜测──实验探究──导出公式”四个层次。
引出问题：“你有办法知道这个铅锤的体积吗？”让孩子得出：用排水法可行，但太麻烦。
联想、猜测：让孩子将圆锥和圆柱的体积联系起来。
实验探究：让孩子准备好等底、等高的圆锥和圆柱，通过圆柱圆锥相互倒水或沙子的实验，探究圆锥和圆柱体积之间的关系。
导出公式：让孩子描述实验结果，等底等高的圆锥和圆柱，圆柱体积是圆锥的体积的3倍，并推导出：圆锥体积的计算公式V＝Sh。
例3，圆锥的体积计算。让孩子初步学会解决一些与计算圆锥形物体的体积有关的实际问题。
让孩子用文字处理软件Word插入椭圆和直线，绘制一个圆柱，在圆柱内绘制一个最大的圆锥（顶点即圆心），猜一猜：圆锥所占的空间大约是多少？
　　　　　　
（制图方法：圆柱的绘制见第4课时；按住Shift键选中圆柱所有部件并复制、粘贴，用直线绘制上底面的圆心，圆心与底面圆周连线，去掉多余的直线，得图二；再去掉多余的部件，得图三。）
然后，让孩子用圆柱和圆锥做实验。
如果能找到铅锤的（或圆锥形的实物），也可以按课本的方式进行学习。
拿出圆锥形的实物，问孩子：你有办法测量这个物体的体积吗？有的孩子可能运用五年级下册所学的知识，用排水法测量。让孩子动手测量，这时要找来其他物体如长方体、正方体、圆柱等容器，他也可能觉得有些麻烦。让孩子感觉到排水法的局限性，产生推导圆锥体积计算公式的需要。
让孩子写出长方体、正方体、圆柱的体积计算公式，即V＝Sh。想一想：圆锥的体积可能和什么图形的体积有关，有什么关系？引导孩子将圆锥的体积与圆柱的体积联系起来。
拿出事先准备的学具：圆锥3个，圆柱2个。让孩子自主选用等底等高的圆柱和圆锥做实验，直观发现：用圆锥容器装水（或沙土）倒入等底等高的圆柱容器中，刚好倒三次。而其他情况的圆锥和圆锥容器，则不存在这样的关系。
引导孩子自己描述实验的结果：等底等高的圆锥和圆柱，圆柱体积是圆锥的体积的3倍。再运用圆柱的体积公式V＝Sh，推出圆锥的体积公式V＝（1/3）Sh。
阅读课文，第25页，“等底”与左图连线，“等高”与右图连线；回答出第(3)个问题，批注在书上：“等底等高的圆柱体积是圆锥的体积的3倍或等底等高的圆锥体积是圆柱的体积的1/3”；在“圆柱的体积”批注“V＝Sh”，在公式S批注“S＝πr2”。
例2，读题，在“多少立方米”批注“体积”，“圆锥”与插图连线，并批注字母“d、h”，批注体积公式“V＝（1/3）Sh” 。
让孩子尝试独立解答。S：3.14×（4/2）2＝12.56（m2）；V＝1/3×12.56×1.2≈5.02（m3）。也可列综合算式：
×π×()2×1.2＝1.6π≈5.02（m3）。
阅读课文，把例2补充完整，在算式批注公式“S＝πr2”、 “V＝（1/3）Sh。”
第3题，认真读题，划出词语：圆锥形、底面积、高、体积，想像出图形，批注公式“V＝（1/3）Sh” 。列式计算，1/3×19×12＝76（cm3）。
第4题，整体读题，想像出等底等高的圆锥与圆柱的图形，想像出它们所占的空间大小，再运用两者关系列式计算。(1)1/3×75.36＝25.12（m3）；(2)3×141.3＝423.9（cm3）。
第5题，圆锥形的实物比较不易找到，可测量圆锥形的模型。有三种测量方法：①C、h；②d、h；③r、h。
底面直径的测量，可参阅本套教材六年级上册第60页第4题。
高的测量，仿照第24页的方法，家长可以协助。
然后，再计算出它的体积。
第6题，让孩子根据名称想像图形、已知条件和问题，写出可能用到的所有公式。
(1)S侧：2×π×6×7＝84π（cm2）；S表：84π＋2×π×62＝156π（cm2）；V：π×62×7＝252π（cm3）。
(2)1/3×7.8×1.8＝4.68（cm3）。
(3)1/3×π×(6/2)2×6＝18π（cm3）。
第7题，判断题。让孩子把每个命题分出主项和谓项，分析其内涵和外延，再判断。
第(1)题的错误在于没有说明前题，因为只有在等底等高的条件下，圆锥体积才等于圆柱体积的1/3。
第(2)题是正确的。
第(3)题的错误同样是缺少必要条件，只有圆锥与圆柱的底面积相等，这种说法才成立。
第8题，读题，划出词语：圆锥形、底面半径、高、体积，想像其图形，批注公式“V＝（1/3）Sh。”
列式计算，1/3×π×1.5×1.5×1.1＝0.825π（m3）。0.825π×1.4≈4（吨）。
生活中的数学，介绍蚁狮的习性，让孩子自读图文，体会圆锥形在动物界中的作用。
制作3个圆锥、2个圆柱，使等底等高的圆柱和圆锥各1个，等底不等高的圆柱和圆锥各1个，等高不等底的圆柱和圆锥各1个，不等底不等高的圆柱和圆锥各1个。如图：
拓展与提高
若两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。如图1，等底等高的两个锥体的体积相等。
　　　　　　图1　　　　　　　　　　　　图2
如图2，设三棱柱ABC－A′B′C′的底面积(即ABC的面积)为S，高为h，则它的体积是Sh。沿平面A′BC和平面A′B′C，把这个三棱柱平均分割为3个棱锥，所以，每个棱锥的体积是(1/3)Sh。
设有一个圆锥与棱锥A′－ABC等底等高，则它们的体积相等。所以，圆锥的体积为
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学习“圆锥的体积”，通常我们都是利用准备好的等底等高的圆柱和圆锥，通过装水或沙子的实验，从实验中得出结论：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一，从而推出圆锥的体积公式。由于保管不善找不到等底等高的圆柱圆锥教具，学生的学具只有根据课本p125和p127上自制的纸质圆柱圆锥，用他们来推导圆锥的体积计算公式有点牵强。所以就直接使用课件演示实验过程，虽然没有实际操作那样亲身体验知识的探究过程，但实验过程和结果比学生自己操作要精准得多。
练习中孩子们的主要问题还是计算这个老大难的问题，因为是新鲜出炉的公式，所以列式时忘记&1/3的……但是对于补充习题p24的判断出现了一定的错误，尤其是第（4）小题：一个圆柱和一个圆锥底面积相等，体积也相等，已知圆柱的高是15厘米，圆锥的高是5厘米。许多孩子判断这句话是正确的。订正时有孩子用列举法证实了这句话的错误，也有孩子通过思索发现圆柱圆锥的高应该反过来：圆锥的高是15厘米，圆柱的高是5厘米。从而总结出：当圆柱圆锥底面积相等，体积也相等时，圆柱的高是圆锥高的1/3，或者说圆锥高是圆柱高的3倍。怪不得有人说错例是个宝，因为有错，所以值得探究，通过探究才有新的收获。
在平时的课堂教学中，我们要善于利用“错例”，让学生思考问题几经碰壁终于找到解决问题的方法，把思考问题的实际过程展示给同伴，让学生经过思维的碰撞，这样可以启发学生的思维。学习数学不仅要让学生知其然，而且更要让学生知其所以然。学生需要的并不是告诉，二是需要经历知识的形成过程。真正关注学生学习的过程，就要有效利用“错例”，要勇于、乐于向学生提供充分研究的机会，帮助他们真正理解和掌握数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验，这样，我们的课堂才能成为学生体验成功的乐园和快速成长的摇篮。相同的内容　不同的教法　迥异的理念
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――《圆锥的体积》两个教学案例的对比与反思
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“圆锥的体积”教案教学内容九年义务教育六年制小学数学第十二册第4950页中的例1及练.
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