如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=1/2AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：（1）△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，AB=a，则BC=____；（2）如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长=____．（3）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA=____．（4）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且∠CAD=∠ABE，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，猜想PB与PQ的数量关系，并说明理由．-乐乐题库
& 含30度角的直角三角形知识点 & “如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边...”习题详情
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如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=12AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：（1）△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，AB=a，则BC=a2&；（2）如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长=15cm&．（3）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA=3：1&．（4）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且∠CAD=∠ABE，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，猜想PB与PQ的数量关系，并说明理由．
本题难度：一般
题型：填空题&|&来源：网络
分析与解答
习题“如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=1/2AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角...”的分析与解答如下所示：
（1）根据三角形内角和定理推知∠A=30，∠C=90°．（2）根据线段垂直平分线的性质知CD=BD，则△ACD的周长等于AC+AB；（3）如图3，连接AD．利用等腰三角形的性质、垂直的定义推知∠B=∠ADE=30°，然后由”30度角所对的直角边是斜边的一半“分别求得BE、AE的值；（4）如图4，根据全等三角形的判定定理SAS可判断两个三角形全等；根据全等三角形的对应角相等，以及三角形外角的性质，可以得到∠PBQ=30°，根据直角三角形的性质即可得到．
解：（1）∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=30，∠C=90°，∴BC=12AB=a2．故填：a2；（2）如图2，∵DE是线段BC的垂直平分线，∠ACB=90°，∴CD=BD，AD=BD．又∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=12AB，∴△ACD的周长=AC+AB=3BD=15cm．故填：15cm；（3）如图3，连接AD．∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，∴∠BAD=60°．又∵DE⊥AB，∴∠B=∠ADE=30°，∴BE=√32BD，AE=12AD，∴BE：EA=√32BD：12AD，又∵BD=√3AD，∴BE：AE=3：1．故填：3：1．（4）BP=2PQ．理由如下：∵△ABC为等边三角形．∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，在△BAE和△ACD中，{AE=CD∠BAC=∠ACBAB=AC，∴△BAE≌△ACD（SAS），∴∠ABE=∠CAD．∵∠BPQ为△ABP外角，∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ．
本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质以及含30度角直角三角形的性质．直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
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如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=1/2AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角...
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经过分析，习题“如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=1/2AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角...”主要考察你对“含30度角的直角三角形”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
与“如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=1/2AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角...”相似的题目：
如图，在△ABC中，AB=AC=6cm，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB，交AE的延长线于F，则DF=&&&&cm．
菱形的周长为32，两邻角之比为2：1，则该菱形面积为（　　）8√316√320√332√3
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB=10cm，则AC=&&&&cm．
“如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边...”的最新评论
该知识点好题
1（2012o河池）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（　　）
2已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=12BC，则△ABC底角的度数为（　　）
3正三角形的外接圆的半径和高的比为（　　）
该知识点易错题
1若等腰三角形腰长为8，腰长上的高为4，则此三角形的顶角是（　　）
2等腰三角形一腰上的高是腰长的一半，则这个三角形的顶角的度数是（　　）
3如图，∠C=90°，D是CA的延长线上一点，∠D=15°，且AD=AB，则BC=&&&&AD．
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错误详细描述：
如图，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则边BC的长为（　　）A．21B．15C．6D．以上答案都不对
下面这道题和您要找的题目解题方法是一样的，请您观看下面的题目视频
（滨州中考）如图，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则边BC的长为（　　）A． 21B． 15C． 6D． 以上答案都不对
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错误详细描述：
如图所示，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，在△ABE中，DE为AB边上的高，DE＝12，S△ABE＝60，求∠C的度数．
【思路分析】
因为DE＝12，S△ABE＝，所以AB=10,故AC?+BC?=8?+6?=10?=AB?，故∠C＝90°
【解析过程】
解：∵DE＝12，S△ABE＝∴AB=10,故AC?+BC?=8?+6?=10?=AB?，故∠C＝90°
本题主要考查勾股定理逆定理的应用
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【解析】解：（1）证明：如图1，
在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，
∴∠CAD=∠B=90°－∠ACB。
∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC。
∵点E为AB的中点，∴AB=2BE。∴AC=BE。
在△ACD与△BEF中，∵，∴△ACD≌△BEF（AAS）。
∴CD=EF，即EF=CD。
（2）如图2，
作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，
∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，
∴四边形EQDH是矩形。∴∠QEH=90°。
∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG。，
又∵∠EQF=∠EHG=90°，
∴△EFQ∽△EGH。∴EF：EG=EQ：EH。
∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，∴∠B=30°。
在△BEQ中，∵∠BQE=90°，∴。∴EQ=BE。
在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴。∴EH=AE。
∵点E为AB的中点，∴BE=AE，
∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：。
（1）根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根据AC：AB=1：2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用AAS证明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD。
（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ=BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=AE，又BE=AE，进而求出EF：EG的值。　
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科目：初中数学
4、如图，在△ABC中，CA，CB的垂直平分线交点在第三边上，那么这个三角形是（　　）A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、以上结论都不对
科目：初中数学
（2013?桂林）如图，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，则AE=3．
科目：初中数学
已知，在△ABC中，CA=CB，CA、CB的垂直平分线的交点O在AB上，M、N分别在直线AC、BC上，∠MON=∠A=45°（1）如图1，若点M、N分别在边AC、BC上，求证：CN+MN=AM；（2）如图2，若点M在边AC上，点N在BC边的延长线上，试猜想CN、MN、AM之间的数量关系，请写出你的结论（不要求证明）．
科目：初中数学
如图，在△ABC中，CA⊥DB，A为垂足，BF⊥DC，F为垂足，AB=AC，DB=7，DA=2，CA，BF交于E，则EC的长为（　　）A．3B．4C．5D．6
科目：初中数学
在△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M=90°、∠MPN=30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D．（1）当PN∥BC时，∠ACP=90度；（2）当α=15°时，求∠ADN的度数；（3）在点P的滑动过程中，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若不可以，请说明理由；若可以，请求出夹角α的大小．教师讲解错误
错误详细描述：
如图所示，在△ABC中，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，DB＝．（1）求AD的长；（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
【思路分析】
（1）由CD垂直于AB，得到三角形BCD与三角形ACD都为直角三角形，由BC与DB，利用勾股定理求出CD的长，再利用勾股定理求出AD的长即可；（2）三角形ABC为直角三角形，理由为：由BD+AD求出AB的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ABC为直角三角形．
【解析过程】
（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠CDA=90°.在Rt△BCD中，BC=3，DB＝，根据勾股定理得：.在Rt△ACD中，AC=4，，根据勾股定理得：；（2）△ABC为直角三角形，理由为：∵AB=BD+AD=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形．
（1）；（2）是
此题考查了勾股定理，以及逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．
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