概率论与数理统计常见问题解答
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概率统计问题与思考
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新书热卖榜男孩女孩的概率问题 | 死理性派小组 | 果壳网 科技有意思
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最初的讨论见这里：参与者：
问题：一个家庭两个孩子，其中一个男孩是周四出生的，问另一个也是男孩的概率多少？值得怀疑的答案：13/27进度1：我是一个很无聊的人，看到13/27 这个答案，直觉的觉得不对。然后用 Excel 穷举了所有的 “孩子A（ 星期 + 性别） + 孩子B（ 星期 + 性别）” 共计 196 个可能性（2 * 7
* 2 * 7）。一行行数了一下，发现真的是 13/27 （由于 excel 表格太长，就不截图了）进度2：我对统计结果与直觉背离的原因很感兴趣。做了一个思想实验：假设当初人们定义星期的时候，一周只有两天，把这个题目中的 “周四的男孩” 改成 “周一的男孩”，那么答案会是多少？这次更简单了，答案 3/7，掰掰手指头就算出来了。这时候很奇怪的问题来了，难道人类生育男孩和女孩的概率，和一个星期有几天相关？不然为啥一会儿是 13/27，一会儿是 3/7?进度3：仔细考虑后，发现我最初的猜测是对的：错误出现在用 "可能情形的个数" 来代替 “概率” 用一个极端归谬的例子来说明：假设我们的历法上，一年一共就两个月，一月有364.99天，二月有0.01天。生男生女的可能情形一共就四种：一月男，二月男，一月女，二月女。那么一月份生男孩的概率是否是 25%呢？显然这是不可能的。从这里就能看出问题的所在，各个可能的情形的“权”并不相同。回到最初的问题上来，这题的“权”的差异非常的隐蔽。“周四男孩” 的限定条件，使得可能的总情形数量成为了“27”这么一个奇数，“非男即女”使得“男”出现了13次，“女”出现了14次。实际上，这个时候，“男”的权要比“女”的权要大。所以应该还是“1/2”。（欢迎对这一点吐槽，因为我还没有对这个权的具体数值做仔细的推算，但吐槽时最好能有详细的计算，谢谢）
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修订：1楼倒数第二自然段，“那么一月份生男孩的概率是否是 25%呢” 更准确的说法是 “一月份出生的男性在总人口中的分布是否是 25%呢”。这样不会引起歧义。
通信专业博士生，编程爱好者
这种题目真的是太无聊了，我都看烦了。。。结论是：13/27和1/2分别在不同前提下正确。你的直觉是1/2的时候，通常来说1/2是对的。至于楼主的分析，我觉得是有问题。建议楼主仔细研究一下概率论，并且用比较系统的语言重新描述这个事情，就能明白了
通信专业博士生，编程爱好者
用一个极端归谬的例子来说明：假设我们的历法上，一年一共就两个月，一月有364.99天，二月有0.01天。生男生女的可能情形一共就四种：一月男，二月男，一月女，二月女。那么一月份生男孩的概率是否是 25%呢？显然这是不可能的。从这里就能看出问题的所在，各个可能的情形的“权”并不相同。这道题目默认一周内每天的概率是相同的，但是结论不会发生改变
算了，不说太多，自己领悟吧。
实话说我就高中数学知识，大学数学基本没学。进度3：仔细考虑后，发现我最初的猜测是对的：错误出现在用 "可能情形的个数" 来代替 “概率”首先以我的数学知识，所谓概率就是用“符合条件的可能情形的个数”除以“所有的可能情形的个数”，这是跟实际最接近的定义概率的语句了。一定要抽象到一个所谓的高度我很可能看不懂，不过你可以试试解释一下我这个解释的错误之处，或许小概率的我真的能懂什么权不权的我不懂，周一周二周三周四周五周六周日互为对立事件，一星期的某一天如果不是周一就肯定是周二到周日的某一天，并且7者的概率是相等的。你那个极限归谬法，你所定义的一月与二月虽然互为对立事件，但是一月的概率高达364.99/365，而二月的概率仅仅是0.01/365，二者并不平等，虽然只有一月男，一月女，二月男，二月女4种情况，但是其中一月男和一月女的概率分别都是364.99/730，二月男二月女的概率分别都是0.01/730.所以一月生男孩的概率没有任何问题。引用
的话：修订：1楼倒数第二自然段，“那么一月份生男孩的概率是否是 25%呢” 更准确的说法是 “一月份出生的男性在总人口中的分布是否是 25%呢”。这样不会引起歧义。
的话：修订：1楼倒数第二自然段，“那么一月份生男孩的概率是否是 25%呢” 更准确的说法是 “一月份出生的男性在总人口中的分布是否是 25%呢”。这样不会引起歧义。高中数学概率知识说过，对立事件的概率总和必然为1，但是如果每种情况并非同等可能发生的话，不能简单的平均分割概率，最简单的，打靶，无非两个情形，一是中靶，二是脱靶，你能说一个人去打靶，中靶的概率是1/2吗？
其实就是条件概率，用贝叶斯公式算就行了。13/27是正确答案。不要相信直觉。
的话：其实就是条件概率，用贝叶斯公式算就行了。13/27是正确答案。不要相信直觉。问题就在这里，怎么证明这是“条件概率”呢？孩子A和孩子B的情况应该是独立事件，两者互相无关啊。真正出问题的地方就是，整个的大前提就有错啊。这不是直觉的问题，我儿子是周四出生的，难道全世界自古至今所有人，生男孩的几率立马变成了13/27? 那我岂不是千古罪人？公式是没错，原理也没错，问题是用在了错误的地方。-----满足某楼的“用系统的语言描述”的推论过程1. 每一次生育具有统计独立性，且P(男) = P(女) = 0.52. P(男 | 某男孩周四出生) = P(男) = 0.5或者那么喜欢用贝叶斯的话，这样推导：1. 每一次生育具有统计独立性，且P(男) = P(女) = 0.52. P(男 | 某男孩周四出生) = P(某男孩周四出生 | 男) * P(男) / P(某男孩周四出生) = P(某男孩周四出生) * P(男) / P(某男孩周四出生) = P(男) = 0.5ps: 和上面的算式本来就是一回事，因为贝叶斯公式本来就是基于条件概率的定义推导出来的--------- 再分割 --------再抽象一点：这个问题的本质就是 概率论定理7 (无关事件乘法法则)参见如果连基础都没搞好，只觉得会套用公式就可以。。。真的是很不理性的做法。。。
‘孩子A和孩子B的情况应该是独立事件’，可以这样说，但是这里周四男孩可以是A,可以是B，两个孩子是合在一起的，同A是周四男求B是男的概率是不一样的。你要先把事件表述出来再判断是不是无关事件，不然是扯不清楚的：a.至少有一个周四男孩1.两个男孩1/42.一男一女1/23.两个女孩1/4事件a和1,2,3不是独立事件,比如a和3就是互斥事件。然后再代公式：p(1| a)=p(a| 1)*p(1)/[p(a| 1)*p(1)+[p(a| 2)*p(2)+p(a| 3)*p(3)]其中p(a| 1)即为两个男孩子至少有一个为周四男的概率=1-(6/7)*(6/7)=13/49p(a| 2)为一男一女情况下周四男的概率=1/7p(a| 3)=0,算出来为13/27.或者按你说的AB两个小孩来说：1.为A为周四男的情况下B为男2.B为周四男的情况下A为男所求概率为：P（1+2），1和2不是互斥事件，不等于p（1）+p（2）=1/2还得减去两个都为周四男的概率。这里有个问题：原来的题求一个周四男，另一个为男的概率；现在求一个周四男，另一个为周四男的概率；你会更纠结啊~~~~~~~~~呵呵~~~~~
哈哈，这个生男生女的问题有意思，我想起一个最简单的问题，某夫妇家里有个男孩，他们生第二胎，也是男孩的比例是多少，答案是1/2。 我想，这两个问题，三种答案，其矛盾点是样本空间的问题，对于我的问题，很显然，样本空间2个——1男1女。 对于原题，样本空间到底是几个3个，还是27个？答案到底是几？我的答案是1/2！！！！！我的答案是1/2！！！！！ 看看回答1/3的思路： 有两个孩子，立即列了4种可能，一个是男孩，去掉一种可能，剩下3种。 因为这里面两个孩子是总体，4种可能是等概率的。附加条件一个男孩时，相当于选取了其中三种情况为样本。 问题在哪里？ 为什么1/3是错的呢，因为这个给定的男孩并不知道是第几胎，“男+男”这一情况并没有体现这个给定的男孩是老大还是老二，而“男+女”很明显，这个男孩是老大，“女+男”说明他是老二。因此这三种可能是不等概率的。 这种思路正确的解法： 男孩是老大，则老二有2种可能，男，女 男孩是老二，则老大有2种可能，男，女 男孩是老大或者老二是等概率的。 因此一共4宗等概率可能，给定一个男孩，另一个也是男孩的可能是2种，得到答案1/2。 为什么13/27是错误的： 如上段话所述，这个给定的男孩不知是哪一胎，因此另外一个孩子出生的星期几与性别的组合并不是等概率事件，也就是27这个样本空间并不是等概率的。 这种思路正确的解法是列出总体， 周一男+周一男……周一男+周日男 周一男+周一女……周一男+周日女 周二女+…… ………… ……+周日女+周日女 一共196种可能，这196种可能是等概率的。 给定条件周四男，当他是老大时，得到14种可能，当他是老二时也得到14种可能，共28种，且是等概率的（注意这里没有删除所谓的重复，因为这个给定的周四男，可能是老大，也可能是老二），这28个样本空间中另一个孩子为男的有14种可能（这里也没有删除所谓的重复）。 得到答案也是1/2.一次这就颠覆了一个很传统的问题，一对夫妇两个孩子，其中一个是男孩，另一也是男孩的概率是多少——1/2，不是1/3。
我有两个硬币，丢出去，其中一个是正面，请问另一个是正面的概率是多少。一句话解决，或者可以说地上有七个格子，第一个硬币落在格子四里面且是正面，另一个硬币是正面的概率是多少？傻子也知道是1/2了。
这个问题问的是第二个孩子是男孩的概率是多少，而不是问两个都是男孩的概率，也不是问一男一女的概率。既然如此，我要问，第一个是男孩女孩，跟第二个孩子的性别，有关系吗？很明显什么关系都没有，就算第一个生的是个大猩猩，第二个生男的概率还不是1/2，第一个在星期几生，在生物学上会影响第二个的性别吗。
原来这里单独开贴讨论这个问题啊。在所有的两个孩子家庭中至少有一个周四出生的男孩的概率是27/196，这个应该很好算；在所有两个孩子的家庭中两个都是男孩子，并且至少有一个在周四出生的概率是13/196，这个也很好算；所以13/27这个奇葩概率指的其实是“在所有有两个孩子，并且其中至少有一个是周四出生的男孩子的家庭里，另一个孩子也是男孩子的概率”。所以 在二楼说的是对的，题目其实条件不足，实际情况要看语境，我来补充一下吧：1、一般情况下某人跑来跟你卖关子说老王家俩熊孩子有一个是男孩（或周四男），让你猜另一个是男是女，这种通常都是没有筛选的，只是随便挑了一个孩子的信息告诉你，那么另一个是男孩的概率应该是1/2；2、如果你问某人：老王那么重男轻女，都生俩了生出儿子了么？那人说：老王有儿子啊，老大（或老二）就是儿子，那年XX节星期四生的！然后让你猜猜另一个是男是女，这时候其实对性别进行了筛选，而生日周几则没有筛选，另一个是男孩的概率则是1/3；3、至于13/27这么奇葩的概率，我想了想下面这种情况应该符合。你问一片儿警哥们儿：你们这片区俩孩子的家庭中有周四出生的男孩么？哥们儿不耐烦地打开电脑查了查说：老王家有一个，你猜猜另一个是男是女（你俩都挺无聊的）？那么另一个是男孩的概率就是13/27。
复杂化了吧？生男生女是在单次下进行的，一次生育过程是在一个特定时间进行一个双项选择，如同抛硬币，抛一次的时候概率是50%，两次的时候可能是50%。也可能是100%，但是如果抛上万次的话，又回归到50%。这个问题就是将抛硬币变成了有限次数抛硬币，而且次数很小，所以得出的结果虽然符合特定情况下的数理，但是不符合实际情况和大范围下的数理。
看了半天还是没明白，前一个孩子星期几出生会影响到后一个孩子的性别？
(C)2013果壳网&京ICP备号-2&京公网安备概率统计问题每次试验中事件A发生的概率为0.2,则在1000次独立重复试验中事件A至少发生200次的概率约为多少_百度作业帮
概率统计问题每次试验中事件A发生的概率为0.2,则在1000次独立重复试验中事件A至少发生200次的概率约为多少
记Xi为第i次试验中事件A发生与否的示性随机变量,即A发生时值为1,否则为0.记Y=X1+X2+...+X1000,则由中心极限定理可知(Y-EY)/sqrt(DY)近似服从标准正态分布P(Y>=200)=P((Y-EY)/sqrt(DY))>=(200-EY)/sqrt(DY))=Φ((200-EY)/sqrt(DY))其中EY==200,故结果为Φ(0)=1/2.概率论问题事件A、C相互独立,是不是等于_百度作业帮
概率论问题事件A、C相互独立,是不是等于
当然不等于.这与独立不独立无关,这是集合慨念了.因为电脑书写不方便,我用A补表示A上面一横,C也一样.A补C补是A不发生的集合和C不发生的集合的交集,即A和B都不发生的集合.（AC）补是AC不同时发生的集合,即AC最多只有一个发生的集合.很明显,这两个集合是不相等的.无论AC之间是否独立.至于两个的概率嘛,一般来说当然也就不相等了,无论AC之间是否独立.在集合运算中,很容易就能推导出（AC）补=（A补+C补）,而不是A补×C补.愿意解疑答惑.如果明白,并且解决了你的问题,请及时采纳为满意答案!请谅解,
若事件A、C相互独立那么A反乘C反等于AC反.望采纳。
解决这个问题的通用方法是用集合论中的“德摩根定律”
如果A、C为任意事件，A反乘C反什么情况下不等于AC反
因为A反可能会对C反有影响。