知识点梳理
1.作差法（定义法）。根据增函数、减函数的定义，利用作差法证明函数的单调性。其步骤有：⑴取值，⑵作差，⑶变形，⑷判号，⑸定性。其中，变形一步是难点，常用技巧有：型---因式分解、配方法，还有六项公式法。分式型---通分合并，化为商式。二次根式型---分子有理化。2.图像法。利用函数图像的连续上升或下降的特点判别函数的单调性。3.导数法。利用导函数的符号判别函数的单调性。f'(x)>0为单调递增，f'(x)<0为单调递减。4.运算法。利用已知函数的单调性判别和差型函数的单调性。这种方法的根据有如下四种：⑴增+增=增 ⑵增-减=增⑶减+减=减⑷减-增=减5.复合函数法。对于复合函数的单调性，可以根据各层函数单调性去判别。其规律是：如果各层函数中，减函数的个数是偶数，则原复合函数是增函数；如果各层函数中，减函数的个数是奇数，则原复合函数是减函数。当是最简单的两层复合函数时，通常根据所谓的‘同增异减’判别法。即，内外层函数的单调性相同时，原函数是增函数；内外层函数的单调性不相同时，原函数是减函数。六奇偶性法。如果函数具有奇偶性，则单调性可以简便判别。一般先用作差法判别定义域大于0时的单调性，再根据图像的对称性得出定义域小于0时的单调性。正所谓‘巧借奇偶性，减半判单性’就是这个道理。v
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；
的性质：1.二次函数是，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是图形。对称轴为直线 。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P 。当 时，P在y轴上；当 时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a&0时，抛物线向上开口；当a&0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0, c)6.抛物线与x轴交点个数： 时，抛物线与x轴有2个交点。 时，抛物线与x轴有1个交点。当 时，抛物线与x轴没有交点。当 时，函数在 处取得最小值 ；在 上是减函数，在 上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是 。当 时，函数在 处取得最大值 ；在 上是增函数，在 上是减函数；抛物线的开口向下；函数的值域是 。当 时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax?+c(a≠0)。7.定义域：R值域：当a&0时，值域是 ；当a&0时，值域是 ①一般式： ⑴a≠0⑵若a&0，则抛物线开口朝上；若a&0，则抛物线开口朝下；⑶顶点： ；⑷若Δ&0，则图象与x轴交于两点：和；若Δ=0，则图象与x轴切于一点：若Δ&0，图象与x轴无公共点；②顶点式： 此时，对应顶点为，其中, ；③交点式： 图象与x轴交于 和 两点。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“已知二次函数f（x）=ax2+|a-1|x+a．（1）函数f...”，相似的试题还有：
已知定义在R上的奇函数f(x)单调递增，若f(x2-2x+a)+f(2-ax)＞0对x∈(1，+∞)恒成立，则实数a的取值范围为_____．
已知二次函数f(x)=x2-ax+3，x∈[1，3]．(Ⅰ)若函数y=f(x)在区间[1，3]上单调递增，试求a的取值范围；(Ⅱ)若不等式f(x)＞1在x∈[1，3]上恒成立，试求a的取值范围．
已知函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab．当x∈(-3，2)时，f(x)＞0，当x∈(-∞，-3)∪(2，+∞)时，f(x)＜0．(1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=\frac{a}{3}x^{2}+2tanθox+b在区间[1，+∞)上单调，求θ的取值范围；(3)不等式(t-2)f(x)≥t2+(m-2)t-2m+2对x∈[-1，1]及t∈[-1，1]时恒成立，求实数m的取范围．问题补充&&
+∞）上递减:///zhidao/pic/item/aaf736dcbbf8**955b319eb**1338，+∞）上递减．当△=a2+4a＞0即a＞0或a＜-4时，则x2-ax-a＜0，∴f（x）在（0: initial，∴f（x）在（0，x1）上递增，∴2a＜x2 background-image（1）f′（x）=ax，x2＜0＜x1，即转化为alnx-12x2＜0，+∞）上递减．（2）原题等价于f（x）＜ax-1对，+∞），当△=a2+4a≤0；当a＜0时，+∞）恒成立，a+a2+4a2）上递增，令g（x）=x2-ax-a，+∞）上递减．若a＜-4;width：当a＞0时，+∞）上递减．综上所述，x2＝a.jpg" target="_blank">/zhidao/pic/item/aaf736dcbbf8**955b319eb**a2: initial，即-4≤a＜0时f（x）在（0，∵△=a2+4a，&lt?x+a: url(<a href=" background-origin，x2＜x1＜0，h′（x）=x(2lnx，∵x∈（1，令f′（x）＞0，在（x1.bai**，x1＝a+a2+4a2.bai**;div style=& background-clip?x∈（1，f（x）在（0，若a＞0?1)ln2x，f（x）在（0，令h（x）=x2lnx，在（a+a2+4a2; background-attachment，∴h（x）在（0.jpg): 6px: initial
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若函数f(x)=x^2-(a-1)x+5在区间(1/2,1)上具有单调性,则实数a的取值范围
若函数f(x)=x^2-(a-1)x+5在区间(1/2,1)上具有单调性,则实数a的取值范围
因为这个是二次函数所以比较好算.只须控制它的顶点横坐标小于1/2或大于1即可.顶点横坐标为(a-1)/2知识点梳理
1.作差法（定义法）。根据增函数、减函数的定义，利用作差法证明函数的单调性。其步骤有：⑴取值，⑵作差，⑶变形，⑷判号，⑸定性。其中，变形一步是难点，常用技巧有：型---因式分解、配方法，还有六项公式法。分式型---通分合并，化为商式。二次根式型---分子有理化。2.图像法。利用函数图像的连续上升或下降的特点判别函数的单调性。3.导数法。利用导函数的符号判别函数的单调性。f'(x)>0为单调递增，f'(x)<0为单调递减。4.运算法。利用已知函数的单调性判别和差型函数的单调性。这种方法的根据有如下四种：⑴增+增=增 ⑵增-减=增⑶减+减=减⑷减-增=减5.复合函数法。对于复合函数的单调性，可以根据各层函数单调性去判别。其规律是：如果各层函数中，减函数的个数是偶数，则原复合函数是增函数；如果各层函数中，减函数的个数是奇数，则原复合函数是减函数。当是最简单的两层复合函数时，通常根据所谓的‘同增异减’判别法。即，内外层函数的单调性相同时，原函数是增函数；内外层函数的单调性不相同时，原函数是减函数。六奇偶性法。如果函数具有奇偶性，则单调性可以简便判别。一般先用作差法判别定义域大于0时的单调性，再根据图像的对称性得出定义域小于0时的单调性。正所谓‘巧借奇偶性，减半判单性’就是这个道理。v
的性质：1.二次函数是，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是图形。对称轴为直线 。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P 。当 时，P在y轴上；当 时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a&0时，抛物线向上开口；当a&0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0, c)6.抛物线与x轴交点个数： 时，抛物线与x轴有2个交点。 时，抛物线与x轴有1个交点。当 时，抛物线与x轴没有交点。当 时，函数在 处取得最小值 ；在 上是减函数，在 上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是 。当 时，函数在 处取得最大值 ；在 上是增函数，在 上是减函数；抛物线的开口向下；函数的值域是 。当 时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax?+c(a≠0)。7.定义域：R值域：当a&0时，值域是 ；当a&0时，值域是 ①一般式： ⑴a≠0⑵若a&0，则抛物线开口朝上；若a&0，则抛物线开口朝下；⑶顶点： ；⑷若Δ&0，则图象与x轴交于两点：和；若Δ=0，则图象与x轴切于一点：若Δ&0，图象与x轴无公共点；②顶点式： 此时，对应顶点为，其中, ；③交点式： 图象与x轴交于 和 两点。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“下列四个命题：（1）奇函数f（x）在（-∞，0）上增函数，则...”，相似的试题还有：
下列四个命题：(1)函数f(x)=1既是奇函数又是偶函数；(2)若函数f(x)=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2-8a＜0且a＞0；(3)函数f(x)在(0，+∞)上是增函数，在(-∞，0)上也是增函数，所以函数f(x)在定义域上是增函数；(4)若x∈R且x≠0，则log_{2}x^{2}=2log_{2}x．&其中正确命题的个数是()
下列四个命题：(1)函数f(x)在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，所以f(x)是增函数；(2)若函数f(x)=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2-8a＜0且a＞0；(3)y=x2-2|x|-3的递增区间为[1，+∞)；(4)y=1+x和y=\sqrt{(1+x)^{2}}表示相等函数．其中正确命题的个数是_____．
下列四个命题：(1)函数f(x)=1是偶函数；(2)若函数f(x)=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2-8a＜0且a＞0；(3)函数f(x)在(0，+∞)上是增函数，在(-∞，0)上也是增函数，所以函数f(x)在定义域上是增函数；(4)若x∈R且x≠0，则log_{2}x^{2}=2log_{2}x．&其中正确命题的序号是_____．当前位置：
＞＞＞若函数f（x）=（x-2）（x2+c）在x=2处有极值，则函数f（x）的图象在x=1处..
若函数f（x）=（x-2）（x2+c）在x=2处有极值，则函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为______．
题型：填空题难度：偏易来源：不详
∵函数f（x）=（x-2）（x2+c）在x=1处有极值，∴f′（x）=（x2+c）+（x-2）×2x，∵f′（2）=0，∴（c+4）+（2-2）×2=0，∴c=-4，∴f′（x）=（x2-4）+（x-2）×2x，∴函数f（x）的图象x=1处的切线的斜率为f′（1）=（1-4）+（1-2）×2=-5，故答案为：-5．
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据魔方格专家权威分析，试题“若函数f（x）=（x-2）（x2+c）在x=2处有极值，则函数f（x）的图象在x=1处..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，函数的极值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性与导数的关系函数的极值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&
发现相似题
与“若函数f（x）=（x-2）（x2+c）在x=2处有极值，则函数f（x）的图象在x=1处..”考查相似的试题有：
626229559874620075517736495554760108