设φχ在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,有∫下a上tφ(tx)dt=aφ(x),其中a为实数连续性定理

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概率论与数理统计习题(含解答,答案)
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2005年到2011年考研数学一历年真题
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假设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f’(x)&=0,
f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f&(x)&=0,
记F(x)=1/(x-a)积分a~x f(t)dt, 证明：在(a,b)内，F&(x)&=0
F'(x)
＝[(x－a)f(x)－∫a～x f(t)dt]/(x－a)^2
＝∫a～x [f(x)－f(t)]dt/(x－a)^2
＝∫a～x f'(u)(x－t)dt/(x－a)^2 （使用微分中值定理，u介于a与x之间）
因为在[a，x]上，f'(u)≤0，x－t≥0，所以f'(u)(x－t)≤0，进而∫a～x f'(u)(x－t)dt≤0。
所以F'(x)≤0。
,所以f(x)-f(t)一定是小于或等于0的,积分限又是上限大于下限,就可以证得结论了.
恩,其实这跟微分中值定理本质上是一样的.
另外,本题也可以对
&a～x [f(x)－f(t)]dt/(x－a)^2
的分子部分求导,进而证明分子小于0,由于分母大于0,也可得结论.
我觉得你说的也是对的,呵呵!!
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大家还关注设函数f（x）在[0，1]上连续且单调增加，又知a∈[0，1]，证明a0f（t）dt≤a10f（t）dt_百度知道
令F（x）=，则F（0）=0．利用积分上限函数的性质可得，F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且F′（x）=2+=．因为f（x）在[0，1]上连续且单调增加，所以≤xf（x），从而≤f（x），即有：F′（x）≥0．从而，F（x）在[0，1]上单调增加，故对于任意a∈[0，1]，均有F（a）≤F（1），即：≤，即：≤．
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