二倍角的正弦、余弦、正切
+kπ且α≠+ (k∈Z)时，才成立；否则不成立.
4.要注意公式的灵活变形，能引出诸如：sin2=,cos2=,tan==,sinα·cosβ=［sin(α+β)+sin(α-β)］,sinθ+sinφ=2sincos等公式.但这些公式不要求记忆.
特别指出的恒等式：
升幂公式：1+cosα=2cos2
1-cosα=2sin2
降幂公式：cos2α= (1+cos2α)
sin2α= (1-cos2α)
三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin3α
cos3α=4cos3α-3cosα
的倍角.三是角余切、正割、余割的倍角公式都是利用同角三角函数关系式转化处理.四要注意sin2α的变形cosα=在求积时的应用.
(2)设α∈(π,2π),化简.
分析：①利用倍角公式将1+sin8，2+2cos8配方，同时要注意三角函数值在各象限中的符号，去掉根号.
②连续运用公式1+cos2α=2cos2a，同时注意到cosα,cos的符号，便可脱去根号.
解：(1)原式=2+
=2｜sin4+cos4｜+2｜cos4｜
∵4∈(π，π)
∴sin4+cos4＜0,cos4＜0
故原式& =-2(sin4+cos4)-2cos4
=-2sin4-4cos4
(2)∵α∈(π，2π)
∴cosα＞0,cos＜0
=｜cos｜=-cos
评析& 要注意二倍角的余弦公式的各种变形，例如：1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α,cos2α=,sin2α=等.
分析1：用乘法公式将分子展开后再进一步化简.
解法一：原式
=t，应用万能公式可将原式化为关于t的有理式后再进行化简.注意最后仍需将t化回为角x的三函数式.
解法三：令tan=t,那么sinx=,cosx=
+ (cos48°-cos12°+cos36°)
=+ (-2sin30°sin18°+cos36°)
=+ (sin54°-sin18°)
=+cos36°sin18°
评析：降幂、化积是三角函数恒等变形的基本方法之一.
-x)= ,x∈(0, )，求cos2x的值.
解：∵0＜x＜，∴0＜-x＜。∴cos(-x)＞0
又sin(-x)= ，∴cos(-x)= .
∴cos2x=sin( -2x)=2sin(-x)cos(-x)
说明：根据需要，在求值或变形过程中，有必要把所给的角用其他角代换.
由(sinx+cosx)2=sin2x+2sinxcosx+cos2x,
∴t2=1+2sinxcosx,∴sinxcosx=
∴y=1+t+= (t2+2t+1)= (t+1)2
(1)当(1)t=-1时，y最小值=0
(2)当(1)t= 时，y最大值= ( +1)2=+
说明：sinx±cosx与sinxcosx有密切联系，可以互相转换，可以说解题离不开转换，所以应掌握常用的转换方法，可把多元问题转化为一元问题来解.
+cos+cos的值.
分析：此函数式是角成等差数列的余弦的和，可在分子分母上同乘以公差一半的正弦的2倍，然后再积化和差求解.
解：cos+cos+cos
= (2sin cos+2sincos+2sin cos)
= (sin+sin-sin+sin-sin)
解法一：原式=cos · (cos+cos)
=- cos+coscos
=- cos+(cos+cos)
解法二：原式=
解法三：原式=··
sinsin，显然B≠0
则AB=(sin)(sin)(sin)
= sinsinsin
评析：解法一通过两次积化和差，将非特殊角的三角函数项消去，转化为特殊角三角函数值的计算；解法二是化简或计算形如cosαcos2αcos22α…cos2nα的函数式的一般方法，即将分子分母分别乘以2n+1sinα，连续逆用二倍角正弦公式就可将函数式化简：解法三、四应用了公式sin2α=2sinαcosα，这四种解法都有一定的典型意义.
分析：显然分子可直接化为cos2α,所以设法将分母中角+α，-α的三角函数也化为2α的三角函数.
解法一：∵2cos2α-1=cos2α
tan(-α)==
2sin2(+α)=1-cos(+2α)=1+sin2α,
解法二：∵2cos2α-1=cos2α
2tan(-α)sin2(+α)=2tan(-α)cos2(-α)
=2sin(-α)cos(-α)
=sin(-2α)=cos2α,
,cosα+cosβ=,求sin(α+β)的值.
解：由已知条件得
2sincos= ,2coscos =.
以上两式相除，得tan=.
∴sin(α+β)= =
评注：以sinα,sinβ,cosβ之间的和差作为条件的求值问题是一种常见题型.如此例中由两式相除先求出tan，然后由万能代换可以求出sin(α+β),cos(α+β),tan(α+β)等结果.同时，还有以下的几种变形方法，仍以如上条件为例：
(1)两式平方相加：
(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=2+2cos(α-β)=
cos(α-β)=-
(2)两式平方相减：
(cosα+cosβ)2-(sinα+sinβ)2=cos2α+cos2β+2cos(α+β)
=2cos(α+β)［cos(α-β)+1］
cos(α+β)=
+y)2=x+y+2
由已知二等式可解得x=(3-cos4θ+4sin2θ),y= (3-cos4θ-4sin2θ)
∴(左边)2=3-cos4θ+2
=3-cos4θ+
=3-cos4θ+
=3-cos4θ+
=3-cos4θ+
=3-cos4θ+1+cos4θ=4=(右边)2
∴原式成立.
降次，然后综合运用积化和差及和差化积公式便可求值.另外本题也可利用构造配对式进行求值.
解：方法一：
原式=+-sin40°sin80°
=1+(cos100°+cos20°)+ (cos120°-cos40°)
=1+cos60°·cos40°--cos40°=
方法二(构造配对式)：
设x=cos210°+cos250°-sin40°sin80°
配对，得y=sin210°+sin250°+cos40°cos80°
x+y=2+cos120°=
x-y=cos20°+cos100°-cos40°
=2cos60°cos40°-cos40°=0
解之，得x=
,那么sin2θ等于( &&&)
A. &&&&&&& B.-
&&&&&&&&C. &&&&&&&&D.-
分析& 本题考查了学生应用正余弦的平方关系的能力、配方能力及正弦函数值在各象限的符号的判别.
解：方法一：
将原式配方，得(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=
于是1-sin22θ=,sin22θ=
由已知，θ在第三象限，故2kπ+π＜θ＜2kπ+π,k∈Z.
从而4kπ+2π＜2θ＜4kπ+3π.
即2θ在第一、二象限，故sin2θ=.
方法二：由2kπ+π＜θ＜2kπ+
得4kπ+2π＜2θ＜4kπ+3π,k∈Z.
故sin2θ＞0
应排除B、D.
由sin2θ=,得2sin2θcos2θ=.
并与sin4θ+cos4θ=相加，得sin2θ+cos2θ=1成立.
+x)=, ＜x＜,求的值.
分析：若对结论切化弦后再化简不难发现，只需求出sin2x和tan(+x)的值即可，注意到2(+x)= +2x，就可以发现求解的途径了.
解：∵＜x＜，∴＜ +x＜2π
又∵cos(+x)= ,∴＜+x＜2π
∴sin(+x)=- ,tan(+x)=- .
又∵sin2x=-cos(+2x)=-cos2(+x)
=-2cos2(+x)+1=-+1=
=sin2xtan(+x)
说明：(1)本题也可由tan(+x)=- 得tanx=7，再次要求解的三角式化为用tanx表示的形式；
(2)本题解法中巧妙行利用了“角的变换”2(+x)= +2x，使求解过程不致过于繁杂；
(3)若不注意x的范围，就会导致由cos(+x)=求出sin(+x)=±而不知取舍.
｜OM｜2sin2α=sinα=200sinα.
当2α=90°,即α=45°时，(S1)
max=200 (cm2).
如题中图(2)所示，连结OM，过O作OD⊥MN，交于F
则∠AOD=60°，设∠AOM=θ,
｜MF｜=｜MN｜=｜OM｜sin(60°-θ),
∴｜MN｜=40sin(60°-θ).
在△MQO中，由正弦定理得
∴｜MQ｜=×20sinθ=sinθ,
∴S2=｜MN｜·｜MQ｜
=sinθsin(60°-θ)
=［cos(2θ-60°)-cos60°］
=［cos(2θ-60°)- ］
当2θ=60°,即θ=30°时，(S2)max= (cm2).
∴第二种裁法能得到最大面积的矩形，其最大值为cm2.
(3)tantan =;&&& (4)2cot=cot+cot;
(5)4cos2=cosA+cosC;&& (6)0＜B≤等等.第19讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式_百度文库
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【步步高 学案导学设计】学年高中数学 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课时作业 新人教A版必修4
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　　　　3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式　　课时目标
1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．　　　　1．倍角公式　　(1)S2α：sin 2α＝2sin αcos α，sin α2cos α2＝12sin α；　　(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1　　＝1－2sin2α；　　(3)T2α：tan 2α＝2tan α1－tan2α.　　2．倍角公式常用变形　　(1)sin 2α2sin α＝__________，sin 2α2cos α＝__________；　　(2)(sin α±cos α)2＝__________；　　(3)sin2α＝______________，cos2α＝______________.　　　　一、选择题　　1．计算1－2sin222.5°的结果等于( )　　A.12
D.32　　2．函数y＝2cos2(x－π4)－1是( )　　A．最小正周期为π的奇函数　　B．最小正周期为π2的奇函数欢迎来到高考学习网，
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& 高二数学人教A必修4综合测试题（二倍角的正弦、余弦、正切公式,简单的三角恒等变换）
高二数学人教A必修4综合测试题（二倍角的正弦、余弦、正切公式,简单的三角恒等变换）
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高中数学必修4测试题(二倍角的正弦、余弦、正切公式,简单的三角恒等变换)
一、选择题:共6小题
1(易)的值为(
2、(易)已知,,则(
3、(易)设,,,则大小关系(
4、(中)已知,则的值为(
5、(中)化简(
6、(中)若 则(
二、填空题:共3小题
7、(易)已知那么的值为
8(中)已知,,则=__________.
三、解答题:共2小题
10、(中) 已知＜α＜β＜,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值.
11、(中)已知０＜α＜,sin(－α)=,求的值.
一、选择题:共6小题
1(易)若,且,则(
2、(中)已知则的值为(
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7(中)已知,,且,则的值等于
8(中)已知,则的值为
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10(中)已知<<<(1)求的值.
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解答题:共2小题
1(难)已知函数()的最小正周期为.
(1)求的值;
(2)求函数在区间上的取值范围.
2.(较难)已知函数
(1)写出函数的单调递减区间;
(2)设,的最小值是,最大值是,求实数的值.
3.A ∵,,,∴.
10.解:此题考查“变角”的技巧.由分析可知2α=(α－β)+(α+β).
由于＜α＜β＜,可得到π＜α+β＜,0＜α－β＜.
∴cos(α+β)=－,sin(α－β)=.
∴sin2α=sin［(α+β)+(α－β)］
=sin(α+β)cos(α－β)+cos(α+β)sin(α－β)
=(－)·+(－)·=－.
11.分析:这道题的选题意图是考查两角和与差的正、余弦公式和诱导公式的综合运用以及变角技巧.解题过程中,需要注意到(+α)+(－α)=并且(+α)－(－α)=2α.
解:cos(+α)=cos［－(－α)］=sin(－α)=,
又由于０＜α＜,则0＜－α＜,＜+α＜.
所以cos(－)=,
7. ∵,∴,,得,
8. 由,得或.
,只有符合题意.
9. 在中,由,,
10.解:(1)由,得
11解:(1)原式
因为函数的最小正周期为,且,所以,解得.
()由()得.因为,
因此,即的取值范围为.
为所求的单调递减区间;
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