高等数学 计算下列对坐标的曲面积分习题，

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-05-18 02:48 标签： 曲面积分的计算
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曲线积分与曲面积分
&&&&1．记住曲线积分和曲面积分的各种术语和符号；
&&&&2．知道光滑曲线、分段光滑曲线和有向曲线的定义；
&&&&3．知道光滑曲面、分片光滑曲面和有向曲面的定义；
&&&&4．知道单连通区域和多连通区域的定义；
&&&&5．知道通量与散度的定义和环流量与旋度的定义；
&&&&6．知道曲线积分和曲面积分存在的条件；
&&&&7．知道莱布尼兹公式、格林公式、斯托克斯公式之间的联系；
&&&&8．知道对弧长的曲线积分和对面积的曲面积分的几何意义和物理意义；
&&&&9．知道对坐标的曲线积分和对坐标的曲面积分的物理意义；
&&&&10．知道高斯公式的物理意义．
&&&&1．领会两类曲线积分的概念与性质；
&&&&2．领会两类曲线积分之间的区别与联系；
&&&&3．领会对弧长的曲线积分与定积分之间的区别与联系；
&&&&4．领会对坐标的曲线积分与定积分之间的联系，对坐标的闭曲线积分与二重积分之间的联系；
&&&&5. 领会平面曲线积分与路径无关的概念，曲线积分与路径无关与二元函数全微分的关系；
&&&&6．领会两类曲面积分的概念与性质；
&&&&7．领会两类曲面积分之间的区别和联系；
&&&&8．领会对面积的曲面积分与二重积分之间的联系；
&&&&9．领会对坐标的曲面积分与二重积分之间的区别与联系，对坐标的闭曲面积分与三重积分之间的联系．
&&&&1．会用定积分计算对弧长的曲线积分；
&&&&2．会用定积分计算对坐标的曲线积分；
&&&&3．会用格林公式计算对坐标的曲线积分；
&&&&4．会用平面曲线积分与路径无关的条件简化曲线积分的计算；
&&&&5．会求二元函数全微分的原函数；
&&&&6．会用二重积分计算对面积的曲面积分；
&&&&7．会用二重积分计算对坐标的曲面积分；
&&&&8．会用高斯公式计算一些曲面积分或简化曲面积分；
&&&&9．会用斯托克斯公式计算一些简单的曲线积分；
&&&&10．会用曲线积分、曲面积分表示和计算一些几何量和物理量，如弧长、面积、功、流量等．
四、分析综合
&&&&1．综合运用曲线积分多方面的知识，特别是格林公式计算曲线积分；
&&&&2. 综合运用曲线积分与路径无关的条件及微积分其他方面的知识求解一些曲线积分；
&&&&3. 综合运用曲面积分多方面的知识，特别是高斯公式求解曲面积分．
第一节 对弧长的曲线积分
&&&&重点：对弧长的曲线积分的概念、性质与计算。
&&&&难点：计算公式的推导。
第二节 对坐标的曲线积分
&&&&重点：对坐标的曲线积分的概念、性质与计算。
&&&&难点：计算公式的推导，两类曲线积分之间的关系。
第三节 格林公式及其应用
&&&&重点：格林公式和平面上曲线积分与路径无关的条件。
&&&&难点：各定理的证明与应用。
第四节 对面积的曲面积分
&&&&重点：对面积的曲面积分的概念、性质与计算。
&&&&难点：计算公式的推导。
第五节 对坐标的曲面积分
&&&&重点：对坐标的曲面积分的概念、性质与计算。
&&&&难点：对坐标的曲面积分的概念与计算。
第六节 高斯公式，通量与散度
&&&&重点：高斯公式及其应用。
&&&&难点：高斯公式的证明与应用。
第七节 斯托克斯公式，环流量与旋度
&&&&重点：斯托克斯公式及其应用。
&&&&难点：高斯公式的应用，环流量与旋度。
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∫∫(x^2+y^2+z^2)dS=a^2 ∫dS（积分曲面的面积）=a^2*4πa^2=4πa^4
第二道题用格林公式吧
第一个直接代入，用面积计算，第二个，格林公式，极坐标
设∑1为z=(a^2-x^2-y^2)^(1/2),dS=a/(a^2-x^2-y^2)^(1/2) dσ曲面面积，由对称性，∮∑ dS = 2∫∑1 dS = 2a∫ 1/(a^2-x^2-y^2)^(1/2) dxdy = 2a∫(0,2π)∫(0,a) r/(a^2-r^2)^(1/2) drdθ = 4πa*(- 1)*(a^2-r^2)^(1/2):(0,a) = 4πa*a = 4πa^2
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