（2004o襄阳）如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C（0，）在y轴的正半轴上，A、B是x轴上是两点，且OA：OB=3：1，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交BC于点F．直线EF交OC于点Q．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系并证明你的猜想；
（3）在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MN∥AB交OC于点N．试问：在x轴上是否存在点P，使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
（1）已知了C点的坐标，即可求出OC的值，题中告诉了OA，OB的比例关系，因此可用射影定理求出OA，OB的长，即可得出A，B两点的坐标，然后用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（2）证EF与圆的关系，可连接O1E，O2F证是否与EF垂直即可．连接OE，OF，那么四边形EOFC是个矩形，根据矩形的对角线相等且互相平分的特点，可得出QO=QE，那么∠1=∠2，而∠3=∠4，因此可得出∠1+∠3=90°，即可证得，O1E⊥EF，因此EF是圆O1的切线，同理可证得EF也是圆O2的切线，因此EF是两圆的公切线；
（3）①先求PM=MN时，P点的坐标，此时四边形PMNO是个正方形，可根据相似三角形CMN和CAO来求出MN的长，即可得出P点的坐标．
②在①中已经得出四边形MPON是正方形，因此P在O点时，也符合题中的条件，此时P点坐标即为原点坐标．
综上所述即可求出符合条件的P的坐标．
解：（1）在Rt△ABC中，OC⊥AB，
∴△AOC∽△COB．
∴OC2=OAoOB．
∵OA：OB=3：1，C（0，），
∴（）2=3OBoOB．
∴A（-3，0），B（1，0）．
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．
∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=-x2-x+；
（2）EF与⊙O1、⊙O2都相切．
证明：连接O1E、OE、OF．
∵∠ECF=∠AEO=∠BFO=90°，
∴四边形EOFC为矩形．
∴∠1=∠2．
∵∠3=∠4，∠2+∠4=90°，
∴EF与⊙O1相切．
同理：EF与⊙O2相切；
（3）作MP⊥OA于P，设MN=a，由题意可得MP=MN=a．
∵MN∥OA，
∴△CMN∽△CAO．
解之，得a=．
此时，四边形OPMN是正方形．
∴MN=OP=．
∴P（-，0）．
考虑到四边形PMNO此时为正方形，
∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形．
故x轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且P（-，0）或P（0，0）．连接,由已知得,,根据弧长公式求解;连接,由垂直平分线的性质得,又,在中,由勾股定理求,依题意证明,利用相似比求;存在.当以点,,为顶点的三角形与相似时,分为当交点在,之间时,由以点,,为顶点的三角形与相似,有或,当交点在点的右侧时,要使与相似,只能使,当交点在点的左侧时,要使与相似,只能使,三种情况,分别求点坐标.
连接,,,,,,弧的长;(分)连接,是直径,,又,是的垂直平分线,,在中,,,由,,得,,即,;(分)设,当交点在,之间时,由以点,,为顶点的三角形与相似,有或,当时,此时为等腰三角形,点为中点,即,;当时,有,,,有,,,即,解得:,;当交点在点的右侧时,,要使与相似,只能使,连接,为斜边上的中线,,,,,,,,,,而,,即,解得,(舍去),;当交点在点的左侧时,.要使与相似,只能使连接,得,,,,又,,,,而,,,解得,(舍去),点在轴负半轴上,,综上所述:存在以点,,为顶点的三角形与相似,此时点坐标为:,,,.(分)
本题考查了相似三角形的判定与性质,勾股定理的运用,圆周角定理,弧长公式的运用.关键是理解题意,根据基本条件,图形的性质,分类求解.
3996@@3@@@@相似三角形的判定与性质@@@@@@266@@Math@@Junior@@$266@@2@@@@图形的相似@@@@@@53@@Math@@Junior@@$53@@1@@@@图形的变化@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3776@@3@@@@坐标与图形性质@@@@@@251@@Math@@Junior@@$251@@2@@@@平面直角坐标系@@@@@@51@@Math@@Junior@@$51@@1@@@@函数@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3892@@3@@@@勾股定理@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3946@@3@@@@弧长的计算@@@@@@260@@Math@@Junior@@$260@@2@@@@圆@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3991@@3@@@@平行线分线段成比例@@@@@@266@@Math@@Junior@@$266@@2@@@@图形的相似@@@@@@53@@Math@@Junior@@$53@@1@@@@图形的变化@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
@@53@@7##@@51@@7##@@52@@7##@@52@@7##@@53@@7
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求解答 学习搜索引擎 | 如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上一动点,连接OB,AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作x轴垂线,分别交x轴,直线OB于点E,F,点E为垂足,连接CF.(1)当角AOB={{30}^{\circ }}时,求弧AB的长度;(2)当DE=8时,求线段EF的长;(3)在点B运动过程中,是否存在以点E,C,F为顶点的三角形与\Delta AOB相似,若存在,请求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,E、F分别是DC、BC上的点,满足角EAF=1/2角DAB,试猜想当角B与角D满足什么关系时,可使得DE+BF=EF.请直接写出你的猜想,不必说明理由._百度作业帮
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如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,E、F分别是DC、BC上的点,满足角EAF=1/2角DAB,试猜想当角B与角D满足什么关系时,可使得DE+BF=EF.请直接写出你的猜想,不必说明理由.
如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,E、F分别是DC、BC上的点,满足角EAF=1/2角DAB,试猜想当角B与角D满足什么关系时,可使得DE+BF=EF.请直接写出你的猜想,不必说明理由.
当角BAD=90度时,BF+ED一定=EF.用旋转证明.如图,根据图形,已知条件推知,所以,即平分;成立.小颖的方法是应用折叠对称的性质和得到,在中应用勾股定理而证明;小亮的方法是将绕点逆时针旋转得到,根据旋转的性质用得到,从而在中应用勾股定理而证明.当时,等量关系仍然成立.可以根据小颖和小亮的方法进行证明即可.
证明:如图,,.,.,,,,即平分;当时,等量关系仍然成立.证明如下:如图,按小颖的方法作图,设与相交于点.将沿所在的直线对折得到,,,.又,.又..在和中,,,,...在中,,.
本题考查了角平分线的定义,等腰直角三角形的性质,旋转的性质,折叠对称的性质,全等三角形的判定和性质等知识点.
3978@@3@@@@旋转的性质@@@@@@265@@Math@@Junior@@$265@@2@@@@图形的旋转@@@@@@53@@Math@@Junior@@$53@@1@@@@图形的变化@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3879@@3@@@@全等三角形的判定与性质@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3892@@3@@@@勾股定理@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3898@@3@@@@等腰直角三角形@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
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求解答 学习搜索引擎 | 某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:如图1,在等腰直角\Delta ABC中,AB=AC,角BAC={{90}^{\circ }},小敏将一块三角板中含{{45}^{\circ }}角的顶点放在A上,从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α,其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D,直角边所在的直线交直线BC于点E.(1)小敏在线段BC上取一点M,连接AM,旋转中发现:若AD平分角BAM,则AE也平分角MAC.请你证明小敏发现的结论;(2)当{{0}^{\circ }}<α小于等于{{45}^{\circ }}时,小敏在旋转中还发现线段BD,CE,DE之间存在如下等量关系:B{{D}^{2}}+C{{E}^{2}}=D{{E}^{2}}.同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决;小颖的想法:将\Delta ABD沿AD所在的直线对折得到\Delta ADF,连接EF(如图2)小亮的想法:将\Delta ABD绕点A顺时针旋转{{90}^{\circ }}得到\Delta ACG,连接EG(如图3)(3)小敏继续旋转三角板,在探究中得出当{{45}^{\circ }}<α<{{135}^{\circ }}且α不等于{{90}^{\circ }}时,等量关系B{{D}^{2}}+C{{E}^{2}}=D{{E}^{2}}仍然成立,先请你继续研究:当{{135}^{\circ }}<α<{{180}^{\circ }}时(如图4)等量关系B{{D}^{2}}+C{{E}^{2}}=D{{E}^{2}}是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.如图,在菱形ABCD中,角B=60度,AB=2.E.F分别是BC.CD的中点.连接AE.EF.AF.（1）求证△AEF是等边三角形.（2）试探究△AEF的周长是否存在最小值.如果不存在,请说明理由；如果存在,请计算出△AEF周长的最_百度作业帮
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如图,在菱形ABCD中,角B=60度,AB=2.E.F分别是BC.CD的中点.连接AE.EF.AF.（1）求证△AEF是等边三角形.（2）试探究△AEF的周长是否存在最小值.如果不存在,请说明理由；如果存在,请计算出△AEF周长的最
如图,在菱形ABCD中,角B=60度,AB=2.E.F分别是BC.CD的中点.连接AE.EF.AF.（1）求证△AEF是等边三角形.（2）试探究△AEF的周长是否存在最小值.如果不存在,请说明理由；如果存在,请计算出△AEF周长的最小值.图是这个
证明：（1）连接AC、BD,∵∠B=60°,AB=2,∴△ACB为等边三角形,∴AE=AF=根号 3 ,∴∠BAE=30°,同理∠DAF=30°,则∠EAF=60°,∴△AEF是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）；