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第02章 线性规划及其对偶问题
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第2章 线性规划(对偶问题)
运​筹​学
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有个问题想不通，互为对偶的两个线性规划问题的解的关系：若最优
有个问题想不通，互为的两个问题的解的关系：若最优解存在，则最优解相同！该命题为什么错？
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若最优解存在，则最优值相同。：原问题有最优解，则对偶问题也有最优解，且最优值相等。
不是的，对偶问题的（强）是这样描述的：若一对对偶问题都有可行解，则它们都有最优解，并且目标函数的最优值必相等。我的那个问题并没有说最优解一定是可行解，所以可能不相等！这样理解，不知道对不对
当有无数个最优的时候就不等额，最优值肯定是相等。。
内&&容:使用签名档&&
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为兴趣而生，贴吧更懂你。&或线性规划的对偶理论和灵敏度分析 常见疑问解答
17:52:16 来源：管理学院《运筹学》教学团队 浏览：7170次
& 原问题（L）
对偶问题（D）
m个约束条件
& 原问题（L）
对偶问题（D）
m个约束条件
&min z=2x1+2x2+4x3
&&& x1+3x2+4x32
&&& 2x1+x2+3x33
&&& x1+4x2+3x35
&&& x10, x20, x3
& max z=2y1+3y2+5y3
&&& y1+2y2+y32
&&& 3y1+y2+4y32
&&& 4y1+3y2+3y34
&&& y10, y20, y3
& Max Z=c1x1c1x2cnxn
&&& a1x1a1x2anxnb
&&& x1, x2,…, xn 0
&&& ai, ci, b&0, i=1, 2, , n.
& Min f=by
&&& &a1yc1
&&&& a2yc2
y , i=1, 2, , n. y*= .
xj, j=1, 2,, n, cj, j=1, 2,, n, bi, i=1, 2,, m, aij ji i=1, 2,, m, j=1, 2,, n.
yk, k=1, 2,, m,
xj, j=1, 2,, n, cj, j=1, 2,, n, bi, i=1, 2,, m, aij ji i=1, 2,, m, j=1, 2,, n.
xj, j=1, 2,, n, cj, j=1, 2,, n, bi, i=1, 2,, m, aij ji i=1, 2,, m, j=1, 2,, n.
yk, k=1, 2,, m,
xj, j=1, 2,, n, cj, j=1, 2,, n, bi, i=1, 2,, m, aij ji i=1, 2,, m, j=1, 2,, n.
xj, j=1, 2,, n, cj, j=1, 2,, n, bi, i=1, 2,, m, aij ji i=1, 2,, m, j=1, 2,, n.
yk, k=1, 2,, m,
BCB, Y*=CBB1,
12、Y*=CBB1B
max z=x1x24x33x4
x13x28x34x445
2x1 x2 x33x440
x1, x2, x3, x40
max z=x1x24x33x4
x13x28x34x4x5&&&&& =45
2 x1 x2 x33x4&&&&& x6=40
x1, x2, x3, x4, x5, x60
x5, x63/5, 1/5, Y*= = (3/5, 1/5).
min z'=45y140y2
x5, x6 BB1= .
BB1, FAQ12
BXsCBB1Y*=CBB1B
xj, j=1, 2,, n, cj, j=1, 2,, n, bi, i=1, 2,, m, aij ji i=1, 2,, m, j=1, 2,, n.
yk, k=1, 2,, m,
Y*=CBB-1 B
22、MAXMIN
x, y yAc, x0, yAxcx; Axb, y0, yAxyb; cxyAxyb,
23、MINMAX
(a) MINMAX
(b) MAXMIN
Bx*max z=cx*=cBB-1b.
y*= cBB-1, y*A= cBB-1Ac, cBB-1Ac, BcBB-1Ac0, cBB-1Ac, y*Ac. y*= cBB-1,
MAXy, cx*yb
cx*=cBB-1b= y*b, y*byb, y*= cBB-1
Bx*max z=cx*=cBB-1b.
y*= cBB-1, y*A= cBB-1Ac, cBB-1Ac, BcBB-1Ac0, cBB-1Ac, y*Ac. y*= cBB-1,
MAXy, cx*yb
cx*=cBB-1b= y*b, y*byb, y*= cBB-1min z= y*b =cBB-1b= cx*= max z.
&&& FAQ24, 25, 26
Max Z=c1x1c1x2cnxn
a1x1a1x2anxnb
x1, x2,…, xn 0
ai, ci, b&0, i=1, 2, , n.
b.y , i=1, 2, , n. y*= .
c.y*= , by*= . xk= , xi=0, i=1, 2, , n, ik ,
d.2 xk= , xi=0, i=1, 2, , n, ik
Max Z=x1x3&&&
2x1x2 x3 1
&&&& x1, x2, x3 0
Min =2y1y2
y12y21&&&&&
Ly1, y20FAQ(29)L
31、MAXMIN
x, y cxybFAQ22MAXy, ybcx+. MINMIN
32、MINMAX
x, y cxybFAQ23MINy, yb≤cx. MAXMAX
原问题（L）
对偶问题（D）
对偶问题（D）
原问题（L）
Max Z=c1x1c1x2cnxn
a1x1a1x2anxnb
x1, x2,…, xn 0
ai, ci, b&0, i=1, 2, , n.
d.xk*= , xi*=0, i=1, 2, , n, ik.
35、y1*=4/5,& y2*=3/5 z*=5.
Min& =2x13x25x32x43x5
x1x22x3x43x54
2x1x23x3x4x5 3
xj 0, j=1,2, …,5
Max z=4y13y2
&&& y1, y20
b.y1*=4/5,& y2*=3/5
x1*3x5* =4
2x1*x5* =3,
X*=(1 0 0 0 1)T.
AB. BAA=(B& N), BNXX=(XB& XN)T. Xs, (L)L'
YS1, YS2 (D)(D')
xj, j=1, 2,, n, cj, j=1, 2,, n, bi, i=1, 2,, m, aij ji i=1, 2,, m, j=1, 2,, n.
xj, j=1, 2,, n, cj, j=1, 2,, n, bi, i=1, 2,, m, aij ji i=1, 2,, m, j=1, 2,, n.
yk, k=1, 2,, m,
jxj1 FAQ7 jxj2 FAQ9
&&&&& &&&&
xj, j=1, 2,, n, cj, j=1, 2,, n, bi, i=1, 2,, m, aij ji i=1, 2,, m, j=1, 2,, n.
yk, k=1, 2,, m,
6By= (y1& y2 … ym) = cBB1.
xj, j=1, 2,, n, cj, j=1, 2,, n, bi, i=1, 2,, m, aij ji i=1, 2,, m, j=1, 2,, n.
yk, k=1, 2,, m,
(a) xn+i*&0, iiiyi*=0xn+i*&0, yi*=0. 0.
(b) yi*&0, ii0iiiyi*=0xn+i*=0yi* &0, xn+i*=0. 0
(c) ym+j*&0, jjjjjxj*=0, ym+j*&0, xj*=0.
(d) xj* &0, ym+j*=0. (c)0 0
前面讲到的单纯形法（求最大的线性规划问题）是在线性规划问题的可行基中通过换基迭代去找最优基。因此总是保持B－1b≥0，并逐渐地让检验向量从CBB1AC 0 换基迭代到CBB1AC0. 由原问题与对偶问题的对应关系和换基迭代过程实际上是一系列的初等行变换的过程可知，也可在始终保持CBB1AC≥0的情况下，逐渐地让原线性规划的基解从B1b 0到B1b≥0。这就是对偶单纯形法的思想。
BCBB-1AC0，B
BcBB-1Ac0.
BXscBB1(D)(cBB1) Ac. BCBB1
&&&& 是否B1b≥0，是就停止，已找到最优解；否则到③。
&&&& 从B1b中最小负元素所在的行，观察此行中第1列到第n列是否有负元素。若无，停止，该线性规划问题无解；否则，将第1列到第n列所有的负元素作为分母分别去除与各自同列且在第0行的元素，对应于比值绝对值最小者的负元素被确定为主元素。
&&&& 按照前述单纯形法在主元素确定后的换基迭代过程进行，得到新基下的单纯形表。
=15x124x25x3&&&&
6x2x32&&&&&&
5x12x2x31&&&
x1, x2, x30
d.x2=1/4, x3=1/2, x1= x4= x5=0.
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78《运筹学》 第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及 答案
第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题一、思考题；1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？；2．简述对偶单纯形法的计算步骤；3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间；4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出；5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优；6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余；7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛
第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题 一、思考题1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？2．简述对偶单纯形法的计算步骤。它与单纯形法的异同之处是什么？3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检
验数之间的关系？5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）xn?k?0，其经济意
义是什么？7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量xn?k的检验数?
求最小值），其经济意义是什么？n?k?0（标准形为ji的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解 8．将ij将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？ 二、判断下列说法是否正确1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。 2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定
有最优解。5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。a,c,b6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量yi?0，说明在最优生产计
划中，第i种资源已经完全用尽。7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量yi?0，说明在最优生产计
划中，第i种资源一定还有剩余。ji来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围 8．对于ij之后，线性规划的最优解就会发生变化。??a,c,b9．若某种资源的影子价格为，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加k
个单位，相应的目标函数值增加 k。10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量xi?0，且xi所在行的
所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。 三、写出下列线性规划的对偶问题（1）maxZ?3x1?2x2?x3
（2）maxz?2x1?2x2?3x3?x4?x1?x2?2x3?5??4x1?2x2?x3?7??3x1?2x2?x3?9?x,x,x3?0 ?12
?x1?x2?x3?x4?12??2x1?x2?3x3??1??x3?x4?3?x1?x1,x2?0,x3,x4无约束?
；（3）minz?x1?2x2?3x3
（4）minz?x1?x2?2x?3x1?x2?2x3?5??2x1?4x2?x3?7???x1?2x2?4x3?10??x1,x2?0,x3无约束
?2x1?x2?2x3?7??2x1?3x2?x3?5???3x1?5x2?4x3?3?x1,x2?0,x3无约束? ；（5）maxz?7x1?4x2?3x3
（6）minz?5x1?4x2?3x3?4x1?2x2?6x2?24??3x1?6x2?4x3?15?5x2?3x3?30???x1?0,x3?0,x2无约束 ；
四、用对偶单纯形法求解下列线性规划问题?7x3?8?2x1??8x1?5x2?4x3?15?4x2?6x3?30??x2,x3?0,x1无约束? 。（1）minZ?3x1?2x2?x3
（2）maxz?2x1?2x2?4x3?x1?x2?x3?6??x3?4?x1?x2?x3?3???x1,x2,x3?0
?2x1?3x2?5x3?2??3x1?x2?7x3?3??x1?4x2?6x3?5??x1,x2,x3?0 ；（３）minz?12x1?8x2?16x3?12x4 （４）minz?5x1?2x2?4x3?2?2x1?x2?4x3??2x1?2x2?4x4?3?x,x,x,x?034
?3x1?x2?2x4?7??6x1?3x2?5x3?12?x,x,x?0?123 ；cj五、对下列问题求最优解、相应的影子价格及保持最优解不变时与bi的变化范围。（１）maxz?x1?x2?3x1
（２）maxz?9x1?8x2?50x3?19x4?2x1?x2?2x3?2??3x1?2x2?x3?3?x,x,x?03 ?12 ；
?3x1?2x2?10x3?4x4?18?4x3?x4?6??x,x,x,x?034 ?12 ；（３）maxz?x1?4x2?3x3
（４）maxz?6x1?2x2?10x3?8x4?5x1?6x2?4x3?4x4?20??2x1?2x2?x3?4?3x1?3x2?2x3?8x4?25??x?2x?2x?6?122?4x1?2x2?x3?3x4?10?x,x,x?0?x,x,x3,x4?0?123
?12 ．六、已知下表（表3―1）为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中x4,x5为松弛变量，问题的约束为 ? 形式 （２）写出原问题的对偶问题；（３）直接由表３―１写出对偶问题的最优解。七、某厂利用原料Ａ、Ｂ生产甲、乙、丙三种产品，已知生产单位产品所需原料数、单件利润及有关数据如表1―4所示，分别回答下列问题： （1）建立线性规划模型，求该厂获利最大的生产计划；（2）若产品乙、丙的单件利润不变，产品甲的利润在什么范围变化，上述最优解不变？ （3）若有一种新产品丁，其原料消耗定额：Ａ为３单位，Ｂ为２单位，单件利润为２．５单位．问该种产品是否值得安排生产，并求新的最优计划； （4）若原材料Ａ市场紧缺，除拥有量外一时无法购进，而原材料Ｂ如数量不足可去市场购买，单价为０．５，问该厂应否购买，以够劲多少为宜？（5）由于某种原因该厂决定暂停甲产品的生产，试重新确定该厂的最优生产计划．八、某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过Ａ、Ｂ、Ｃ三种设备加工。已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润见表３―４。（２）产品丙每件的利润增加到多大时才值得安排生产？如产品丙每件的利润增加到50/6 ，求最优生产计划。（４）产品甲的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变？（５）设备A的能力如为100+10? ，确定保持原最优基不变的? 的变化范围。（６）如有一种新产品丁，加工一件需设备A、B、C的台时各为1、4、3小时，预期每件的利润为8元，是否值得安排生产？（７）如合同规定该厂至少生产10件产品丙，试确定最优计划的变化。《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题解答二．解：（1）√ （2）√（3）X（4）√(5) √（6）√（7）X（8）X（9）X（10）X 三、（1）minw?5y1?7y2?9y3（2）minw?12y1?y2?3y3 ?y1?2y2?y3?2?y?y2?2?y1?4y2?3y3?3?1??y?2y?2y?2?y1?3y2?y3?3?123??y?y3?12y?y?y?1123??1?y,y2,y3?0y?0,y3?0,y2无约束?1
?1（3）maxw?5y1?7y2?10y3
（4）maxw?6y1?5y2?3y3?3y1?2y2?y3?1???y1?4y2?2y3??2??2y1?y2?4y3??3?y1?0,y2?0,y3无约束?；?2y1?2y2?3y3?1??y1?3y2?5y3?1??2y1?y2?4y3?2?y?0,y2无约束，y3?0；
?1 （5）minw?24y1?15y2?30y3
（6）maxz?8y1?15y2?30y3 4y1?3y2?72y1?8y2?5????5y2?4y3??4?2y1?6y2?5y3??4????6y?4y?3y??4y2?6y3?3?y?0,y2?0,y3无约束?y?0,y2?0,y3无约束
?1。 四、解：（1）用对偶单纯形法求得的最终单纯形表如下：表 ３―１ 由于基变量x4所在行的?aij值全为非负，故问题无可行解。T（２）最优解为 z?2.8,X?[0.2,1.2,0]； （３）最优解为 z?14,X?[0.5,1,0,0]；?T33（４）最优解为 ；五、解：用单纯形法求得的最终单纯形表分别见表 ３― ２(1) , 2(2) , 2(3) , 2(4) ．
（1）z??32,X?[4,2,0]T且 ???c1?3,???c2?1.5,2?c3??? ；0?b1?6,1?b2???。
(2)且 ???c1?13,???c2?26,47.5?c3?52,18.5?c4?20 ；15?b1?24,4.5?b2?7.2 。（3） 包含各类专业文献、应用写作文书、文学作品欣赏、高等教育、幼儿教育、小学教育、各类资格考试、78《运筹学》 第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及 答案等内容。　
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