如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点在原点的右侧，A点的坐标为（-1，0），与y轴交于C（0，-3），点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC为等腰梯形，直接写出此时P点的坐标；（3）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（4）当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大，求出此时P点的坐标．-乐乐题库
& 二次函数综合题知识点 & “如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x...”习题详情
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如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点在原点的右侧，A点的坐标为（-1，0），与y轴交于C（0，-3），点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC为等腰梯形，直接写出此时P点的坐标；（3）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（4）当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大，求出此时P点的坐标．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点在原点的右侧，A点的坐标为（-1，0），与y轴交于C（0，-3），点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表...”的分析与解答如下所示：
（1）直接把A（-1，0）、C（0，-3）代入y=x2+bx+c可得到关于b、c的方程组，解方程组求得b=-2，c=-3，则二次函数的表达式为y=x2-2x-3；（2）由于抛物线为轴对称图形，要得到四边形ABPC为等腰梯形，只有PC∥AB，则点P与点C是抛物线上的对称点，可求得抛物线的对称轴为直线x=1，于是可得到点C（0，-3）关于直线x=1对称的点P的坐标为（2，-3）．（3）作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，则PO=PC，根据翻折的性质得OP′=OP，CP′=CP，易得四边形POP′C为菱形，又E点坐标为（0，-32），则点P的纵坐标为-32，再把y=32代入y=x2-2x-3可求出对应x的值，然后确定满足条件的P点坐标．（4）过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于△BPC的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出△BPC的面积最大时对应的P点的坐标．
解：（1）把A（-1，0）、C（0，-3）代入y=x2+bx+c得{1-b+c=0c=-3，解得{b=-2c=-3，∴这个二次函数的表达式为y=x2-2x-3；（2）如图1，∵点P是直线BC下方的抛物线上一动点，四边形ABPC为等腰梯形，∴PC∥AB，∴点P与点C是抛物线上的对称点，∵抛物线的对称轴为直线x=--22×1=1，∴点C（0，-3）关于直线x=1对称的点P的坐标为（2，-3）．（3）存在．理由如下：作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，垂足为点E，如图2，则PO=PC，∵△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，∴OP′=OP，CP′=CP，∴OP′=OP=CP′=CP，∴四边形POP′C为菱形，∵C点坐标为（0，-3），∴E点坐标为（0，-32），∴点P的纵坐标为-32，把y=-32代入y=x2-2x-3得x2-2x-3=-32，解得x=2±√102，∵点P在直线BC下方的抛物线上，∴x=2+√102，∴满足条件的点P的坐标为（2+√102，-32）．（4）如图3，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3），易得，直线BC的解析式为y=x-3则Q点的坐标为（x，x-3）；S△BPC=S△BPQ+S△CPQ=12QPoBF+12QPoOF=12（-x2+3x）×3=-32（x-32）2+278，当x=32时，△BPC的面积最大，此时P点的坐标为（32，-154）．
本题考查了二次函数综合题：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，其顶点式为y=a（x-b2a）2+4ac-b24a，抛物线的对称轴为x=-b2a，当a＞0，y最小值=4ac-b24a；当a＜0，y最大值=4ac-b24a；抛物线上的点的横纵坐标满足抛物线的解析式；对于特殊四边形的判定与性质以及勾股定理要熟练运用．同时考查了图形面积的求法等知识点．
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如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点在原点的右侧，A点的坐标为（-1，0），与y轴交于C（0，-3），点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二...
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经过分析，习题“如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点在原点的右侧，A点的坐标为（-1，0），与y轴交于C（0，-3），点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表...”主要考察你对“二次函数综合题”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
与“如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点在原点的右侧，A点的坐标为（-1，0），与y轴交于C（0，-3），点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表...”相似的题目：
已知直线l：y=-x+m（m≠0）交x轴、y轴于A、B两点，点C、M分别在线段OA、AB上，且OC=2CA，AM=2MB，连接MC，将△ACM绕点M旋转180&，得到△FEM，则点E在y轴上，点F在直线l上；取线段EO中点N，将ACM沿MN所在直线翻折，得到△PMG，其中P与A为对称点．记：过点F的双曲线为C1，过点M且以B为顶点的抛物线为C2，过点P以M为顶点的抛物线为C3．（1）如图，当m=6时，①直接写出点M、F的坐标，②求C1、C2的函数解析式；（2）当m发生变化时，①在C1的每一支上，y随x的增大如何变化请说明理由．②若C2、C3中的y都随着x的增大而减小，写出x的取值范围．&&&&
如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点这P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．（1）填空：无论点P运动到何处，PC&&&&PD（填“＞”、“＜”或“=”）；（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长．&&&&
已知直线y=-x-1与x、y轴分别交于A、B曰两点，将其向右平移4个单位所得直线分别与x、y轴交于C、D两点．（1）求C、D两点的坐标；（2）求过A、C、D三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中所求抛物线的对称轴上，是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．&&&&
“如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x...”的最新评论
该知识点好题
1（2013o淄博）如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（　　）
2二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于12的点P共有（　　）
3如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是（　　）
该知识点易错题
1（2012o南浔区二模）如图，点A（a，b）是抛物线y=12x2上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=-bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有（　　）
2（2012o静海县二模）如图，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（　　）
3如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
x&…&-3&-2&1&2&…&y&…&-52&-4&-52&0&…&（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围．
欢迎来到乐乐题库，查看习题“如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点在原点的右侧，A点的坐标为（-1，0），与y轴交于C（0，-3），点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC为等腰梯形，直接写出此时P点的坐标；（3）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（4）当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大，求出此时P点的坐标．”的答案、考点梳理，并查找与习题“如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点在原点的右侧，A点的坐标为（-1，0），与y轴交于C（0，-3），点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC为等腰梯形，直接写出此时P点的坐标；（3）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（4）当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大，求出此时P点的坐标．”相似的习题。（1）A(-1,0)&，B(2,3)（2）△ABP最大面积s=;&& P（,-）（3）存在；k=
解析试题分析：（1）将两个解析式联立组成方程组，解方程组即得要想△ABP的面积最大，则要在要求的抛物线上找到一个点P，使点P到直线AB的距离最大，这时过点P且与AB平行的直线与抛物线只有一个交点，利用根的判别式可确定平移后所得直线的解析式,进而可得点的坐标,求出面积设圆心为E，连接EQ，直线与x轴交点为H，与y轴交点为F；由已知可得直线与两坐标轴交点的坐标，从而可得直线与坐标轴交点到原点的距离；由圆的切线及相似的知识可得出EQ、QH的长，再由勾股定理可得要求的值试题解析：（1）A(-1,0)&，B(2,3)（2）平移直线AB得到直线L，当L与抛物线只有一个交点时，△ABP面积最大[如图12-1（1）]设直线L解析式为：&，根据，得判别式△，解得，代入原方程中，得；解得，， ∴P（,）易求，AB交轴于M（0，1），直线L交轴于G（0，）过M作MN⊥直线L于N，∵OM=1，OA=1，∴∠AMO=45°∵∠AMN=90，∴∠NMO=45°在RT△MNE中，∠NMO=45°，MG=，[如图12-1（2）]∴ MN=，MN即为△ABP的高由两点间距离公式，求得：AB=故△ABP最大面积&（3）设在直线上存在唯一一点Q使得∠OQC=90°则点Q为以OC的中点E为圆心，OC为直径形成的圆E与直线相切时的切点,[如图12-2（1）]由解析式可知：C（,0），OC=，则圆E的半径：OE=CE==QE设直线与、轴交于H点和F点，则F（0,1），∴OF=1&&则H（,0）， ∴OH =&&∴ EH=∵AB为切线&&∴EQ⊥AB，∠EQH=90°在△FOH和△EQH中&&&∴△FOH∽△EQH∴&&∴ 1：=：QH，∴QH =&&在RT△EQH中，EH=，QH =，QE =，根据勾股定理得，+=求得考点：1、平面直角坐标系中的平行与垂直；2、二次函数；3、一元二次方程根的判别式；4、圆（相切、圆心角）
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科目：初中数学
题型：填空题
二次函数y=﹣2（x﹣5）2+3的顶点坐标是　&　．
科目：初中数学
题型：解答题
如图，二次函数（其中a，m是常数，且a&0，m&0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）)求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．
科目：初中数学
题型：解答题
为深化“携手节能低碳，共建碧水蓝天”活动，发展“低碳经济”，某单位进行技术革新，让可再生资源重新利用．今年1月份，再生资源处理量为40吨，从今年1月1日起，该单位每月再生资源处理量每一个月将提高10吨．月处理成本（元）与月份之间的关系可近似地表示为：，每处理一吨再生资源得到的新产品的售价定为100元．若该单位每月再生资源处理量为y（吨），每月的利润为w（元）．（1）分别求出y与x，w与x的函数关系式；（2）在今年内该单位哪个月获得利润达到5800元？（3）随着人们环保意识的增加，该单位需求的可再生资源数量受限．今年三月的再生资源处理量比二月份减少了m%，该新产品的产量也随之减少，其售价比二月份的售价增加了%．四月份，该单位得到国家科委的技术支持，使月处理成本比二月份的降低了%．如果该单位四月份在保持三月份的再生资源处理量和新产品售价的基础上，其利润比二月份的利润减少了60元，求m的值．
科目：初中数学
题型：解答题
已知二次函数，其图像抛物线交轴的于点A（1，0）、B（3，0），交y轴于点C.直线过点C，且交抛物线于另一点E（点E不与点A、B重合）.(1)求此二次函数关系式；(2)若直线经过抛物线顶点D，交轴于点F，且∥，则以点C、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由.(3)若过点A作AG⊥轴，交直线于点G，连OG、BE，试证明OG∥BE.
科目：初中数学
题型：解答题
如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B，C重合）．第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依次操作下去…（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为　 　，求此时线段EF的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH．①请判断四边形EFGH的形状为　&　，此时AE与BF的数量关系是　&　；②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围；（3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由．
科目：初中数学
题型：解答题
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（-2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
科目：初中数学
题型：解答题
如图，抛物线与交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C.下列结论：①；②时，；③平行于x轴的直线与两条抛物线有四个交点；④2AB=3AC．其中错误结论的个数是（&&&）A．1&&&&& B．2&&&&& C．3&&&&&&&&&&&D．4
科目：初中数学
题型：解答题
如图所示，已知两点A（-1，0），B（4，0），以AB为直径的半圆P交y轴于点C．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）设弦AC的垂直平分线交OC于D，连接AD并延长交半圆P于点E，与相等吗？请证明你的结论；（3）设点M为x轴负半轴上一点，OM=AE，是否存在过点M的直线，使该直线与（1）中所得的抛物线的两个交点到y轴的距离相等？若存在，求出这条直线对应函数的解析式；若不存在．请说明理由．教师讲解错误
错误详细描述：
(2012年济宁)如图，抛物线y＝ax2＋bx－4与x轴交于A(4，0)、B(－2，0)两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点(端点除外)，过点P作PD∥AC，交BC于点D．连接CP．(1)求该抛物线的解析式；(2)当动点P运动到何处时，BP2＝BD·BC；(3)当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．
电话：010-
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京ICP备号 京公网安备已经抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点A,与x轴交于B、C两点,连接AC.（X2是指X的平方）（1）点P为直线AC上方抛物线上一点,过点P作PD⊥AC于D,当线段PD最长时,求点P坐标（2）在（1）的条件下,在抛物线上_百度作业帮
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已经抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点A,与x轴交于B、C两点,连接AC.（X2是指X的平方）（1）点P为直线AC上方抛物线上一点,过点P作PD⊥AC于D,当线段PD最长时,求点P坐标（2）在（1）的条件下,在抛物线上
已经抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点A,与x轴交于B、C两点,连接AC.（X2是指X的平方）（1）点P为直线AC上方抛物线上一点,过点P作PD⊥AC于D,当线段PD最长时,求点P坐标（2）在（1）的条件下,在抛物线上是否存在点Q,使得∠CAQ=90°—∠PAC,若存在,求点Q的坐标.不存在说明理由.以点为原点,射线为轴的正半轴建立直角坐标系,可设抛物线的函数解析式为,又由点在抛物线上,即可求得此抛物线的函数解析式;延长,交建筑物造型所在抛物线于点,连接交于点,则点即为所求;首先根据题意求得点与的坐标,设直线的函数解析式为,利用待定系数法即可求得直线的函数解析式,把代入,即可求得点的坐标.
以点为原点,射线为轴的正半轴建立直角坐标系,设抛物线的函数解析式为,由题意知点的坐标为.点在抛物线上,,解得,所求抛物线的函数解析式为:;找法:延长,交建筑物造型所在抛物线于点,则点,关于对称.连接交于点,则点即为所求.由题意知点的横坐标为,点在抛物线上,点的坐标为,又点的坐标为,点的坐标为,设直线的函数解析式为,,解得:,.直线的函数解析式为,把代入,得点的坐标为,两根支柱用料最省时,点,之间的距离是米.
此题考查了二次函数的实际应用问题.解此题的关键是根据题意构建二次函数模型,然后根据二次函数解题.
3829@@3@@@@二次函数的应用@@@@@@255@@Math@@Junior@@$255@@2@@@@二次函数@@@@@@51@@Math@@Junior@@$51@@1@@@@函数@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
第三大题，第7小题
第三大题，第7小题
求解答 学习搜索引擎 | 如图,某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分,抛物线的顶点O落在水平面上,对称轴是水平线OC.点A,B在抛物线造型上,且点A到水平面的距离AC=4米,点B到水平面距离为2米,OC=8米.(1)请建立适当的直角坐标系,求抛物线的函数解析式;(2)为了安全美观,现需在水平线OC上找一点P,用质地,规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA,PB对抛物线造型进行支撑加固,那么怎样才能找到两根支柱用料最省(支柱与地面,造型对接方式的用料多少问题暂不考虑)时的点P?(无需证明)(3)为了施工方便,现需计算出点O,P之间的距离,那么两根支柱用料最省时点O,P之间的距离是多少?(请写出求解过程)