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母函数（Generating function）详解
— Tanky Woo
在数学中，某个序列的母函数(Generating function，又称生成函数)是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。
母函数可分为很多种，包括、、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。
这里先给出两句话，不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看：
1.“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来”
2.“母函数的思想很简单 — 就是把离散数列和幂级数一 一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. “
我们首先来看下这个多项式乘法：
母函数图(1)
由此可以看出:
1.x的系数是a1,a2,…an 的单个组合的全体。
2. x^2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。
n. x^n的系数是a1,a2,….an的n个组合的全体（只有1个）。
进一步得到：
母函数图(2)
母函数的定义
对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：
母函数图(3)
称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数。
这里先给出2个例子，等会再结合题目分析：
有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？
考虑用母函数来解决这个问题：
我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样：
1个1克的砝码可以用函数1+1*x^1表示，
1个2克的砝码可以用函数1+1*x^2表示，
1个3克的砝码可以用函数1+1*x^3表示，
1个4克的砝码可以用函数1+1*x^4表示，
上面这四个式子懂吗？
我们拿1+x^2来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示砝码的重量！初始状态时，这里就是一个质量为2的砝码。
那么前面的1表示什么？按照上面的理解，1其实应该写为：1*x^0,即1代表重量为2的砝码数量为0个。
所以这里1+1*x^2 = 1*x^0 + 1*x^2，即表示2克的砝码有两种状态，不取或取，不取则为1*x^0，取则为1*x^2
不知道大家理解没，我们这里结合前面那句话：
“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来“
接着讨论上面的1+x^2，这里x前面的系数有什么意义？
这里的系数表示状态数(方案数)
1+x^2，也就是1*x^0 + 1*x^2，也就是上面说的不取2克砝码，此时有1种状态；或者取2克砝码，此时也有1种状态。(分析！)
所以，前面说的那句话的意义大家可以理解了吧？
几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：
(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)
=(1+x+x^2+x^4)(1+x^3+^4+x^7)
=1 + x + x^2 + 2*x^3 + 2*x^4 + 2*x^5 + 2*x^6 + 2*x^7 + x^8 + x^9 + x^10
从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。（！！！经典！！！）
例如右端有2^x^5 项，即称出5克的方案有2种：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。
故称出6克的方案数有2种，称出10克的方案数有1种 。
接着上面，接下来是第二种情况：
求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：
大家把这种情况和第一种比较有何区别？第一种每种是一个，而这里每种是无限的。
母函数图(4)
以展开后的x^4为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分方案数为4；
即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2
这里再引出两个概念&整数拆分&和&拆分数&：
所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个球）。
整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。
现在以上面的第二种情况每种种类个数无限为例，给出模板：
#include &iostream&
using namespace std;
// Author: Tanky Woo
const int _max = <span style="color: #;
// c1是保存各项质量砝码可以组合的数目
// c2是中间量，保存没一次的情况
int c1&#91;_max&#93;, c2&#91;_max&#93;;
int main&#40;&#41;
&#123; //int n,i,j,k;
int i, j, k;
while&#40;cin && nNum&#41;
for&#40;i=0; i&=nNum; ++i&#41;
// ---- ①
c1&#91;i&#93; = 1;
c2&#91;i&#93; = 0;
for&#40;i=2; i&=nNum; ++i&#41;
// ----- ②
for&#40;j=0; j&=nNum; ++j&#41;
// ----- ③
for&#40;k=0; k+j&=nNum; k+=i&#41;
// ---- ④
c2&#91;j+k&#93; += c1&#91;j&#93;;
for&#40;j=0; j&=nNum; ++j&#41;
// ---- ⑤
c1&#91;j&#93; = c2&#91;j&#93;;
c2&#91;j&#93; = 0;
cout && c1&#91;nNum&#93; && endl;
我们来解释下上面标志的各个地方：(***********！！！重点！！！***********)
①&#160; 、首先对c1初始化，由第一个表达式(1+x+x^2+..x^n)初始化，把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.
②&#160; 、 i从2到n遍历，这里i就是指第i个表达式，上面给出的第二种母函数关系式里，每一个括号括起来的就是一个表达式。
③、j 从0到n遍历，这里j就是(前面i個表达式累乘的表达式)里第j个变量，(这里感谢一下seagg朋友给我指出的错误，大家可以看下留言处的讨论)。如(1+x)(1+x^2)(1+x^3)，j先指示的是1和x的系数，i=2执行完之后变为
（1+x+x^2+x^3）(1+x^3)，这时候j应该指示的是合并后的第一个括号的四个变量的系数。
④ 、 k表示的是第j个指数，所以k每次增i（因为第i个表达式的增量是i）。
⑤&#160; 、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0，因为c2每次是从一个表达式中开始的。
咱们赶快趁热打铁，来几道题目：
（相应题目解析均在相应的代码里分析）
1.&#160; 题目：
这题大家看看简单不？把上面的模板理解了，这题就是小Case!
看看这题：
2.&#160; 题目：
要说和前一题的区别，就只需要改2个地方。 在i遍历表达式时（可以参考我的资料—《母函数详解》），把i&=nNum改成了i*i&=nNum,其次在k遍历指数时把k+=i变成了k+=i*i; Ok,说来说去还是套模板~~~
3.&#160; 题目：
这题终于变化了一点，但是万变不离其中。
大家好好分析下，结合代码就会懂了。
4.&#160; 题目：
还有一些题目，大家有时间自己做做：
HDOJ：、、、
（原创文章，欢迎各位转载，但是请不要任意删除文章中链接，请自觉尊重文章版权，违法必究，谢谢合作。Tanky Woo原创, ）
1.在维基百科里讲到了普通母函數、指數母函數、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數：
2．Matrix67大牛那有篇文章：什么是生成函数：
3.大家可以看看杭电的ACM课件的母函数那篇，我这里的图片以及一些内容都引至那。
如果大家有问题或者资料里的内容有错误，可以留言给出，博客:
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Tanky Woo >> 母函数（Generating function）详解 — TankyWoo
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求幂级数的和函数时应注意的几个问题
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【精品】解析函数的幂级数展开的题及答案
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10函数项级数和幂级数
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10函数项级数和幂级数
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求幂级数的和函数的问题
？4？3、最不好处理的地方是什么？2、这类题目的核心思路是什么、分为哪些步骤、有哪些技巧
为什么要采取逐项求导然后再逐项积分这种方式？这样对解题有什么特别的帮助吗？
提问者采纳
有一个自己整理的资料，觉得很好用。因为本科教学大纲这部分貌似是不需要的，我可以扫描给你看。资料我是从比较基础的知识点开始整理的，就是幂级数求和这部分内容，是我考研的时候复习整理的。所以我自己整理的，如果你需要
提问者评价
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其他6条回答
1、这类题目的核心思路是什么？
这类题目的核心思路是设法将幂级数化为你所熟悉的几何级数，比如公比为x，首项为1等等诸如此类的几何级数，很方便能求出它的和。
而为达到此目的，通常需要采取逐项求导（积分）然后再积分（求导），并且只有在收敛区间内才能做以上运算。
2、分为哪些步骤？
通常，首先求出幂级数的收敛半径，收敛区间
如果幂级数有n、(n+1)等系数时，需要先将级数逐项积分，约掉这些系数，就可能化为几何级数了，然后求其和。当然，与积分对应的，一定记得将来对这个级数的和再求导数。
同理，如果幂级数有 1/n、1/(n+1)等系数时，需要先将级数逐项求导，也是为了约掉这些系数，化为几何级数，然后求其和。只是将来对这个级数的和再求积分。
总之，有一次求导，将来就要对应一次积分，...
核心思路 ： 变形→→求解→→还原。（例子都简单，只为说明思路。）
S＝1+x+x&sup2;+x&sup3;+…………，xS＝x+x&sup2;+x&sup3;+……，
（1-x）S＝1, S＝1/（1-x）[|x|＜1] 这是找出关于S的代数方程。中学生常用
S＝1+x+x&sup2;/2+x&sup3;/3+…………，S′＝1+x+x&sup2;+……＝1/（1-x）
∴S＝∫[0,x]（1/（1-x））dx+1＝1-㏑（1-x）
S＝1+2x+3x&sup2;+4x&sup3;+……， ∫[0,x]S dx＝x+x&sup2;+x&sup3;+……＝x/（1-x）
∴S＝[∫[0,x]S dx]′＝[x/（1-x）]＝1/（1-x）&sup2;
S＝1+x+x&sup2;/2!+x&sup3;/3!+……，S′＝S,
这是找出关于S的微分方程。
[其实①②③④都是找出关于S的“方程”，重要的是多做一些题...
你的前三个问题我都无法回答，因为求和函数的问题看上去都一样，但是里面又有很多的方法，针对不同的题会有不同的方法，不同的思路、步骤和难点，所以我只能列举一些常见的类型和办法，当中就蕴含你提出的第四个问题。
一、最基本的方法是找出部分和函数通项公式（包括裂项求和、因式分解、将函数列拆成几个函数列的和等等），然后求极限就可以了。但是由于几乎所有的题都不会2到这种程度，所以这只是一个理论上的办法。
二、利用先求导再积分，或者先积分再求导的办法。这种办法适合求一些通项的导函数（积分）容易看出，并且导函数（积分）的和比较好算的时候。这好像也是最常用的办法。有些比较麻烦的题，需要求二阶以上的导数或者积分，要注意的是千万别算错了。
下面是两种技巧性比较强的办法，并...
应用幂级数的逐项可导性，再积分。书上的例题好好分析一下~~
我个人觉得，每个人使用的方法并不一样。题目多做了，便会得心应手。这里是一些题目。希望对你有帮助
多做几道题就会了，数学考得是积累
函数的相关知识
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