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在数列{an}中，a1=1，3anan-1+an-an-1=0（n≥2，n∈N*）．（1）试判断数列{1an}是否成等差数列；（2）设{bn}满足bn=1an，求数列{bn}的前n项和Sn；（3）若λan+1an+1≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）∵数列{an}中，a1=1，3anan-1+an-an-1=0（n≥2，n∈N*），∴an-1-an=3anan-1，∴1an-1an-1=3（n≥2）．故数列{1an}是等差数列．（2）由（1）的结论可得bn=1an=1+（n-1）×3，所以bn=3n-2，∴Sn=n(1+3n-2)2=n(3n-1)2．（3）将an=1bn=13n-2代入λan+1an+1≥λ并整理得λ（1-13n-2）≤3n+1，∴λ≤(3n+1)(3n-2)3n-3，原命题等价于该式对n≥2恒成立．设Cn=(3n+1)(3n-2)3n-3，则Cn+1-Cn=(3n+1)(3n-4)3n(n-1)＞0，Cn+1＞Cn，∵n=2时，Cn的最小值C2为283，∴λ的取值范围是（-∞，283]．
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据魔方格专家权威分析，试题“在数列{an}中，a1=1，3anan-1+an-an-1=0（n≥2，n∈N*）．（1）试判断数..”主要考查你对&&等差数列的定义及性质，数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等差数列的定义及性质数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。 等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap； （5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。（6）（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）&仍为等差数列，公差为
&对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．&②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d&0时，数列为递增数列；当d&0时，数列为递减数列；④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
发现相似题
与“在数列{an}中，a1=1，3anan-1+an-an-1=0（n≥2，n∈N*）．（1）试判断数..”考查相似的试题有：
456109870906834948843276777096563457当前位置：
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已知数列{an}满足a1=3，2-2an+1an+1-3=an(n∈N*)，记bn=an-2an+1．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式．（Ⅱ）若（4n-1）an≥to2n+1-17对任意n∈N*恒成立，求实数t的取值范围；（Ⅲ）记cn=3an+1，求证：c1oc2oc3…cn＞712．
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（Ⅰ）∵2-2an+1an+1-3=an(n∈N*)，∴bn=an-2an+1=4(an+1-2)an+1+1=4bn+1，∴bn+1bn=14∵a1=3，b1=14∴数列{bn}是以14为首项，14为公比的等比数列∴bn=14n；（Ⅱ）∵bn=an-2an+1，∴an=2o4n+14n-1∵（4n-1）an≥to2n+1-17对任意n∈N*恒成立，∴t≤4n+92n=2n+92n对任意n∈N*恒成立∵y=m+9m(m＞0)在（0，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增∴(2n+92n)min=min{2+92，4+94}=254∴t≤254∴实数t的取值范围是(-∞，254]；（Ⅲ）∵cn=3an+1=1-14n，猜想(1-14)(1-142)&&…&&(1-14n)≥1-(14+142+&…+14n)用数学归纳法证明：①n=1时，左边=34=右边；n=2时，左边=4564，右边=1116，左边＞右边；②假设n=k（k≥2）时结论成立，即(1-14)(1-142)&&…&&(1-14k)≥1-(14+142+&…+14k)则n=k+1时，左边=(1-14)(1-142)&&…&&(1-14k)(1-14k+1)≥[1-(14+142+&…+14k)](1-14k+1)＞1-(14+142+&…+14k+1)=右边由①②知，猜想(1-14)(1-142)&&…&&(1-14n)≥1-(14+142+&…+14n)成立又14+142+&…+14n＜141-14=13∴c1oc2oc3…cn=(1-14)(1-142)&&…&&(1-14n)≥1-(14+142+&…+14n)＞1-13＞712∴c1oc2oc3…cn＞712
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据魔方格专家权威分析，试题“已知数列{an}满足a1=3，2-2an+1an+1-3=an(n∈N*)，记bn=an-2an+1．..”主要考查你对&&等比数列的通项公式，数学归纳法证明不等式&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等比数列的通项公式数学归纳法证明不等式
等比数列的通项公式:
an=a1qn-1，q≠0，n∈N*。等比数列的通项公式的理解：
①在已知a1和q的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项；②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用可求等比数列中任何一项；③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{an}的通项公式，可以改写为．当q&o，且q≠1时，y=qx是一个指数函数，而是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{an}的图象是函数的图象上的一群孤立的点；④通项公式亦可用以下方法推导出来：将以上（n一1）个等式相乘，便可得到&⑤用方程的观点看通项公式．在an，q，a1，n中，知三求一。归纳法的定义：
由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法，称为归纳法。 数学归纳法证明不等式的步骤：
（1）证明当n取初始值n0（例如n0=0，n0=1等）时不等式成立； （2）假设当n=k（k为自然数，k≥n0）时不等式成立，证明当n=k+1时不等式也成立。
对数学归纳法的理解：
（1）数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确。（2）运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n＝k时命题成立这个条件．这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．
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与“已知数列{an}满足a1=3，2-2an+1an+1-3=an(n∈N*)，记bn=an-2an+1．..”考查相似的试题有：
280302260741259577526956439573452959an=1/√4(n-3) ,证明bn=a(n+1)^2+a(n+2)^2+……a(2n+1)^2;若存在最小的正整数m使对任意n∈N恒有bn＜m/25成an=1/√[4(n-3) ]非下标,证明bn=a(n+1)^2+a(n+2)^2+……a(2n+1)^2;——有n的为下标,若存在最小的正整数m使对_作业帮
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an=1/√4(n-3) ,证明bn=a(n+1)^2+a(n+2)^2+……a(2n+1)^2;若存在最小的正整数m使对任意n∈N恒有bn＜m/25成an=1/√[4(n-3) ]非下标,证明bn=a(n+1)^2+a(n+2)^2+……a(2n+1)^2;——有n的为下标,若存在最小的正整数m使对
an=1/√4(n-3) ,证明bn=a(n+1)^2+a(n+2)^2+……a(2n+1)^2;若存在最小的正整数m使对任意n∈N恒有bn＜m/25成an=1/√[4(n-3) ]非下标,证明bn=a(n+1)^2+a(n+2)^2+……a(2n+1)^2;——有n的为下标,若存在最小的正整数m使对任意n∈N恒有bn＜m/25成立,求m求过程和简要方法分析
bn=a(n+1)^2+a(n+2)^2+……a(2n+1)^2=(1/4)[1/(n-2)+1/(n-1)+……+1/(2n-3)+1/(2n-2)]4bn=1/(n-2)+1/(n-1)+……+1/(2n-3)+1/(2n-2)＜n/(2n-2)8bn＜n/(n-1)＜8m/251/(n-1)＜(8m-25)/2525/(8m-25)＜n-18m/(8m-25)＜n因n≥4只要8m/(8m-25)＜4即可8m＜32m-100m＞25/6m≥5最小的正整数m为5.已知数列{an}的首项a1=a，其前n和为Sn，且满足Sn+Sn-1=3n2（n≥2）．若对任意的n∈N*，an＜an+1恒成立，则a的取值范围是．【考点】．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】根据条件求出与an的有关的关系式，利用条件an＜an+1恒成立，建立条件，即可得到结论．【解答】解：由条件n+Sn-1=3n2(n≥2)得n+1+Sn=3(n+1)2，两式相减得an+1+an=6n+3，故an+2+an+1=6n+9，两式再相减得an+2-an=6，由n=2得a1+a2+a1=12，a2=12-2a，从而a2n=6n+6-2a；n=3得a1+a2+a3+a1+a2=27，a3=3+2a，从而a2n+1=6n-3+2a，由条件得，解之得，故答案为：【点评】本题主要考查参数的取值范围的求解，根据条件求出与an的有关的关系式是解决本题的关键，有一定的难度．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：maths老师　难度：0.47真题：2组卷：50
解析质量好中差