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高二数学：不等式的证明教学视频
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&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&数学教案－不等式的证明（二）
数学教案－不等式的证明（二）
简述：第二课时教学目标 1．进一步熟练掌握比较法证明不等式； 2．了解作商比较法证明不等式； 3．提高学生解题时应变能力.教学重点 比较法的应用教学难点 常见解题技巧教学方法 启发引导式教学活动 （一）导入新课 （教师活动）教师打出字幕（复习提问），请三位同学回答问题，教师点评． （学生活动）思考问题，回...
第二课时教学目标& 1．进一步熟练掌握比较法证明不等式； 2．了解作商比较法证明不等式； 3．提高学生解题时应变能力.教学重点 &比较法的应用教学难点& &常见解题技巧教学方法 &启发引导式教学活动 （一）导入新课 （教师活动）教师打出字幕（复习提问），请三位同学回答问题，教师点评． （学生活动）思考问题，回答． ［字幕］1．比较法证明不等式的步骤是怎样的？ 2．比较法证明不等式的步骤中，依据、手段、目的各是什么？ 3．用比较法证明不等式的步骤中，最关键的是哪一步？学了哪些常用的变形方法？对式子的变形还有其它方法吗？ [点评]用比较法证明不等式步骤中，关键是对差式的变形．在我们所学的知识中，对式子变形的常用方法除了配方、通分，还有因式分解．这节课我们将继续学习比较法证明不等式，积累对差式变形的常用方法和比较法思想的应用．（板书课题） 设计意图：复习巩固已学知识，衔接新知识，引入本节课学习的内容． （二）新课讲授 【尝试探索，建立新知】 （教师活动）提出问题，引导学生研究解决问题，并点评． （学生活动）尝试解决问题． [问题] 1．化简&
2．比较& 与& （& ）的大小． （学生解答问题）& ［点评］ ①问题1，我们采用了因式分解的方法进行简化． ②通过学习比较法证明不等式，我们不难发现，比较法的思想方法还可用来比较两个式子的大小． 设计意图：启发学生研究问题，建立新知，形成新的知识体系． 【例题示范，学会应用】 （教师活动）教师打出字幕（例题），引导、启发学生研究问题，井点评解题过程． （学生活动）分析，研究问题． ［字幕］例题3& 已知a，b是正数，且& ，求证&& ［分析］依题目特点，作差后重新组项，采用因式分解来变形． 证明：（见课本） ［点评］因式分解也是对差式变形的一种常用方法．此例将差式变形为几个因式的积的形式，在确定符号中，表达过程较复杂，如何书写证明过程，例3给出了一个好的示范．&［点评］解这道题在判断符号时用了分类讨论，分类讨论是重要的数学思想方法．要理解为什么分类，怎样分类．分类时要不重不漏． ［字幕］例5甲、乙两人同时同地沿同一条路线走到同一地点．甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果 ，问甲、乙两人谁先到达指定地点． [分析]设从出发地点至指定地点的路程为 ，甲、乙两人走完这段路程用的时间分别为& ，要回答题目中的问题，只要比较& 、 的大小就可以了． 解：（见课本） ［点评］此题是一个实际问题，学习了如何利用比较法证明不等式的思想方法解决有关实际问题．要培养自己学数学，用数学的良好品质． 设计意图：巩固比较法证明不等式的方法，掌握因式分解的变形方法和分类讨论确定符号的方法．培养学生应用知识解决实际问题的能力． 【课堂练习】 （教师活动）教师打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；请甲、乙两位学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的给予肯定，对偏差及时纠正；点评练习中存在的问题． （学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演． ［字幕］练习：1．设& ，比较& 与& 的大小． 2．已知&& ，求证&
设计意图：掌握比较法证明不等式及思想方法的应用．灵活掌握因式分解法对差式的变形和分类讨论确定符号．反馈信息，调节课堂教学． 【分析归纳、小结解法】 （教师活动）分析归纳例题的解题过程，小结对差式变形、确定符号的常用方法和利用不等式解决实际问题的解题步骤． （学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上． 1．比较法不仅是证明不等式的一种基本、重要的方法，也是比较两个式子大小的一种重要方法． 2．对差式变形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等． 3．会用分类讨论的方法确定差式的符号． 4．利用不等式解决实际问题的解题步骤：①类比列方程解应用题的步骤．②分析题意，设未知数，找出数量关系（函数关系，相等关系或不等关系），③列出函数关系、等式或不等式，④求解，作答． 设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握用比较法证明不等式的知识体系． （三）小结 （教师活动）教师小结本节课所学的知识及数学思想与方法．& （学生活动）与教师一道小结，并记录笔记． 本节课学习了对差式变形的一种常用方法――因式分解法；对符号确定的分类讨论法；应用比较法的思想解决实际问题． 通过学习比较法证明不等式，要明确比较法证明不等式的理论依据，理解转化，使问题简化是比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握求差后对差式变形以及判断符号的重要方法，并在以后的学习中继续积累方法，培养用数学知识解决实际问题的能力． 设计意图：培养学生对所学的知识进行概括归纳的能力，巩固所学的知识，领会化归、类比、分类讨论的重要数学思想方法． （四）布置作业& 1．课本作业&：p17 7、8。 2，思考题：已知& ，求证&
3．研究性题：对于同样的距离，船在流水中来回行驶一次的时间和船在静水中来回行驶一次的时间是否相等？（假设船在流水中的速度和部在静水中的速度保持不变） 设计意图：思考题让学生了解商值比较法，掌握分类讨论的思想．研究性题是使学生理论联系实际，用数学解决实际问题，提高应用数学的能力． （五）课后点评 1．教学评价、反馈调节措施的构想：本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，通过启发诱导学生深入思考问题，解决问题，反馈学习信息，调节教学活动． 2．教学措施的设计：由于对差式变形，确定符号是掌握比较法证明不等式的关键，本节课在上节课的基础上继续学习差式变形的方法和符号的确定，例3和例4分别使学生掌握因式分解变形和分类讨论确定符号，例5使学生对所学的知识会应用．例题设计目的在于突出重点，突破难点，学会应用
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整理收集 备案号：鄂ICP备号-1是变形的重要技巧。例 5
设a?0,b?0,c?0且a?b?c?1,求证：?1?a??1?b??1?c??8分析： 因a?b?c?1,所以?1?a??1?b??1?c???b?c??a?c??b?a?，即证明?b?c??a?c??b?a??8，不等式左边含有“a?b”的形式，我们可以创设运用基本不等式a?b?2ab。证明：
∵a?0,b?0,c?0且a?b?c?1,又 ?1?a??1?b??1?c???b?c??a?c??b?a??a?b?2ab?0,b?c?2bc?0,a?c?2ac?0由不等式的性质，得
?b?c??a?c??b?a??2bc?2ac?2ba?8abc3、分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判定这些条件是否具备的问题。如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立。这种证明方法通常叫做分析法。例 6
已知a、b∈R+，求证：a3+b3≥a2b+ab2证明：要证明不等式，a3+b3≥a2b+ab2只要证：(a+b)(a2-ab+b2)≥ab(a+b),又∵a+b＞0只要证：a2-ab+b2≥ab只要证：a2-2ab+b2≥0只要证：(a+b) 2≥0而(a+b) 2≥0显然成立，∴原不等式成立，得证。4、换元法：解不等式题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。4.1局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例7 已知(x2-y2+1) 2+4x2y2-x2-y2＝0，求证：(3-√5 )/2≤x2+y2≤ (3 +√5 )/2证明：令x2+y2＝t
由(x2-y2+1) 2+4x2y2-x2-y2＝0整理得：(x2+y2) 2-3(x2+y2)+1＝-4x2∴(x2+y2) 2-3(x2+y2)+1≤0∴t2-3t+1≤0，解之得：(3-√5 )/2≤t≤(3 +√5 )/2∴ (3-√5 )/2≤x2+y2≤(3 +√5 )/2
得证4.2三角换元应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。例8
已知(x-1)2+(y+2) 2≤25，求证：-28≤6x-8y≤72证明：x-1＝tsinα，y+2＝tcosα；其中0≤t≤5则6x-8y＝6 tsinα-8tcosα+22＝10tsin(α-arctan3/4)+22又-10t≤10tsin(α-arctan3/4)≤10t，0≤t≤5∴-50≤10tsin(α-arctan3/4)≤50∴-28≤10tsin(α-arctan3/4)+22≤72∴-28≤6x-8y≤72
得证4.3 均值换元:常见是均值不等式有如下几种：1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn，a1、a2、? 、an∈R +，当且仅当a1=a2= ? =an时取“=”号例 9
已知x-1＝(y+1)/2＝(z-2)/3，求证：x2+y2+z2≥59/14证明：设x-1＝(y+1)/2＝(z-2)/3＝k， 则x＝k+1，y＝2k-1，z＝3k+2∴x2+y2+z2＝(k+1) 2+(2k-1) 2+( 3k+2) 2＝14k2+10k+6＝14(k2+5k/7)+6＝14(k+5/14) 2+59/14≥59/14∴x2+y2+z2≥59/14
得证5、反证法：对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即先假定要证不等式的反面成立，然后推出与已知条件（或已知真命题）和矛盾的结论，从而断定反证假定错误，因而要证不等式成立。这种方法叫做反证法。利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步
分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步
作出与所证不等式相反的假定；第三步
从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步
断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。例10
设0 & a, b, c & 1，求证：(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大1于4111证明：设(1 ? a)b &4,
(1 ? b)c &4,
(1 ? c)a &4,1则三式相乘：ab & (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a &64
①?(1?a)?a?0?(1?a)a???2??又∵0 & a, b, c & 1
∴2?14同理：(1?b)b?14,
(1?c)c?141以上三式相乘： (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤64
与①矛盾∴原式成立6、放缩法：所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。放缩法的常见技巧：（1）舍掉（或加进）一些项。（2）在分式中放大或缩小分子或分母。（3）应用基本不等式放缩。（4）应用函数的单调性进行放缩。（5）根据题目条件进行放缩。例11
已知a、b、c不全为零，求证：a2?ab?b2?b2?bc?c2?c2?ac?a2＞3（a?b?c）2?a?bb≥a?22a2?ab?b2?（a?证明：因为2?bc?c2＞b?c2b23）?b2＞42（a?b2）2，同理，c2?ac?a2＞c?a2。 3（a?b?c）2a2?ab?b2?b2?bc?c2?c2?ac?a2＞所以7、数学归纳法：数学归纳法证明不等式的典型类型有两类，一类是与数列或数列求和有关的问题，另一类是函数迭代问题。凡是与数列或数列求和有关的问题都可统一表述成 f(n)?g(n)(n?N)?的形式或近似于上述形式例11 观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？证明你的结论。{an=n2}：1，4，9，16，25，36，49，64，81，?；