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《概率论与数理统计》习题三答案.doc16页
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1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表：
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表：
2 P 0黑,2红,2白
3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
求二维随机变量（X，Y）在长方形域内的概率.
【解】如图
说明：也可先求出密度函数，再求概率。
4.设随机变量（X，Y）的分布密度
求：（1） 常数A；
（2） 随机变量（X，Y）的分布函数；
（3） P 0≤X 1，0≤Y 2 .
【解】（1） 由
（2） 由定义，有
5.设随机变量（X，Y）的概率密度为
（1） 确定常数k；
（2） 求P X＜1，Y＜3 ；
（3） 求P X 1.5 ；
（4） 求P X+Y≤4 .
【解】（1） 由性质有
6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为
求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P Y≤X .
【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为
7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
求（X，Y）的联合分布密度.
8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
求边缘概率密度.
9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
求边缘概率密度.
10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
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概率论第3章作业题解与知识点归纳(重点!)
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概率论习题解答
概率论与数理统计
习题解答第
章思 考 题1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？ ３．圆周率??3.1415926??是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个?的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了?的608位小数, 得到了下表:数字出现次数你能说出他产生怀疑的理由吗?答：因为?是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？５．两事件A、B相互独立与A、B互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？６．条件概率是否是概率？为什么？习
一1．写出下列试验下的样本空间：（1）将一枚硬币抛掷两次答：样本空间由如下4个样本点组成??{(正,正，)正(反,，)反(正,，反)(反, )（2）将两枚骰子抛掷一次答：样本空间由如下36个样本点组成??{(i,ji,j?1,2,3,4,5, 6}（3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出答：结果可以用（x，y）表示，x，y分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .??{(x,y)x?0,y?0}2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记A?“甲中靶” B?“乙中靶” C?“丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：(1) “甲未中靶”：(2) “甲中靶而乙未中靶”：
A;(3) “三人中只有丙未中靶”：
AB;(4) “三人中恰好有一人中靶”：
A?B?C;1概率论与数理统计
习题解答(5)“ 三人中至少有一人中靶”：
A?B?C; (6)“三人中至少有一人未中靶”：
??;或ABC; (7)“三人中恰有两人中靶”：
AB?AC?BC; (8)“三人中至少两人中靶”：
AB?AC?BC; (9)“三人均未中靶”：(10)“三人中至多一人中靶”：
A?B?C?; (11)“三人中至多两人中靶”：
ABC;或??; 3 .设A,B是两随机事件，化简事件(1)(A?B)(A?B)
(2) (A?B)(A?B) 解:(1)(A?B)(A?B)?AB?AB?B?B,(2) (A?B)(A?B)?AB?AB?B?(A?A??)B?B.4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.5P10解：P?5?0.3024.105．n张奖券中含有m张有奖的，k个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率.解法一：试验可模拟为m个红球，n?m个白球，编上号，从中任取k个构成一组，则 总数为C，而全为白球的取法有Cknkn?m种，故所求概率为1?kCn?mkCn.解法二：令Ai―第i人中奖，i?1,2,?.k,B―无一人中奖，则B?12?k，注意到 1，2，?，k不独立也不互斥：由乘法公式P(B)?P(A1)P(21)P(312)?P(k1?k?1)
Cnk?mCnk?mn?m(n?m?1)(n?m?2)(n?m?k?1)同除k!,故所求概率为1?k ????CnkCnnn?1n?2n?k?1.6．从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？12C5C8?C52解：P(A)? 4C107．在??1,1?上任取一点X，求该点到原点的距离不超过
5概率论与数理统计
习题解答 解：此为几何概率问题：??[?1，1],所求事件占有区1111间 [?]，从而所求概率为P??. 55252?8．在长度为a的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率.解：设一段长为x，另一段长为y，样本空间?:0?x?a,0?y?a,0?x?y?a，a?0?x??2?a?所求事件满足： ?0?y?
2??x?y?(a?x?y)??从而所求概率＝S?CDE1?. S?OAB49．从区间(0,1)内任取两个数，求这两个数的乘积小于1的概率. 4解：设所取两数为X,Y,样本空间占有区域?,11两数之积小于:XY?,故所求概率 44P?S(?)?S(D)1?S(D), ?S(?)11而S(D)??(1?11)dx?1?(1?ln4),故所求概率为4x41(1?ln4). 410．设A、B为两个事件，P(A)?0.9，P(AB)?0.36，求P(AB).
解：P(AB)?P(A)?P(AB)?0.9?0.36?0.54;11．设A、B为两个事件，P(B)?0.7，P(AB)?0.3，求P(A?B).
解：P(A?B)?P(AB)?1?P(AB)?1?[P(B)?P(AB)]?1?[0.7?0.3]?0.6.12．假设P(A)?0.4，P(A?B)?0.7，若A、B互不相容，求P(B)；若A、
3概率论与数理统计
习题解答B相互独立，求P(B).
解：若A、B互不相容，P(B)?P(A?B)?P(A)?0.?70.?4；0.若A、B相互独立，则由P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(可B)得P(B)=0.5.13．飞机投弹炸敌方三个弹药仓库，已知投一弹命中1，2，3号仓库的概率分别为0.01,0.02,0.03,求飞机投一弹没有命中仓库的概率.解：设A?{命中仓库}，则?{没有命中仓库}，又设Ai?{命中第i仓库}(i?1,2,3)则P(A1)?0.01,P(A2)?0.02,P(A3)?0.03，根据题意A?A1?A2?A3（其中A1,A2A3两两互不相容）故P(A)?P(A1)?P(A2)?P(A3)=0.01+0.02+0.03=0.06 所以P()?1?P(A)?1?0.06?0.94即飞机投一弹没有命中仓库的概率为0.9414．某市有50%住户订日报，有65%的住户订晚报，有85%的住户至少订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比
解： 设A?{用户订有日报}，B={用户订有晚报}，则A?B?{用户至少订有日报和晚报一种}，AB?{用户既订日报又订晚报}，已知P(A)?0.5,P(B)?0.65,P(A?B)?0.85，所以P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?0.5?0.65?0.85?0.3即同时订这两种报纸的住户的百分比为30%15．一批零件共100个，次品率为10%，接连两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率.解：设A?{第一次取得次品}，B?{第二次取得正品}，则AB?{第二次才取得正品}，又因为P(A)?P(AB)?P(A)P(B)?1090，则 ,P(BA)?.4 16.设随机变量A、B、C两两独立，A与B互不相容. 已知P(B)?2P(C)?0概率论与数理统计
习题解答5且P(B?C)?，求P(A?B). 8解：依题意P(AB)?0且P(AB)?P(A)P(B)，因此有P(A)?0. 又因5P(B?C)?P(B)?P(C)?P(B)P(C)?3P(C)?2[P(C)]2?，解方程 82[P(C)]2?3P(C)?5?0 8151P(C)?，[P(C)?舍去]?P(B)?，P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(B)?0.5. 44217．设A是小概率事件，即P(A)??是给定的无论怎么小的正数.试证明：当试验不断地独立重复进行下去，事件A迟早总会发生（以概率1发生）.P(Ai)??,P(Ai)?1??，解：设事件Ai―第i次试验中A出现(i?1,2?,n,，∵)(i?1,2,?,n)，∴n次试验中，至少出现A一次的概率为P(A1?A2???An)?1?P(A1?A2???An)?1?P(A1A2?An)?1?P(A1)?P(A2)???P(An)（独立性）?1?(1??)n∴limP(A1?A2???An)?1，证毕. n??18．三个人独立地破译一密码，他们能单独译出的概率分别是111，，，求534此密码被译出的概率.解:设A，B，C分别表示{第一、二、三人译出密码}，D表示{密码被译出}，则 P(D)?P(A?B?C)?1?PA?B?C4233?1?P(ABC)?1?P(A)P(B)P(C)
?1?..?. 534519．求下列系统（如图所示）的可靠度，假设元件i的可靠度为pi，各元件正常工作或失效相互独立5概率论与数理统计
解：(1)系统由三个子系统并联而成，每个子系统可靠度为p1p2p3，从而所求概率为1?(1?p1p2p33)；2（2）同理得p1[1?(1?p2)3].20．三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率.
解：设A1―第一第三台机器发生故障，A2―第一第三台机器发生故障，A3―第一第三台机器发生故障，D―三台机器中至少有一台发生故障，则P(A1)?0.1,P(A2)?0.2,P(A3)?0.3，故P(D)?P(A?B?C)?1?PA?B?C?1?P(ABC)?1?P(A)P(B)P(C)?1?0.9?0.8?0.7?0.49621．设A、B为两事件，P(A)?0.7,P(B)?0.6,P()?0.4，求P(A?B).
A解：由P()?0.4得 AP(AB)?0.4,P(AB)?0.12,?P(AB)?P(B)?P(AB)?0.48， P(A)P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.82.22.设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8, 活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物, 它能活到25岁以上的概率是多少?解：设A―某种动物由出生算起活到20年以上，P(A)?0.8，B―某种动物由出生
6概率论与数理统计
习题解答 算起活到25年以上，P(B)?0.4，则所求的概率为P(B)?P(BP(AB)P(B)0.4???0.5 P(A)P(A)0.8)?23．某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为80%，40年内 发生特大洪水的概率为85%，求已过去了30年的地区在未来10年内发生特大洪水的概率.解：设A―某地区后30年内发生特大洪灾，P(A)?0.8，B―某地区后40年内发生特大洪灾，P(B)?0.8，则所求的概率为 5P(BA)P(B)0.15P()?1?P()?1??1??1??0.25. AA0.2P(A)P(A)24．设甲、乙两袋，甲袋中有2只白球，4只红球；乙袋中有3只白球，2只红球.今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球.1）问取到白球的概率是多少？2）假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？解：设A：取到白球，B：从甲球袋取白球24431)
P(A)?P(A/B)P(B)?P(A/)P()????5/9
P(B/A)?P(AB)/P(A)?P(A/B)P(B)2/9??2/5 P(A)5/925．一批产品共有10个正品和2个次品，任取两次，每次取一个，抽出后不再放回，求第二次抽出的是次品的概率.解：设Bi表示第i次抽出次品,(i?1,2),由全概率公式P(B2)?P(B1)P(B21)?P(1)P(B21)=211021????. 26.一批晶体管元件，其中一等品占95%，二等品占4%，三等品占1%，它们能工作500h的概率分别为90%，80%，70%，求任取一个元件能工作500h以上的概率.解：设Bi?{取到元件为i等品}(i=1,2,3) ，A?{取到元件能工作500小时以上} 则P(B1)?95%,P(B2)?4%,P(B3)?1%P(A1)?90%,P(A2)?80%,P(A3)?70% )?P(B3)P(A3) 所以P(A)?P(B1)P(A1)?P(B2)P(A27概率论与数理统计
习题解答 ?95%?90%?4%?80%?1%?70%?0.89427．某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.85，求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率.如果一件产品是优质品，求它的材料来自甲地的概率解：以Bi分别表示抽到的产品的原材来自甲、乙、丙三地，A={抽到优等品}，则有：P(B1)=0.4,P(B2)?0.35,P(B3)?0.25,P(A1)?0.65,P(A2)?0.7,P(A3)?0.85所求概率为P(A).由全概率公式得：P(A)?P(B1)P(A1)?P(B2)P(A2)?P(B3)P(A3)?0.65?0.4?0.7?0.35?0.85?0.25?0.7175.P(B1)?P(B1A)P(B1)P(A|B1)0.26???0.3624 P(A)P(A)0.717528．用某种检验方法检查癌症，根据临床纪录，患者施行此项检查，结果是阳性的概率为0.95；无癌症者施行此项检查，结果是阴性的概率为0.90.如果根据以往的统计，某地区癌症的发病率为0.0005.试求用此法检查结果为阳性者而实患癌症的概率.解：设A={检查结果为阳性}，B={癌症患者}.据题意有P(AP(P(B)?0.95,P()?0.90,P(B)?0.0005,所求概率为P(B). )?0.10,P(B)?0.9995.由Bayes公式得 P(B)P(AP(B)P(A))?P(B)P(A)0.??0.% 0.?0.)?29．3个射手向一敌机射击，射中的概率分别是0.4，0.6和0.7.如果一人射中，敌机被击落的概率为0.2；二人射中，被击落的概率为0.6；三人射中则必被击落.（1）求敌机被击落的概率；（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率.解:设A={敌机被击落}，B={i个射手击中}，i=1,2,3. 则B,B,B互不相容.由题意知：i123P(A1)?0.2,P(A2)?0.6,P(A3)?1，由于3个射手射击是互相独立的，所以 8概率论与数理统计
习题解答 P(B1)?0.4?0.4?0.3?0.6?0.6?0.3?0.6?0.4?0.7?0.324P(B2)?0.4?0.6?0.3?0.4?0.7?0.4?0.6?0.7?0.6?0.436P(B3)?0.4?0.6?0.7?0.168因为事件A能且只能与互不相容事件B,B,B之一同时发生.于是 123（1）由全概率公式得P(A)??P(Bi)P(A|Bi)?0.324?0.2?0.436?0.6?0.168?1?0.4944i?13（2）由Bayes公式得P(B3|A)?P(B3)P(A|B3)?P(B)P(A|B)iii?13?0.168?0.34. 0.494430．某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1）该厂产品能出厂的概率；（2）任取一出厂产品未经调试的概率.解：A――需经调试
A――不需调试
B――出厂则P(A)?30%，P(A)?70%，P(B|A)?80%，P(B|A)?1（1）由全概率公式：P(B)?P(A)?P(B)
?30%?80%?70%?1?94%. P(A)?P(B)70P(AB)?（2）由贝叶斯公式：P()?. ?P(B)94%9431．进行一系列独立试验，假设每次试验的成功率都是p，求在试验成功2次之前已经失败了3次的概率.解：所求的概率为4p2(1?p)3.32．10个球中有一个红球，有放回地抽取，每次取一球，求直到第n次才取k次(k?n)红球的概率k?1?1??9?解：所求的概率为Cn?1?????10??10?kn?k)?P(A)?P(B9概率论与数理统计
习题解答33．灯泡使用寿命在1000h以上的概率为0.2，求3个灯泡在使用1000h后，最多只有一个坏了的概率.解：由二项概率公式所求概率为1P3(0)?P3(1)?0.23?C3(0.2)2?0.8?0.10434．（Banach 问题）某人有两盒火柴，每盒各有n根，吸烟时任取一盒，并从中任取一根，当他发现有一盒已经用完时，试求：另一盒还有r根的概率.解：设试验E―从二盒火柴中任取一盒，A―取到先用完的哪盒，P(A)?1， 2则所求概率为将E重复独立作2n?r次A发生n次的概率，故所求的概率为 P2n?r(n)?Cn2n?rn1n1n?rC2()()?n?r2n?r. 222
题1. 随机变量的引入的意义是什么？答：随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来，其目的是将事件数量化，从而随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究.随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件，随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量的引入则变为可以用动态的观点来研究.2.随机变量与分布函数的区别是什么？为什么要引入分布函数？答：随机变量与分布函数取值都是实数，但随机变量的自变量是样本点，不是普通实数，故随机变量不是普通函数，不能用高等数学的方法进行研究，而分布函数一方面是高等数学中的普通函数，另一方面它决定概率分布，故它是沟通概率论和高等数学的桥梁，利用它可以将高度数学的方法得以引入.3. 除离散型随机变量和连续型随机变量，还有第三种随机变量吗？答：有，称为混合型. 例：设随机变量X~U?0,2?，令?x,0?x?1;g(x)?? ?1,1?x?2.则随机变量Y?g(X)既非离散型又非连续型.
事实上，由Y?g(X)的定义可知Y只在?0,1?上取值，于是当y?0时，FY(y)?0；10概率论与数理统计
习题解答 y?1时，FY(y)?1；当0?y?1时，FY(y)?P(g(X)?y)?P?X?y??于是 y 2?0,y?0;?y?FY(y)??,0?y?1;?2??1,y?1.首先Y取单点{1}的概率P(Y?1)?FY(1)?FY(1?0)?1?0，故Y不是连续型随机变2量.其次其分布函数不是阶梯形函数，故Y也不是离散型随机变量.4.通常所说“X的概率分布”的确切含义是什么？答：对离散型随机变量而言指的 是分布函数或分布律，对连续型随机变量而言指的是分布函数或概率密度函数.5.对概率密度f(x)的不连续点，如何由分布函数F(x)求出f(x)？答：对概率密度f(x)的连续点，f(x)?F?(x)，对概率密度f(x)的有限个不连续点处，可令f(x)?c（c为常数）不会影响分布函数的取值.6.连续型随机变量的分布函数是可导的，“概率密度函数是连续的”这个说法对吗？为什么？答：连续型随机变量密度函数不一定是连续的，当密度函数连续时其分布函数是可导的，否则不一定可导.习
题1．在测试灯泡寿命的试验中,试写出样本空间并在其上定义一个随机变量.解：每一个灯泡的实际使用寿命可能是[0,??)中任何一个实数, 样本空间为，则X是定义在样本空间??{t|t?0}??{t|t?0}，若用X表示灯泡的寿命（小时）上的函数，即X?X(t)?t是随机变量.2．一报童卖报, 每份0.15元,其成本为0.10元. 报馆每天给报童1000份报, 并规定他不得把卖不出的报纸退回. 设X为报童每天卖出的报纸份数, 试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.解：{报童赔钱}?{卖出的报纸钱不够成本}，而当 0.15 X&1000× 0.1时，报童赔钱，故{报童赔钱} ?{X ?666}3．若P{X?x2}?1??，P{X?x1}?1??，其中x1?x2，求P{x1?X?x2}.{X?x{X?1x解：P{x1?X?x2}?P }2}?P11概率论与数理统计
习题解答?P{X?x2}?[1?P{X?x1}]?1????.?0,x?0?4．设随机变量X的分布函数为F(x)??x2,0?x?1?1,x?1?试求（1）P?X???3?1?1???（2）
（3）P?1?X?PX??????42?2????解：(1)P?X???1?11??F()?； 2?243?399； ?F()?F(?1)??0??4?41616（2）P??1?X???（3）1?1?13??P?X???1?P?X???1?F()?.2?2?24??5．5个乒乓球中有2个新的，3个旧的，如果从中任取3个，其中新的乒乓球的个数是一个随机变量，求这个随机变量的概率分布律和分布函数，并画出分布函数的图形.解：设X表示任取的3个乒乓球中新的乒乓球的个数，由题目条件可知，X的所有可能C3C32C3163取值为0，1，2，∵P{X?0}?3?，P{X?1}?3?，P{X?2}?3?C5∴随机变量X的概率分布律如下表所示： 由F(x)?xk?x?P可求得F(x)如下:k
,x?0?P{X?0}
,0?x?1?F(x)???P{X?0}?P{X?1}
,1?x?2??P{X?0}?P{X?1}?P{X?2}
?，F(x)的图形如图所?0.7
12概率论与数理统计
习题解答6．某射手有5发子弹，射击一次命中率为0.9，如果他命中目标就停止射击，命不中就一直射击到用完5发子弹，求所用子弹数X的概率分布
7 .一批零件中有9个合格品与3个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，如果每次取出的废品不再放回，求在取出合格品之前已取出的废品数的分布律.解：设Ai?{第i次取得废品}，Ai?{第i次取得合格品}，由题意知，废品数X的可能值为0，1，2，3，事件{X?0}即为第一次取得合格品，事件{X?1}即为第一次取出的零件为废品，而第二次取出的零件为合格品，于是有 P{X?0}?P(A1)?9?0.75， 12A2A1A2P{X?1}?P(A（A）（P1A2)?P1）?399???0.2045， 121144A3A1A2A3P{X?2}?P(A1A2A3)?P（A1）（PA1）（P=3299????0.0）（PA4A1A2A3）P{X?3}?P(A1A2A3A4)?P（A1）（PA2
?A1）（PA1A232191?????0.20
8.从1?10中任取一个数字，若取到数字i(i?1?10)的概率与i成正比，即，求k. P（X?i）?ki ， （i?1,2,?,10）解：由条件P（X?）i? ，k（ i?i1?,2,），,由分布律的性质?pi?110i?1,应有?ki?1,k?55.i?11019 .已知随机变量X服从参数??1的泊松分布，试满足条件P?X?N??0.01的自然数N.
13概率论与数理统计
习题解答 解：因为X~P(1),P?X?Y??0.01所以P?X?N??1?P?X?N??0.99从而e??P?X?N????0.99
k!k?0N查附表得N?410.某公路一天内发生交通事故的次数X服从泊松分布，且一天内发生一次交通事故的概率与发生两次交通事故的概率相等，求一周内没有交通事故发生的概率.e??e??2解：设X~P(?)，由题意：P(X?1)=P(X?2)，???，解得??2，所1!2!求的概率即为e?20P(X?0)?2?e?2. 0!11 . 一台仪器在10000个工作时内平均发生10次故障，试求在100个工作时内故障不多于两次的概率.解：设X表示该仪器在100个工作时内故障发生的次数，X~?(100,1) ，所求的概1000率即为P(X?0)，P(X?1)，P(X?2)三者之和.而100个工作时内故障平均次数为??100?1?0.1，根据Poisson分布的概率分布近似计算如下： 1000P(X?2)??00!e????11!e????22!e???0.48?0.84故该仪器在100个工作时内故障不多于两次的概率为0.99984.12.设X~U?2,5?，现对X进行三次独立观察，试求至少有两次观察值大于3的概率.?12?
,2?x?5解：f?x???3，令A??X?3?，则p?P?A??，令Y表示三次重复独立观3??0
,其余?2?察中A出现次数，则Y~B?3,?，故所求概率为 ?3?20?2??1?3?2??1?P?Y?2??C?????C3?. ????27?3??3??3??3?23213013.设某种传染病进入一羊群，已知此种传染病的发病率为2/3，求在50头已感染的羊群 14概率论与数理统计
习题解答 中发病头数的概率分布律.解：把观察一头羊是否发病作为一次试验，发病率p?2/3，不发病率q?1/3，由于对50头感染羊来说是否发病，可以近似看作相互独立，所以将它作为50次重复独立试验，设50头羊群中发病的头数为X，则XX?B(50,2/3)，X的分布律为?2??1?P?X?k??C?????3??3?k50k50?k(k?0,1,2,?,50)?2x,
0?x?114.设随机变量X的密度函数为p(x)??，用Y表示对X的3次0
其它?1独立重复观察中事件{X?}出现的次数，求P{Y?2}.
211解：Y??(3,p)，p?P{X?}??2xdx?，由二项概率公式 20412139P{Y?2}?C32()2()?. 4464?ax2e??x,15.已知X的概率密度为f(x)???0,x?0x?0，试求：1（1）、未知系数a；（2）、X的分布函数F(x)；（3）、X在区间()内取值的?概率.解：（1）由?0axe??2??xdx?1，解得a????22.
(2) F(x)?P(X?x)????f(x)dx，∴当x≤0时F(x)?0,当x&0时，F(x)??axe0x2??xe??x22dx?1?(?x?2?x?2), 2?122?1?(?x?2?x?2),x?0∴F(x)??2 .??0,
x?0（3）P(0?X?)?F()?F(0)?1?5. 2e16.设X在(1,6)内服从均匀分布，求方程x2?Xx?1?0有实根的概率.
15概率论与数理统计
习题解答 解: “方程x2?Xx?1?0有实根”即{X?2}，故所求的概率为P{X?2}=17.知随机变量X服从正态分布N(a,a2)，且Y?aX?b服从标准正态分布 4. 5N(0,1)，求a,b.解：由题意?a2?b?0(a?0) ?22?a?a?1解得：a?1,b??118.已知随机变量X服从参数为?的指数分布，且X落入区间（1，2）内 的概率达到最大，求?.
解：P(1?X?2?)P?X(?1)P?X?(???2e)??2?令e??(?),令gg()?0，即e???2e?2??0,即1?2e???0，∴??ln2.19．设随机变量X?N(1,4)，求P(0?X?1.6)，P(X?1).0?11.6?1 )?X?221.6?10?1
??()??()?0.3094 221?1P(X?1)???()??(0)?0.5. 2解：P(0?X?1.6?)P20.设电源电压X~N?220,252?，在X?200,200?X?240,X?240电压三种情形下，电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001,0.2，求：（1）该电子元件损坏的概率?；（2）该电子元件损坏时，电压在200~240伏的概率?.解：设A1??X?200?,A2??200?X?240?,A3??X?240?， D―电子元件损坏，则（1）?A1,A2,A3完备，由全概率公式???????P?D??P?A1?P??A??P?A2?P?A??P?A3?P?A?， ?1??2??3??200?220?今P?A1?????????0.8??1???0.8??0.212， 25??同理P?A2????0.8?????0.8??2??0.8??1?0.576，16概率论与数理统计
习题解答 P?A3??1?0.212?0.576?0.212， 从而??P?D??0.062.（2）由贝叶斯公式 ?P?A2?P???0.576?0.001A??2???P???0.009. ?2????PD0.06221.随机变
求Y?X2的分布律
22.变量X服从参数为0.7的0－1分
布，求X2及X2?2X的概率分布.解．X的分布为
易见，X2的可能值为0和1
；而X2?2X的可能值为?1和0，由于P{X2?u}?P{X?u}(u?0,1)，可见X2的概
率分布为：
由于P{X2?2X??1}?P{X?1}?0.7，P{X2?2X?0}?P{X?0}?0.3，可得X2?2X的概率分布为
23.X概率密度函数为fX(x)?1，求Y?2X的概率密度函数fY(y). ?(1?x2)17概率论与数理统计
解：y?2x的反函数为x?yy2y，代入公式得fY(y)?fX()()??.
22?(4?y2)224.设随机变量X~U?0,2?，求随机变量Y?X2在?0,4?内概率密度fY?y?.解法一（分布函数法） 当y?0时，FY?y??0,y?4时FY?y??1，当0?y?4时， FY?
?FX?f??y?4?X从而
解法二（公式法）y?x2在?0,2
?单增，由于反函数x?在?0,4
?可导，xy'?而由公式得?f??y?4?XfY?
,其余?，从
,x?0（x)??25.fX，求Y?eX的密度. ?0
,x?0解法一（分布函数法）因为X?0，故Y?1，当y?1时，FY?y??P?X?lny??FX?lny?，11??lny1?2 ,y?1?fX?lny??eyyy?fY?y???.?0
,y?1?解法二（公式法）y?ex的值域?1,???，反函数x?lny，故1??fX?lny??lny?'?2 ,y?1yfY?y???.?0
,y?1?26.设随机变量X服从(0,1)上的均匀分布，分别求随机变量Y?eX和Z?lnX的概率密度fY(y)和fZ(z).18概率论与数理统计
习题解答 解：X的密度为f(x)???1,
若0?x?1?， 0,
其它??（1）函数y?ex有唯一反函数，x?lny，且1?Y?e，故???fX(lny)(lny)?,
1?y?e??. f(y)??0,
其它?0,（2）在区间(0,1)上，函数z?lnx??lnx，它有唯一反函数x?e?z，且Z?0，从而?z?z???fX(e)(e)?,
z?0fZ(z)?? ?. 0,
其它????z27. 设fX?x?为X的密度函数，且为偶函数，求证?X与X有相同的分布.
证：即证Y??X与X的密度函数相同，即fY?y??fX?y?. 证法一（分布函数法）FY?y??P??X?y??P?X??y??1?P?X??y??1?FX??y?，?pY?y???pX??y????1??pX?y?，得证.证法二（公式法）' 由于y??x为单调函数，?pY?y??pX??y???y??pX??y??pX?y?.28.设随机变量X服从正态分布N(?,?2)，???????,??0 ，F(x)是X的分布函数，随机变量Y?F(X). 求证Y服从区间[0,1]上的均匀分布.证明：记X的概率密度为f(x)，则F(X)?其反函数F?1(x)存在，又因0?F(x)?1，因此Y的取值范围是[0,1]. 即当0?y?1时FY(y)?P?Y?y??P?F(X)?y??P?X?F?1(y)??F[F?1(y)]?y.
?x??f(t)dt. 由于F(x)是x的严格单调增函数，于是Y的密度函数为?1,
0?y?1pY(y)?? ?0,
其它19概率论与数理统计
习题解答即Y服从区间[0,1]上的均匀分布.第
题1(答:错)2 (答:错) 3答:错)习
三1 解：P{X?Y}?P{X??1,Y??1}?P{X?1,Y?1}(已知独立)
?P{X??1}P{Y??1}?P{X?1}P{Y?1}?11111???? . 22222由此可看出,即使两个离散随机变量X与Y相互独立同分布, X与Y一般情况下也不会以概率1相等. 2解：由??pijij=1可得：b?0.14,从而得：
P{X?i,Y?j}?P{X?i}P{Y?j}i?0,1,2;j?0,1.故X,Y相互独立. P{X?1,Y?1}?F(1,1)?P{X?0,Y?0}?P{X?0,Y?1}?P{X?1,Y?0}?P{X?1,Y?1}?0.06?0.14?0.15?0.35?0.7
3解: p11?P(X?1,Y?1)?P(AB)?P(A)P(BA)?1, 12p12?P(X?1,Y?0)?
P(A)121?P(A)P(A)???436因为: P(BA)?P(A)?1,
所以:P(A)?1?P(A)?202, 3概率论与数理统计
习题解答 p21?P(X?0,Y?1)?P(B)?P(B?A)?P(B)?P(AB)?P(AB)1?P(AB)?P(B)12p22?1?1118???,结果如表所示. 12612124
解: X的边缘分布律为P{X?1}?,P{X?2}?Y的边缘分布律为P{Y?1}?,P{X?2}?Y?1的条件下X的条件分布为P{X??1}?P{X?2,Y?1}?1 P{Y?1}P{X?1,Y?1}?0 P{Y?1}P{X?2?1}?X?2的条件下Y的条件分布为P{Y?X?2}?P{X?2,Y?1}P{X?2,Y?2}?,P{Y?X?2}??, P{X?2}P{X?2}5 解：（1）由乘法公式容易求得(X,Y)分布律．易知，放回抽样时P{X?0}?,P{X?1}?,P{Y?0}?,P{Y?1}?, 且P{X?i,Y?j}?P{Y?jX?i}P{X?i}?P{X?i}P{Y?j}于是(X,Y) 的分布律为（2）不放回抽样，则P{X?0}?,P{X?1}?,,在第一次抽i?0,1;j?0,1. 出正品后，第二次抽取前的状态：正品9个，次品2个．故
P{Y?X?0}?,P{Y?X?0}?, 又在第一次抽出次品后，第二次抽取前状态：正品10个，次品1个.故
1?,a?x?b,c?y?d,?6解 f(x,y)=?(b?a)(c?d)?0,否则.??1?1,a?x?b,c?y?d??fX(x)??b?a,
fY(y)=?c?d??x?by?d?0,x?a?0,y?c随机变量X及Y是独立的.?2F(x,y)67 解 （1）f(x,y)==2
22?x?y?(4?x)(9?y)（2）X的边缘分布函数FX(x)?F(x,??)?1?x??1?x=(?arctg)(?)(?arctg).222?22?22由此得随机变量X的边缘分布密度函数fX(x)?2dFX(x)?dx?(4?x2)同理可得随机变量Y的边分布函数FY(y)?F(??,y)?1???y1?y=(?)(?arctg)(?arctg) 3?23?2222Y的边缘分布密度函数fY(y)?3dFy(y)? dy?(9?y2)23=f(x,y)，所以X与Y独立. 22?(4?x)?(9?y)（3）由（2）知fX(x)fY(y)=8 解 因为X与Y相互独立，所以X,Y的联合概率密度为
22概率论与数理统计
习题解答f(x,y)?fX(x)fY(y)?12?x2?y2?e2,???x??,???y??r21?e2rdr0r21??2, ?e210?1?eP{Z?2}?x2?y2?1??12?x2?y2?e2dxdy?12??02?d???P{Z?1}?1?x2?y2?4??12?x2?y2?e2dxdy?12??02?d??r22?e2rdr1?r2?2?e21?e?12?e?2,P{Z?0}?2??x?y?421e2??x2?y22dxdy?12??02?d??e2??r22rdr??e?r22??2e?2,12.所以，Z的分布律为:P{Z?0}?e?2,P{Z?1}?e9解：（1）由?12?e?2,P{Z?2}?1?e???????????f(x,y)dxdy=1，即?1?A???0????(3x?4y)Aedxdy?，即 012?A?12??12e?(3x?4y),x?0,y?0因此f(x,y)=?,?其它?0,（2）X的边缘概率密度为当x?0，fX(x)=当y?0，fY(y)=????0??f(x,y)dy=?12e?(3x?4y)dy=3e?3x，
?f(x,y)dx=?12e?(3x?4y)dx=4e?4y，
???3e?3x,x?0,可知边缘分布密度为：fX(x)=??其它,?0,??4e?4y,y?0fY(y)=??其它,?0,（3）P{0?X?1,0?Y?2}=1210解 因为??2?(3x?4y)edxdy?00101(1?e?3)(1?e?8) 11?1，
c???1,c?623??????????f(x,y)dxdy=1，即c?xdx?12ydy023概率论与数理统计
习题解答??12对任意0?x?1，fX(x)=所以fX(x)=????f(x,y)dy=6?0xy dy?2x， ?2x,?0,0?x?1,其它,??对任意0?y?1，fY(y)=???f(x,y)dx=6?xy2dx?3y2,， 01??3y2,所以fY(y)=???0,0?y?1,其它,故f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X与Y相互独立.11解 由 SD??1e21dx?lnxxe21?21x0当1?x?e时，fX(x)?所以:fX(2)?2?1x0f(x,y)dy??11dy?,其它fX(x)=0. 22x1. 412解（1）X，Y的边缘密度为分布密度为：fX(x)=??x1dy?2x,0?x?1 xfY(y)=?1dx?1?y,?1?y?1 y1?1,y?x,f(x,y)?故fXY(xy)==?1?y fY(y)?其它,?0,?1f(x,y)?,fYX(yx)==?2xfX(x)??0,x?y?1,其它,（2）因为fX(x)fY(y)?1?y?f(x,y)=1，故X与Y不相互独立.13证 设X的概率密度为f(x)，Y的概率密度为f(y)，由于X,Y相互独立，故(X,Y)的联合密度为f(x,y)=f(x)f(y).于是24概率论与数理统计
习题解答 P{X?Y}?x?y??f(x)f(y)dxdy??f(x)f(y)dxdy??????????f(x)dx?f(y)dy???x??yf(y)dy P{X?Y}?x?y??f(x)dx交换积分次序可得：?????f(x)dx???xf(y)dy??????f(y)dy???yf(x)dx所以 P{X?Y}?P{X?Y}?1－P{X?Y} 故P{X?Y}?1. 214解 设p?P(A)，由于X,Y相互独立同分布，于是有P(B)?P{Y?a}?P{X?a}?P(A)?p,则P(B)?1?p,又P(A?B)?P(A)+P(B)－P(A)P(B)=p+（1?p)－p1?p)=p2?p?1?解得：p1?7 912,p2?,因而a有两个值. 33a1a?11a?115由于P(A)?P{X?a}???，所以，当p1?时，由=得a? 1223233当p2?a?1227时，由=得a?. 233315解 （1）X?Y的可能取值为2，3，4.且P{X?Y?2}?P{X?1}P{Y?1}?1,411111???? 44442P{X?Y?3}?P{X?1}P{Y?2}?P{X?2,Y?1}?P{X?Y?4}?P{X?2}P{Y?2}?1, 4111故有:P{X?Y?2}?,P{X?Y?3}?,P{X?Y?4}?; 42411
（2）由已知易得
P{2X?2}?,P{2X?4}?; 2216解 由已知得25
所以有17证明：对任意的k?0,1,?,n1?n2,我们有P{Z?k}??P{X?i}P{Y?k?i}（因为X与Y相互独立）i?0k=ik?ik?in?(k?i)piqn?iCnpq ?Cn12ki?0k12=(?i?0kik?iCnCn)pkqn1?n2?k
（利用组合公式 12kn1?n2?k?Ci?0kimk?ikCn?Cm?n）=Cn?npq12
即Z?X?Y～b(n1?n2,p)18解 Z?X?Y在[0，2]中取值，按卷积公式Z的分布密度为：26概率论与数理统计
习题解答??1fZ(z)?fX(x)fY(z?x)dx?fY(z?x)dx,??0??其中:??0?x?1,?0?x?1,即:?如图，
?0?z?x?1,?z?1?x?z,0?x?1 z?1?x?z 0z?11z2x?z0?z?1,??01dx?z,??z1dx?2?z,1?z?2,从而：fZ(z)??? z?1???0,其它。?0z?11z2x19解 因为X1,X2,X3相互独立，故2X1?3X2?X3～N(0,36),所以： P{0?2X1?3X2?X3?6}?P{0?2X1?3X2?X3?0?1} 6??(1)??(0)?0.3413.?x??x1e1,x1?0,20解
f(x1)??x1?0.??0,?x??x2e2,x2?0， f(x2)???x2?0.?0,设两周的需求量为Z，则Z?X1?X2,当z?0时fZ(z)??fX1(x1)fX2(z?x1)dx1??x1e?x1(z?x1)e?(z?x1)dx1 0023zx1x1?)e?z=?x1(z?x1)edx1?(023z?zz0zzz3e?z? 3!?z3e?z,z?0?故fZ(z)??3!?0,z?0?27概率论与数理统计
习题解答??1??121 解 （1），当x?0时fX(x)?e?x(x?y)e?ydy??e?x(x?y)de?y 00?22?1??e?x(x?y)e?y2???1?x???yed(x?0?e02?y)（积分时，x是常量） 1?x1?xxe?e(?e?y22??0)?1?xe(x?1) 2当x?0时，fX(x)?0,同理，当y?0时，fY(y)?1?ye(y?1)，当y?0时，fY(y)?0 2因为fX(x)fY(y)?f(x,y)，故X与Y不相互独立.（2）当z?0时，????z102fZ(z)??f(x,z?x)dx??(x?z?x)e?(x?z?x)dx?1?zz1ze?dx?z2e?z 022当z?0时，fZ(z)?022 解 设Xi为选取的第i只电子管的寿命，则Xi～N(160,20)i?1,2,3,4.令2Y?min{X1,X2,X3,X4}则所求概率为P{Y?180}?P{min(X1,X2,X3,X4)?180}?P{X1?180,X2?180,X3?180,X4?180}=（由独立性）P{X1?180}P{X2?180}P{X3?180}P{X4?180}=[P{X1?180}] 而P{X1?180}?1?P?4?X1?????1??(1)?0.??因此P{Y?180}?0.63423解
由于设X1,X2,X3相互独立，均服从指数分布.因而它们的联合密度函数为：?(?1x1??2x2??3x3)???1?2?3e,xi?0,i?1,2,3 f(x1,x2,x3)???其它?0,事件{min(X1,X2,X3)?X2}等价于{X1?X2,X3?X2}，因而所求概率为：
28概率论与数理统计
习题解答P{min(X1,X2,X3)?X2}?P{X1?X2,X3?X2}?x1?x2x3?x2?????0f(x1,x2,x3)dx1dx2dx3??x2??????
dx2?dx1???x2?1?2?3e?(?1x1??2x2??3x3)dx3??0??0dx2???x2?1?2e?(?1x1??2x2??3x2)dx1.?2e?(?1??2??3)x2dx2??2?1??2??3习
四11111111解 （1）E(X)=（-1）×+0×+×+1×+2×=112（2）E(?X?1)=2×+1×+×+0×+（-1）×=11352（3）E(X)=1×+0×+×+1×+4×=.2 解 E(X)=???xf(x)dx??0?0???xe?xdx?1?0E(X2)=??2x0?0f(x)dx??x2e?xdx???x2de?x?
?0??x2e?x??2xe?xdx??2?xde?x??2xe?x?2?e?xdx?2
?3解 因为X，Y相互独立，所以E(XY)?E(X)E(Y)??02x12dx??5ye?(y?5)dy2?2?(y?5)=?yde?[?ye?(y?5)3534证明 显然f(x).?0，?5????(y?5)edy]?54且????f(x)dx?1????1?x2?1dx?1?0???11?0?1. ?2所以f(x)是一个分布密度,但
29概率论与数理统计
习题解答E(X)?????xf(x)dx?1????1?x2?xdx?1111ln(1?x2)0?ln(1?x2)???0不存?2?2在，所以随机变量X的数学期望不存在.5解 A:表示售出设备一年内调换，Y:表示调换费用.则净赢利的数学期望为：p?P(A)?P{X?1}??净赢利的数学期望为：11?04ex4dx?1?e?14,E(100?Y)??(100?yk)pk?(100?0)ek?14?(100?300)(1?e)?14=100e?14?200(1?e)?300e?14?14?200?33.64（元）?1,a?x?b,?6解 直径X～f(x)??b?a所以：?其它.?0,X2??bx22E(S)?E(?)?E(X)??dx444ab?a1x3?=?4b?a3?b?a?12(a2?ab?b2).7 解 （1）X,Y的边际分布见表上，故E(X)?1×0.4+2×0.2+3×0.4；E(Y)=-1×0.3+1×0.3=0.（2）Z的可能取值为1111?1,?,?,0,,.1.2332易知Z的分布律如表为 1故E(Z)=-1×0.2?×0.1 21111?×0.1+×0.1+×0.1+1×0.1=?， 33215解法2 E(Z)???XijYji
30概率论与数理统计
习题解答???ijYjXi??1?1?.2??0.1??0??0.1??0??0.3??0.1??0.1??0.??1.15222（3）E(Z)=E(X?Y)?E(X)?E(Y)?2E(XY)?1?0.4?4?0.2?9?0.4?1?0.3?1?0.3?2E(XY)?5.4?2E(XY),
XY的可能取值为-1，-2，-3，0，1，2，3.且有如表的概率分布：E(XY)=-1×0.2+（-2）×0.1+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.2
所以E(Z)=5 解法2
E(Z)?2(X?Y)??ij ij=(1?1)?0.2?(2?1))?0.1?(3?1)?0?(1?0)?0.1?(2?0)?0?(3?0)?0.3 +(1?1)?0.1?(2?1)?0.1?(3?1)?0.1?5 8 解：令Z1?max(X,Y),则Z1的取值为0，1，222222222P{Z1?0}?P{max(X,Y)?0}?P{X?0,Y?0}?P{X?0}P{Y?0}?P{Z1?1}?1?P{Z1?0}?3, 41, 4故：E(Z1)?E(max(X,Y))?0?1331?1??,类似可求得E(min(X,Y))?. 4444?x23??012ydy?4x,x?(0,1),9解 fX(x)???其它.?0,?122??y12ydx?12y(1?y),y?(0,1),fY(y)??
31概率论与数理统计
习题解答114所以E(X)?xfX(x)dx?4x4dx?. 00??5E(Y)??yfY(y)dy??12y3(1?y)dy?00113 51 210E(XY)??100?xxyf(x,y)dydx??10100?xxy12y2dydx?10E(X2?Y2)??x2fX(x)dx??y2fY(y)dy??4x5dx??12y4(1?y)dy 0y=2216??. 3515??1?e??x,x?0,10解: X,Y的分布函数为F(x)??则Z?max(X,Y)的分布函数 ??0,x?0.Fz(z)?P{Z?z}?P{max(X,Y)?z}?P{X?z,Y?z}?P{X?z}P{Y?z}?F2(z)??2?(e??z?e?2?z),z?0?(z)??于是Z的密度函数为fZ(z)?FZ ?z?0?0,从而E(Z)??0??2?(e??z?e?2?z)zdz?3 2?11解：设随机变量X表示取得合格品以前已取出的次品数，则X的可能取值为0，1，2，3；下求取这些可能值的概率，易知939?0.75,P(X?1)???0.204,3219P(X?2)????0.041,P(X?3)?????0.1109P(X?0)?由此可得：EX?0?0.75?1?0.204?2?0.041?3?0.005?0.301，EX2?0?0.75?1?0.204?4?0.041?9?0.005?0.413，DX?EX2?(EX)2?0.413?0.,DX?.322?0.568.12 解
E(X)=?kqk?1?k?1?p?p(1?2q?3q2??)(q?1?p)???p1q23??
=p(q?q?q??)?=p?=?1?q?(1?q)2p. ??32概率论与数理统计
习题解答E(X)=2?kk?1??2qk?1?p?p(?kqk)?k?1??(q?1?p)???1qk?1k?
=p(q?kq)?p[q(?q)?]??p[q()?]?=p?2??1?qk?1k?1?(1?q)?(1?q)2?2(1?q)qp(1?q)1?q?p??2 其中“′”表示对q的形式导数.(1?q)4(1?q)3p所以D(X)?q2p13 解因为P{X?1}?P{X?2},故有：?1!e????22!e??，故??2，所以：E(X)?2,D(X)?2.14证明：因为E{(X?c)}?D(X)?E(X)?2cE(X)?c?E(X)?E(X)
=c?2cE(X)?[E(X)]?[c?E(X)]?0.
所以D(X)?E{(X?c)},对于c?E(X).222222222?15解 E(X)????0?x22???
??x22?x22????ex2?dx????0???x22?xde
=-xe?+??0?e2?2?dx?2?????0??12???x22?2edx?2????2????2??12??32?x22?edx??2?x22?2?E(X)????0
??x?x22?2?e?dx????0??xde2?
33概率论与数理统计
习题解答?x22???0=?xe2?+2??0???x22?2xe?dx??2????02???x22?2ed(?x22?2) ??=?2?2e2?0?2?2. ?x216解：由正态分布与均匀分布的方差知(b?a)2164E(X)?0,D(X)?4,EY?2,D(Y)???, 12123由于X与Y相互独立，因此2X与3Y也相互独立，从而D(X?Y)?D(X)?D(Y)?4?416?,33D(2X?3Y)?D(2X)?D(3Y)?4D(X)?9D(Y)?28,41E(X?2Y)2?2E(X2)?2E(X)E(Y)?4E(Y2)?8?4(?4)?29 3317 解 (1)记X?5?Xi?1i5i?X1?X2?X3?X4?X5, 则E(X)?5?E(Xi?1)?200?240?180?260?320?1200D(X)??D(Xi)?225?240?225?265?270?1225i?1即X～N(1200,35).(2)X?2?Xi?15i～N(1200,35).所以 2?X???T?1200?P{X?T}?P????????0.99?(查表)?(2.33)353535???? T?,?T?35?2.33?(kg)3534概率论与数理统计
习题解答a?b?EX??3,???b?4,2??a?b?6,,????18解(1)由已知有:?所以: 22a?2,??DX?(b?a)?1?(b?a)?4??123??1?,2?x?4,
f(x)??2??0,(2) P{X?2}?0 (3) P{1?X?3}?1. 219解:因为Y?n?X,所以X与Y成负线性关系,从而?XY??1;或直接计算: ?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y),D(Y)?D(n?X)?D(X),Cov(X,Y)?E[(X?E(X))(n?X?n?E(X))]??E(X?E(X))2??D(X) 故?XY??1.20
解: D(2X?Y)?4DX?DY?2Cov(2X,Y)?4DX?DY?4Cov(X,Y) ?4DX?DY?4?XYDXDY?4?25?16?4?0.4?25??148,D(X?2Y)?DX?4DY?4Cov(X,Y)?25?4?16?4?0.4?25??57 21证明：显然E(XY)?1?1?P(AB)?P(AB)E(X)?P(A),E(Y)?P(B),而由?XY?0?E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}?0,?E(XY)?E(X)E(Y)?0,?E(XY)?E(X)E(Y),?P(AB)?P(A)P(B)即X和Y相互独立. 即：任意两个服从0―1分布的随机变量若不相关，必相互独立.
35概率论与数理统计
习题解答?x0?x?1,???x1dy?2x,22解 fX(x)???其它.?0,?11dx?1?y,?1?y?1,?fY(y)???y?0,其它.?故E(X)??012x2dx?12,E(Y)??(1?y)ydy（关于y奇）=0?13E(XY)??1xxdxydy(关于y奇)?0 0?x?故Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0.?1?,0???0, 23证明:因为X?cos?,Y?sin?,?～U(0,2?),即f(?)??2??其它?0,所以
E(XY)?12??02?cos?sin?d??0,12?22?E(X)?12??02?cos?d??0,E(Y)?2?0sin?d??0,故Cov(X,Y)?0,从而?XY?0,但X不独立.?Y?1,即表示X,Y有依赖关系,故两者并?1,24解(X,Y)的密度为f(x,y)???0,0?x,y?1,其它.，于是10E(XY)??E(Y)??1010?011xydxdy?14E(X)???01xdxdy?12，?0ydxdy?1， 2所以：Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0.，又因为D(X)?0,D(Y)?0 故：?XY?0．
36概率论与数理统计
习题解答 注：其实由于区域D为矩形域，且(X,Y)服从D上的均匀分布,从而X与Y独立，故X与Y不相关，即?XY?0．25 解 E(Z1)?(???)?,E(Z2)?(???)?,E(Z1Z2)?E(?2X2??2Y2)，由D(X)?E(X)?[E(X)]?E(X)?D(X)?[E(X)]????同理E(Y)????,故E(Z1Z2)?(???)(???)因X,Y相互独立，故D(Z1)??D(X)??D(Y)?(???)?同理D(Z2)??D(X)??D(Y)?(???)? 故?ZZ?12E(Z1Z2)?E(Z1)E(Z2)D(Z1)D(Z2)(?2??2)(?2??2)?(?2??2)?2?2??2??2. (?2??2)?2???226证明 对?t?R,有E(V?tW)222?0,222即tE(W)?2tE(VW)?E(V)?0, 2这是以E(W),E(VW),E(V)为系数的二次曲线问题q(t)?at?bt?c?0???[2E(VW)]2?4E(W2)E(V2)=4[E2(VW)?E(W2)E(V2)]?0,即[E(VW)?E(W)E(V)]27
P{5200?X?9400}?1?P{X?5200}?P{X??1?P{(X?5200)?(P?9400)}?1?PX??(由切比雪夫不等式) ?1?7002?. 99???e??x,x?0,28
解 X1,X2,?X16独立同分布于指数分布f(x)??则 ??0,x?0.37概率论与数理统计
习题解答??
E(Xi)??xe??xdx??xde??x 00?????x1??x?1
??xe??x??edx??e00?, 0???E(Xi2)???0??x2e??xdx???x2de??x 0??x2e??x?0?2??0xe??xdx??2?xe??x?0???02?e??xdx?2?2,D(Xi)?E(Xi2)?[E(Xi)]2?已知E(Xi)?2?2?1?21?1?2
i?1,2,?,16. 1??100?D(Xi)??2?1002,16???i?1Xi?0??由定理4 P{?Xi?1920}?1?P??? 400?100i?1????16=1-?(0.8)（查表）≈1-0.929
解 设第k次轰炸命中目标的次数为Xk(k?1,2,?,100),则Xk为独立同分布系列,且??E(Xk)?2,?2?D(Xk)?1.69,命中目标的总次数X??Xk,由独立同分布k?1100100的中心极限定理
k?1?Xk?n?n(近似)～N(0,1),因此,所求概率为?180?100?2X?100??P{180?X?220}?P?????1.69?1.69???1.69??(202020)??(?)?2?()?1?0.30
解 设每部分的长度是一个随机变量Xk(k?1,2,?,10),且X1,?,X10相互独立同分布, X?k?1?Xk为总长度,又 10n?10,??E(Xk)?2,?2?D(Xk)?0.052,n?0.05,由独立同分布的中心 38概率论与数理统计
习题解答 极限定理
k?1?Xk?n?n?(近似)～N(0,1),因此,产品合格的概率为 10?X?200.1?P{X?20?0.1}?P?????0.050.05??X?20?P??0.??2?(0..471410031
解 由独立同分布的中心极限定理 P{?Xi?90}? i?1????100?90??i?1Xi??10)?0.7422
1?????1??(240??X?i??i?1??32
解：设老人死亡数为X,X～b(n,p),n?10000,p?0.017，保险公司亏本当且仅当00,即X?200，于是，由棣莫佛―拉普拉斯定理X?N(np,npq) 故公司亏本的概率：P{X?200}?1??(200?npnp(1?P))?1??(2.321)?0.01017．33 解 （1）X：表损坏数，则X～b(100,0.1),由定理6??X?1015?10P{X?15}?P?????(3.5)?0.?0.9?0.1?0.9??（2）X：表损坏数，则X～b(n,0.1),设N为0.2n取整，由定理6?X?0.1nN?0.1n??N?0.1n?P{X?N}?P??????????0.95 0.3n??0.3n?0.3n?查表得?(1.65)?0.95??(?1.65)?0.0539概率论与数理统计
习题解答?n??N?0.1n??0.2n?0.1n???0.95??(1.65)
n?25, ?????????????????0.3n??0.3n??3?34解 （1）由定理4 P{4.9??5.1}?P{4.9?80??80i?1Xi?5.1?80} ???8=P???0.3??=???80i?1Xi?80?0.5?0.3???? ?0.3??88??8???8???????=2????1?2?(1.633)?1（查表） 242424???????2?0..8968（2） E(Xi?Yi)?0,D(Xi?Yi)?2?0.3,??8?P{?0.1???0.1}?P??80?2?0.3???2??2??2???????????2??????????1 3?????3?????? ?2?0.3?2?0.3??i?180(Xi?Yi)8=2?(1.155)?1(查表)?2?0..7498.35解
P{???1}?P{?1????1}???n?P???20n??nX?n?i?20n???(由定理4)20n??n?n???n?n????????2???????20??20??20??1?0.95.???????n???0.975?(查表)??(1.96)?n?(1.96?20)2?7. ????20???
题1、 不对。服从?(n)。40 2概率论与数理统计
习题解答2、 经验分布函数满足分布函数的所有性质，所以是分布函数。3、 总体均值与方差反映的是总体的数字特征，样本均值与样本方差反映的是抽样结果的数字特征。一般地，在统计学中，我们经常用样本均值与样本方差来对总体中未知参数如期望及方差等进行估计。4、 D(X)?5、 t(9)。 4?0.1，n至少为40。 n
五1、X?21(4.5???4.0)?3.6 101nS?(Xi?X)2?2.95 ?n?1i?12、解：设所需样本容量为n，则：??PX?70?P?
???1?P? ??
?1??(????0.9
55查表得，?1.29，n?41.6025，取n?42 5?t(n?1)，n?16，S?2.309 3、解：由于?未知，需用t统计量．
?2.309??0.5773 4?X???PX???0.4?P?0.69 2
???0.5773???P?t?0.692??1?2P?t?0.692??1?2?0.25?0.541概率论与数理统计
习题解答4、解：记容量分别是10，15的两独立样本的均值分别为X和Y， 则：X?Y~N(0,33?)，从而 1015??PX?Y?0.3?P?
??2??1?0.32561n1n25、解：（1）??0时，样本方差S??(Xi??)?Xi2 ?ni?110i?12??2S2?2??2(n)?102?X??4??102??i?1i?2P??Xi?4??P???P??16.0??0.10 ??220.5??i?1???????1n(Xi?X)2 （2）?未知时，S??n?1i?12??2(n?1)S2?2??2(n?1)10?10??1P??(Xi?X)2?2.85??P?2?i?1????(Xi?X)2?i?12.85?? 0.52??P??2?11.4??0.256、解：（1）X分布律为?P?X?x??X1,?,Xn相互独立． ?xx!e??
(x?0,1,2?)42概率论与数理统计
习题解答?P?X1?x1,X2?x2,?,Xn?xn???P?Xi?xi?i?1n
n??i?1n?xixi!e =???i?1n?xixi!e=????xi?x!ii?1i?1n?e?n?
(xi?0,1,2?)
（2）E(X)?EXi??D(X)?211DXi?? nn22?nn?1n22??ES?E?(X?nX)?D(x)?E(x)?D(X)?E(X)???iii?n?1??n?1?n?1i?1?????
nn?(???2)?(??2)?? n?1n?1n
27、解：X?
N(?,?)．fX(x)??(x??)22?2，???x???．（1）X1,X2,?,Xn相互独立，于是(X1,X2,?,Xn)的联合概率密度f(x1,x2,?,x10)?fX1(x1)?fX2(x2)???
fXn(xn)n?i?12?e?(xi??)2
n（2）X也服从正态分布，EX??,DX?于是，X的概率密度为：
12?． nf(x)?
?(x??)22?2n?1e243概率论与数理统计
习题解答8、解：（1）xi??N(0,1)，且相互独立，i?1,2,?,n?mn?m故：n??i?1ixi22?1n?mi?1?2?x2i??2(n?m)
（2）?xi?1?N(0,n?2)，故n
U??Xi?1i?N(0,1)．n?mV?i?n?1??nXi22??(m)，U，V相互独立，有 ?Xi
?n?t(m) （3）??i?1xi22??(n)，2n?mi?n?1??xi22??2(m)，且它们相互独立．由F分布定义，有．m??Xi?1n?mn2i?2(?Xi2)nnn??Xi2i?n?1(?Xi22)i?n?1i?1n?m?F(n,m)．
1、2、3、4、
题 不一定。矩估计不唯一。 不一定。均匀分布U(0,?)的参数?的极大似然估计是一个顺序统计量。 ?2)?D(??2?(E??)?(E??)2,D???0。从而E??)2??2 不是。E(?区间（(x?z?2x?z?
2，2z?2224z???0l， ?n?2l2。 44概率论与数理统计
习题解答5、不唯一。若置信区间以样本均值的观察值为中心的对称区间，其长度最短，误差范围最小，估计精度最高。习
六1.解：设x1,x2,?,x8是对应于样本X1,X2,?,X8的样本值，??x?74.002， EX??，EX?x ，??182EX?DX?(EX)????，EX??xi?x2，ni?12222?2??x2?(x)2?1.4?10?6。2.解：EX??xf(x)dx???xe??xdx???
?????21?。n???1??1?1?，从而??EXEXn?Xi?1n??为矩估计量，?i?xi?1n为其矩估计值。i3.解：似然函数L(?;x1,x2,?,xn)?1(2?)n2?e1(xi??)22i?1?n，n1n取对数，lnL??ln(2?)??(xi??)2，22i?1dlnL1n???2(xi??)(?1)?0。 对?求导，令导数为0，得d?2i?11n???xi?x。 ??ni?14.解：似然函数L(x1,x2,?,?)??nnn?xii?1xi!e???e?n??i?1n?xixi!，取对数，lnL??n???xi?ln???ln(xi!)，i?1i?145概率论与数理统计
习题解答ndlnLx对?求导，令导数为0，得??n??i?0， d?i?1?1n???xi。 ni?1n1????的极大似然估计值为：??xi。 ni?1n5.解：因为L(x1,x2,?,p)??p(1?p)xi?1=pn(1?p)i?1i?1n???xi?n?pn(1?p)nx?n，dlnLnnx?n???0。 dpp1?p???p的极大似然估计量为：p1。 X2(lnx??)?11?2?2???e, x?06.解：X的概率密度函数为f(x;?,?2)??2??x ?0
, x?0??1n2?(lnx??)似然函数为L(?,?)?(2??)(?xi)exp???， i2?2?i?1i?1??22??1n2nnn112lnL??ln(2??)??ln?22xi2?i?1?(lnxi?1ni??)2，??lnL1n?????2?(lnxi??)?0?i?1 ?n?lnL?12????(lnx??)?0?i224?2?2?i?1???解上述方程，得?，?2的极大似然估计量为?1n1n1n2???lnXi，???(lnXi??lnXi)2。 ?ni?1ni?1ni?17.解：①EX??x?(??1)x?dx?(??1)?x??1dx?0011??1， ??246概率论与数理统计
习题解答?代?，得：?以x代EX，?n??12x?1???，?。 ??2?2?x?②L(x1,x2,?,?)??(??1)xii?1???(??1)n?xi， i?1n?lnL?nln(??1)???lnxi，i?1ndlnLn???lnxi?0， d???1i?1n??得极大似然估计为：?n?lnxi?1?1。 i8.解：①EX??x???C?xC????(??1)dx?C????x??dx?C??????1C， ???C， 以x代EX，?代?，得：x???1???矩估计为?x。 x?Cnn?ni?1②L(x1,x2,?,?)???C?(?xi)?(??1)，lnL(?)?nln??n??lnC?(??1)?lnxi，i?1ndlnLn??nlnC??lnxi?0。 d??i?1n???极大似然估计为?n?lnxi?1。 i?nlnC9.解：①总体X服从二项分布，X~B(m,p)。????mp?，得矩估计为p?代p，x因EX?mp，以x代EX，p47 x。 m概率论与数理统计
习题解答 ②L(x1,x2,?,p)??Cmp(1?p)xii?1nnxinn?xim?xi???Cni?1xim?p?i?1nxi?(1?p)i?1?(m?xi)n， lnL(p)??lnCm?(?xi)lnp??(m?xi)?ln(1?p)，i?1i?1i?1dlnL1n1n??xi??(m?xi)?0， dppi?11?pi?1即：1n(m?x)n??0。 p1?p???极大似然估计为px。 m10.解：①EX?0??2?1?2?(1??)?2??2?3?(1?2?)?3?4?1x??(3?1???3)?2 8??1。 以x代EX，??代?，得?的矩估计值为?4②L(?)?L?X1?3,X2?2,?,X8?3???2??2?(1??)???2?(1?2?)4 2?4?6(1??)2?(1?2?)4，lnL?ln4?6ln??2ln(1??)?4ln(1?2?)，dlnL628????0， d??1??1?2?111解得：?1,2?(7?)，但??(7?)?不合题意。 12212??1(7?)。 故?的极大似然估计值为?1211.解：设总体X的均值EX??，方差DX??2，则 ①E(T1)?111EX1?EX2?EX3??， 63248概率论与数理统计
习题解答212EX1?EX2?EX3??， 555111
E(T3)?EX1?EX2?EX3??。 333
E(T2)??T1，T2，T3均为?的无偏估计。 7?1??1??1?②D(T1)???DX1???DX2???DX3??2， 18?6??3??2?9?2??1??2?
D(T2)???DX1???DX2???DX3??2， 25?5??5??5?31?1??1??1?
D(T3)???DX1???DX2???DX3??2??2。 93?3??3??3??D(T3)?D(T2)?D(T1)
?T3较为有效。n?1?n?12?12.解：E?c?(Xi?1?Xi)??c?E(Xi?1?Xi)2i?1?i?1??c?E(Xi?1)?2E(Xi?1Xi)?E(Xi) 22i?1n?1???c??2??2?2?2??2??2?2c(n?1)?2，i?1n?1??由2c(n?1)?1，得c?1。 2(n?1)1n1113.解：①因为E(X)?E(?Xi)?n1?1??1， n1i?1n11
E(Y)?E(n2?Yi)?i?1n21n2?2??2， n2所以E(X?Y)?EX?EY??1??2，X?Y是参数?1??2的无偏估计量。49概率论与数理统计
习题解答 ②因为?(Xi?X)?(n1?1)S1，?(Yi?Y)2?(n2?1)S2， 222i?1i?1n1n2其中S1为X1,X2,...,Xn1的样本方差，S2为Y1,Y2,...,Yn2的样本方差， ?n1?2且E??(Xi?X)2??E(n1?1)S1?(n1?1)?2， ?i?1?22???n2?2
E??(Yi?Y)2??E(n2?1)S2?(n2?1)?2。 ?i?1???n2?n1?222?E??(Xi?X)??(Yi?Y)2??(n1?n2?2)?2，即E(Sw)??2，从而Sw是i?1?i?1??2的无偏估计量。???，E????， 14.解：E?12??k??Ek1??，故有k1?k2?1。 122??k1?k2?2222??k?????又Dk1?122?k1D?1?k2D?2?2k1?k2D?222??3k2?2k?1D??， ?2k1??1?k1?D?2112??????????为使上述方差最小，3k1?2k1?1取最小。d3k1?2k1?112?6k1?2?0，得k1?，k2?， 令dk1332?2??6k1?2???6?0，?k1?1为极小值。 31?2???k??从而有??2是形如k1?122这类线性估计中方差最小的无偏估计。 1?33115.解：??1.2?3.4?0.6?5.6??2.7。 4①由于??3已知，采用随机变量V?X??~N(0,1)， ?0n50概率论与数理统计
习题解答????置信区间为?X?0?U?,X?0?U??，nn22???1???0.99，??0.01，???U???0.995，U0.005?2.58。?2??置信区间为?2.7?1.5?2.58 , 2.7?1.5?2.58????1.17,6.57?。1n142②S?(Xi?)?(Xi?X)2?2.27742， ??4?1i?1n?1i?12?2未知，采用随机变量t???~t(n?1)， Sn1???0.95，??0.05，t0.025?3??3.182，SS??故所求置信区间为??t0.025?3?,?t0.025?3?????0.923,6.323?。44??16.解：?1000.25，S2?6.932。?SS?????,X?t?n?1①?未知，则关于?的1??的置信区间是?X?t?n?1 ?，nn22??2依题意，1???0.95，t??n?1??t0.025?11??2.201，2St??n?1??1.673。 n2?关于?的置信度为95%的置信区间为?998.577,?。??22?(n?1)S(n?1)S?②?未知，?2的置信度为95%的置信区间是?,?，???(n?1)?1??(n?1)?2?2?查表得：??(n?1)??2220.025(11)?21.92，?21??(n?1)??220.975(11)?3.816，故?2的置信度为95%的置信区间为?3.479,19.982?。11212??X?。 17.解：X??3100???，S??i11i?112
51概率论与数理统计
习题解答 ①??0.05，n?12，t0.025?11??2.201。关于?的置信度为95%的置信区间为375.57??2.201 , ??2818 , 3295?。 ????②??0.05，?20.025(11)?21.92，?20.975(11)?3.816，关于?2的置信度为95%的置信区间为?67? ,??70752 , 405620?。 ??3.82??21.9218.解：n1?n2?10，t0.025?18??2.1009。设施磷肥的亩产总体为X，不施磷肥的亩产总体为Y，则X?600，Y?570， Sw???Xi?1n1i?X????Y?Y?2ii?1n22n1?n2?2?.111， 10?10?211??0.447。 n1n2? ??1??2?的置信度为95%的置信区间为??600?570??2.100?0.447?22.111???9.236 , 50.764?。19.解：设男学生身高为X，女学生身高为Y，则X~N(?1,?2)，Y~N(?2,?2)，1???0.95，X?1.73，Y?1.66，n1?30，n2?15， Sw???Xn1i?X????Y?Y?2in22n1?n2?2?29?0..0362?0.0353， 30?15?211??n1n211??0.316， 301552概率论与数理统计
习题解答 t0.025?43??2.0167，从而得??1??2?的置信度为95%的置信区间为?0.0457 , 0.0925?。20.解：XA~N(?A,?A)，XB~N(?B,?B)， 2222S而A2A2?SBB(nA?1)SA?A2nA?1(nB?1)SB?B2(nB?1)22~F(nA?1,nB?1)， 知SA?0.5419，SB?0.6065，1???0.95，nA?nB?10，S查表得F0.025?9,9??4.03，A2?0.8935。 SB22于是得方差比?AB的置信度为95%的置信区间为?0.222,3.601?。 2221.解：n1?8，n2?10，??0.05，F0.025?7,9??4.20，F0.025?9,7??4.82，X?140.5，Y?139.9，S1?2.563，S2，1?1.378， S22故?12的置信度为95%的置信区间为?S12S12???SS?2,2???0.328,6.642?。 ?4.20??4.82???22.解：因?、?2未知，故(X??)~t(n?1)。 SX?41117，S?1347，1???0.95，n?16，t0.05?15??1.7531，53概率论与数理统计
习题解答 于是，得到?的置信度为95%的单侧置信下限为??X?t??n?1??n?40526。23.解：①?1000.25，S2?6.932，1???0.95，??0.05，t0.05?n?1??t0.05?11??1.7959。于是，得到?的置信度为95%的单侧置信上限为?X?t0.05?11??S②?.?。 12?2?(n?1)??20.05(11)?19.675，95%关于2?2的置信度为?的单侧置信下限为?n?1?S2?2??(11)
11?6.932。 ?3.第
题1. 在统计假设检验中,如何确定零假设H0和备选假设H1?答 在实际问题中, 通常把那些需要着重考虑的假设视为零假设. (1)如果问题是要决定新提出的方法是否比原方法好,往往将原方法取为零假设H0,而将新方法取为备选假设H1;(2)若提出一个假设,检验的目的仅仅是为了判别这个假设是否成立,此时直接取此假设为零假设H0即可.从数学上看,原假设H0与备选假设H1的地位是平等的,但在实际问题中,如果提出的假设检验仅仅控制了第一类错误的概率,那么选用哪个假设作为零假设H0,要依据体问题的目的与要求而定,它取决于犯两类错误将会带来的后果,一般地可根据以下三个原则选择哪个作为零假设H0: (1)当目的是需要从样本观察值取得对某一论断强有力的支持时, 54概率论与数理统计
习题解答 把这一论断的否定作为零假设H0; (2)尽量使后果严重的一类错误成为的一类错误; (3)把由过去资料提供的论断作为零假设H0,这样当检验后的最终结论为拒绝H0时,由于犯的一类错误的概率被控制而显得有说服力或造成危害较小.
2. 假设检验中,无论你作出拒绝原假设或接受原假设,都有可能犯错误,是这样的吗?答 是.无论采取什么样的决策(取或舍)都可能是正确的,同时又都可能犯错误的.既然如此,还要“假设检验”干什么?!我们注意到:概率论本身就是研究随即现象的,因此它的结论无不带有随机性.正如我们说“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生”,这个“几乎”就带有随机性.我们对原假设作出拒绝还是接受的判断,都是“小概率事件原理”,因此犯错误和不犯错误的可能性都是存在的,若二者的可能性各占一半(都是50%),那么“假设检验”确实没有任何价值.事实上,犯错误的概率是很小的,这样,“假设检验”才成为检验某种估计(或称为猜想)可靠程度的一种优良方法.
3. 怎样合理地选取显著性水平??答 如果假设H0成立,但由于样本的随机性,仍有作出拒绝H0的结论,即犯第一类错误.显著性水平的一个意义是给出了一个犯第一类错误的概率,即H0成立,?相应的临界值为C,则统计量满足不等式t?C的概率为?,另一方面,?的选定又是对小概率事件小到什么程度的一种抉择.?越小,而事件发生了,则拒绝H0的可信程度越高,所谓显著性即是指实际情况与H0的判断之间存在显著差异.?的选定通常取较小的值,如(0.05,0.01)等, 但在某些实际问题中,如药品检验将不合格视为合格,即犯第二类错误的后果更严重时,通常?取较大(如0.1),使第二类错误的概率变小,因为犯两类错误的概率在样本容量固定时有此消彼涨的关系.
4. 检验零假设H0时,对于相同的统计量及相同的显著性水平?,其拒绝域是否一定惟一? 答 不一定.例如,总体X~N?,?0,?0已知,?X1,X2,...,Xn?为样本,在显著性水平2????0.05下,要检验H0:???0,55概率论与数理统计
习题解答2若H0为真,注意到~N?0,?0,
则有P??0?1.96?????0.05,此时拒绝??域为对称区
??,?0?1.96???0?1.96???,又
因P??0?1.65???0.05故拒绝域可选
为??0?1.65???
?或???,?0?1.65?由于拒绝域不惟一,取哪一个作为拒绝域就需要按实际问题来定,比如检验H0:???0,是指某批日光灯管的平均使用寿命,显然H0:???0都合标准.于
是拒绝域取为??,?0?1.65??较好,此时相当于取被选假设为H1:???0.习
七 1. 解: 设从包装机产品中随机抽取一袋葡萄糖的重量为X,根据题设X~N(?,0.015),考虑假设H0:???0?0.5,即假设H0表示包装机工作正常,由于??0.015已知,故用U检验. 对规定显著性水平??0.05,查正态分布表有,u0.05?1.96,于是H
0的否定域为2|u|??1.96经计算?0.509,n?9,而由条件知??0.015,?0?0.5,因
而u?5?1.8,由于|u|?1.8?1.96,所以不能否定H0,即认为这天包装机工作正常.
2. 解: 按题意需检验H0:???0?3.25,H1:???0,则H0的拒绝域为
t??t?2?n?1?, 代入??0.01,?3.252,S?0..?4.6041
算得t??0.343?4.6041,t未落入拒绝域中,故接受H0, 即认为这批矿砂的镍含量为3.25.
56概率论与数理统计
习题解答3. 解: 设考生成绩X?N??,?2?,?2未知,今欲检验H0:??70,备择假设H1:??70,由于?2未知,
故选择统计量T??t?35?,对于检验水平??0.05,求临界值?,设在H0成立的条件下
,T?P?T????0.025,即P?T????0.975,由附表得??2.0301,从而拒绝域为???,?2.0301???2.0301,???,对于抽样值x1,...,x36,x?66.5,S?15,计算得T?1.4不在拒绝域内,故不能拒绝H0,即认为考生平均成绩为70分.4. 解: 检验的假设为: H0:??1000,H1:??1000, 则H0的拒绝域为
U???Z?, 代入??0.05,?950,??25,u0.05?1.645算得
u???2.5??1.645, 故在??0.05下,u落在拒绝域中,所以拒绝H0,即认为这批元件不合格.5. 解: 本题是在??0.05下检验假设H0:?0?8,H1:?0?8,
检验统计量为t?
拒绝域为t???z0.05,代入?6.5,s?2,?0?8,得t??7.5??z0.05,拒绝H0,故校长的看法是对的.n?1?S2?~?2?n?1?,根据拒绝6. 解: 由题设,原假设H0:???.选择的统计量??222
2?0域的形式,可知(1)属于单侧检验中右边检验的拒绝域,故对应的备选假设为:H1:???0,而(2)属于双边检验的拒绝域,故对应的备选假设为: H1:???0.
572222概率论与数理统计
7. 解: （1）H0:???0?10600,H1:??10600,选取统计
量t?,当??10600时,t~t(9).
对于??0.05,查t分布表知P?t?1.833??0.05,计算统计量
的值t??2?1.833,拒绝H0,即认为新工艺生产的缆绳抗拉强度有较高显著提高.（n?1）S29S2（2）H0:???0?82,H1:??82,选取统计量???2,当?028222222222,对于??0.05,查?分布表知 9）?2?822时,?2??（P{?2?2.7}?P{?2?19.02}?0.025,即?1??0.975(9)?2.7,22?2??0.025(9)?19.02,22得到拒绝域为R?{??2.7或??19.02},计算统计量的值??29?6992?9.36?R,822不能认为新工艺生产的缆绳抗拉强度的方差比旧工艺有显著变化.??:?2??02?0.03和H0:???0?7,已知8. 解: 问题归结为在??0.05下检验设H01?2?2?6.97,S2?0.0375,n?10,?0?0.03,?0?7.（1）首先检验假设H0?1?（n?1)S22:???0?0.03,选择统计量????（n?1), 2222?计算?2
n?12??2(n?1)?0.03?19.023?0.0?2
n?1?12??2(n?1)?0.03?1??2.7?0.009?S2,故接受假设H0,认为方差为0.03. 9?2?（2）检验假设H0:???0?7,因方差已知,故选用统计
N(0,1),z?1.96?0.107,又??0?0.03?0.107,所以接58概率论与数理统计
习题解答 受H0,认为均值为7,故认为生产正常.
9. 解:设加工零件长度为X,X?N(?,?),?,?均未知.(1)检验假设:H01:???0?100,H11:???0?100,用t检验法,当H01成立时,
统计量t?由?101,n?10,S?2.
计算得t?2222?2??t(n?1),拒绝域为t?t?(n?1), 2?1.5811.对(??0.05),由t分布表查得t0.025(9)?2.2622. 因为t?1.2.接受假设 H01,即认为 ??100.(2)检验假设 H02:???0?2,H12:???0?2,用? 检验法,当H02成立时,统计量??(n?1)S2?20??2(n?1),拒绝域为????(n?1),计算得??2222n(n?1)s2?029?222?2?9,由(??0.05),查得?0.05(9)?16.9, 222因为?n?9?16.9,故接受假设H02,即认为 ??2.综合（1）,（2）可以认为该日机器工作状态正常.
10. 解: H0:??0.11,H1:??0.11 2222n?1?S2?由于?,?未知,且总体服从正态分布.取??为检验统计量. 22?0拒绝域为????222?19?与?2??12??2?19? 1?n21?n22?2?2S?X??X?20,??13.4386 ??ii????n?1?i?1?19?i?1?59概率论与数理统计
习题解答由于?0.025?19??32.852,?0.975?19??8.907,而8.907???32.825,故接受H0.222
11. 解: 本题是在??0.05下检验假设H0:???0?0.005,H1:???0n?1?S2?2??拒绝域为???n?1? ?22?0这里??0.05,n?9,s?0.007,?0.05?8??15.50728?4.9?10?5???15.68?15.5072.5?10?52显然落在拒绝域中,即在下??0.05拒绝H0,即认为这批导线的标准差显著的偏大.12. 解:
(1) ?499,s?16.031,n?9,t??499?500?0.1871,??0.05,t0.025?8??2.306,拒绝域为t?t0.025?8?,故接受H0,即认为每天每袋平均质量可视为500g. (2)2n?1S???2??028?16.30122??21.258,??0.05,?0.05?8??15.507, 210拒绝域为???0.05?8??15.507.故拒绝H0,即认为该天标准差超过10g.22
13. 解：用X表示产品质量指标X???0,?1,产品为正品产品为次品,于是X~B(1,p,)其参数p就是产品的次品率,我们的问题化为：在显著水平??0.02下,检验假设H0:p?p0?0.05;H1:p?p0?0.05,令Xi???0,第i次抽得的产品为正品,i?1,2,?,400,1,第i次抽得的产品为次品?那么(X1,X2?是,,X400)X的样本,(x1,x2,?,x400)是其样本观测值.选择统计
量U??N(0,1),拒绝域为U?U??2.05. 由题意有n?400,?6032?0.08,400
概率论与数理统计
习题解答 从而U?2.212?2.05,根据方差未知一个总体均值EX的右侧检验法的检验方法,应该拒绝H0,即认为这批产品中的次品率超过0.05,因而不能出厂.注意,如果本例中抽查100件产品,发现有8件次品,其它条件不变,那么
?相比较,结论是接受H0,?1.106,再与U0.02?2.05即认为这批产品的次品率不超过0.05,因而可以出厂.
?1,养猫户的家中有老鼠活动;14. 解: 设X??, 0,反之;?Y???1,无猫户的家中有老鼠活动;?0,反之;,又设养猫户,无猫户的家中有老鼠活动的概率分别为p1,p2,则X~b(1,p),Y~b(1,p),且X,Y相互独立,问题归结在??0.05下检验假设H0:p1?p2,H1:p1?p2,又因n1,n2?100很大,由中心极限定理知~N(p1,p1(1?p1)p(1?p2)),~N(p2,2) n1n2p1(1?p1)p2(1?p2)?)
n1n2~N(0,1) 从而?~N(p1?p2,因为n1,n2足够大,故p1(1?p1)?S1,p2(1?p2)?S2,其中S1,S2分别为总体X,Y的样 61
2222概率论与数理统计
习题解答 本方差,于是在H0成立的条件下,近似有
U?~N(0,1)所以可用此作为双两点分布关于p1,p2的检验的统计量,称为双两点分布总体的u检验法, H0的拒绝域为?u?.由题设,在n1?119户养猫户中有15户家中有老鼠活动,即样本值(X1,X2,...,X119)中有15个1,其余都是0.而在n2?418户无猫户中有58户有老鼠活动,即样本值(Y1,Y2,...,Y119)中有58个1,其余都是0.故1n115??Xi??0.126,n1i?111921n1S?X??0.1111,???in1?1i?121?221n2?Yi?i?1n258?0.139,418 21n2S?Y??0.1198,???in2?1i?1代入统计量得
u??0.?1.96,故接受H0,认为城市养猫与不养猫没有显著差别.
15. 解: 两厂灯泡寿命是否有显著差异可表示为检验假设H0:?1??2,H1:?1??2.由于方差已知,故用U检验法.由2n1?n2?60,?,?12?842,?2?962,u0.025?1.96.得62概率论与数理统计
习题解答u??3.95?1.96,故拒绝H0,即认为两厂生产的灯泡寿命有显著差异.16. 解: H0:?1?2?2,H1:??1?2?2??12?~N??1,?,n1??U?22????124?2??2~N??2,?2~0,?H, 若为真,则???,所以
n2?n2???n1
~N?0,1?,故显著性水平为?的H
0拒绝域为U??U?.17. 解: (1)H0:?12??22H1:?12??22由于?1,?2,?1,?2未知,故采用统计量为F?S1S2,拒绝域为2222F?F?2?n1?1,n2?1??F0.025?5，5??7.15或 F?F1??2?n1?1,n2?1??F0.975?5，5??0.14而F?S1S2?1.10798,由于0.14?F?7.15,故接受H0. (2) H0:?1??2H1:?1??2已检验?12??22,由于?1,?2,?1,?2未知,故采用统计量为
22222n1?1?S12??n2?1?S2?t?其中Sw?,n?n?212拒绝域为t?t?2?n1?n2?2??t0.025?10??2.2281,2?62?6代入?0.15,n1?6,n2?6,s1?7.866?10,s2?7.1?10,得
63概率论与数理统计
习题解答 t??1.1,故接受H0.18. 解: H0:?12??22H1:?12??22由于两总体均服从正态分布,又?1,?1,?2,?2未知,故检验统计量为F?S1S2.拒绝域为2F?F??n1?1,n2?1??F0.05?59,39??1.64,代入S12?15.46,S2?9.66 2222得F?1.60?1.64,故接受H0.
19. 解: 按题意需检验假设e???iH0: 总体X服从泊松分布F?X?i??,i?0,1,2,... i!因在H0中参数?未具体给出,所以先估计?.由极大似然估计法得???1,当H成立时,对于P?X?i?有估计 ?0e?1Pi?P?X?i??,i?0,1,2,... i!fi2?n?1.46068, 由n?100,k?4,r?1,经计算得???npi?1i2k拒绝域为???0.05?k?r?1?, 22因?0.05?k?r?1???0.05?4?1?1???0.05?2??5.991?1.46068,故在水平??0.05下222接受H0,即认为X服从泊松分布.20. 解: 检验假设H0:X~N60,15作?检验计算表如下: 2?2?
?1?P?20?X?30????其中p2?30?60??20?60???????0.019,?15??15??i,i?2,3,...8,??206..7593, 类似可得p而?0.1?8?1???0.1?7??12.017?6.7593,22故接受H0,即认为成绩服从正态分布N60,1521. 解: 本题是在下??0.1检验假设?2?.H0:?1??2,H1:?1??2将观察得到的数据混合,并按自小到大次序排列,并求出各个元素的秩如下:R1的观察值r1?2?4?5?6?7?24,n1?n2?5,??0.1,
65概率论与数理统计
习题解答 查表知CU(?)?CU(0.05)?19,CL?)CL(0.05)?22?,即拒绝域为r1?19或r1?36,36这里r1?24未落入拒绝域中,故接受H0,即认为没有显著性差异.
现在n1?10,n2?11,n?21,?R1??110,k?2, 2?t(tii?122i2?201. ?1)?3?(9?1)?2?(4?1)?30,按教材第七章(3.9)式得?R1当H0为真时近似地有U?R1??R1?R~N(0,1). 1拒绝域为u??u0.05?1.645.现在R1的观察值为r1?121,得u?0.776?1.645.故接受H0,认为两位化验员所测得的数据无明显差异.
题1.答:方差分析与回归分析都是考察所研究的某一指标与试验因素(条件)的关系的.方差分析考察的是因素对指标的影响是否显著,回归分析考察的是因素的取值与指标的取值存在一种什么样的相关关系.因素可以分为两大类,一类是属性的,一类是数量的.属性的因素一般无数量大小可言,只是性质的不同,如种子的品种,机器的型号,材料的品质,加工的工艺等等.数量的因素可以在一定范围内取值,如人的身高,体重,试验的温度,产量,产品的合格率等等.也有本来是数量而属性化的,如施肥量可以是某个数量,但有时将它局限在某些范围内而分为高,中,低几个层次,就属性化了.当所考虑问题的因素是属性的时,问题属于方差分析的范畴;当所考虑的因素是数量时,问题属于回归分析的范畴.
2.答:方差分析的种类很多.在不同类型的方差分析中,因素可以增加或减少,数据结构可以 66概率论与数理统计
习题解答 发生变化.但是以下三个重要的假定是不变的.(1)正态性假定
有了正态性假定后,数据xij认为取自N(?,?),由此求得的各种离2差平方和(如比值 SE?2~?2分布),从而定义F分布函数.没有正态假定,就没有?2分布,也没有F分布与统计推断.(2)方差齐性假定
假定数据xij来自方差为?2的正态总体,只有这样才能在相同的条件(?相等)下来分析问题.考察指标的变化,才可以建立统计假设H0,才有方差分析检验.(3)线性假定
线性假定指数据xij的取得仅通过线性运算,这样才可以把数据xij当线性模型处理,也才可以施行方差分析方法.在大数定律和中心极限定理下,正态性假设是易于确立的.数据的线性假设也符合实际,易于成立.但是,方差齐性假设不易确立.例如对于二项分布来说,其样本的方差2S2?p(1?p)随p而变化,对于不同的数据,很难保持方差齐性,所以常常用数据变化来n实现.在方差分析中,三个假定缺一不可,否则方差分析就失去了依据.习
八1.解: 分别以?1,?2,?3表示三种内容的广告宣传的某种大型机械平均销售量,检验假设H0:?1??2??3
H1:?1,?2,?3不全相等,其中??0.05.计算方差分析表得如下:对给定的
，因为??0.05，查表得F0.05?(2,9)?4.26F?10.93?F0.05(2,9)?4.26，所以拒绝H0，即认为广告宣传内容的不同对某种大型机械销售量的影响是有显著的.2.解: 分别以?A,?B,?C表示三个厂家生产的电池的平均寿命,检验假设67概率论与数理统计
习题解答H0:?A??B??C
H1:?A,?B,?C不全相等,其中??0.05.计算方差分析表得如下:
对给定的??0.05，查表得F0.05?(2,12)?3.89，因为F?11.38?F0.05(2,12)?3.89，所以拒绝H0，即认为不同厂家生产的电池的寿命是有显著差异的.由均值差?j??k=?j??k的置信水平为1??的置信区间为:[?j??k?t?(n?s)E(11?)] njnk,t0.025(n?s)?t0.025(12)?2.1788?1?213?42.65,?2?150?305,?3?222?44.4, 5?)?2.1788(?)?5.8517.故?A??B,?A??C,及njnk1255t0.025(12)E(?B??C的置信水平为0.95的置信区间分别为(42.6?30?5.8517)?(6.7), (42.6?30?5.8517)?(?7.7), (30?44.4?5.8517)?
(?20.3).3. 解:
(1)由上述表中的计算按极差Rj的大小选取各因子的重要性,其顺序是:A?B?C; (2)因为试验指标越大越好,因此按max(k1j,k2j,k3j)原则选取各因子的水平,得最优搭配方案:A2B3C2.4. 解:最好的生产工艺条件是: A2B2D1C1E15.解: 分别以?1,?2,?3表示三种售价下的五个商场的平均日销售量,检验假设H0:?1??2??3
H1:?1,?2,?3不全相等,其中??0.05.计算方差分析表得如下:
69概率论与数理统计
习题解答表8-4 方差分析表
对给定的??0.05，查表得F0.05?(2,12)?3.89，因为F?4.12?F0.05(2,12)?3.89，所以拒绝H0;若取??0.01，查表得F0.01?(2,12)?6.93，因为F?4.12?F0.01(2,12)?6.93，所以应接受H0.讨论:由所给的数据,在??0.05的显著水平下,我们有足够的理由认为各售价水平的衬衫日销量有所不同;从所给的数据看,低价位的销量要高于高价位的销量.但对于??0.01,我们没有足够的理由认为各售价水平的衬衫日销量有所不同.我们由此看到,?的大小体现了保护原假设的程度.6.解：按题意需检验假设H01,H02，H03作计算如下.340.42ST?(38.0?38.6???40.8)??71.82,8222SA?(168.4?172)??1.62,2SB?(165.4?175)??11.52,48
SA?B?84.02?1.62?11.52?54.08, SE?71.82?SA?SB?SA?B?4.6,得方差分析表如表8-5.表8-5
方差分析表①
（1，4）由于F0.05=7.71,所以认为时间对强度的影响不显著,而温度的影响显著,且交互作用的影响显著.注意：①
在实际应用中,总是先计算FA?B,对交互作用进行实验.如果交互作用不显著,则将AB一栏的平方和与自由度分别加到误差这一栏中去,从新计算FA,FB,用新的FA,FB对因素A,因素B进行检验.7.解:以A表示浓度，以a1,a2,a3表示相应水平的效应，以B表示温度，各水平的效率记为?1,?2,?3,?4，以?表示交互作用A?B的效应，检验假设：H01:a1?a2?a3?a4?0,H11:a1,a2,a3,a4不全为零 H02:?1??2??3??4?0,H12:?1,?2,?3，?4不全为零 H03:?11??12????34?0,H13:?11,?12,?，?34不全为零，其中??0.05，有关计算结果见下表:
222502ST?(14?10???14?10)?=147.83242271概率论与数理统计
习题解答SA??(90?68?92)??44.33SB??(56?67?65?62)??11.5624SA?B
??(24?16?16???16?24)??SA?SB?82.83?44.33?11.5?27224SE?ST?SA?SB?SA?B?65得方差分析见下表.
由SASB?4.09?F0.05?2,12??3.89，拒绝H01,?0.708?F0.05?3,12??3.49，接受SESEA?B?0.831?F0.05(6,12)?3，接受H03.综上所得，只有浓度因素的效应是显EH02，著的.8.解: 分别以?1,?2,?3,?4表示4种不同的涂料层下腐蚀的最大深度的均值，以?1,?2,?3表示三种不同土壤下腐蚀的最大深度的均值，需检验假设0,H1:1a,1a,,2a不全为零
H01:a1?a2?a3?a4? 3a4H02:?1??2??3?0,H12:?1,?2,?3不全为零有关计算如下：T=1.63+1.35+?+1.32=15.42TST?(1.63?1.35???1.32)?=20.7121222272概率论与数理统计
习题解答115.4222222SA??(4.25?3.86?3.6?3.71)??0.0807222SB??(5.46?4.88?5.08)??0.0434412SE?ST?SA?SB?SA?B?0.7?0.6方差分析表见下表表8-8
对??0.05，FA?2.(3,6)?4.76，FB?1.(2,6)?5.14，故在不同涂层下腐蚀的最大深度的平均值无显著差异，在不同土壤类型下腐蚀的最大深度的平均值无显著差异.第
题1.答:进行回归分析,对参数的检验对象要求必须满足以下三个基本条件:(1)正态性
被检验的对象或者因变量必须是服从正态分布N(?,?)的随机变量. (2)方差齐性
被检验的各个总体的方差,应该是相等的.(3)独立性
对被检验的各对观察数据而言,从概率意义上理解为是独立取得的. 处理实际问题时,往往不能事先预知这三条是否满足.像方差分析一样,正态性可由大数定律和中心极限定理来确定,方差齐性的检验用F检验来进行,而独立性一般凭实际经验判断.一般有一个近似结论就可以进行回归分析了. 2.答:以一元线性回归为例.其模型为2yi?a?bx??i,?i~N(0,?2)i?1,2,...,,n最小二乘估计是指对n对试验数值(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn),作离差平方和Q(a,b)???yi?(a?bxi)?2i?1n73概率论与数理统计
习题解答?,则y?)?minQ(a,b)的a?x ?,b??a??b?和b利用微积分中的极值原理,求出Q(a为所求线性回归方程.最大似然估计是由,?i~N(0,?)i?1,2,...,,n,则yi~N(a?bxi,?),得样本的极大似然函数
22L?(1?2?n)exp[?n12?2?(yi?1ni?a?bxi)2]要使L取得最大值,则应使得方法,求得使 ?(yi?1i?a?bxi)2为最小.用与最小二乘估计中同样的极值Q(a,b)???yi?(a?bxi)? 2i?1n?,得线性回归方程y?x. ??a??b?和b最小的a由于两种方法讨论的都是Q(a,b)???yi?1ni2?,故最小?和b?(a?bxi)?,而且由此求得a二乘估计与最大似然估计的结果是相同的.3.答:?x已经确定,并经检验确认回归显著,则对给定的x,y,置信??a??b当线性回归方程y00度为1??的预测区间为:1(xi?)2?0?t?2(n?2)????(y) nSxx其中
Sxx??(xi?1ni?)2由此可知,影响预测精度的主要因素为:(1)?.一般, ?越小,精度越高.(2) n.n越大,精度越高,所以应尽量扩大样本容量.(3)自变量的取值xi.xi应尽量避免过于集中,但预测点x0离越近时,精度越高.
74 22概率论与数理统计
习题解答习
Sxx?218500?Sxy1? 101?50?673?398510于是,可得b,a的估计值为Sxy??b??0.48303??Sxx?nn1111?a???xi?(?yi)b??673??03??2.73935?ni?1ni?11010?从而回归方程为???2.03x. y2.解:(1)画出散点图略.?x. ??a??b(2)求线性回归方程y现在n?7,为求线性回归方程,所需计算列表如下:
1Sxx?2.595??3.82?0.532171Sxy?85.61??3.8?145.4?6.67867于是,可得b,a的估计值为Sxy6.6786??b???12.5503??Sxx0.5321?nn1111?a???xi?(?yi)b??145.4??3.8?12.55?13.9584?ni?1ni?177?从而回归方程为??13.3x. ySe1n1?2S) ?i)2????(yi?y(Syy?b(3) ?的无偏估计:??xxn?2n?2n?2i?122将n?7,Sxx?2.595?11?3.82?0.5321,Syy?5.42?84.03, 771??12.5503代入得, ??2?(84.03?12.1)?0.0432 b5(4)检验假设H0:b?0,H1:b?0.t?
?b??Sxx?12.0.2,t0.025(5)?2.570676概率论与数理统计
习题解答 因为t??b??Sxx?44.(5)?2.5706,所以拒绝原假设H0:b?0,即认为回归效果显著.(5)b的置信水平为0.95的置信区间:?t(n?2)(???Sxx)?(12.6?0.)?(11.82,13.28).? ?(0.50)?a??0.50b(6)当x?0.50,?(0.50)?a?0.50b,其点估计为?t???(a?0.50b)??0.50ba??1(0.50?)?nSxx2~t(n?2),则所求的置信区间为:1(0.50?)2???0.50b?t?(n?2)??(a?) nSxx1(0.50?0.5429)2?) =(13.?12.6?0.1=(20.03,20.44)(7)当x?0.50,Y0的置信水平为0.95的预测区间为:1(0.50?)2?0?t?(n?2)??1??(y) nSxx?0?13.3?0.50?20.23 而y1(0.50?)21(0.50?0.5429)2???t?(n?2)??2.????0.57nSxx70.5321得预测区间为(19.66,20.80).3. 解: (1) 画出散点图略.散点图看起来呈指数关系,于是令Z?lnY.记Zi?lnYi,并作(xi,Zi)的散点图略所示,可见各点基本上处于一条直线上. 设
Z?a?bx??,?~N(0,?)77 2概率论与数理统计
习题解答??0.272,a???3.848 经计算可得 b???3.848?0.272x 从而有 z将上述结果代回原变量,得曲线回归方程为??0.x. y又可求得?bt????(xi?1ni?)2?18.(5)?2.5706由此可见,线性回归效果是高度显著的.???3.848?0.272x (2) 解:根据(1)知回归方程为z把x?30C代入回归直线方程,得 ??0??3.848?0.272?30?4.312 z2nSS11xy?2?e=?i)2=(Syy?) (yi?y??n?2Sxxn?2n?2i?1=0.44 5??0.1801 ?1(xi?)2?1??t?2(n?2)? nSxx1(30?27.4286)2=2.1?? 77?(773.62)=0.5046因此, 红铃虫产卵期温度x?30C时, 产卵数lnY0的预测区间(??0.05)为 ?1(xi?)2????0?t?2(n?2)?(z) nSxx=(4.312?0.?0.5046)=(3.6)78概率论与数理统计
习题解答 所以,红铃虫产卵期温度x?30C时, 产卵数Y0的置信水平为0.95的预测区间为 ?(45,124).4.解:设Y?b0?b1x1?b2x2??,?~N(0,?),因为 2?11639??24??????b0???????X??,Y??,B??b1?. ..........?...??b??????2??12149??26?????代入经计算可得,
???b?18.1078??0????1??B??b1??(X?X)X?Y??0.2218? ??0.0556????b?2????于是得到回归方程为??18.8x1?0.0556x2 y5.解:在商业活动中,预测某商品在某地区的投放量对于厂家是十分重要的.若投放量远远大于销量,则造成产品积压以及运输费用的增加等,给厂方造成损失.若投放量过少,同样会影响厂家的经济效益.因此,对商品的投放量作科学的分析是至关重要的.(1)首先建立回归模型:设Y?b0?b1x1?b2x2??,?~N(0,?),因为 2?2??????b0???????X??,Y??,B??b1?. ..........?...??b??????2??2?????代入经计算可得,
???b?3.4526??0????1??B??b1??(X?X)X?Y??0.4960? ??0.0092????b?2????于是得到回归方程为??3.0x1?0.0092x2 y79概率论与数理统计
习题解答(2)预测:将x1?220,x2?2500代入上式,得关于该城市的防晒霜的销售量预测值为:?0?3.0?220?0.5.573(箱). y
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