一、线性代数测试题及习题选解_百度文库
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一、线性代数测试题及习题选解
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&>&&>&线性代数课后习题解答第三章习题解答
线性代数课后习题解答第三章习题解答_7800字
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：
?3??1?3(3) ?
?2?3?02?1??0
?2?34?2?1???2?31?
3?43?; 4?7?1??31?3?7?
?102?1?r2?(?2)r1
~解 (1) ?2031?
?304?3?r3?(?3)r1???102?1?r2?(?1)
??00?13?? ~?00?20?r3?(?2)???102?1?r3?r2
??001?3??~?0010???
??001?3?? ?0003????1000???0010?? ?0001???
r3?3?102?1?r2?3r3
~?001?3??~?0001?
?102?1?r1?(?2)r2
????0??0013??~?0000???
?02?31?r2?2?(?3)r1
~(2) ?03?43?
?04?7?1?r3?(?2)r1???02?31?r3?r2
??0013??~?00?1?3?r1?3r2??
??0013?? ?0000???
?1?3?2?33534
~?20?r?2r31
?2?1??r?3r
41?1?13?43?r?(?4)?1?1
??2?00?48?8??~?00?00?36?6?r?(?3)?00?00?510?10?3???r?(?5)?00
?10?00?00?021?10000
3??2? 2?2??
1?1r1?3r2??
1?3?7?r?2r
~830?r?3r32?743?
r4?2r2?0?1111?r?2r
120?2?4??~?0?88912?r?8r?0?77811?31??r?7r
14?14??0?2?
0~?r2?(?1)?0
?1??0?0?0?
?010??101??123???????
2.设?100?A?010???456?，求A。
?001??001??789???????
?010??123??101??452?
解：A=?100??456??010?=?122?
?001??789??001??782?
3．试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：
(1) ?315?;
?321100???
解 （1）?315010?
?323001????32
~??0?1?00?
~?0?101?001?1?2?
故逆矩阵为??1?12?
??101??22????3?20?1100?
?3?20?1???0221??. ?1?2?3?2??0121???
4?110?~?0?102?101?002???
?2?~?010?1?11??0011
0??22?11?2? ?101?
3???2?2? 1?2??
?0?0?1???1?2?3?2
0?3?4?10?2??
10??1?200?1
~?3?4???10???00012
?1?0~??0?0?
?136?1?6?10??11?2?4?
?1?136?21?6?10??
故逆矩阵为?
?136?1?6?10??
?41?2??1?3?????
4．(1) 设A??221?,B??22?,求X使AX?B;
?31?1??3?1??????021????123?
(2) 设A??2?13?,B???,求X使XA?B.
2?31????33?4?
?41?21?3?初等行变换?100102????
~?(1) ?AB????3??
?31?13?1??001124?????
?X?AB???15?3?
?021??1???2?13??初等列变换?0
?0?A???33?4?~(2) ??????2
?X?BA?1???．
?1?10???A?01?15.设??，AX=2X+A,求X。
1? 解：由AX=2X+A得：X＝(A?2E)?1A＝??10
6．在秩是r的矩阵中,有没有等于0的r?1阶子式?有没有等于0的r阶子式?
在秩是r的矩阵中,可能存在等于0的r?1阶子式,也可能存在等于0的r阶子式.
例如，???0
R(?)?3同时存在等于0的3阶子式和2阶子式. 0??0?
7．从矩阵A中划去一行得到矩阵B, 问A,B的秩的关系怎样?
设R(B)?r，且B的某个r阶子式Dr?0.矩阵B是由矩阵A划去一行得到的，所以在A中能找到 与Dr相同的r阶子式Dr，由于Dr?Dr?0， 故而R(A)?R(B).
8．求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是(1,0,1,0,0),(1,?1,0,0,0)
设?1,?2,?3,?4,?5为五维向量,且?1?(1,0,1,0,0),?2?(1,?1,0,0,0),则所求方阵可为
??3?(0,0,0,x4,0)??2??
不妨设??4?(0,0,0,0,x5)
????4??5?(0,0,0,0,0)????5?
?10100???1?1000??
故满足条件的一个方阵为?00010?
?00001???00000??
9．求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：
(1) ?1?12?1?;
?32?1?3?1?
??2?131?3??；
(3) ?705?1?8???
?2?30?3?25?103?37?
解 (1) ?1?12?1?~
??3?1?r3?r2?1~?0
?0?12?1?r2?3r1?1?12?1?
102?~?04?65?
???3?44??r3r1?04?65?
4?65?秩为2.
二阶子式??4．
?32?1?3?2?r2?2r1?13?4?41???
1?3?~?0?7119?5? (2) ?2?13
?705?1?8??7??r3r1?0??
?7119?5?秩为2.
二阶子式??7．
~20?r?2r31?20?32
?0??0?0?1?
?3?25?103?
37?r?2r?012
7?5??0?3?6~80?r?2r?0?2?4
20??r3?3r4?103
10r4?r1??01~?r3?14?00
?r4?16?00r4?r3
秩为3 1?0??
?70?0． 三阶子式580??532
10.设A、B都是m?n矩阵，证明A~B的充分必要条件是R(A)?R(B)。
证：必要性即定理3，故需证明充分性，设R(A)?R(B)=r，由矩阵的等价标准型理论知矩阵A、B具有
相同的标准型，F???0
?，于是A~F，B~F，从而由等价关系的对称性和传递性，知A~B。
11.设A???12k?3?，问k为何值时，可使：
(1) R(A)?1； (2) R(A)?2； (3) R(A)?3。
?23k?1?23k??1?
3(k?1)解：对A作初等变换，A???12k?3?～?02(k?1)?，
?k?23??00?3(k?1)(k?2)?????
于是，由定理3，(1) 当k＝1时，R(A)?1； (2) 当k＝-2时，R(A)?2； (3) 当k?1且k??2时，R(A)?3。
12．求解下列齐次线性方程组:
?x1?x2?2x3?x4?0,?
(1) ?2x1?x2?x3?x4?0,
?2x?2x?x?2x?0;
?x1?2x2?x3?x4?0,
?3x1?6x2?x3?3x4?0, ?5x?10x?x?5x?0;
?2x1?3x2?x3?5x4?0,?3x1?4x2?5x3?7x4?0,?3x?x?2x?7x?0,?2x?3x?3x?2x?0,?1?1234234
?4x1?x2?3x3?6x4?0,?4x1?11x2?13x3?16x4?0,???x1?2x2?4x3?7x4?0;?7x1?2x2?x3?3x4?0.
解 (1) 对系数矩阵实施行变换:
4??4?x?x14??????x1?33??112?1??10?10?????????,
即得?x2??3x4 .
故方程组的解为
?x2??k??3?. 211?1~013?1?????4?x3??4??2212?4?x?x34???001???x??3?3??4?3???1?
(2) 对系数矩阵实施行变换:
?x1??2x2?x4
x3?0???x4?x4
?x1???2??1???????x12??k?0? 故方程组的解为 ???k1??x3??0?2?0?
?121?1??120?1?
(3) 对系数矩阵实施行变换:
?23?15???312?7???41?36??1?24?7????1
?x1?00??x1?0?x?0??0??2?x?0即得? .
故方程组的解为?2
x?00?x?0?3?3
??x4?0?x4?0
(4) 对系数矩阵实施行变换:
x?x?10?????34?57?1717?????20????~?01?即得?x2?x3?x4.
??411?17????7?21?00003??x3?x3??000??0?
?3??13???????x1?17???17???
故方程组的解为?2??k1???k2??
?17??17??x3?
13．求解下列非齐次线性方程组:
?2x?3y?z?4,
?x?2y?4z??5,?
3x?8y?2z?13,???4x?y?9z??6;
?2x?y?z?w?1,?2x?y?z?w?1,??
(3) ?4x?2y?2z?w?2,
(4) ?3x?2y?z?3w?4,
?2x?y?z?w?1;?x?4y?3z?5w??2;??
?4x1?2x2?x3?2,?
(1) ?3x1?1x2?2x3?10,
?11x?3x?8;
解 (1) 对系数的增广矩阵施行行变换,有
?42?12??13?3?8???3?1210??~?0?101134? ?????00
R(A)?2而R(B)?3,故方程组无解．
(2) 对系数的增广矩阵施行行变换:
?2314???1?24?5???38?213??4?19?6???
?1??x??2z?1??x???2???1?2????????,
即得?y?z?2. 亦即?y??k?1???2?. 0??z??1??0??z?z????????0?
(3) 对系数的增广矩阵施行行变换:
x??y?z???21?111??21?111?222?????
?42?212?~?00010?,
?21?1?11??00000??z?z????
?x??????????2???2??2?y?? 即?k1?1??k2?0???0? ?z??0??1??0??w?
?0??0??0???
(4) 对系数的增广矩阵施行行变换:
14?35?2??21?111???595???
?3?21?34?~?01?77?7? ?14?35?2????????00000?
777?5951???
116??1??1??6?x?z?w????????777x??777?????????595y595?
即得?y?z?w? 即???k1???k2???????
?7??7??7?777?z???w??1??0??0?
?z?z???0??1??0??w?w???????
?????3???4?
14.写出一个以x?c1?（*） ?c2???10
?????0??1?????
为通解的齐次线性方程组。
?x1??2c1?2c2?????x?3c?4c?2??12?
解：把(*)式改写为?????把c1?x3，c2?x4，得 x3c1
?????x???c2?4???
?x1??2x3?2x4?????x?3x?4x?2??34???x???，由此知所求方程组有2个自由未知数x3，x4，且对应的方程组为 x3?3????x???x4?4???
?x1?2x3?2x4?0?x1?2x3?2x4
，即?，它以(*)式为通解。 ?
x?3x?4x?0x??3x?4x34?234?2
15．?取何值时,非齐次线性方程组
??x1?x2?x3?1,?
?x1??x2?x3??, ?2?x1?x2??x3??
(1)有唯一解；
(3)有无穷多个解?
解 (1) 1?1?0,即??1,?2时方程组有唯一解.
(2) R(A)?R(B)
??2??111??11???
B??1?1??~?0??11???(1??)?
?11??2??00(1??)(2??)(1??)(??1)2?????
由(1??)(2??)?0,(1??)(1??)2?0,
得???2时,方程组无解.
(3) R(A)?R(B)?3,由(1??)(2??)?(1??)(1??)2?0,
得??1时,方程组有无穷多个解.
16．非齐次线性方程组
??2x1?x2?x3??2,?
?x1?2x2?x3??, ?2?x1?x2?2x3??
当?取何值时有解？并求出它的通解．
?1?21???211?2????2??
解 B??1?21??~?01?1?(??1)?
3?11?2?2???????000(??1)(??2)??
方程组有解，须(1??)(??2)?0得??1,???2
?x1??1??1???????
当??1时,方程组解为?x2??k?1???0?
?x??1??0??3?????
?x1??1??2?
当???2时,方程组解为?x2??k?1???2?
?x??1??0??3?????
?(2??)x1?2x2?2x3?1,
?2x1?(5??)x2?4x3?2,.
问?为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？
??2x?4x?(5??)x????1,
并在有无穷多解时求其通解．
??2?45?????1???
2??01??1??1????
(1??)(10??)(1??)(4??)??00??22??
(1??)2(10??)
?0 ???1且??10时，有唯一解. 当A?0,即
(1??)(10??)(1??)(4??)
?0且?0，即??10时，无解. 当
22(1??)(10??)(1??)(4??)
?0且?0，即??1时，有无穷多解. 当
此时，增广矩阵为?0000?
?0000????x1???2??2??1?????????
原方程组的解为?x2??k1?1??k2?0???0?
?x??0??1??0??3???????
18.证明R(A)?1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT，使A?abT。 证：充分性：设a??a1
a2?am?，b??b1b2?bm?，并不妨设a1b1?0，利用矩阵秩的
定义，显然，A有一个一阶非零子式，任取A的一个2阶子式（为确定起见，不妨设取A的第i行、第j行及第k列、第l列所得2阶子式）：
?aiajbkbl?iajbkbl?0，于是，R(A)?1。
必要性：设A?(aij)m?n
?10?因R(A)?1，由等价标准型理论知，存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使A?P??00??Q，于是
?ab＝＝ A?P?Q??P10?0Q?00????????
其中a?P??和b??10?0?Q分别为非零m维列向量及非零n维行向量。
19.设A为m?n矩阵，证明：
(1)方程AX?Em有解的充分必要条件是R(A)?m； (2) 方程YA?En有解的充分必要条件是R(A)?n；
（1） 方程AX?Em有解?R(A)?R(A,Em)(定理7) ?R(A)?m （必要性由不等式m?R(A,Em)?R(A)?m得到； 充分性由不等式m?R(A)?R(A,Em)?m得到）。
（2） 方程YA?En有解?ATYT?En有解?R(A)?n?R(A)?n。
20.设A为m?n矩阵，若AX?AY，且R(A)?n，则X?Y。 证：将m?s矩阵X，Y按列分块为
X??x1x2?xs?，Y??y1y2?ys?， 则X?Y＝?x1?y1
x2?y2?xs?ys?
如果AX?AY，且R(A)?n； 即A(X?Y)?0，且R(A)?n；
亦即A(xj?yj)?0，且R(A)?n，那么根据齐次线性方程组的理论，当R(A)?n时，齐次线性方程组AX?0只有零解，A(xj?yj)?0只有零解，即xj?yj?0，
亦即xj?yj，j?1,2,?,s，故X?Y。
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只想问期末线代怎么过
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