函数f(x)=lnx-a(x-1)/x(x＞0，a∈R)．（1）试求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，求证：函数f（x）的图象存在唯一零点的充要条件是a=1；（3）求证：不等式1/lnx-1/x-1＜1/2对于x∈（1，2）恒成立．-乐乐课堂
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函数f(x)=lnx-a(x-1)x(x＞0，a∈R)．（1）试求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，求证：函数f（x）的图象存在唯一零点的充要条件是a=1；（3）求证：不等式1lnx-1x-1＜12对于x∈（1，2）恒成立．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“函数f(x)=lnx-a(x-1)/x(x＞0，a∈R)．（1）试求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，求证：函数f（x）的图象存在唯一零点的充要条件是a=1；（3）求证：不等式1/lnx-1/x-1＜1/2...”的分析与解答如下所示：
（1）函数的定义域是（0，+∞），求出导数，分a≤0和a＞0两种情况讨论导数的符号，得到单调区间．（2）由函数的单调性知，函数f（x）的图象存在唯一零点，当且仅当f（a）=0．（3）将要证的不等式等价转化为g（x）＞0在区间（1，2）上恒成立，利用导数求出g（x）的最小值，只要最小值大于0即可．
解：（1）函数的定义域是（0，+∞），导数f′（x）=1x-ax2，&若a≤0，导数f′（x）在（0，+∞）上大于0，函数的单调增区间是（0，+∞）；若a＞0，在（a，+∞）上，导数大于0，函数的单调增区间是（a，+∞），在（a，+∞）上，导数小于0，单调减区间是（0，a）（2）由第一问知道，当a＞0时候，函数f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增，所以要使得函数f（x）的图象存在唯一零点，当且仅当f（a）=0，即a=1（3）要证1lnx-1x-1＜12，即证1lnx＜1x-1+12，即证lnx＞2x-2x+1设g(x)=lnx-2x-2x+1，∴g′(x)=1x-4(x+1)2＞0，x∈(1，2)恒成立∴g（x）min＞g（1）=0，∴g（x）＞0，即1lnx-1x-1＜12
本题考查利用导数求函数的单调区间即单调性，函数的零点及函数恒成立问题，要证g（x）＞0，只要证g（x）的最小值大于0．
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函数f(x)=lnx-a(x-1)/x(x＞0，a∈R)．（1）试求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，求证：函数f（x）的图象存在唯一零点的充要条件是a=1；（3）求证：不等式1/lnx-1/x-...
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经过分析，习题“函数f(x)=lnx-a(x-1)/x(x＞0，a∈R)．（1）试求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，求证：函数f（x）的图象存在唯一零点的充要条件是a=1；（3）求证：不等式1/lnx-1/x-1＜1/2...”主要考察你对“函数的单调性及单调区间”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的单调性及单调区间
【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间．【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；符号函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法． 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＞0$f（x）在[a，b]上是增函数；$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＜0$f（x）在[a，b]上是减函数．②（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0f（x）在[a，b]上是增函数；（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0f（x）在[a，b]上是减函数． 函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．【命题方向】 函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
与“函数f(x)=lnx-a(x-1)/x(x＞0，a∈R)．（1）试求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，求证：函数f（x）的图象存在唯一零点的充要条件是a=1；（3）求证：不等式1/lnx-1/x-1＜1/2...”相似的题目：
已知函数的图像为曲线C，若曲线C存在与直线垂直的切线，则实数m的取值范围是&&&&
函数f(x)=2x+(x&0)有最大值8最小值8最大值4最小值4
函数，若（其中、均大于2），则的最小值为&&&&。
“函数f(x)=lnx-a(x-1)/x(...”的最新评论
该知识点好题
1函数f（x）=|x|和g（x）=x（2-x）的递增区间依次是（　　）
2函数f(x)=x+2x的单调递减区间是（　　）
3设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数：fK（x）={f(x)，f(x)≤KK，f(x)＞K.取函数f（x）=a-|x|（a＞1）．当K=1a时，函数fK（x）在下列区间上单调递减的是（　　）
该知识点易错题
1函数f（x）=|x|和g（x）=x（2-x）的递增区间依次是（　　）
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3函数y=2(log12x)2-log12x+1的单调递增区间是（　　）
欢迎来到乐乐题库，查看习题“函数f(x)=lnx-a(x-1)/x(x＞0，a∈R)．（1）试求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，求证：函数f（x）的图象存在唯一零点的充要条件是a=1；（3）求证：不等式1/lnx-1/x-1＜1/2对于x∈（1，2）恒成立．”的答案、考点梳理，并查找与习题“函数f(x)=lnx-a(x-1)/x(x＞0，a∈R)．（1）试求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，求证：函数f（x）的图象存在唯一零点的充要条件是a=1；（3）求证：不等式1/lnx-1/x-1＜1/2对于x∈（1，2）恒成立．”相似的习题。已知函数f（x）＝1/2x²+lnx （1）求函数f（x）在区间【1，e】上的最值 （2）求证：在_百度知道
已知函数f（x）＝1/2x²+lnx （1）求函数f（x）在区间【1，e】上的最值 （2）求证：在
函数f（x）的图像在函数g(x)=2/+lnx （1）求函数f（x）在区间【1已知函数f（x）＝1&#47，e】上的最值 （2）求证;2x&#178：在区间【1，正无穷）上;3x&#179
提问者采纳
正无穷]上g(x)-F(x)&x&lt，g(x)-F(x)单调增F(1)=1/x因为在[1(1)F'0又因为g(x)-F(x)单调增所以在[1，F(e)为最大值F(1)=1/(x)&=2x^2-2x=2x(x-1)&3)x^3-(1/(x)=x+1/(x)=2x^2-(x+1/2)e^2+1(2)设k(x)=g(x)-F(x)=(2&#47,正无穷];x)&gt，F'2F(e)=(1&#47，所以x+1/0;(x)&3g(1)-F(1)&2)x^2-lnx则k&#39,e]上;x=2x^2-(x+1&#47，F(x)单调增所以F(1)为最小值;(x)=2x^2-x-1/=2xk'2
g(1)=2/x)x范围是[1;=0所以k'0
提问者评价
太给力了，你的回答完美解决了我的问题！
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出门在外也不愁已知函数f（x）=lnx，g（x）=2x-2（x≥1）．（Ⅰ）试判断F（x）=（x2+1）f（x）-g（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）当0＜a＜b时，求证：f（b）-f（a）＞2a(b-a)a2+b2．_百度作业帮
已知函数f（x）=lnx，g（x）=2x-2（x≥1）．（Ⅰ）试判断F（x）=（x2+1）f（x）-g（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）当0＜a＜b时，求证：f（b）-f（a）＞2+b2．
__韓曉軒9G
（I）∵函数f（x）=lnx，g（x）=2x-2（x≥1）．F（x）=（x2+1）f（x）-g（x）=（x2+1）lnx-（2x-2）的定义域为[1，+∞）∴F′（x）=2xlnx+2+1x-2=2xlnx+2x当x≥1时，F′（x）≥0恒成立故函数F（x）=（x2+1）lnx-（2x-2）在定义域[1，+∞）上为增函数（II）由（1）知，当x＞1时，F（x）＞F（1）=0即当x＞1时，（x2+1）lnx-（2x-2）＞0lnx＞2+1…①令x=，当0＜a＜b时，＞1由①可得ln=lnb-lna＞2+1=2+b2∴当0＜a＜b时，f（b）-f（a）＞2+b2．
（I）根据已知求出F（x）的解析式及其导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可判断出函数的单调性；（II）结合（I）中函数的单调性，可得，（x2+1）lnx-（2x-2）＞0，即lnx＞2+1，当0＜a＜b时，令x=，代入可得结论．
本题考点：
利用导数研究函数的单调性；分析法和综合法．
考点点评：
本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，及函数单调性的应用，其中（I）的关键是熟练掌握导数法求函数单调性的步骤，（II）的关键是得到lnx＞2+1．
扫描下载二维码已知函数f（x）=x2+ax-lnx，a∈R．（Ⅰ）若a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）令g（x）=f（x）-x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值
解：（I）a=0时，曲线y=f（x）=x2-lnx，∴f′（x）=2x-，∴g′（1）=1，又f（1）=1曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程x-y=0．（II） ′(x)=2x+a-1x=2x2+ax-1x≤0在[1，2]上恒成立，令h（x）=2x2+ax-1，有 得 ，得
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点评：本题主要考查导数的运算和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
ywg2058老师
山东省烟台市高考数学二模试卷（文科）
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1、优点签到翻倍；
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已知函数f(x)=1/2x^2+lnx1、求函数f(x)的单调区间2、求证：当x>1时、1/2x^2+lnx_百度作业帮
已知函数f(x)=1/2x^2+lnx1、求函数f(x)的单调区间2、求证：当x>1时、1/2x^2+lnx<2/3x^3
首先函数的定义域为（0,正无穷）然后求导,f(x)的导数=x+1/x=(x^2+1)/x大于0恒成立,所以函数f(x)在定义域内单调递增.（2）设g(x)=1/2x^2+lnx-2/3x^3,只需要证明当x>1时,g(x)的最大值都小于0即可.求导,g(x)的导数=x+1/x-2x^2=-(2x^3-x^2-1)/x=-(x-1)(2x^2+x+1)/x令g(x)的导数=x+1/x-2x^2=-(2x^3-x^2-1)/x=-(x-1)(2x^2+x+1)/x>0得 x1时,g(x)>g(1)=-1/3>0所以当x>1时、1/2x^2+lnx
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