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初中数学课堂教学过程的评价研究
陈丽娟　首师大附属丽泽中学　
我们都知道，课堂教学是学校教育教学的主要渠道，学生知识的获得、能力的形成、思想修养的完善主要是在课堂教学中完成的。可以说：课堂教学质量的优劣直接关系到学生的素质和学校教育教学水平。而新课程理念下,教师的教学方式和学生的学习方式已经发生了很大的变化，教师只有对新课程课堂教学评价的理念、内容、方式方法有深入的认识，有效的发挥评价的导向、激励、调控、发展功能，才能真正提高自身的专业素质。我们将从以下三个方面进行研究：
一、数学课堂教学评价的理念
评价是依据一定的标准和相应的方式方法判断对象价值的活动。“标准”是理念即价值观的集中体现，方式方法由“标准”的内容决定，关系到执行“标准”的质量。课堂教学评价主要立足于课堂，是以教师的课堂教学行为以及学生的课堂学习行为为研究对象，依据一定的方法和标准对课堂教学的过程和学生学习的效果作出的客观衡量和价值判断，它对加强教学管理、检测教学质量、总结教学经验起着重要作用。
当前评价的依据主要是新课程理念，教师的教学思想左右着他的教学方案的设计与实施，然而教学思想也影响着教学评价并由此指导着课堂教学。所以我们应该明确新形式下课堂教学评价的指导思想是什么？新课程标准指出：“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。”将课程标准中所应体现的新的教学理念、新的教学策略转化为教师的教学行为，转化为实际的教学效果，使学生“获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师的指导下生动活泼的、主动的、富有个性的学习”，是课程标准给我们提出的教学建议。因此,从这个角度看，数学新课程课堂教学最大的特点是以学生的发展为中心，所以数学课堂教学评价的理念应是以学生的“学”评价教师“教”，评价的目的应是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学，以及有效地促进学生的发展，教师的发展和改进教学实践。
为此，需要在课堂教学的评价中，突出以下三方面的评价标准：
（一）面向全体学生
这是提高全民族素质的要求，使未来社会的公民能适应社会发展的需要。为此，一要把握教学目标，正确处理基础和发展的关系，使所有学生的数学基础能力普遍提高；二要实施因材施教，让每一个学生学习更好的但有区别的数学，使不同学生的各种数学需要得到充分发展；三要保证学生参与学习的时空，使每一个学生都有必需的学习机会和学习时间。
（二）学生全面发展
在数学课堂上，要使学生在知识、能力、情感几方面都获得发展。
知识——要给每个学生提供基本的数学概念、数学方法和数学思想。
能力——要提高学生数学抽象的能力、数学符号变换的能力和数学应用的能力，使每个学生的数学基础能力得到普遍提高。
情感——要让每个学生都会用自身的情感体验和主动参与学习数学，增强学生的自信心。
（三）提高自主学习能力和自我发展能力
教育的根本目的就是为了促使学生的发展，学生的发展在很大程度上取决于主体意识的形成和主体参与能力的培养，为此，一要从学生实际出发，使学生学习数学是一个连续不断地同化新知识、构建新意义的过程；二要让学生自主学习，注重学生学习自行获取数学知识的方法，学生主动参与数学实践的本领，通过自身的操作活动和主动参与的做法去学习数学；三要注重学生的个性发展，培养学生的创造能力。
二、数学课堂教学评价的内容
在评价数学课堂教学时，应始终贯穿教师教的思想和学生学的活动这两条主线。课堂教学评价涉及多方面的内容，一般包括：教学目标、教材的处理、教学方法和手段，教学过程、教学效果等。只有从多方面入手考察，才能对课堂教学作出较为全面的分析和评价。
（一）教学目标
教学目标是统领性的，是教学的出发点和归宿，它的正确制定和达成是衡量课好坏的主要尺度，所以课堂教学评价必须关注教师预定的目标及其完成情况。
1．目标的制定
教学目标的制定要突出全面、具体、适宜。全面体现在——教师应根据数学课程标准确立的由“知识与技能”、“过程与方法”、“情感态度与价值观”等三个维度构成的课程目标，理解总目标，把握各阶段目标；针对教学内容和学生的实际情况，具体制订每节课的教学目标。具体体现在——表述应清晰、具体，显性描述知识技能的教学要求，切实提出主要的过程经历，列出伴随过程而进行的方法掌握、能力培养、数学思想的渗透、情感态度教育等方面的要求；在考虑形成学生数学基本能力的同时，还要发展学生的探究能力，交流沟通能力、应用能力、批判反思能力和创新能力。适宜体现在——所提出的教学目标要求，应符合学生的认知发展水平、心理特征和年龄实际，难易适度，体现先进的教学理念，并具有年段、年级、单元教材的针对性、层次性和可操作性等特点。
2．目标的达成
教学目标的达成要教学目标是不是明确地体现在每一个教学环节中，教学手段是否紧密地围绕目标，为实现目标服务。要看重点知识、技能、方法是否在课堂上得到巩固和强化，学生对知识的理解掌握是否达到了目标所提出的要求等等。
案例1：《探究三角形全等的条件（2）》提出了如下的教学目标。
（1）探究具有三个对应相等条件时三角形全等的可能性。并初步掌握三角形全等的判定
公理ASA和判定定理AAS。
（2）通过学生动手操作、观察实验、探索交流、分析归纳等活动，体会数学结论的获得
过程，积累数学活动的经验。
（3）体会分类讨论的数学思想、转化的数学思想，和由特殊到一般的思维方法在数学中的应用。
（4）使学生在自主探索三角形全等的过程中，经历画图、动手操作、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验。
这节新授课的教学目标从制定和达成看有如下特点：
（1）目标指明了学生对公理、定理的学习，应经历的具体过程和要达到的认知水平。课堂实施中，先是通过操作实验引导学生经历画图、动手操作、观察、交流、验证的过程探求ASA公理，继而通过比较和推理等方法认识AAS定理。这样的安排让学生充分参与数学活动，并体会数学结论的获得。
（2）目标对于知识学习的水平确定为探究性理解，具体要求是初步掌握三角形全等的判定公理ASA和判定定理AAS。
（3）目标明确了伴随学习过程学生在数学基本能力的提高、数学思想方法的领悟、情感态度的发展等的具体表现。课堂实施中，通过对满足三个条件四类六种情况的分组讨论，使学生体会分类讨论的数学思想，通过对具有三个特定条件的三角形画图实践以及几何画板的演示，使学生认识由特殊到一般的思维方法在数学中的应用。
可以看到，这节课学生应理解什么？掌握什么？学会什么？教师是心中有数的；对难点、重点、关键，了如指掌；教学思路、教学环节昭然入胸。课堂上我们看到，整节课都围绕教学目标的设计而安排，教师引导学生由感性认识上升到理性认识，水到渠成的得出公理和定理，教学目标的达成较好。
（二）教学内容
教学目标决定着教学内容，教学内容决定着教学方法，三者是相辅相成的，在评价教学内容时要注意以下几点：
第一，教学内容的选择是否得当，它是否与教学目标相一致。
第二，教师教学的知识内容是否正确。
第三，教师是否不只是关注知识点，而且对学生的情感、态度、价值观以及能力等诸多方面予以考虑。
第四，教师是否从学生的知识结构等出发对教材内容做了必要的加工，如提出新观点、新主张，重新解读教材，或对教材内容进行二次创作，激发学生学习兴趣等等。
第五，教师是否把传统的教材当作唯一的学习材料，是否充分考虑到学生已有的生活经验，整合学生已有的知识建构和各种能力结构，将学科教学内容引入更广阔的空间。评价时评价者需要理顺教材中的理论，归纳出教材的知识点，并使之系统化、条理化。不仅要自己理解教材中蕴涵的思想和哩念，更要从课堂中去解读授课者本人对于教材的理解，是对教师理解的再理解。
第六，教师在一节课里的教学内容是否适量。当教学内容过少时，学生处于知识接受的“饥饿”状态，这不仅造成时间浪费和学生的“营养不良”，还会滋长学生的惰性；但相反的话，学生也会精力不够，囫囵吞枣，造成“消化不良”，滋生逆反心理。所以，从量的多少可以分析出课堂教学目标是否科学适度、教学目标的总量和教学进度是否合理、教学方法是否适合学生现有程度及接受能力等，总体上追求教学内容的适度平衡。
随着新课改的全面推行，教材进行了相当大的改进。改进后的教材，不仅将学生的素质教育置于更重要的位置，而且注入了合乎时代要求的新内容、新信息，加强了教材的可读性和教育性，因此，教师必须认识到：教学内容和教材内容并不等值对应，教学内容来自于师生对课程要求、教材内容和教学实际的综合加工。在教学内容的组织和处理上，教师要准确地把握教学重点、难点和关键，重视数学思想方法的培养，同时要注意本学科与其它领域的联系，重视数学的应用。
案例2：《三角形复习探究课》
本节课是教师针对北京版实验教材八年级第十三章《三角形》复习而设计的一节探究课，内容是以教材106页“想一想”和130页“探究与应用”第2题为蓝本设计而成。
具体内容：
1.主问题：
已知：如图（5），C是线段AB上一点，△ACE和△BCD
都是等边三角形，联结AD和BE.
问：AD和BE有什么关系？你能证明自己的猜想吗？
2.旋转探究
〈探究一〉如图（6），当等边△BCD绕点C旋转时，AD=BE是否成立？证明你的结论.
3.动点探究
〈探究二〉如图（7），当点C在线段AB上移动时，AD=BE是否总成立？证明你的结论.
〈探究三〉如图（8），当点C在直线AB外时，AD=BE是否仍成立？证明你的结论.
这个内容的设计是源于两方面的考虑：其一，作为复习课，在本单元新知识学习后要使学生对基本图形、基本知识、基本规律的掌握进行巩固，使学生感受本章知识之间的联系；其二，在单元学习后也要根据学生知识储备的情况对学生适时进行综合题的解题训练，这是提高学生解决、分析问题能力的有效手段。
另一方面，新课程倡导自主、探索、合作与交流的学习方式，数学教学过程是学生主动体验、积极参与和探究的过程，通过学生自身的数学活动，建构对数学知识理解，发展思维能力。基于以上思考，为了更主动地引进实验观察、猜想与探究的活动内容，拓展学生思维的广度和深度，创设学生自主探索、合作交流、积极思考和操作实验等数学活动的时空，这个老师对相应教学内容处理的思路是：借助旋转、动点和图形变换等手段对基本图形进行变换，通过探讨图形在运动过程中基本量及其关系的变与不变，探究动态型问题的规律。
这节复习课，正是在理清知识发生与发展脉络的前提下，教师对关键问题做出的恰如其分的处理，是教材的再创造过程。课堂实际的教学效果也印证了教师对教材的处理既符合了学生的实际，又培养了学生的能力。当然，对于不同类型的课，在教学内容的处理上侧重也要有所不同。
（三）教学方法和手段
俗语说：“教学有法，教无定法，重在得法，贵在用法”。所以教学方法并无好坏之分，关键是看其是否有利于学生的积极性的调动，是否有利于学生能力的开发和发展，是否有助于优化教学效果。虽然教法的选择服从于教学的目标，但是不同的教师、不同的教学内容，不同的学生所适用的教学方法是不同的。教师在课堂教学中应会根据实际情况，运用多种教学方法，所以，在教学方法的评价上应注意以下几点：
第一，要考虑教师的教学方法组合是否恰当，是否切合教学内容和教学目标。
第二，教师组合教学方法时是否符合下列原则：①以发展学生智能为出发点；②教学与学法的有机结合；③智力活动与情感活动互相配合；④取长补短优化组合。
第三，教学方法中是否有学生积极活动和参与的成分，是否注意到了多种不同方法的运用。
第四，教学方法有无独特之处，是否注意到了非智力因素（性格、情感、兴趣等）的培养。教师要根据教材的内容和学生的认知水平，以指导学生掌握知识和学习方法为目的，选择恰当的教学方法和教学手段，调动学生思维的积极性和主动性，激发学生学习的兴趣。
第五，教师是否采用了一些适应新教材特点的课堂教学方法，对于教材的运用是否体现出启发、说理、讨论、实践为主体的新教法。
新课程标准中对于推理与论证的学习要求：在探索图形性质、与他人合作交流等活动过程中，发展合情推理，进一步学习有条理地思考与表述。
案例3《平行四边形的性质》一节的教学方法就很好的注意了这个学习要求。
本节课的教学内容是平行四边形的三个性质，教学对象是初二年级的学生。由于学生前面已经学习了三角形的有关知识，初步具备了几何逻辑推理的能力，了解了一些几何图形性质的研究方法，比如：从边、角研究三角形的性质。但是在探索平行四边形的三条性质时，学生选取适合的学具、方法，进行正确的逻辑验证是关键，这对学生来说有一定困难。为此，本节课选择了教师引导发现、学生实验操作及小组合作探究相结合的组合式教学方法，注重了使学生经历观察、操作、推理等探索过程，使学生通过大量的感性认识以及多种感官的参与后得出结论，符合学生的实际情况，实验操作与小组合作的方法很好的调动了学生主动学习的积极性，所以教学方法的选择是恰当的、实用的、有效的。
具体操作：在学生分小组探究平行四边形的性质之前，提出明确的活动要求。先要求学生观察平行四边形，并从平行四边形在边、角、对角线等方面猜测有哪些结论，然后适当选用学具材料，采用度量、叠合、裁剪、拼图或其他可性的方法说明结论的正确性，把结论写在实验记录表上，并思考使结论正确的数学依据。
给小组足够的时间进行探究，让学生充分参与到活动中，教师以合作者的身份深入到各小组中，了解学生的探究过程并适当予以指导。
在学生充分活动的基础上，组织学生展示活动成果，相互补充，教师引导学生将探究出的结论按照边、角、对角线进行归类梳理，使知识的呈现具有条理性，并引导学生尝试用规范的数学语言对结论进行表述，提高学生的语言表达能力。同时对学生得到三条性质以外的性质（如，邻角互补等）加以肯定和鼓励，进一步激发学习和探究的热情。对于得到的不恰当的性质（如对角线平分一组内角等），肯定探索的热情和发言的勇气，及时进行纠正。
设计小组合作的探究形式，不但从多个角度丰富了学生解决问题的策略，完善了学生对平行四边形性质的认识；更为重要的是在这一过程中，让学生体悟到学习方式的转变，满足学生的多样化学习需求，并逐步提高与人合作交流的能力。
★小组合作探究性质的活动要求：
(1)观察平行四边形，猜测平行四边形在边、角、对角线上有哪些结论；
(2)适当选用学具材料，采用度量、折叠、裁剪、拼图等方法说明结论的正确性；
(3)结论写在实验记录表上；
(4)思考结论正确的数学依据。&
实验记录表
（四）教学过程
教学是按照一定的序列展开的，有着这样或那样的步骤，表现为若干个不同的环节。鉴于初中学生的心理特点及课堂教学的一般规律,初中数学课堂教学过程的环节可按:复习铺垫——情景引入——探求新知——落实巩固——课堂小结的程序进行。
评价时首要考虑的是，一堂课的课堂教学过程的结构是否合理。具体操作上通常关注三点：第一，要分析课堂教学安排的具体环节。各个环节所占的时间比例有多大，长短是否合适？既要发现教师精心设计和妥善安排的各项活动，充分发挥时空效能的一面，又要看到教师树立运用行之有效的课堂结构意识和能力薄弱的一面。第二、要分析每一个教学目标完成的情况。考察重点、难点的教学与教学高潮的呈现是否一致？学生是否充分发挥了主体作用，真正成为学习的主人？第三、各教学环节之间的过渡是否自然，整个教学过程结构是否流畅。
下面就谈谈这五个课堂教学环节的具体评价：
1.复习铺垫
学生对知识的接受和转化总是建立在旧知识的基础上。复习旧知识的目的在于对已学知识掌握情况进行信息反馈。它具有控制、调节教学活动、加强新旧知识的联系,从“温故”出发,激起学生对知识的深入追求欲望的积极作用。教师要善于从新知识相关联的若干旧知识中选择新知识的生长点,抓住新旧知识的连接点,提出启发、思考性强的问题,使学生感到“心求通而未达,口欲言而未能”从而激发学生尝试和探求新知识的欲望和兴趣。
案例4:《平行线的判定》一节的复习环节。
这节课设计了如下一组复习旧知识的提问:
问题1：如图，有我们学过的哪些角？它们之间有什么关系？
问题2：如图，你能用语言叙述这个图形吗？
你能找出图中哪些具有特殊位置关系的角吗？
问题3：同一平面内，两条直线的位置关系有哪些？
这组问题主要是从检查提问旧知识入手，对前面几节课的内容进行了总结梳理，一方面为理解新课作了必要的铺垫,使得新知识——平行线的判定——成为整个“三线八角”这段知识整体结构的一个自然发展,另一方面为学生新知识的学习做了预热准备，使得新知识成为一个容易从旧知识“进入”的最近发展区。基于以上准备，接下来本节课通过寻求三线八角中两个角的位置与数量关系，探寻平行线判定的关键条件就显得非常自然。
2.情境引入
新课标指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的．”新教材同时给我们提供了丰富多彩的现实情境．在实际教学中，有许多教材提供的引入材料可直接使用，但也有一些用起来不切合本校学生实际，在教学过程中应灵活处理，开发更好的情境材料．在情境引入中既要考虑学生的现实背景和知识背景，又要符合他们的接受能力和兴奋度，采取的形式又要多样化，才能使每节课的开端收到一个良好效果。因此，评价情境引入主要可以围绕以下三点：
（1）是否为本节课的学习内容提供了适合的生长点；
（2）是否激发了学生的求知欲；
（3）是否起到承上启下作用，消除了学生对知识的陌生感。
案例5：《平移变换》一节的引入环节。
充分利用先进的现代教学手段，搜集更多更广的现实材料（电梯、推拉的窗户……）作为教学情境引入，会在提高学生学习数学知识的兴趣的基础上，激发学生的求知欲．用学生身边的实例来引入，不仅引起了学生的关注，还启发学生举出了运动会跑步、升旗等与平移有关的实例，让学生感到了数学就在我们身边。
当然，任何形式的情境引入都应该落实到具体的教学中，在许多承接较严密的学习中，还可采用复习、回忆引入，效果亦佳．
3.探求新知
数学教学是数学活动的教学，数学学习不是单纯的知识的接受，而应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。从这个角度看，动手实践、自主探索与合作交流也是学习数学新知识的重要方式，因此，现实的和探索性的数学学习活动是数学探求新知的有机组成部分。教学中，教师要从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供充分地从事数学活动和交流的机会，促使他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验。因此，评价新知学习中的数学活动主要可以围绕以下四点：
（1）课堂教学活动的知识载体选择是否恰当，活动内容是否具有研究价值，是否有效的引发学生的数学思考。根据7—9年级学段的知识体系，不同版本的教材在教学内容的编排顺序上是有一定差别的，但是对于具体知识的呈现都体现出研究性的特征。教材中大多设置了丰富多彩的栏目，如华东师大版初中数学教材中设置了“阅读材料”“你知道吗”“试一试”“想一想”“读一读”“做一做”“思考”等栏目。以这些栏目为“路标”，教师可以给学生创设多样化的学习活动，引导学生充分参与课堂教学。
（2）课堂教学活动是否能激发学生的兴趣，给学生创设了广阔的参与空间，使学生有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。
（3）课堂教学活动中，教师的讲解是否具有启发性,教师的点拨是否具有针对性，教师的组织是否具有有序性。
（4）课堂教学活动是否对引导学生联想、拓展、变化、延伸、总结反思和提炼规律起到促进作用。
案例6：《探究三角形全等的条件（2）》一节的新知学习环节。
&数学活动一&：认识满足六个条件中的三个条件的分类情况。
探究问题：当只满足六个条件中的三个条件时,两个三角形能够全等吗?
追问：三个条件时，可以分为哪些情况呢？
[教学处理]
①让学生一边思考，一边将各种情况写在笔记本上。让学生在书写的时候用字母表示边和角。从而有利于学生考虑可能存在的位置问题。
②小组成员进行交流、相互补充，并回答问题。
③教师在几何画板上进行标图，从而进行分类。
④分类结束后，教师要提出分类讨论的思想。
应分为六种情况：AAA、AAS、ASA、SAS、SSA、SSS
因此，我们要探究满足三个条件时两个三角形是否全等应当分成六种情况分别进行讨论。
●教师设计的这个活动内容，是以满足六个条件中的一个条件、两个条件以及三个条件为研究线索展开的，特别是本节课对四大类六种情况的正确分类，需要学生全面认识不同条件下的所有情况，这正是分类讨论思想渗透的最佳载体，因此活动具有知识学习与思想方法的双重研究价值。
●整个活动按“学生独立思考——分组讨论——小组交流——师生补充修正——归纳四类六种情况”有序过程组织实施，其间学生获得了足够的时间与空间经历活动过程，高质量的独立思考，为有价值的交流提供了保证，学生的参与面广、参与度高。
●在小组汇报探究结果的过程中，教师强调用字母表示不同情况的点拨具有针对性，，填补了学生思维的欠缺，引发了学生在位置关系上的思考，从而为四大类六种情况的得出做好了充分准备。
&数学活动二&：探究ASA公理活动
●由于这个老师的学生探究活动的经验不多，为了培养学生探究的能力，老师采用小步走的策略，在活动前明确活动的基本要求和步骤，为学生搭好开展活动的台阶，整个活动体现了有序和可控的特点。
●在小组交流阶段，采用了由组长汇报的方式，一方面，汇报的学生层次比较单一，如果能让不同学习能力层次的学生都参与汇报，那么就能更好的反馈活动的质量；另一方面，汇报都是口述方式，如果能让学生通过实物投影展示重合情况，学生更能直观的感知和理解判定全等的条件特征。
课堂教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的数学教学活动是学生学与教师教的统一，学生是数学学习的主体，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。只有重视数学活动，才能真正的由单一的“教师讲学生练”转变为“教师引导与学生探索”相结合的过程。
4.落实巩固
课堂巩固练习是教学活动的重要环节，在进行一段相对独立的教学活动之后，给学生布置适当数量的练习，既能起到巩固知识、发展学生思维能力的作用，又能了解学生学习的状况。从一定意义上说，练习不仅是对学生学习的要求，也是对学生学习状况的评估手段。
在评价课堂练习时主要应该关注以下几方面：
第一，课堂练习的题目内容是否具有针对性。由于课堂练习伴随教学活动进行，其主要目的是让学生对课上学到的知识及时理解、消化、应用，因此，教师要根据教学目标、教学重点、难度、易混淆的知识点设计有针对性的练习题，而不能面面俱到，使学生抓不到重点，起不到强化新知识的作用。
第二，课堂练习的题目数量、难度是否适度。由于课堂上给予学生静心思索的时间有限，要能够在较短时间内既达到巩固所学知识的目的，又不能让学生感到负担过重，课堂练习的题目一般数量要控制适量，使学生当堂理解、消化所学内容。同样课堂练习的难度要适中，难度大了，会使学生产生畏难情绪，降低学习的积极性，难度小了，会使学生产生放松心态，感到没有挑战性。
第三，课堂练习的题目是否具有思维训练点。应寓思维训练于课堂练习的全过程之中，着重培养学生从多方面、多角度、多途径地寻求答案，使学生的思维品质和创造性思维能力得到培养和发展。比如：设计一题多解的题目，使学生从多角度理解问题，使他们对问题积极探讨各种方法，并对比这些方法的优劣，学会选择最优的方法解决问题。
案例7：《梯形》
这节课教师采用分步落实新知的教学策略，如：在梯形概念学习后安排了“做一做”的练习来巩固对梯形概念的理解。
概念：一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形是梯形
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD,
若连结BD,则图中有哪些角与∠DBC相等？并说明理由.
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，
∠B=60°，∠C=30°若延长BA、CD交于点E，
试判断△BCE的形状.
已知：如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，
∠C=30°，若过D作DE∥AB交BC于E,试判断△DCE的形状.
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，
∠C=30°，若AD=6，AB=4，过点A作AE⊥BC于E，
过点D作DF⊥BC于F.求：BC.
这组例题及其变式的应用练习，注意了题目的数量和难度的适量，并且题目间设置了坡度，体现了逐步深入的层次性，题目的设计思维含量较高，使学生始终处于一种“能看到，但必须跳一下才能够得着，得到了又有新目标出现”的学习情境中，对学生具有挑战性。同时，不同题目中添加的变式线段正是梯形解决问题时常见的辅助线，在此对学生进行渗透，为后续的利用辅助线进行转化的学习打下了基础，起到了承上启下的作用。
5.课堂小结
课堂小结是任何类型的课堂教学都必不可少的组成部分。每一节课结束时，教师都需要对教学内容、思想方法等进行归纳总结、概括提升、拓展延伸，以增强教学内容的系统性，使学生对所学知识形成系统，并使学生对知识的理解向更高一层级转化、升华。当然，在这个环节中，也可通过设置疑问、留下悬念来激发学生的学习兴趣和求知欲望，启发学生的思考。
案例8《全等三角形》的课堂小结环节
老师对课堂小结的设计思路是：从知识和方法两条主线，引导学生提纲挈领地对本节课的重点内容、难点、知识结构、基本图形、基本技能等进行梳理和概括。
提问：本节课从知识、方法等方面你都有哪些收获？
（1）全等三角形及其性质和应用。
（2）全等三角形的对应元素的确定方法：
①有公共边的，公共边一定是对应边；
②有公共角的，公共角一定是对应角；
③有对顶角的，对顶角一定是对应角；
④两条最长(短)边是对应边，最大(小)角是对应角；
⑤全等三角形的对应角（边）所对的边（角）是对应边（角）。
[方法]：常见图形
这节课在小结过程中，教师先是引导学生回顾学习的过程，再是给学生充分思考与畅谈交流的空间，最后根据学生的回答，教师与学生一起有条理的从知识与方法两方面进行总结归纳，并以多媒体辅助展示，使学生对整节课的脉络建立了系统而清晰的认识。
（五）教学效果
新的教学理念主要是以学生发展为本，在价值观上一切为了学生，在伦理观上高度尊重学生，在行为观上充分依靠学生，因此课堂教学效果的评价主要是对学生课堂学习过程的评价，显现在课堂教学的主体——学生身上，主要考察学生在课堂上的三种学习状态，即：学生的参与状态；学生的交流状态；学生的达成状态。
1.评价学生参与状态
好的课堂应该有思维的碰撞、有争论、有遇到困难的迷茫、有顿悟后的豁然开朗等等。这就需要教师努力创设课堂情境，激发学生的学习情趣，使课堂上人人参与，个个活跃，让各层次的学生都能积极地参与到课堂教学的每一个环节中来，并在参与的过程中体验学习的快乐，获得心智的发展。
（1）看多样性：学生参与教学活动的形式是否多样，如：师生谈话、合作交流、动手实践、自主探究等。
（2）看广泛性：学生是否很投入地参与数学教学的全过程，每一位学生是否都有参与教学活动的机会。
（3）看深刻性：学生在参与教学活动中是否进行深层次了的思考和交流；
2.评价学生的交流状态
能运用所学的知识发现、提出并解决日常生活中的数学问题，能和同伴解决问题并表达解决问题的过程，是数学课程标准在“解决问题”目标中提出的要求。好的课堂一要看课堂上是否有多边、丰富、多样的信息交流与反馈，即能构建师生、生生和媒体之间的信息交流的立体结构；二要看课堂上是否有良好、有效的人际交往与合作的氛围，学生是否愿意互相交往，能够与人合作，懂得尊重别人、取长补短。
3．评价学生的达成状态
由于新教材既要求帮助学生掌握知识，又要求促进学生的发展，因此，考察一堂课是否达到预期的教学目标，既要看知识效率——“双基”的达成情况；又要看能力效率——学生素质提升的情况。传统的课堂教学评价往往只看知识目标的达成情况，忽视学生素质提升的情况。有些教师不认同新教材的课堂教学方式，就是还没有从“仅关注知识目标”的思维定势中跳出来。当然，我们也不能走极端：盲目追求所谓的素质提升，忽视知识目标。
在课堂评价中对学生学习目标的达成，主要关注：
（1）学生能否切实掌握基本知识和基本技能，应用所获知识解决实际问题，并将这些新知识纳入到自身原有的知识体系中融会贯通。
（2）学生是否能独立思考，掌握学法，大胆实践，并能自评、自检和自改。
（3）学生是否多向观察，善于质疑，变式思维，举一反三，灵活实践。
（4）学生能否把经过猜想、探索发现的结论作为新的思维素材，去努力探索，再去进行新的发现。
案例9：《多项式除以单项式》
【复习铺垫】
首先教师出示一组复习题：
●在有理数范围内加法和减法可以统一，乘法与除法能否统一？
●乘法有分配律公式，除法有没有分配律公式，能否转化过来？
●多项式怎样除以单项式？
师：同学们仍以小组为单位讨论，并举例说明。
（学生分为六个小组开始讨论，有查资料的，有翻笔记的，更多的是相互讨论。教师巡视并不时进行指点。）
师：同学们完成讨论，各组选一名同学代表本组上讲台汇报你们组的讨论结果。
（各组派出一名代表，叙述他们的理由与结论，其间其他同学对回答持不同意见的进行辩解、质问，气氛十分活跃。）
【探究新知】
教师出示探究题：
师：这是一个多项式除以单项式题，用学过的知识能否解决，怎样转化？争取寻求出解决方案。
课堂上学生思索着，随之在小组内开始讨论，气氛非常活跃，有的学生将讨论延伸到组间，不再受座位约束，寻求更广泛的交流。此时学生处于一种积极、兴奋的探究之中，每一个学生都在积极地思考着，辩论着，交流着，学生的主体性得到进一步体现。教师引导学生自主探索研究，寻找答案，解决问题。这看似“混乱”的课堂，其实真正体现了出学生学习的主体性、参与性。
师：有结果后，请后边三个小组派代表上讲台把结果写出来，并说出理由。其余同学观看他们的做法和答案，听他们的理由，与自己的理解有什么不同。
理由：除法可以转化为乘法，乘以d的倒数就可以了，这样就能用乘法的分配律了。
理由：可以写成分数形式加，应用分数运算法则也能计算出来。
理由：我们猜想，试着用分配律的方法计算，然后再把商相加，结果和他们一样，而且
计算还简便。
师：同学们不仅得到多项式除以单项式的结果，还能说出解题依据和解题过程，这就是所谓不仅要知其然，还要知其所以然。学习知识要知道知识的来龙去脉，不能用简单套用公式，机械重复。在以后的学习中，要继续采用这种学习方法。刚才的结果是用三种方法计算出来的，结果是一种的。尤其第三组的方法是猜出来的，为了进一步验证这些方法，再计算两道题，用不同的方法，看结果是否一致。
教师出示习题：
1：&&&&&&&2：
学生：紧张的运算，并跃跃欲试，争相向老师报告结果：三种方法计算的结果都是一样的，而且第三种方法简便。
师：我们已经掌握了计算多项式除以单项式的方法，那么其运算规律是什么呢？请同学们总结一下。
（学生又开始热烈地讨论）　　　……
师：请同学们将总结出来的法则说一说。
师：大家打开课本，看我们总结出的法则与课本上有什么不同。
教师基本没有讲解，知识点是在教师的引导下学生自主探索出来的，训练是在教师与同学的帮助下进行的，课堂练习量大，学生当堂完成作业，整个过程是探索加点拨，接着巩固训练。课堂上体现出更多的是生生间交流，师生间辅导合作。既调动了学生积极参与的热情，又激发了学习兴趣还减轻了老师的负担。
课堂上教师也没有过多的集中点拨，而是在对学习有困难的同学进行帮助，学习基础稍差的几个学生基本能在交流中及时得到老师与同学的指点和帮助，排除了他们学习中的障碍。点拨不一定是让所有的学生停下来都听教师讲说，要灵活应用，因为有困难的是部分，全部停下来是对好同学是一种时间的浪费。从课堂巩固练习的反馈可以看到，学生对知识的掌握情况也比较好，体现了较高的目标达成度。
评价的目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学；评价目标多元、方法多样．对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们的学习过程；要关注学生学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。使数学教育面向全体学生，实现人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。
三、数学课堂教学评价的基本要领
（一）评价方法要科学
尽管受地区、年级、目的等因素的影响，数学课堂评价很难有一个通用的标准，但是评价作为一种质量分析，其衡量标准所涉及的基本因素还是比较相通的，常用的方法有：1、整体入手、综合分析法：首先从整体看教学过程是怎样安排的，有几个大的教学步骤；其次由整体到部分，逐步分析各个教学步骤；最后从部分到整体，将各个教学步骤理出的内容汇总起来。2、化整为零，单项分析法：评价一节课也可以针对自己观察体会最深、感触最大，认识最明显的内容着手，选择一个或几个突出的角度进行评价。这种方法由于关注的是具体环节，因此更注重的是细节上的评价与分析。3、寻找特点、特色分析法：主要是针对教师的教学特点和教学风格进行评价，可能是他教学成功的闪光点，也可能是他教学区别于别人的创新之处，更可能是他教学失败或有待改进的地方。因此，作为评价者必须善于观察，发现特点、捕捉特点、总结特点，才能使自己的评价客观并具有说服力。
（二）评价形式要多样
评价的形式一般有：1、自评：上课教师可以进行自评，谈谈本节课的教学设计思路，有哪些是自己比较满意的，有哪些是比较遗憾的对某些教法处理的思路和合理性，可以达到自我反思的作用。2、师评：首先授课教师介绍自己教学方案设计的意图及对教学目的、教材的认识和选择教学方法的依据；评价的教师根据自己听课的情况以及授课教师的介绍，发表各自的看法，进行充分的讨论交流；最后参与评价的教师要能切切实实的归纳出几条值得借鉴的成功经验，使参与听课的教师有所收获，同时也要整理突出的问题和改进的建议，以便授课教师采取有针对性的教学调整。在组织形式上采用问答谈话的方式，也可以分为一些小组进行讨论，使得更多的老师能进行思考和充分地交流，再让小组代表进行交流发言，使得发言的质量更高些。3、生评：为了及时把握反馈信息，增强学生的主动性意识，体现教学民主，也可以直接听取一些同学的意见和建议，由学生结合自己的学习对教师的讲解发表自己的看法，重点关注的是学生的真实感受。
（三）评价内容要到位
评价要本着实事求是的态度，以科学的理论为依据，用事实说话，不带任何偏见，恰如其分地进行评价。这就要求在评价时，应该以事实为依据，要在收集好评价证据的基础上施评。怎样收集评价证据？第一，动眼多观察：对学生和教师行为看到些什么；第二，运用放大镜多展示过程：学生和教师怎样去做所应做的事；第三，动耳多倾听：学生和教师讲了些什么；第四，动笔多统计：教师所做事的次数有多少；第五，动表多计时：教师在不同活动上花的时间有多长。好的评价既能对课堂教学的成败得失及其原因作切实中肯的分析，有能从教育理论的高度对一些现象做出正确的解释。
苏赫姆林斯基对教学评价工作备加推崇。他认为“听课、分析课，这件工作科学水平的高低，关系到许多方面。整个教学过程的文明，取决于课堂教学每天都要有所改进，而改进课堂教学，就需要对课进行深思熟虑的分析评价”。随着新课改的不断深化，课堂教学评价一定会起到更重要的作用，也一定会引起更多教育同行们的高度重视。