线性代数 方阵的行列式的性质：请证明方阵的行列式的性质：A,B为方阵,则AB乘积的行列式等于A的行列式与B可否这样证明：令D=[A O] 是一个分块矩阵[-E B]det(D)=detAdetB经过初等变换 D[A AB] [-E O ] 变换的过程很就是把原来O的位置构造出AB det(D)=det(AB)所以det(AB)=detAdetB能否把子块矩阵当做矩阵元素,用相同的行列式性质像上面那样变换处理
可以.需注意:1.某行的K倍加到另一行时要左乘K,列变换时右乘K2.分块矩阵不满足对角线法则行列式0 AmBn 0= (-1)^mn |A||B|
你说的K是——可以和子块矩阵相乘的矩阵吗
你对D做的变换,就是把 第1列的B倍加到第2列
那岂不是定义重复，或者证明本身又要用到待证 的性质
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AB的行列式值=A的行列式值乘以B的行列式值
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孩纸啊`这不一样的么
A-E`在A不等E的情况下`行列式值可以为0了``
你要的证明不就不成立了么``
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十载 发表于
应该要N阶方阵 ``不同阶怎么乘啊```
你假设A只有一个特征根为1,A-E的值是0吧`但A不等于E啊`` ...
我少写了一点&&我的意思是A不等于E&&能否推出A-E的行列式值不等于0？
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这个前提条件是什么？&&
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AB均为方阵
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ssqaaaaaaaaa 发表于
AB均为方阵
是不是要同阶方阵啊？&&还有我想问下&&A不等于E 能否推出A-E不等于0啊& &我是这样想的& &A-E不等于0& &&&A-E的行列式值乘以E的行列式值不等于0& &&&E不等0& &所以A-E的行列式值等于0& &这个想法哪里错了啊
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应该要N阶方阵 ``不同阶怎么乘啊```
你假设A只有一个特征根为1,A-E的值是0吧`但A不等于E啊``
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<font color="# 发表于
是不是要同阶方阵啊？&&还有我想问下&&A不等于E 能否推出A-E不等于0啊& &我是这样想的& &A-E不等于0& && &...
A不=E&&推不出 /A-E/不=0
例:A=第一行1 0&&第二行0 0，这时/A-E/=0
又例:A=第一行2 0&&第二行0 2，这时/A-E/=1
你的问题在:/A-E//E/为什么=0?
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Powered by Discuz!想请教各位大神，方阵行列式的本质是什么？其定义就是几个数字加加减减，但是其有独特的性质，所以我觉得其应该是有本质含义～求教（抱拳）
行列式这个“怪物”定义初看很奇怪，一堆逆序数什么的让人不免觉得恐惧，但其实它是有实际得不能更实际的物理意义的，理解只需要三步。这酸爽~1，行列式是针对一个的矩阵而言的。表示一个维空间到维空间的线性变换。那么什么是线性变换呢？无非是一个压缩或拉伸啊。假想原来空间中有一个维的立方体（随便什么形状），其中立方体内的每一个点都经过这个线性变换，变成维空间中的一个新立方体。2，原来立方体有一个体积，新的立方体也有一个体积。3，行列式是一个数对不对？这个数其实就是
，结束了。就这么简单？没错，就这么简单。所以说：行列式的本质就是一句话：行列式就是线性变换的放大率！理解了行列式的物理意义，很多性质你根本就瞬间理解到忘不了！！！比如这个重要的行列式乘法性质：道理很简单，因为放大率是相乘的啊~！你先进行一个变换，再进行一个变换，放大两次的放大率，就是式子左边。你把“先进行变换，再进行变换”定义作一个新的变换，叫做“”，新变换的放大律就是式子右边。然后你要问等式两边是否一定相等，我可以明确告诉你：too simple 必须相等。因为其实只是简单的把事实陈述出来了。这就好像：“ 你经过股票投资，把1块钱放大3被变成了3块钱，然后经过实业投资，把3块钱中的每一块钱放大5倍成了5块钱。请问你总共的投资放大率是多少？”翻译成线性代数的表达就是： （如果有幸过50赞，我就明天再追加点行列式更好玩的东东，太晚了睡觉去了。晚安）——————————————————————————————————————————好的已经过50了，我来解锁新的体验哈~上回咱们说到行列式其实就是线性变换的放大率，所以你理解了：那么很自然，你很轻松就理解了：so easy，因为同时你也必须很快能理解了 “矩阵可逆”
完全等价于
“”因为再自然不过了啊，试想是什么意思呢？不就是线性变换把之前说的维立方体给拍扁了啊？！这就是《三体》中的”降维打击”有木有！！！如来神掌有木有！！！直接把3维立方体 piaji一声~一掌拍成2维的纸片，纸片体积多少呢？当然是 0 啦！请注意我们这里说的体积都是针对维空间而言的， 就表示新的立方体在 维空间体积为0，但是可能在维还是有体积的，只是在 维空间的标准下为0而已。好比一张纸片，“2维体积”也就是面积可以不为0，但是“3维体积”是妥妥的0。所以凡是的矩阵都是耍流氓，因为这样的变换以后就再也回不去了，降维打击是致命性的。这样的矩阵必然是没有逆矩阵 的。这就是物理意义和图象思维对理解数学概念的重要性。当然要证明也是小菜一碟轻而易举的：由
这怎么可能啊~？ 了，那么等于多少呢？毫无办法，只能不存在。一个矩阵怎么可能行列式不存在呢？只能是因为 不存在。所以自然不可逆。（如果有幸过1000赞，我就再追加点行列式更亮瞎双眼的性质。）——————————————————————————————————————————YES！竟然真的过1000了，我来说点儿烧脑的，第一次看以下结论如果没有毁三观亮瞎双眼的刺激感，请接受阿哲的膝盖：傅里叶变换也可以求行列式！！！是的你没有听错，大名鼎鼎的傅里叶变换
居然也可以求行列式！！！首先一定有很多人要问责我，是不是没有学过行列式，因为按照绝大多数教科书来说，行列式是这样定义的：然后还有什么好说的，拿到一个矩阵各种化简然后算就好了呗，可是怎么说傅里叶变换也可以求行列式？傅里叶变换又不是一个矩阵，更别说矩阵元了。我在痴人说梦吗？但是，等等！桥度麻袋，“傅里叶变换”里面有个"变换"，难道它也是“线性变换”？！！！一检查，尼玛还真的是。所有函数就组成了一个向量空间，或者说线性空间。可是为什么呢？从高中咱们就熟悉的明明是函数啊，怎么就变成了向量呢？向量不是一个维空间中的箭头吗？长得也不像啊。其实 “所有组成的集合” 确实满足一切线性空间的定义，比如：1，向量和向量可以相加，并且有交换律2，存在零向量 ，即处处值为零的函数3，任何一个向量都存在一个与之对应的逆向量，使得相加之和等于零向量 以及存在数乘以及分配率等性质…… 总之“所有向量组成的集合”完美满足线性空间的8条黄金法则。艾玛真是亮瞎了俺的钛合金左眼，原来咱们熟悉的函数身世可不一般啊，其实它是一个掩藏得很好的向量！！！对，我没有说错，因为所有函数组成的集合构成了一个线性空间！而且还是无穷维的线性空间！！！阿哲校长感动得哭了 T____T好，下面准备亮瞎钛合金右眼吧~一旦接受了向量是向量的设定，周围的一切都变得有趣起来了！轶可赛艇！！！接下来不妨思考一下，傅里叶变换
是把一个函数变成了另一个函数，难道不可以理解为把一个线性空间中的向量变成了另一个线性空间中的向量吗？ 我整个人都咆哮了！！！而且这个变换是妥妥的线性的，完美地满足线性变换的定义：
因为积分变换的线性性：的傅里叶变换的傅里叶变换+的傅里叶变换加法达成。当然数乘也轻松满足：于是乎，我们通过以上内容知道了一个重要的结论：傅里叶变换其实也是线性变换，所以也可以求行列式！！！（其实傅里叶变换作为一个线性变换不但可以求行列式，更可以求它的特征向量！！比如，以及其他很多很多牛逼的东东，恭喜你又一扇新世界的大门被打开了。千万不要小看傅里叶变换，比如量子力学不确定性原理的秘密就都在这里了）言归正传那么傅里叶变换神秘的行列式的值 究竟是多少呢？难道这个无穷维线性变换也可以求出行列式吗？（真相只有一个！只要收集到2000个赞阿哲就把 求出来给你看~
求分享O(∩_∩)O~）————————————————————————————————————————OK，判定条件触发开始求。很明显的问题是这是一个比较困难的问题，如果不太困难的话评论中应该有人po出了答案。因为求傅里叶变换的行列式让我们觉得没有工具可以用，行列式的定义式毫无用武之地。毕竟没有谁能够写出傅里叶变换的矩阵表达式并套用公式。所以一定要用到其他的化简办法，例如对称性啊等等。不妨先回顾一下之前的结论，对于任何可逆线性变换有如下性质：如果把傅里叶变换看做是一个无穷维的，那么也一定满足这个性质。所以只要求出了傅里叶变换的逆变换的行列式，求一个倒数就得到了傅里叶变换的行列式。艾玛~ 问题变得更难了。傅里叶变换的逆变换？还好我学过。。。若傅里叶变换是：
则它的逆变换是：
（说明傅里叶变换可逆，因为表达式都出来了）现在的问题是，正负变换，我都不会求行列式，唯一知道的是
为之奈何？我们还需要至少一个表达式能够反映二者的关系，连立起来才能够求解。没问题，因为这两个变换真是太像了，像到几乎完全对称。差异点仅仅在于逆变换多一个乘积系数，以及积分因子多了一个负号。除此之外完全是同一个线性变换。而积分因子多一个负号是什么意思？意味着复数空间的手性定义相反，变成了，左手变成右手，或者说虚数部分取负号实数部分不变。这样的手性改变，并不会改变线性变换的体积放大率（之前的知识）。于是乎在线性变化的方法率的意义下，傅里叶变换和它的逆变换放大率是一样的（还差一个乘积系数）。于是也就是说结合之前的式子 我们很容以得到 （更严格来说更对称的傅里叶变换版本的行列式为1）我去，真的可以求啊。是的，你已经求出来了，虽然神一般的无穷维行列式的计算公式并没有出现，但你确实求出来了。而且阿哲再附送大家一个彩蛋：都说求导可以把一个函数变成另一个函数，如果我们把“求导这个操作”当做是一个线性变换，发现其实也是完全合理的：线性性完美地满足:
那么请问"求导作为函数空间下的线性变换行列式”等于多少呢？思考一下。。。再思考一下。。。前方剧透请小心手滑！！！。。。因为，它是不可逆的！你要问我兹次不兹次？我可以明确告诉你，不可逆的线性变换都是耍流氓，行列式都等于零。不要没事就搞个大新闻。（全剧终，其他文章连载继续。时间太少更新不够勤，请多包涵。另外数学中的严格性在本文中并不能体现，也请海涵。）★★★★★
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&b&几何的观点&/b&：如果把方阵视为线性变换，则其行列式的绝对值表示该线性变换造成的体积元的变化系数，行列式的符号反映了基底的定向变化。&br&&br&比如，行列式可表示平行四边形或平行六面体的有向面积/体积，因为平行四边形和平行六面体实际上分别是平面和空间中另一组基底构成的面积元/体积元。&br&&br&比如，行列式为零，表示线性变换是奇异的，即把原空间的体积元变成零了，一一对应就不存在了&br&&br&又比如，导数实际上是线性变换 (微分实际上是两个切空间之间的线性变换，比如一元函数实际上是一维实轴到一维切线之间的线性变换，得到的斜率只是一个数，但实际上是1x1矩阵)，于是积分变换中的Jacob行列式实际上是此线性变换的行列式，它的绝对值是体积元dxdydz的系数。&br&&br&&b&代数的观点&/b&: 行列式无非是方阵的一个函数，但它是一种反对称多重线性型，比如&img src=&///equation?tex=f%28%5Calpha+x_1%2Cx_2%2Cx_3%29%3D%5Calpha+f%28x_1%2Cx_2%2Cx_3%29& alt=&f(\alpha x_1,x_2,x_3)=\alpha f(x_1,x_2,x_3)& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=-f%28x_1%2Cx_2%2Cx_3%29%3Df%28x_2%2Cx_1%2Cx_3%29& alt=&-f(x_1,x_2,x_3)=f(x_2,x_1,x_3)& eeimg=&1&&，多重线性性体现在每一行或每一列的线性性质，反对称体现在两行或两列交换后变负。同为行和列的反对称多重线性型，行列式的计算方式也就确定了。&br&&br&这两种观点都不允许非方阵的行列式的定义。&br&&br&===============================================================&br&补充一下，问一个数学工具的本质，窃以为并不妥当，有一点追求终极真理的感觉，在哲学上并不能自洽。不如先看一下它的历史，然后再观察一下它有哪些深刻的应用。&br&&br&历史上，行列式先于矩阵，用于求解线性方程。行列式是否为零可用来判定一个线性方程是否有解，然后Cramer规则直接用行列式给出线性方程的解。随后，行列式才被视为一个矩阵的函数。&br&&br&数学上的两条重要的主线：解方程和微积分在线性代数上统一起来了，因为微分实际上就是一种线性逼近。因而，矩阵和行列式在这其中起到的作用就非常深刻了。而行列式作为一个函数具有的反对称线性性在抽象代数是一个非常重要的概念。&br&&br&所以说，行列式只不过是数学家在解决实际问题时发明的一个很好用的工具，恰好它又可以在许多的应用中发挥作用。&br&&br&================================================================&br&再补充一下，几个常用的行列式应用&br&&br&&ol&&li&积分变换与Jacob行列式 (体积元都为正，所以取行列式的绝对值)&br&&img src=&///equation?tex=%28v_1%2C%5Ccdots%2Cv_n%29%3D%5Cvarphi%28u_1%2C%5Ccdots%2Cu_n%29+%5CRightarrow+dv_1+%5Ccdots+dv_n+%3D+%7C%5Cdet%28%5Coperatorname%7BD%7D%5Cvarphi%29%28u_1%2C+%5Cldots%2C+u_n%29%7C+%5C%2C+du_1+%5Ccdots+du_n& alt=&(v_1,\cdots,v_n)=\varphi(u_1,\cdots,u_n) \Rightarrow dv_1 \cdots dv_n = |\det(\operatorname{D}\varphi)(u_1, \ldots, u_n)| \, du_1 \cdots du_n& eeimg=&1&&&br&&/li&&li&Cramer规则&br&&img src=&///equation?tex=Ax%3Db& alt=&Ax=b& eeimg=&1&&的解为&img src=&///equation?tex=x_i%3D%5Cfrac%7B%7CA_i%7C%7D%7B%7CA%7C%7D& alt=&x_i=\frac{|A_i|}{|A|}& eeimg=&1&&，其中&img src=&///equation?tex=A_i& alt=&A_i& eeimg=&1&&为将&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&的第&img src=&///equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&列换成&img src=&///equation?tex=b& alt=&b& eeimg=&1&&&br&&/li&&li&平行四边形面积，从原点出发的两个矢量&img src=&///equation?tex=%5Cboldsymbol%7Bv%7D_1%2C%5Cboldsymbol%7Bv%7D_2& alt=&\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2& eeimg=&1&&构成的平行四边形的有向面积为&br&&img src=&///equation?tex=%5Coperatorname%7Bdet%7D%28%5Cboldsymbol%7Bv%7D_1%2C%5Cboldsymbol%7Bv%7D_2%29%3D%5Cleft%7C%5Cbegin%7Bmatrix%7Dv_%7B11%7D%2Cv_%7B21%7D%5C%5Cv_%7B12%7D%2Cv_%7B22%7D%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%7C& alt=&\operatorname{det}(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2)=\left|\begin{matrix}v_{11},v_{21}\\v_{12},v_{22}\end{matrix}\right|& eeimg=&1&&&br&&/li&&li&平行六面体体积&br&&img src=&/c1b9f446a50ed2cbd50704bae85dbc89_b.png& data-rawwidth=&803& data-rawheight=&149& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&803& data-original=&/c1b9f446a50ed2cbd50704bae85dbc89_r.png&&&/li&&li&叉乘的另一种定义&br&&img src=&///equation?tex=%28x_1%2Cy_1%2Cz_1%29%5ET%5Ctimes%28x_2%2Cy_2%2Cz_2%29%5ET%3D%5Cleft%7C%5Cbegin%7Bmatrix%7Di%26j%26k%5C%5Cx_1%26y_1%26z_1%5C%5Cx_2%26y_2%26z_2%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%7C& alt=&(x_1,y_1,z_1)^T\times(x_2,y_2,z_2)^T=\left|\begin{matrix}i&j&k\\x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\end{matrix}\right|& eeimg=&1&&&br&&/li&&li&判断共面&br&&img src=&/ab85a0dacfcab3de9c45_b.png& data-rawwidth=&694& data-rawheight=&175& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&694& data-original=&/ab85a0dacfcab3de9c45_r.png&&&br&&/li&&li&判断共圆&br&&img src=&/3a2199fcdf90ffbe61a826b24a9d14a0_b.png& data-rawwidth=&664& data-rawheight=&427& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&664& data-original=&/3a2199fcdf90ffbe61a826b24a9d14a0_r.png&&&/li&&/ol&
几何的观点：如果把方阵视为线性变换，则其行列式的绝对值表示该线性变换造成的体积元的变化系数，行列式的符号反映了基底的定向变化。比如，行列式可表示平行四边形或平行六面体的有向面积/体积，因为平行四边形和平行六面体实际上分别是平面和空间中另一…
12月18日更新：通过定义函数空间，给出构造性证明并推导出表达式。嗯，有时间再更新性质吧~&br&更新内容链接：&a href=&///?target=https%3A///Alfred/note/247066& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&& 行列式：作业部落 Cmd Markdown 编辑阅读器&i class=&icon-external&&&/i&&/a&（截图内容）&br&&br&嗯，偶要开始认真答题啦~
&br&&br&-------------------我----------是---------分------------割-----------线----------------------&br&先来说结论，数域&img src=&///equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&&上的&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&阶行列式,其&i&&u&&b&等价定义&/b&&/u&&/i&是&br&&br&&blockquote&定义在&img src=&///equation?tex=M_n%28K%29& alt=&M_n(K)& eeimg=&1&&上，满足如下条件的数量函数：&br&&ol&&li&列线性性&/li&&li&列反对称性&/li&&li&规范性&/li&&/ol&&/blockquote&&br&&br&-----------------------------等----价----定----义----证----明-------------------------------&br&符号说明：&br&&ul&&li&&img src=&///equation?tex=%5Cvarepsilon_i& alt=&\varepsilon_i& eeimg=&1&&为第&img src=&///equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&个分量为&img src=&///equation?tex=1& alt=&1& eeimg=&1&&，其余分量为&img src=&///equation?tex=0& alt=&0& eeimg=&1&&的列向量。&br&&/li&&li&&img src=&///equation?tex=%5Calpha_1%2C%5Calpha_2%2C%5Ccdots%2C%5Calpha_n& alt=&\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n& eeimg=&1&&分别对应矩阵第1列，第2列,&img src=&///equation?tex=%5Ccdots& alt=&\cdots& eeimg=&1&&,第n列的列向量。&br&&/li&&li&矩阵&img src=&///equation?tex=A%3D%28%5Calpha_1%2C%5Calpha_2%2C%5Ccdots%2C%5Calpha_n%29%3D%28a_%7Bij%7D%29& alt=&A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)=(a_{ij})& eeimg=&1&&&br&&/li&&/ul&&br&&blockquote&定义&img src=&///equation?tex=M_n%28K%29& alt=&M_n(K)& eeimg=&1&&上的数量函数&img src=&///equation?tex=f%28%5Calpha_1%2C%5Calpha_2%2C%5Ccdots%2C%5Calpha_n%29& alt=&f(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)& eeimg=&1&&&br&满足如下条件&br&&ul&&li&列线性性：&img src=&///equation?tex=f%28%5Ccdots%2Ck%5Calpha_i%2Bl%5Cbeta_i%2C%5Ccdots%29%3Dkf%28%5Ccdots%2C%5Calpha_i%2C%5Ccdots%29%2Blf%28%5Ccdots%2C%5Cbeta_i%2C%5Ccdots%29& alt=&f(\cdots,k\alpha_i+l\beta_i,\cdots)=kf(\cdots,\alpha_i,\cdots)+lf(\cdots,\beta_i,\cdots)& eeimg=&1&&&br&&/li&&li&列反对称性：&img src=&///equation?tex=f%28%5Ccdots%2C%5Calpha%2C%5Ccdots%2C%5Calpha%2C%5Ccdots%29%3D0& alt=&f(\cdots,\alpha,\cdots,\alpha,\cdots)=0& eeimg=&1&&&/li&&li& 规范性：
&img src=&///equation?tex=f%28+%5Cvarepsilon+_1%2C%5Cvarepsilon_2%2C%5Ccdots%2C%5Cvarepsilon_n%29%3D1& alt=&f( \varepsilon _1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)=1& eeimg=&1&&&br&&/li&&/ul&&/blockquote&&b&&u&&i&我们断言，这样的数量函数&img src=&///equation?tex=f%28%5Calpha_1%2C%5Calpha_2%2C%5Ccdots%2C%5Calpha_n%29& alt=&f(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)& eeimg=&1&&存在且唯一，而行列式满足上诉性质，所以有我们开头所说的等价定义&/i&&/u&。&/b&&br&&br&&br&&ul&&li&&b&存在性：&/b&&/li&&/ul&显然行列式函数满足上述条件，所以满足上述性质的数量函数存在。&br&&ul&&li&&b&唯一性：&/b&&/li&&/ul&设&img src=&///equation?tex=f%2Cg& alt=&f,g& eeimg=&1&&均满足上述条件,下证&img src=&///equation?tex=f%5Cequiv+g& alt=&f\equiv g& eeimg=&1&&&br&&ol&&li&若&img src=&///equation?tex=rank%28A%29%3Cn& alt=&rank(A)&n& eeimg=&1&&，则存在&img src=&///equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&，有&img src=&///equation?tex=%5Calpha_i%3D%5Csum_%7Bk%5Cne+i%7Da_k%5Calpha_k& alt=&\alpha_i=\sum_{k\ne i}a_k\alpha_k& eeimg=&1&&,根据列线性性和列反对称性，有&img src=&///equation?tex=f%28A%29%3Df%28%5Calpha_1%2C%5Ccdots%2C%5Calpha_%7Bi-1%7D%2C%5Csum_%7Bk%5Cne+i%7Da_k%5Calpha_k%2C%5Calpha_%7Bi%2B1%7D%2C%5Ccdots%2C%5Calpha_n%29%3D%5Csum_%7Bk%5Cne+i%7Da_kf%28%5Calpha_1%2C%5Ccdots%2C%5Calpha_%7Bi-1%7D%2C%5Calpha_k%2C%5Calpha_%7Bi%2B1%7D%2C%5Ccdots%2C%5Calpha_n%29%3D0& alt=&f(A)=f(\alpha_1,\cdots,\alpha_{i-1},\sum_{k\ne i}a_k\alpha_k,\alpha_{i+1},\cdots,\alpha_n)=\sum_{k\ne i}a_kf(\alpha_1,\cdots,\alpha_{i-1},\alpha_k,\alpha_{i+1},\cdots,\alpha_n)=0& eeimg=&1&&同理，有&img src=&///equation?tex=g%28A%29%3D0& alt=&g(A)=0& eeimg=&1&&,所以&img src=&///equation?tex=f%28A%29%3Dg%28A%29& alt=&f(A)=g(A)& eeimg=&1&&&br&&/li&&li&若&img src=&///equation?tex=rank%28A%29%3Dn& alt=&rank(A)=n& eeimg=&1&&,则矩阵&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&可经过一系列的初等列变换，变为单位矩阵&img src=&///equation?tex=E& alt=&E& eeimg=&1&&，即存在初等矩阵&img src=&///equation?tex=P_1%2CP_2%2C%5Ccdots%2CP_t& alt=&P_1,P_2,\cdots,P_t& eeimg=&1&&,有&img src=&///equation?tex=A%3DEP_1P_2%5Ccdots+P_t+& alt=&A=EP_1P_2\cdots P_t & eeimg=&1&&。因为&img src=&///equation?tex=f%28E%29%3Dg%28E%29%3D1& alt=&f(E)=g(E)=1& eeimg=&1&&,每一次初等列变换，都在等式两边乘以相同的倍数，所以我们有&img src=&///equation?tex=f%28A%29%3Df%28EP_1P_2%5Ccdots+P_t%29%3Dg%28EP_1P_2%5Ccdots+P_t%29%3Dg%28A%29& alt=&f(A)=f(EP_1P_2\cdots P_t)=g(EP_1P_2\cdots P_t)=g(A)& eeimg=&1&&。&/li&&/ol&&br&&br&--------------------------从函数空间角度理解等价定义-------------------------------&br&上面的证明的缺陷是只证明了其唯一性，并没有给出其表达式。&br&下面我们通过研究满足特殊性质的函数空间，给出构造性的证明方法&br&&br&定义函数空间（咦，知乎不支持中文公式混排，啊我还是换Markdown吧@_@）&br&&br&&br&&img src=&/edeee42c5e493d3058d93b_b.png& data-rawwidth=&1588& data-rawheight=&822& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1588& data-original=&/edeee42c5e493d3058d93b_r.png&&&img src=&/b197e988aecce90389ffc219_b.png& data-rawwidth=&1588& data-rawheight=&1044& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1588& data-original=&/b197e988aecce90389ffc219_r.png&&&img src=&/eb1ccfcb98d3a0b1d2d35b_b.png& data-rawwidth=&1594& data-rawheight=&1350& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1594& data-original=&/eb1ccfcb98d3a0b1d2d35b_r.png&&&img src=&/b2ebdd6ddc624_b.png& data-rawwidth=&1618& data-rawheight=&1090& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1618& data-original=&/b2ebdd6ddc624_r.png&&&br&------------------------------------------行列式的性质------------------------------------------------&br&于是我们得到了行列式的一个等价定义，而我们所说的「有向体积」刚好满足上述几条性质，所以我们也可以理解为行列式是其列向量所围成的有向体积。当然还可以通过该等价定义得到一些其他性质，有时间更新~
12月18日更新：通过定义函数空间，给出构造性证明并推导出表达式。嗯，有时间再更新性质吧~更新内容链接：（截图内容）嗯，偶要开始认真答题啦~ -------------------我----------是---------分------------割----…
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