初一数学思维训练_百度文库
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初一数学思维训练
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最大公约数 -五星文库
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五年级奥数举一反三 第25周
最大公约数
导读：第25周最大公约数，几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数，我们可以把自然数a、b的最公约数记作（a、b），求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，所以边长是75和60的公约数，75和60的公约数有1、3、5、15，如果要使正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取75和60的最大公约数15作为正方形的
最大公约数
专题简析：
几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。我们可以把自然数a、b的最公约数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a和b互质。 求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法。
一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？
7分米5厘米=75厘米，6分米=60厘米。因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75和60，所以边长是75和60的公约数。75和60的公约数有1、3、5、15，所以有4种裁法。
如果要使正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取75和60的最大公约数15作为正方形的边长，所以可以裁（75÷15）×（60÷15）=20块。
1，把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，至少能裁多少块？
2，一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？
3，将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形，小正方形的面积最大是多少？
一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？
2.7米=270厘米，1.8分米=18厘米，1.5分米=15厘米。要把长方体切成大小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应该是长、宽、高的公约数。现要求正方体的棱长最大，所以棱长就是长、宽、高的最大公约数。
（270，18，15）=3，3厘米=0.3分米
1，一个长方体木块的长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2分米4厘米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？
2，有50个梨，75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？
3，五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱，最多每组多少人？每班各可以分几组？
有三根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？
要把三根钢管截成同样长的小段，每小段的长度数应该是240、200和480的公约数，而每小段要取最长，也就是求240、200和480的最大公约数。240、200和480的最大公约数是40，所以每小段最长是40厘米。
1，有一个长方体木块，长60厘米、宽40厘米，高24厘米。如果要切成同样大小的小正方体，这些正方体的棱长最长是多少厘米？
2，用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？
3，工人加工了三批零件，每加工一批零件，除了王师傅比其他工人多加工若干个外，其他工人加工的都同样多。已知他们第一批共加工2100个，其中王师傅比每个工人多加工7个；第二批加工1800个，其中王师傅比每个工人多加工6个；第三批加工1600个，其中王师傅比每个工人多加工13个。这批工人最多有多少人？
一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙村相距360米，乙、丙村相距675米。现在准备在路边裁树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵树之间的距离最多是多少米？
由于甲乙、乙丙的两村中点各要种上一棵树，所要要将360÷2=180米、675÷2=337.5米平均分成若干段，并且使每段的长度最长。因为（675、360）=45，而180=360÷2，337.5=675÷2，所以，45÷2=22.5，即相邻两棵树之间距离最多是22.5米。
1，一条公路由A经B到C。已知A、B相距300米，B、C相距215米。现在路边植树，要求相邻两树间的距离相等，并在B点及AB、BC的中点上都要植一棵，那么两树间的距离最多有多少米？
2，有336支铅笔，252块橡皮，210个文具盒，用这些文具，最多可以分成多少份同样的
礼物？在每份礼物中，铅笔、橡皮、文具盒各有多少？
3，甲数是36，甲、乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，乙数是多少？
用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？
前面的例题已经告诉了我们，解决这道题只要求出长方形长和宽的最大公约数就行了。但是这题中，长和宽的数比较大，最大公约数比较难求出，这里再介绍一种求两个数的最大公约数的方法。
第一步：，余134；
第二步：469÷134，余67；
第三步：134÷67，没有余数，所以用67毫米为正方形的边长来剪，正好能剪（1072÷67）×（469÷67）=112个正方形，即这些正方形的边长最大是67毫米。
这种求两个较大数的最大公约数的方法叫辗转相除法。
1，用辗转相除法求568和1065的最大公约数。
2，试用辗转相除法判断是否互质。
3，判断是不是最简分数。
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《小学生数学报》创刊十年趣题精选
《小学生数学报》于1985年4月5日创刊,至今已经整整十年了.十年
前,开宗明义,要把她办成&学生的好伙伴,家长的好助手,教师的好参谋&,
现在看来是做到了.十年来,《小学生数学报》始终遵循党的教育方针和&小
学数学教学大纲&精神,坚持&为小学生学好数学,打好基础服务&的办报
宗旨,从小学数学教育和教学实际以及少年儿童的心理特点出发,从激发兴
趣,启迪思维,开拓视野入手,科学地构思版面内容与栏目形式,广泛组织
和开发稿源,精心选稿编稿,不断推出了一系列有新意,品位高,形式活并
深受广大小读者喜爱的佳作,使报纸质量稳步提高,特色日趋鲜明.1994年,
《小学生数学报》被选送参加了第五届&香港国际书报展&,并在首届江苏
省报纸综合质量评比中荣获了一等奖.现在,《小学生数学报》已成为在全
国颇具影响,拥有近 200万读者的优秀学生读物.
值此《小学生数学报》创办十周年之际,我们从十年来报纸上所发表的
大量思想性,趣味性,可读性强的作品中,精选了若干篇佳作,并进行恰当
的分类,整理,按照一定的顺序串联起来,编辑加工成为自成体系,各有特
色的五本书——《小学生数学报10年精选本》(丛书),把它奉献给广大热
心的读者.这五本书中,既有传授基本数学思想方法,启迪思维的《思考方
法篇》,又有紧密配合课堂教学,为小学生排疑解难的《学习辅导篇》,还
有为数学活动课提供教材,旨在激发兴趣,开发智力的《竞赛集训篇》,《数
学童话篇》和《数学故事篇》.这套书中所选的作品,有不少曾在华东地区
教育报刊优秀稿件评选中获过奖.
当这套内容丰富,印刷精美的&精选本&展现在读者面前时,我们由衷
地感谢多年来为《小学生数学报》辛勤笔耕,为广大小读者奉献健康有益的
精神食粮的作者们,特别要感谢那些著名的科普作家和特级教师.我们还要
特别感谢江苏教育出版社的同志对该书及时出版所给予的大力支持!
由于时间匆促,编者水平有限,缺点错误在所难免,敬请广大读者批评
指正.另外,还有许多发表在《小学生数学报》上的优秀作品暂未收集整理,
恳请作者谅解.我们将在适当的时候再次选编出版类似的丛书.
<font color="#95年 4月
学习辅导篇
三年级第一学期
&一商&&二乘&&三减&&四移&
用竖式计算&除数是一位数的除法&,可以按照&一商&,&二乘&,
&三减&,&四移&的步骤进行.请看下面的例子.
求十位上商的过程:
&一商&:用3除被除数十位上的7,商2,写在被除数的十位上面.
&二乘&:用商2乘以除数3,得6,积写在&7&的下面.&三减&:
&四移&:把被除数个位上的2移下来,与十位上减得的差1(表示1
个10)合并起来得12.
求个位上商的过程:
&一商&:用3除12,商4,写在被除数的个位上面.&二乘&:用商
<font color="#乘以除数3,得12.
&三减&:12-12=0.
请小朋友按照上面的四个步骤计算下面各题.
96÷4 69÷3 95÷6(徐礼华)
学好&除数是一位数的除法&
学习&除数是一位数的除法&,应该注意以下几点.
1.要正确确定商的位数.小朋友在列竖式计算除法时,首先要通过观察
确定商的最高位,这样就能判断商是几位数.一般来说,被除数的前一位比
除数大(或与除数相同),商的位数就和被除数同样多;被除数的前一位比
除数小,商的位数就比被除数少一位.
2.要提高试商的速度.试商的快慢直接影响计算的速度,小朋友们要熟
练掌握乘法口诀以及口诀中各数的互逆关系.还要多练习一些&括号里最大
能填几&的题目,例如:7×( )&36,要能很快地说出括号里最大能填5.
这种练习有助于我们提高试商能力.
3.要防止漏写商中间或末尾的0.在商的首位确定后,遇到被除数的哪
一位除以除数不够商1的,就要在哪一位上用0占位.当没有除到被除数的
个位就已经除尽时,商的后几位上应该写0.
4.要时刻注意余数的大小.计算过程中每次除得的余数都要和除数进行
比较,只有在余数比除数小的时候,才能除下一位.如果计算的最后一步仍
有余数,别忘了把余数和商一齐写到横式上.(巢洪政)
怎样正确写出商中间或末尾的0
计算商中间或末尾有零的除法,有的同学常常因漏写或多写商里的0而
产生错误.怎样才能正确写出商中间或末尾的0呢
1.要弄清算理.我们知道,计算除法要从高位除起.例如:
312÷3=1043312
这道题的算理是:先把3个百平均分成3份,每份是1个百,在被除数
的百位上写商1;被除数的十位上是1,1个十平均分成3份,每份不够1个
十,就在被除数的十位上写商0;把这1个十化成10个一,与被除数个位上
的2个一合并成12个一,平均分成3份,每份是4个一,在被除数的个位上
写商4.所以,求出商的最高位以后,除到被除数的哪一位不够商1,就在哪
一位上写0.
又如,计算240÷2,用2除2个百4个十,得1个百2个十.除到被除
数的十位刚好除尽,不必再除下去,在被除数的个位上写0.所以,240÷
2=120.2.会确定商是几位数.除数是一位数的除法有两种情况1)当被除
数最高位上的数除以除数够商1时,商的位数和被除数的位数相同.例如,
4032÷3的商是四位数.
(2)当被除数最高位上的数除以除数不够商1时,商的位数比被除数少
一位.例如4032÷6的商是三位数.每次计算前先确定商的位数,计算后检
查所得商的位数与计算前确定的位数是不是相同,这样能防止漏写商中间或
3.通过练习,熟练掌握计算方法.
请小朋友想一想:要使下题的商中间有一个0,方框中可以填哪些数
要使商中间有两个0呢
怎样验算有余数的除法
小朋友在学习&有余数的除法&时,学习了验算这种除法的方法,就是:
用商与除数相乘的积加上余数,看所得的结果是不是等于被除数,如果等于
被除数,说明除得的商和余数都正确.例如:
81÷6=13……3
验算有余数的除法还有其它的方法吗
我们仍以上题为例,小朋友只要仔细对照两个竖式,就会发现:用被除
数81减去余数3,所得差78是商13与除数6的乘积.因此,用78除以除
数6,应该等于商13;用78除以商13,应该等于除数6.
这样,我们又有了两种验算有余数除法的方法.
1.用被除数减去余数的差除以除数,应该等于商.
如上题可以这样验算:
2.用被除数减去余数的差除以商,应该等于除数.
请小朋友用这种方法验算上题. (袁辉)
找准&中间问题&是关键
三年级的小朋友学习的&两步计算应用题&,是在已经学过的一步计算
的应用题的基础上发展而来的.也就是说,两步计算的应用题是由两个有联
系的一步计算的应用题组合而成的.所以,解答两步计算的应用题的关键,
是把原来的题目分解成连续性的两个一步计算的应用题,也就是要根据原来
题目的已知条件和问题提出&中间问题&.
例如:学校原有16包水泥,用去300千克,还剩下10包,每包水泥多
这道题的&中间问题&是什么
我们知道,&用去水泥的千克数÷用去
的包数=每包水泥的千克数&,所以,要求每包水泥多少千克,先要求出用去
水泥的包数.因此,&用去水泥的包数&就是&中间问题&.找到了&中间
问题&,这道题就可以分解成连续性的两个一步计算的应用题:
(1)学校原有水泥16包,用去一些后,还剩10包,用去多少包
16-10=6(包)
(2)学校用去水泥6包,共重300千克,每包水泥重多少千克
300÷6=50(千克)
我们从这个例子中看到,找准&中间问题&是解答两步计算的应用题的
关键. (朱丹霞)
解答两步计算的应用题,关键要找出题中的&中间问题&.怎样才能找
准中间问题呢
我们可以用&两头想,找中间&的方法.&两头想&就是先
从问题想,再从条件想.&找中间&就是比较&两头想&的结果,找出中间
问题.请看下面的例子.一个粮食专业户买了6袋化肥,每袋50千克.用去
<font color="#0千克,还剩多少千克化肥
先从问题&还剩多少千克化肥&想,找出题中的数量关系:一共买化肥
的千克数-用去的千克数=还剩的千克数
其中,&用去的千克数&是已知的(250千克),&一共买化肥的千克
数&是未知的.
再从条件想,找出可以先求出哪个数量.
根据&买了6袋化肥&和&每袋50千克&这两个条件,可以求出&一共
买化肥的千克数&.
比较上面&两头想&的结果,可以看出,&一共买化肥多少千克&是本
题的&中间问题&.所以,解答时先要求出&一共买化肥的千克数&.
(1)一共买化肥多少千克
50×6=300(千克)
(2)还剩多少千克化肥
300-250=50(千克)
答:还剩50千克化肥.
王庄有5公亩鱼塘,去年一共捕鱼240千克,今年平均每公亩捕鱼57
千克.今年比去年多捕鱼多少千克
从问题想,找出数量之间的关系:
____○____=____
从条件想,找出可以先求出的数量.
根据()和(),可以求出().
比较&两头想&的结果,找出这道题的中间问题是().
为什么不写&倍&
有的小朋友在学习&小鸡有8只,小鸭有2只.小鸡的只数是小鸭的几
倍 &这道题时,提出这样的问题:以前我们在解答应用题时,得数的后面
都要写上单位名称,为什么在解答这道题时,&8÷2=4&的后面不写&倍&
这个问题提得好.在解答应用题时,得数后面一般要写上计量单位的名
称.如: 8只的&只&, 12千克的&千克&都是计量单位的名称.一个数
只有带上计量单位的名称,才能准确地表示出一个物体的多少,大小,长短,
轻重,快慢等等.但是,&倍&不是计量单位的名称,它表示两个数量之间
的一种关系.例如,上面这道题中的计算结果&4&,表示 8只里面有4个
<font color="#只,就是8只小鸡是2只小鸭的4倍.
所以,在算式里不写&倍&,是为了防止&倍&与计量单位名称发生混
不能忽视应用题答案中的单位名称
解答应用题的结果,是用数量来表示的.数量的大小,不仅跟数量中的
数的大小有关系,而且与数量中的量的单位名称有关系.两个数量的单位名
称相同,数字大的数量多.例如,5个苹果比3个苹果多,6米布比4米布多.
两个数量的数相同而单位名称不同,数量的大小也不同.例如,3筐苹果比3
个苹果多,5千克比5克重.所以,小朋友在解答应用题时,不仅要认真审
题,正确列式计算,还要注意写清得数的单位名称.既不能漏掉不写,也不
例如:一只瓶子重30克,比另一只瓶子重6克.另一只瓶子有多重
列式解答:30-6=24
得数24的单位名称是什么
有一个小朋友看见题目的问题是&另一只瓶
子有多重 &就答&另一只瓶子有24重.&&24重&到底有多重呀 &重&
不是重量单位,应该在24的后面写上重量单位的名称.
另一个小朋友写了一个重量单位,&答:另一只瓶子重24千克.&啊,
这只瓶子真够重的 !写错了一个单位名称,把实际重量扩大了1000倍!
其实,要正确写出这道题得数的单位名称并不难,只要看看题目中已知
数量的单位名称是什么,确定得数的单位名称就容易了.
正确的答案是:&另一只瓶子重24克.&
小朋友,在解答应用题时,千万不能忽视答案中的单位名称.
他们写的答句错在哪里
小荣和小亮今天的数学家庭作业里有这样一道应用题:
一辆汽车从甲地开往乙地,行驶了6小时,一共行了252千
米.求这辆汽车的速度.
小荣是这样解答的:
252÷6=42(千米)
答:这辆汽车的速度是42千米.
小亮是这样解答的:
252÷6=42(千米)
答:这辆汽车每小时行驶的速度是42千米.
小荣和小亮的列式与计算都正确,可是,他俩的答句写得都不对.
小荣写的答句错在哪里呢
我们知道,运动物体在单位时间(每小时,
每分钟或每秒钟)内通过的路程叫做速度.小荣答:&这辆汽车的速度是42
千米.&这里的&42千米&是这辆汽车每小时行的路程呢
还是每分钟或每
秒钟行的路程呢
答句中没有说清楚.所以,小荣的答句应该这样写:&这
辆汽车的速度是每小时42千米.&
小亮写的答句错在哪里呢
因为,&速度&中已包含有单位时间,所以,
说&每小时行驶的速度&是不妥当的.可以把小亮写的答句改为:&这辆汽
车每小时行驶42千米&.因为,&每小时行驶42千米&就是这辆汽车的速
度. (孙海鹰)
从商品标价中初步认识小数
小数在生产生活中有着广泛的运用,小朋友到附近商店去参观商品的标
价,就会看到商品标价一般用&元&作单位,用&小数&表示.因此,小朋
友认识小数可以从认识商品标价开始.
1.知道小数表示的商品标价是几元几角几分.例如:&一副乒乓球拍的
价钱是2.36元.&2.36是小数,小圆点左边的2表示&元&,小圆点右边
第一位上的3表示&角&,第二位上的6表示&分&,所以,2.36元是2元
<font color="#角6分.又如:&一只书包的价钱是3.04元.&3.04元是 3元零4分.
2.了解小数的组成,初步掌握小数的读法.小数是由整数部分,小数部
分和小数点组成的.例如,2.36的整数部分是&2&,小数部分是&36&,
中间的小圆点叫做小数点.读小数时,整数部分按照原来的读法(整数的读
法)来读,要特别注意,小数部分的读法是:按照顺序读出每一位上的数字.
例如,2.36读作:二点三六,不能错误地读作:二点三十六;0.50读作:零
点五零,不能错误地读作:零点五十.
3.对照元,角,分的&数位表&把几元几角几分改写成以&元&作单位
的小数.例如:
<font color="#元4角3分=8.43元
<font color="#分=0.06元
从上面的例子中我们看到,改写时表示几元的数写在小数点左边第一
位,表示几角的数写在小数点右边第一位,表示几分的数写在小数点右边第
二位.哪一位上一个单位也没有,就写上0,也就是说,要用0占位. (孙
三年级第二学期
小朋友们在读多位数时,往往容易出错.有没有读准多位数的好方法呢
下面向你介绍一种&三步读数法&.
&三步读数法&,就是按照&一划,二读,三查&的步骤进行读数.
&一划&就是从个位起,每四位一级,划一横线.例如:
&二读&就是从高位到低位,一级一级地往下读.读亿级,万级时,按
个级的读法去读,只要在后面加上&亿&字或&万&字就可以了,每一级开
头或中间有一个0或者有几个0的,都只读一个0;每级末尾的0都不读.
例如:读作二百四十亿五千零六万三千八百
&三查&就是读完多位数后,要仔细检查读出的数是不是正确.特别要
注意的是不能多读或漏读0.如果多位数后面带有单位名称,也要注意把它
读作十亿三千零九万二千吨
请你按照&三步读数法&正确地读出下面各数:
40059 读作( )
读作( )(周立群)
四位数中有0的七种情况及读法
有的小朋友在读多位数时,遇到一个数的中间或末尾有0时,往往读错.
要想正确地读出这样的多位数,首先要掌握0在一个四位数中不同数位上的
七种情况的读法.
这七种情况及读法如下:
①四位数中有三个0.例如6000,它的个位,十位,百位上都是0.根
据每级末尾的0不必读出来,读作:六千.
②四位数的末两位为0.例如:6400,它的个位,十位上都是0.根据每
级末尾的0不必读出来,读作:六千四百.
③四位数的中间有两个0.例如:6004,它的十位,百位上都是0.根据
中间有一个0或者有连续几个0,都只读一个0,读作:六千零四.
④四位数的中间和末尾各有一个0.例如:6040,它的个位,百位上是0.
读作:六千零四十.
⑤四位数的末尾有一个0.例如:6240,它的个位上是0.读作:六千二
⑥四位数的中间有一个0.例如:6402.它的十位上是0.读作:六千四
⑦四位数的中间有一个0.例如:6042.它的百位上是0.读作:六千零
掌握了以上七种情况下各数的读法后,你再结合课本上&一个数中间有
一个0或者连续有几个0,都只读一个零,但每级末尾的0不必读出来&的
规定,去读中间或末尾有0的多位数,就不会感到困难了. (周卫东)
有0的多位数的读法
<font color="#.当多位数的某一级末尾有0时,这些0都不读出来.例如:
读作三千六百万二千.
读作七十亿五千万六千四百.
2.当多位数的某一级中间有一个或几个0时,只读一个0.例如:
读作八千零八万八千零八.
读作七亿六千零六万八千零五十九.
3.当多位数的某一级开头有一个或几个连续的0时,也只读一个0.例
9870006读作九百八十七万零六.
读作七亿零六万零四百五十九.
4.当多位数的某一级都是0时,(1)个级都是0,或个级,万级都是0,
这些0都不读出来;(2)万级都是0,但个级不都是0,只读万级的一个0.
450000读作四十五万.
读作四十五亿零六千五百三十二.(刘魁)
如果一个0都不读
学习多位数的读法时,老师告诉同学们:&一个数中间有一个0或者连
续有几个0,都只读一个零,但每级末尾的0不必读出来.&
小强听了,问老师:&如果一个0都不读,不是更简便吗 &老师笑了
笑,在黑板上写出一个数:
&请你读这个数.&老师对小强说.
&七万三.&小强一个0都没读.
&七万三是多少 &老师说,&让人听起来只会认为是七万三千,只有
读作七万零三,才不会使人产生误解.&
&老师,我明白了,&小强说,&我以后一定按照规定去读数.&
正确写出多位数中间的&0&
我们在写多位数时,要特别注意读法中对&零&的处理,有时一个&零&
只代表一个0,有时一个&零&代表几个0,有时读法中没有&零&字,写数
时却要写0.有的小朋友在写数时经常出现的错误就是漏写数中间的&0&.
现在列举以下几种情况,希望小朋友能正确写出多位数中间的&0&.
1.&级头&连续有两个或三个零时,会少写0.例如:三百五十四万零
八十二,写成354082.这样写错在个级的级头只写了一个&0&,而正确的
写法应该写两个&0&(但读数时,只读一个零).正确写法是:3540082.
2.&级中&连续有两个零时,少写了一个0.例如:五亿二千零七万四
千,错写成.实际上,这个数万级的中间应该有两个零,就是百万
位和十万位应该各用一个0占位.但由于读数时只读一个0,有的小朋友就
只在万级中间写了一个0,造成了错误.
3.当高一级末尾有零,而低一级开头也有零时,会少写0.例如:四百
亿零九十七万,应该写成,但有的小朋友弄不清&4&和&9&
这两个数字中间究竟该写几个0,结果少写了0,错写成 .
要防止以上错误发生,小朋友们写完数后要养成检查的习惯.一个数除
最高级外,其余的每级都必须由4个数字组成,哪一个数位上一个单位也没
有,一定要写0占位. (王聿松)
&数位&与&位数&
&多位数的读法和写法&中的&数位&与&位数&是两个意义不同的概
&数位&是指一个数的每一个数字所占的位置.在整数中,从右到左,
数位的名称依次是个位,十位,百位,千位,万位…….在6543这个数中,
3占的数位是个位,6占的数位是千位,5和4分别在哪个数位上
同一个数字,由于所在的数位不同,它所表示的数值也不同.例如:在
<font color="#430,,这三个数中,65430的&5&在千位上,表示5个千,
64305的&5&在个位上,表示5个一,56430的&5&在万位上,表示5个万.
&位数&是指一个自然数中含有数位的个数.
用一个不是零的数字所表示的数叫做一位数(因为它只占了一个数位,
也就是个位).1,2,3,4,5,6,7,8,9都是一位数.用两个数字(其
中十位数字不是零)所表示的数叫做两位数.10,21,47,99,等都是两位
数.用两个以上的数字组成的数(最高位上的数字不是零),叫做多位数.
例如:458是三位数,8710是四位数,15876是五位数,等等.
&数位&和&位数&不能混淆.458这个数由三个数字组成,每个数字
占了一个数位,我们把它叫做三位数.有的小朋友看到这个数的最高位是百
位,就把它叫做百位数.这是错误的.如果是百位数,那么,就必须由一百
个数字组成,占有一百个数位,这个数是很大的.(韩素珍)
较大数的&改写&与&省略&
对于一些较大的数,为了读写方便,有时要把它们改写成以&万&或&亿&
为单位的数,有时还要把&万&或&亿&后面的尾数省略.&改写&和&省
略&是有区别的.
把一个较大的多位数改写成以&万&或&亿&为单位的数,只改变这个
数的计数单位,不改变这个数的大小.&改写&后得到的数与原数完全相等,
所以要用&=&符号将它们连接起来.例如,把南京市1990年钢产量660000
吨,改写成以&万&作单位的数,先把660000吨缩小一万倍,得&66&,然
后在&66&的末尾添上&万吨&,就是:660000吨=66万吨.
把一个较大的多位数的&万&或&亿&后面的尾数省略,既改变了这个
多位数的计数单位,又改变了这个多位数的大小,省略尾数后得到的数是原
来多位数的近似数,要用&≈&符号把它们连接起来.例如,南京市1990
年蔬菜产量 893400吨,省略这个数&万&后面的尾数.按照&四舍五入&
的方法,千位上的数是&3&,省略后不需要向万位上进1.所以893400吨
省略&万&后面的尾数后是89万吨.就是:893400吨≈89万吨.再如,把
<font color="#&亿&后面的尾数省略,≈31亿.
值得注意的是:无论是&改写&还是&省略&,得数的后面都要写上相
应的计数单位&万&或&亿&.如果原数后面还带有计量单位名称,就要在
得数后面写上计量单位名称. (韩素珍)
怎样学好加减法的一些速算法
在计算加,减法的时候,如果加数或减数接近整百,整千的数,可以把
它们看作是整百,整千的数,这样计算起来比较简便.学习加,减法的一些
速算法,要注意以下几点.
1.弄懂速算的道理,掌握速算的方法.
例如:计算这道题,我们这样思考:因为198接近200,可
以先把198看作200去加,就是.由于加上200后,比原来多加
了&2&,因此,必须在上式的后面再减去2,和才不变,就是.
又如,计算745-397这道题,我们这样思考:因为397接近400,可以先把
<font color="#7看作400,从745里减去400,就是745-400.由于减去400后,比原来
多减了&3&,因此,要在上式的后面再加上3,差才不变,就是745-400+3.
掌握了速算的思路,你就会懂得&多加的要减去,多减的要加上&的道
有些速算的道理,我们要联系生活实际去思考.例如,怎样理解&从一
个数里连续减去几个数,如果先把所有的减数加在一起,再从被减数里减去,
所得的结果是相同的.&这个减法的性质呢
请看下面的例子:
妈妈带192元钱去商店买东西,她买了一套衣服,用去67元,买一双皮
凉鞋,用去33元.还剩多少钱
解法一:先从妈妈带去的192元钱里减去买衣服用去的67元,再减去买
皮凉鞋用去的33元,就得到剩下的钱数.
解法二:先算出买一套衣服和一双鞋共用去多少钱,再从妈妈带去的钱
里减去用去的钱,就得到剩下的钱.
192-(67+33)
上面两个算式解答的是同一道题,它们的计算结果相同,因而可以用等
192-67-33=192-(67+33)
这个例子一方面帮助我们理解了前面提到的减法的性质,另一方面使我
们看到,根据本题的数据特点,采用第二种解法计算比较简便.
2.认真审题,根据数据的特点,怎样算简便就怎样算.
例如:计算这道题时,我们不必把两个减数加起来再从被
减数里减去,而是应该按照原来的运算顺序,从左往右依次计算.
又如:计算497+303这道题时,我们可以把&303&分成&3+ 300&,
然后把其中的&3&和&497&先加,再加&300&.这样计算十分简便.
=497+3+300
=8003.压缩计算过程,直接写出得数.
小朋友通过适量的练习,比较熟练地掌握了速算方法,书写时就可以把
计算过程省略,直接写出得数.例如:
上题中虚线框里的速算过程书写时可以省略不写,直接写出得数&845&.
这样才能真正地提高计算的速度.(韩素珍)
加减法的几种速算法
<font color="#.两个数相加,当其中一个加数接近整百或整千的数时,可以把这个加
数当成整百或整千的数去加,然后把多加的数减去,少加的数再加上.例如:
574+398=574+400-2=972
8+400+3=1861
2.两个数相减,当减数接近整百或整千的数时,可以把减数当成整百或
整千的数从被减数中减去,然后把多减的数加上,少减的数再减去.例如:
3-400+3=1356
564-206=564-200-6=358
3.一个数减去几个数,可以先算出几个减数的和,再从被减数里减去这
些减数的和.例如:
4.一个数减去几个数的和,可以用这个数连续减去和里的各个加数.例
865-(265+487)
=865-265-487
=1135.一个数减去几个数的差,可以用这个数先减去差里的被减数,再加上
减数.例如:
549-(249-157)
=549-249+157
=300+157=457
6.根据题目中数据的特点,交换加数或减数的位置进行速算.例如:
91+568+709
=91+709+568
865-494-265
=865-265-494
=106(王聿松)
怎样计算&乘数是两,三位数的乘法&
一,掌握计算法则.用竖式计算乘数是两,三位数的乘法要做到:
1.乘的次序正确;
2.部分积书写的位置正确.乘的次序是:用乘数的个位,十位,百位分
别去乘被乘数;乘数的哪一位去乘被乘数,得数的末位就要和哪一位对齐;
最后把几次乘得的部分积加起来.乘数中间有0时,用0乘这一步可以省略.
当被乘数中间有0时,可以交换被乘数与乘数的位置后再计算;被乘数,乘
数末尾有0时,可以先把末尾0前面的数相乘,然后看被乘数和乘数的末尾
一共有几个0,就在积的末尾添上几个0.
请小朋友用竖式计算下面各题,算完后看竖式的得数和横式的得数是不
二,多作口算练习.计算乘数是两,三位数的乘法,每一道题都要经过
多次口算才能完成.在这些口算中,只要有一次出错,就会导致最后计算结
果错误.因此,小朋友对乘法口诀和加法的口算一定要熟练.平时要多进行
口算练习,尤其像下面这样的口算题要能很快地说出得数.
6×9+4 2×3+7
5×8+9 6×6+3
4×7+5 8×4+6
三,养成检查和验算习惯.计算后先要检查题目的数字有没有抄错,计
算的次序对不对,乘得的部分积对位是不是正确.然后进行验算,就是用把
被乘数和乘数交换位置后再算一遍的方法来验算.(徐礼华)
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回复: 《小学生数学报》创刊十年趣题精选
灵活进行乘法的竖式计算
乘数是两,三位数的乘法,一般都要列竖式计算.小朋友在计算时,要
根据题目的不同情况,灵活计算.
1.当被乘数中间有0时,与乘数交换位置后再计算比较简便.
例如:计算203×714.
像上面这样列竖式计算,需要乘三次.如果交换被乘数和乘数的位置,
就可以少乘一次,因为0乘任何数仍得0.计算过程如下:
2.当乘数中有相同的数字时,不必重复去乘,可以直接写出后面的积.
例如:计算426×55.
这道题乘数的个位,十位上的数字都是5,个位上的5乘426的积是
2130,十位上的5不必再去乘426,可以直接写出积2130.但要注意,用乘
数哪一位上的数去乘,积的末位必须同哪一位对齐.
又如:计算999×723,交换被乘数和乘数的位置后再乘,只要乘一次.
(想一想:为什么 )请小朋友写出计算过程.
3.当乘数的十位数是个位数的倍数时,也可以直接写出后面的积.例如:
计算521×42.
这道题乘数十位上的4是个位上2的2倍.计算时先用2乘521得1042,
再用1042乘以2,所得的积2084就是乘数十位上的4乘被乘数521的积.
被乘数中间的0不能不乘
课堂上,林老师教小朋友们计算&乘数是两,三位数的乘法.&林老师
说:&乘数中间有0的,用0乘这一步可以省略.但要注意:用乘数哪一位
上的数去乘,乘得的数的末位就要和哪一位对齐.请小朋友看下面的例子.&
287×304=87248
林老师请小朋友们验算,看这样计算的得数是不是正确.小宁用交换被
乘数和乘数位置的方法进行验算:
&咦,两次计算的结果不同,究竟是哪一次算错了呢 &小宁楞住了.
&乘数中间的0可以省略不乘,但是,被乘数中间的0却不能省略不乘.&
林老师说:&小宁用乘法交换律进行验算,原来的乘数304就变成了被乘数,
因此,要用现在的乘数287的每一位上的数去乘304,而不是去乘34.&
&咳,原来是我算错了!&小宁重新写出验算过程:
怎样计算被乘数或乘数中间有0的乘法
被乘数或乘数中间有0,而且它们都是三位数,可分下面几种情况进行
1.被乘数中间没有0,乘数中间有0.计算时用0乘这一步可以省略.
但要注意用乘数哪一位上的数乘,乘得的数的末位就要和那一位对齐.例如:
287×304=87248
注意:乘数百位上的3和被乘数相乘,得数的末位&1&应写在百位上.
2.被乘数中间有0,乘数中间没有0.计算时可以根据乘法的交换律,
先交换被乘数和乘数的位置,使它变成第1种情况,然后根据上面讲的方法
进行计算.例如:
203×416=84448
3.被乘数和乘数中间都有0时,仍可按第1种情况的方法进行计算.例
205×408=83640
怎样求简单的平均数
求平均数是统计中最常用的一种基本方法.在日常生活,生产建设和科
学研究中,为了对一些数量进行分析比较,常常要用到求平均数.例如,要
看一个乡的群众生活水平改善得怎样,就可以看这个乡去年每人平均收入多
少,和这个乡前年每人平均收入多少来作比较.所以,求某些数量的平均数
并不是真的把这些数量去平均分,而是指通过计算求出这些数量平均数值,
这只是一种统计的方法.
求一组数量的平均数时,先要确定是求哪些数量的平均数,平均分成几
份,然后先求出这一组的总数量及总份数,用这一组数的总数量去除以总份
数,就得到这一组数的平均数.例如:小红上学期期末考试各科的成绩是:
语文98分,数学96分,自然90分,地理92分.要求小红上学期期末考试
的平均成绩,就要拿她四门功课的总分去除以4,就是:
(98+96+90+92)÷4=376÷4=94(分)
像上面这一组数都是九十几,为了方便,也可以这样计算:
(8+6+0+2)÷4+90=16÷4+90=94(分)
在求平均数时,要特别注意平均数与份数的对应关系.例如:
有2块小麦地,总共是5公顷,一共收小麦22500千克.要求每块地的
平均产量,就要用小麦的总产量去除以地的块数,就是:250(千
克);要求每公顷地的平均产量,就要用小麦的总产量去除以这两块地的公
顷数,就是:20(千克).
小朋友,下面这道题你会解答吗
小红做数学题,第一天做8道,第二天做6道,第三天上午做4道,下
午做3道,小红平均每天做几道题.
怎样防止错解求平均数应用题
有些小朋友在解答求平均数应用题时,常常产生以下两种错误:一种是
审题错误,搞错总数或总份数;另一种是计算错误.要防止产生这两种错误,
就要做到以下几点.
1.认真审题,正确确定总数和总份数.例如:
气象小组在一天的2点,8点,14点,20点测得温度分别是13摄氏度,
16摄氏度,25摄氏度,18摄氏度.算出这一天的平均温度.
求这一天的平均温度,应该用4次测得的温度的和作为总数,就是
&13+16+25+18&为总数,测量的次数作为总份数,就是&4&
为总份数.如果把&2+8+14+20&作为总份数就错了.
2.仔细计算,正确求出平均数.在一般情况下,求平均数应用题所给的
数据较多,计算容易产生错误.所以,计算时要特别仔细,如果能用简便方
法计算,可用简便方法算.例如:
一个小组有5个同学,他们的体重分别是42千克,41千克,38千克,
39千克,40千克.求这个小组同学的平均体重.
计算总数时,可以把40作为标准进行简算.各数与40比:分别要+2,
+1,-2,-1,+0.相差的部分恰好抵消.所以,总数是40×5=200(千克),
平均体重是200÷5=40(千克)
3.注意检验,防止和纠正错误.解答求平均数应用题,除了要认真审题,
按解题规律正确列式外,还应注意检验.一方面检查列式是不是符合题意;
另一方面进行验算,看计算是不是正确.还可以根据&平均数一定大于其中
最小的一个数,小于最大的一个数&的规律进行估算.(凌国伟)
四年级第一学期
如何确定商是几位数
有的小朋友在计算除数是两,三位数的除法时,常常丢掉商中间或末尾
的0.为了避免这种错误发生,在计算前,我们可以先判断一下求得的商是
几位数.怎样判断商是几位数呢
请小朋友先观察下面一组除数是两位数的算式:
从(1),(2)式可以看出:当被除数的前两位比除数大或等于除数时,
商的位数就比被除数的位数少1;从(3),(4)式可以看出:当被除数的
前两位小于除数时,商的位数就比被除数的位数少2.这就是判断两位数除
多位数的商是几位数的规律.
同样,在计算除数是三位数的除法时,如果被除数的前三位大于或等于
除数时,商的位数就比被除数的位数少2;如果被除数的前三位小于除数时,
商的位数就比被除数的位数少3.例如:,商是两位数;,
商是一位数.
请小朋友先判断下面各题的商是几位数,然后再计算,看自己的判断是
8500÷450(盛大启)
试商速度慢怎么办
有的小朋友在学习除数是两位数的除法时,因试商慢而使计算的速度
慢.怎样才能提高我们的试商速度呢
1.平时要十分重视多练一些基本口算.如两位数乘以一位数的练习:17
×8,25×6……;两位数除以两位数的口算练习:52÷13,72÷12,88÷
29…….还要多练习一些&括号里最大能填几&的题目.如16×()&或&&
.把,,,,按照从小到大的顺序排列.
.比较,,,,的大小,用&&&号连接起来.
.在,,,这四个数中,最大的是_,最小的是_.
小数除法的商可以是无限不循环小数吗
小红:王老师,小数除法的商可能是整数,可能是有限小数,也可能是
无限循环小数,那么,它的商会不会是无限不循环小数呢
王老师:小红真爱动脑筋!为了回答你的问题,我们不妨先假设一个除
法算式为a÷b(a,b都是整数,b≠0),a不能被b除尽,小红,你想一想:
在除的过程中,按照每次所得到的余数必须小于除数的要求,那么余数可以
小红:除的过程中,每次所得到的余数只能是1,2,3……(b-1)中的
王老师:对,最大一个余数是(b-1).这就是说,最多只可以有(b-1)
个余数互不相同.第b个余数必定会与前面余数中的某一个余数相同.你做
一做这道题:15÷7
余数重复出现,商里的数字也必然会重复出现.王老师,我懂了!这样,
就必然会得到一个无限循环小数.
王老师:小红真聪明!由于小数除法经过转化后按照整数除法进行计算,
上面的分析告诉我们:在计算小数除法过程中,每次所得到不同余数的个数
总是有限的,在除过一定的次数以后,余数就会重复出现,这样,商不是有
限小数,就是循环小数,不可能是无限不循环小数.(黄友权 华应龙)
小数四则混合运算中怎样取商的近似值
关于小数四则混合运算中怎样取商的近似值这个问题,六年制小学数学
课本第九册有一段说明:&注意:在计算过程中除得的商超过两位小数的,
本书中一般只保留两位小数,再进行计算.&理解了这段话就能正确处理小
数四则混合运算过程中商的小数数位较多的情况.
课本上这段话有两层意思:
1.在什么情况下需要取商的近似值.有两种情况1)除不尽,例如:
5.9÷10.8=0.……;(2)能除尽,但商的小数数位较多.例如,3.5
÷5.12=0..
2.怎样取商的近似值.在计算过程中,遇到上面两种情况,可以把商&保
留两位小数再进行计算&.
根据课本上的说明同学们在进行小数四则混合运算时,遇到除法只需除
到商的小数点后面第三位.如果恰好除尽,例如,0.54÷0.16=3.375,就取
商的准确值;如果仍有余数,就把千分位上的数&四舍&或&五入&到百分
位,取商的近似值.
书写计算过程时,要注意正确使用&=&和&≈&.哪一步取商的近似值,
哪一步就用&≈&.没有取近似值的用&=&.(孙海鹰)
文字题怎样正确列式
对于较复杂的文字题,列式可以用以下两种方法:
1.&从问句入手&的方法
例如:5.6与0.4的和除以0.6,商是多少
这道题的问句是&商是多少 &由此可以确定最后一步是用除法计算,
然后确定被除数,除数各是什么,被除数是5.6与0.4的和,除数是0.6.
列式 5.6与0.4的和÷0.6
(5.6+0.4)÷0.6
又如:5.4与0.7的和,乘以7.2与4.6的差,积是多少 这道题的问
句是&积是多少 &,由此可以确定最后一步是用乘法计算,然后确定被乘
数,乘数各是什么,被乘数是5.4与0.7的和,乘数是7.2与4.6的差.
列式 5.4与0.7的和×7.2与4.6的差
(5.4+0.7)×7.2-4.6)
2.&化繁为简&的方法
例如:14.2与4的积,减去13.5除以5的商,差是多少 这道题化简
为:&积减去商,差是多少 &
列式 积-商
(14.2×4)-(13.5÷5)
又如:4.4与2.8的和,除以6.1与5.7的差,得多少 这道题化简为:
&和除以差,得多少 &
列式 和÷差
(4.4+2.8)÷(6.1-5.7)(朱丹霞)
怎样按照四个步骤解答应用题
小学数学课本第九册第38页告诉我们:解答应用题的时候,一般按照下
面的步骤进行.
1.弄清题意,并找出已知条件和所求问题;
2.分析题里数量间的关系,确定先算什么,再算什么,最后算什么;
3.确定每一步该怎样算,列出式子,并且算出得数;
4.进行检查或验算,写出答案.
这四步环环相扣,缺一不可.按照这四步解答应用题时特别要注意以下
1.弄清题意首先读题要仔细,特别要注意关键句和关键词,不能漏字,
加字使题意产生错误,其次已知条件和问题不能找错,特别是解题时需要的
隐蔽条件必须找出来.
2.分析数量关系是最关键的一步,要注意抓住题中的基本数量关系进行
分析,为了使分析正确清楚,可以用摘录条件和问题,列表,画示意图(用
得最多的是线段图)等办法作分析的工具.
3.根据分析得到的数量关系,紧扣运算意义确定每一步该怎样列式计
算,计算时要认真,仔细,能口算或简算的应该口算或简算.
4.检查主要看列式是不是符合题意,数字抄得对不对,验算可以把求得
的结果当作已知的一个条件逆推,看结果是不是与其中的一个条件相符.检
验以后别忘记写上答话.(凌国伟)
&顺藤摸瓜&的事例在生活中很多,比如:列宁紧跟蜜蜂行走,找到了
他所要拜访的放蜂人;警犬根据嗅到的特殊气味一路追击,找到了罪犯.……
&顺藤摸瓜&也不失为一种解答应用题的好办法.这里所说的&瓜&,就是
题目的结果,而条件与条件,条件与问题之间的联系,就是&藤&,缘&藤&
而寻,就能找到&瓜&.
例如:甲乙两地相距73.5千米,两人分别骑自行车和步行同时从两地相
向而行,出发后3.5小时相遇,骑自行车的速度是步行的2.5倍.求两人的
&两地相距73.5千米&,&同时,两地,相向而行&,&3.5小时相遇&,
&骑自行车的速度是步行的2.5倍&是四根&藤&,两人的速度就是&瓜&.
我们可以这样去&顺藤摸瓜&:由&两地相距73.5千米&和&出发后3.5
小时相遇&这两个条件,可以求出骑自行车的和步行的两人的速度和;我们
把步行的速度看成1倍数,根据&骑自行车的速度是步行的2.5倍&这一条
件推出两人的速度和是步行速度的(1+2.5)倍;这样用两人的速度和除以他
们速度的倍数和,就求得步行的速度,求骑自行车的速度便是举手之劳.&顺
藤摸瓜&的思路如下图:
(73.5÷3.5)÷(1+2.5)=6(千米)
6×2.5=15(千米)
答:步行的每小时走6千米,骑车人每小时行15千米.
逐步逆推——一种分析应用题的方法
分析三,四步计算的一般应用题,我们可以从应用题的问题出发,找出
解这个问题所需要的两个条件,然后把其中的一个(或两个)未知条件作为
要解决的问题,再找解决这一个(或两个)问题所需要的条件,这样逐步逆
推,直到所找的条件在题目中都是已知的.已知条件与问题之间的联系就沟
通了,解题的途径也就找到了.
例如,一个服装厂原来做一种儿童服装,每套用布2.2米;现在改进了
裁剪方法,每套节省布0.2米,原来做600套这种服装用的布,现在可以做
根据上面的方法,我们逐步逆推,思维过程用图表示如下:
由此我们列出综合算式:
(2.2×600)÷(2.2-0.2)
答:现在可以做660套.
下面一道题请同学们用上面方法去分析一下,画出思路图,自己列式解
王师傅计划加工一批零件,每天加工24个,10天可以完成.实际每天
比原计划多加工6个,可以提前几天完成 (王聿松)
找准对应关系 正确求平均数
在求平均数应用题时,我们一般根据&总数量÷总份数=平均数&这个数
量关系式来解题.实际上,求平均数应用题不能一概运用这个数量关系式,
而是要分析数量关系,找准数量之间的对应关系,从而正确求平均数.下面
我们讨论几道题:
例1 一辆汽车从甲地开出,前3小时行了168千米,后4小时每小时行
63千米才到乙地.这辆汽车平均每小时行多少千米
[分析]要求平均每小时行多少千米,首先要找准这辆汽车一共行驶的
千米数与一共行驶的小时数这组对应关系:
一共行驶千米数一共行驶小时数
列式是168+63×4)÷(3+4).
例2 一辆汽车从甲地开出,前3小时每小时行56千米,后4小时每小
时行63千米才到乙地,这辆汽车平均每小时行多少千米
这道题数量对应关系与例1相同,不同的就是前3小时行的千米数没有
直接告诉我们.
列式是56×3+63×4)÷(3+4).
例3 甲乙两地相距420千米,一辆汽车从甲地开往乙地,每小时行56
千米,行3小时,剩下的路程要4小时行完,平均每小时行多少千米
[分析] 这道题虽然也是&求平均每小时行多少千米&,但与前两题有所
不同,这道题的对应关系应当是:
一共行驶千米数一共行驶小时数对应←→——
列式是:(420-56×3)÷94(李行庚)
问题不同 解法不同
同学们在解答应用题时,一定要先把应用题的条件,问题弄清楚.有时
条件相同,问题不同,解题方法也就不一样了.例如:
黎明小学航模小组有24人,分成两个小组做各种飞机模型.第一小组
13人共做了27架,第二小组11人共做了21架.平均每人做飞机模型多少
根据&总数量÷总份数=平均数&的数量关系式可列出算式:
(27+21)÷24
答:平均每人做飞机模型2架.
注意:这道题里&13人&&11人&&两个小组&是多余条件.
如果这道题已知条件不变,把问题中的平均&每人&改为平均&每组&
做飞机模型多少架 应该如何解答呢 由&每人&变为&每组&,只是一字
之差,但解法就不同了.总数量(27+21)架仍然不变,这里的总份数已经不
是&24人&了,而是&2个小组&.所以应当这样列式:
(27+21)÷2
答:平均每组做飞机模型24架.
注意:这道题里的&24人&&13人&&11人&都是多余条件.
运用&倍比&法解答较复杂的归一应用题
较复杂的归一应用题除了用课本中讲的方法解答以外,还可以用&倍比&
法来解答.请同学们看下面的例子.
例1 一户农民养鸡240只,平均5只鸡6天要喂饲料4.5千克.照这样
计算,这些鸡15天要喂饲料多少千克
分析:1只鸡1天要喂的饲料数量是不变的,15天是6天的15÷6=2.5
(倍),240只鸡是5只鸡的240÷5=48(倍)因此,15天240只鸡要喂的
饲料数量是6天5只鸡要喂的饲料数量的2.5×48=120(倍).
图示:鸡子只 数天 数饲料的千克数
48 2.5 2.548
↑倍↑倍↑(×)倍
解:4.5×[(15÷6)×(240÷5)]
=4.5×[48×2.5]
=540(千克)
答:这些鸡15天要喂饲料540千克.
例2 云山副业组原来30人10天可编1500顶草帽.照这样计算,120
人要编9000顶草帽,需要多少天
分析:1人1天可编的草帽数量是不变的,现在要编的草帽顶数是原来
的=6(倍),现在的人数是原来的120÷30=4(倍),天数就是
原来的6÷4=1.5(倍).
图示:人数天数草帽数
30 10 1500
↑倍↑(÷)倍↑倍
解: 10×[()÷(120÷30)]
=10×[6÷4]=10×1.5
答:需要15天.(贲友林)
书写答语要注意四点
一,要注意书写答语的前提.
解答应用题,在列式计算得出结果后,不要马上就写答语.而要对前面
各个步骤认真仔细地进行检查或验算后,再根据要求书写答语.
二,要注意回答问题必须完整.
大部分应用题只有一问,因此,一般地按&怎么问就怎么答&的原则书
写答语.但是,也有一些应用题有两个或两个以上问题,我们便要逐一书写
答语.这里要特别注意的是含有&各&,&分别&等词语的问题,表面上看
是一个问题,而实际上是几个问题.例如,问题是&运进的大米,面粉,杂
粮各占几分之几 &在书写答语时,就要先答大米占几分之几,再答面粉占
几分之几,最后答杂粮占几分之几.
三,要注意答语中的单位.
在书写答语时,如果问题中将单位名称省略没有写,我们就要根据题意
确定单位名称,并在答语中写出来.例如问题是&求这个长方形的面积&,
在书写答语时,就要在数的后面写上面积单位.
四,要注意答语中近似结果的写法.
如果计算结果是&四舍五入法&取得的近似值,在答语里一般都要写上
&约&字,如小学数学课本第九册第20页的例4,答语是:&平均每小时织
布约5.21米.&如果计算结果是进一法或去尾法取得的近似值,书写答语就
不用写&约&字,例如,问题是&需要几辆卡车来运 &结果14是由13.5
用进一法取得的近似值,答语就是:&需要14辆卡车来运.&(王海明)
数学课上老师出了这样一道判断题:&由三条线段组成的图形叫三角
形&.小明不假思索抢先说:&这一题正确&.小兵认为不对,他说:&由
三条线段围成的图形叫三角形&.&怎么 '组成'与'围成'也会不一样
真会钻空子!&&是不一样,这里绝对不能将'围'改成'组'!&……这
样两个人为一个字,争得面红耳赤.
究竟谁对呢 老师在黑板上画了这样几个图形:
同学们都看出这些图形都是由三条线段组成的,可它们都不是三角形.
老师说:&再看,将三条线段围成一个图形&
这下小明心服了,由三条线段围成的图形才是三角形.这里的&围&不
能改成&组&.(郑审机)
作三角形的高要注意什么
1.要理解三角形高的意义,注意高与底之间的对应关系.从三角形的一
个顶点到它的对边作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.三角形
有三条边,每条边都对应着一条高,每个三角形都有三条高.因此,作三角
形的高时,首先要明确是作哪条底边上的高.
2.要掌握作三角形高的方法,注意两个&重合&.利用直角三角板作三
角形的高的一般步骤是:
①把三角板的一条直角边和底边重合.
②把三角板沿底边左右移动,使三角板的另一条直角边经过底边所对角
③沿着这条直角边从顶点到底边画一条线段,这条线段就是三角形的
④三角形的高作好后,用三角板的直角比一比,看一看作的高与底边是
不是成90°的角,如果是90°就标上直角符号.(巢洪政)
两点间的线段≠两点间的距离
数学课上,同学们学习了三角形高的定义之后,有一位同学举手发言说:
&老师,三角形的高的定义能不能这样说:三角形的顶点到对边的距离叫做
三角形的高&.&距离&到底能不能是&高&呢
要回答这个问题,就得从&线段&,&线段的长&谈起.线段是指直线
上两点间的一段,它是一个图形;线段的长是对线段进行计量得出的数量.
课本中三角形高的定义是:&从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线,
顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.&所以三角形的高是指图形;而三
角形顶点到对边的距离是从三角形顶点向对边作垂线,顶点和垂足之间线段
的长度,它是一个数量.显然图形和数量不能混为一谈.
但是,我们应该明白:三角形顶点到对边的距离和顶点到对边的垂线是
密不可分的.因为要量出高的长度,必须先过三角形顶点向对边作一条垂线,
没有这条垂线,距离也无从谈起.
通过上面的分析我们知道:三角形的高是顶点与对边垂足间的一条线
段,而顶点与垂足间的距离是这两点间线段的长度,两者绝不可用等号连接.
剪一剪 拼一拼——用多种方法推导梯形面积计算公式
课本上介绍用两个完全一样的梯形,拼成一个平行四边形,从梯形和平
行四边形的关系中可以得到:梯形的面积=(上底+下底)×高÷2.其实,我
们还可以只用一个梯形,通过剪一剪,拼一拼,推导出梯形的面积公式.
一,把一个梯形剪成两个三角形(如图1).
S梯形=S△ABD+S△DCB
=下底×高÷2+上底×高÷2
=(上底+下底)×高÷2
二,把一个梯形剪成一个平行四边形和一个三角形(如图2).
S梯形=S平行四边形EBCD+S△AED
=上底×高+(下底—上底)×高÷2
=上底×2×高÷2+(下底—上底)×高÷2
=[上底×2+(下底—上底)]×高÷2
=(上底+下底)×高÷2
三,把一个梯形剪拼成平行四边形(如图3).
把梯形两腰的中点用线连起来,顺着这一条线剪下,把上面的梯形翻转
和下面的梯形拼在一起,就成了一个平行四边形.
S梯形=S平行四边形=(上底+下底)×(高÷2)
=(上底+下底)×高÷2
四,把一个梯形剪拼成一个长方形(如图4).
找到两个腰的中点,过这两个中点作下底的垂线,剪下三角形2和三角
形4,拼到上面1和3的位置,就成了一个长方形.长方形的长=(上底+下
底)÷2,长方形的宽=高.
S梯形=S长方形=(上底+下底)÷2×高
=(上底+下底)×高÷2
五,把一个梯形剪拼成一个三角形(如图5)
找到BC的中点E,把D和E用线连起来,剪下,按箭头的方向翻转,就
拼成一个三角形.
S梯形=S△AFD=(上底+下底)×高÷2(徐礼华)
学会从不同角度去思考
一道数学题,往往有好几种解法.我们应该学会从不同的角度去思考,
这样,可以提高自己分析问题和解决问题的能力.
例如图1,已知平行四边形的面积是45平方分米,AE=5分米,EC=6分
米.求阴影部分的面积.
这道题可以用五种思路来分析求解.
思路一:先求出平行四边形ABCD的底BC,然后求出三角形ABE的底BE,
最后求出阴影部分的面积.
解:45÷5=9(分米)
(9-6)×5÷2=7.5(平方分米)
思路二:先求出梯形AECD的面积,然后用平行四边形ABCD的面积减去
梯形AECD的面积得到阴影部分的面积.
解:45÷5=9(分米)
45-(9+6)×5÷2=7.5(平方分米)
思路三:过C点作AD的垂线CF(如图2),先求出长方形AECF的面积,
然后用平行四边形ABCD的面积减去长方形AECF的面积,再除以2得到阴影
部分的面积.
解:(45-5×6)÷2=7.5(平方分米)思路四:连接AC(如图3),先
求出三角形ABC的面积,然后用三角形ABC的面积减去三角形AEC的面积,
得到阴影部分的面积.
解:45÷2-5×6÷2=7.5(平方分米)
思路五:过E点作AB的平行线EH
(如图4),先求出平行四边形ECDH的面积,然后用平行四边形ABCD
的面积减去平行四边形ECDH的面积,再除以2得到阴影部分的面积.
解:(45-5×6)÷2=7.5(平方分米)(杨尚德)
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回复: 《小学生数学报》创刊十年趣题精选
找出规律 运用规律
在六年制小学数学课本第九册第73页的复习题中有这样一道题目:量出
下面图形中∠1的度数.想一想:∠1与已写出度数的两个角之间有什么关
用量角器量出上面三个图中∠1的度数分别是110°,145°,70°,它
们分别等于各图中已知的两个角的度数和.这里,图中已写出度数的角都是
三角形的内角,∠1是把三角形的一边延长与另一边所组成的角,我们称它
为三角形的一个外角.由此,我们可以发现这样一条规律:在三角形中,三
角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的度数的和.
掌握了这一规律可以使我们解题方便,迅速.例如:
如图所示,∠1= 80°,∠2=18°,∠3=22°求∠4.
因为∠5是三角形AEC的一个外角,∠1,∠2是三角形AEC的两个内角,
且与∠5不相邻,所以根据前面的规律可知:∠5=80°+18°=98°,又因为
∠4是三角形EBF的一个外角,∠5,∠3是三角形EBF的两个内角,且与∠4
不相邻,所以∠4=98°+22°=120°
运用上面的规律,同学们算一算五角星五个角的度数和是多少 (姚建
由一道习题联想到……
六年制小学数学课本第九册第89页第15题是:由三角形的内角和是180
°,算出下面各图形的内角和.
观察上图,可以清楚地看出:平行四边形,梯形,任意四边形都可以分
成两个三角形,它们的内角和是两个三角形的内角和,也就是180°×2=360
°.五边形可以分成三个三角形,它的内角和是三个三角形的内角和,也就
是180°×3=540°.
由此我们可以联想到:任何一个多边形都可以分成几个三角形,然后根
据三角形的内角和是180°这一性质,求出多边形的内角和.
例如,六边形可以分成四个三角形(如图1),它的内角和是180°×4=720
°.再如,七边形可以分成五个三角形(如图2),它的内角和是180°×5=900
由此我们又可以发现:多边形所分成三角形的个数比它的边数少2.如
果一个多边形有n条边,就是n边形,那么它的内角和是180°×(n-2).
请同学们运用这个公式算一算:十边形,十五边形的内角和各是多少度
计算组合图形面积的几种方法
一,分割法.就是把一个组合图形根据它的特征和已知条件分割成几个
简单的规则图形,分别算出各个图形的面积,最后求出它们的面积的和.如
图1就可以分割成一个梯形和一个平行四边形.
二,割补法.就是把图形的某一部分割下来补到另一部分上,使它变成
一个我们已学过的几何图形,然后再进行计算.如图2.
三,挖空法.就是把多边形看成是一个完整的规则图形,计算它的面积
以后,再减去空缺部分的面积.如图3,先把它看成一个长方形,求出它的
面积后,再减去空缺的梯形面积.
四,折叠法.就是把组合图形折成几个完全相同的图形.先求出一个图
形的面积,再求几个图形的面积之和.如图4,用折叠法把它折成两个完全
相同的梯形,只要先求出一个梯形的面积,然后再乘以2就行了.
五,旋转法.就是把原图形进行一次或多次旋转,使它变成我们所熟悉
的新图形,然后再进行计算.利用旋转法把图5变成图6,图6中等腰直角
三角形的面积,就是图5中所要求的阴影部分的面积.
计算一个组合图形的面积,有时可以有多种方法,我们要根据图形的特
征,已知条件,以及整体与部分的关系,选择最佳解法.
(晨晖 周立群)
在观察图形中思考
要想正确地求图形中阴影部分的面积,必须要认真观察,提高识图的能
力;观察时不仅用眼看,而且还要动脑想,用分析的方法寻求相应的条件,
有些条件能明显地看出,可有些条件是隐蔽的,还需要先求出来.
例如:已知下图长方形的周长为24厘米,长为7厘米,求阴影部分的面
我们从图中可以看出,要求阴影部分的面积(梯形的面积),上底长7
厘米是直接能看出的,而下底和高却是隐蔽的,但我们可以根据已知条件逐
一求得.这就需要运用已学知识,分析条件与条件,条件与问题之间的关系.
(1)(24-7×2)÷2=5(厘米)……长方形的宽(梯形的高)
(2)7-5=2(厘米)……梯形的下底
(3)(7+2)×5÷2=22.5(平方厘米)……阴影部分面积
或用长方形的面积减去等腰直角三角形的面积:
7×5-5×5÷2=22.5(平方厘米)
有时我们要在观察的基础上,根据求积公式,逆推出要求的条件.
例如:已知直角梯形面积是32.5平方厘米,求阴影部分面积.
根据对图形的观察,要求阴影部分的面积就要求出阴影部分(三角形)
的高,我们可根据&梯形的面积=(上底+下底)×高÷2&的公式,推算出梯
形的高,梯形的高知道了,那么三角形的高也就知道了.
(1)32.5×2÷(9+4)=65÷13=5(厘米)……阴影部分三角形的高
(2)9×5÷2=22.5(平方厘米)……阴影部分的面积
或32.5-5×4÷2=22.5(平方厘米)(求实)
五年级第二学期
谈谈用字母表示数
五年制小学四年级,六年制小学五年级的同学,新学期开学后就要学&用
字母表示数&,我们来谈谈用字母表示数的问题.
为什么要用字母表示数 用字母表示数后,可以把数量关系简明地表达
出来,也可以简明,概括地表达运算定律和计算公式,为研究和解决实际问
题带来方便.同学们要认识用字母表示数的优越性,并习惯于用字母表示数.
同学们在过去的学习中已接触过用字母表示数,例如根据加减法关系,
乘除法关系求算式中的未知数X.但是这还只是表示一个确定的数,而不是
表示在某个范围的任意数.
同学们在本学期里将会学习到用字母来表示在某个范围内任意的数,学
过以后将会加深对字母表示数的优越性的理解.
请同学们打开课本第1页看第1个例子:已知李健比王小华大2岁,根
据这个条件我们可以看到:
王小华到1岁时,李健是1+2=3(岁)
王小华到2岁时,李健是2+2=4(岁)
王小华的岁数加上2,就是李健的岁数.(虽然他们两人的年龄之间的
关系是确定不变的,但是两人的年龄却都是变化着的)两人年龄之间的关系
怎样用式子表达呢 如果用a表示王小华某一年的岁数,那么,李键那一年
的岁数相应地可以表示成&a+2&.这里的a,可以表示1,2,3,4,5,6,
7,8……,只要知道王小华的岁数,a等于几,把它代入&a+2&,就可以求
出李健的岁数了.
第1页上的第2个例子,第2页上的第3个例子都是说明在含有字母的
式子里,知道了字母所代表的数值,只要把它代入式子里,就能求出要求的
数.至于我们学过的运算定律,计算公式也可以用字母来表示,就不详细说
了.请同学们自己举例说说吧.
学习&用字母表示数&要注意&三新&
五年级同学一开学就要学习&用字母表示数&,这一节有不少新知识,
特别要注意&三新&:
一新.选择字母有时是任意的,有时按习惯是特定的.过去我们只知道
用X一个字母来表示未知数,现在我们可以用a,b,c,d,X,Y等任何一个
字母来表示数.例如一支铅笔的价钱是6分,用X表示购买铅笔的数量,应
付的钱数就可以写成6×X;用a表示购买铅笔的数量,应付的钱数就可以写
成6×a.但是,按照习惯一些特定的量常用一个固定的字母,如用v表示速
度,用t表示时间,用c表示周长等,一般不要任意选用.在同一个问题里,
不同的量要用不同的字母表示,如用a表示第一个加数,用b表示第二个加
数.在特定的情况下,某一个字母表示的内容有它特定的意义,如面积公式
S=ab中,S表示面积,而在距离公式S=vt中,S表示距离.在某些情况下,
字母表示的数有一定的限制,如 a÷b,b不能等于0.
二新.字母表示的数可以是不确定的,变化的数.字母可以表示整数,
也可以表示小数或分数.例如,一本练习本的价钱是a元,买b本应付多少
元 a可以是整数,也可以是小数,b是整数.a×b表示了单价,数量,总
价之间的关系.应付多少元是不能肯定的.过去我们习惯于运算的结果是一
个唯一的得数,现在我们要知道a×b可以看成一个式子,也可以看成结果.
要问&买练习本应付的钱是多少 &就可以回答是ab元.只有当知道a,b
是具体的数时,才能求出具体的&应付的钱数&.例如a=0.15 b=8 ab=0.15
三新.书写格式有新规定:
1.字母与数的乘积要先写数后写字母,字母又要按顺序写,乘号可写成
( )或省去不写.如a×4写成 4a,b×5×a写成 5 a b或 5ab,1a写
成 a.2.因为字母表示的是数,所以在式子中每一个字母都不注明单位名称,
计算结果也不注明单位名称,只在答句中写上单位名称.(徐礼华)
要注意它们的区别
五年级同学最近学习&简易方程&,这一部分有些概念容易混淆,大家
要注意它们的区别,正确理解.
一,&等式&和&方程&的区别.左右两边相等的式子叫等式.一个等
式由&等式的左边&,&等式的右边&,&等号&三部分组成.例如,20+30=50,
X+8=10都是等式.7+5,3X-1,6+X&10等就不
是等式.其中X+8=10是含有未知数的等式,是方程.一个式子是不是方
程,要符合两个条件:①必须含有未知数;②必须是等式.上面的3X-1,6+X
&10虽含有未知数,但不是等式;20+30=50是等式,但不含有未知数,因此,
它们都不是方程.从这里可以知道,一个等式不一定是方程,方程一定是等
式,而且是含有未知数的等式.
二,&方程的解&和&解方程&的区别.使方程左右两边相等的未知数
的值,叫做方程的解.例如,方程12-X=8,只有X=4时,这个方程左右两边
才会相等.X=4就是方程12-X=8的解.那么,是怎样求出方程12-X=8解的
呢 我们来看一下:
解方程12-X=8
我们把上面求方程解的演算过程,叫做解方程.方程的解是一个数值,
一般地说,没有解方程这个计算过程,方程的解是难以求出的.(徐礼华)
&3+2X=1&是不是方程
六年制小学数学课本第十册&简易方程&复习中,第3道题的题目要求
是&下面的式子,哪个是方程 哪个不是方程 为什么 &其中有这样一道
式子:3+2X=1.
大部分同学会认为, 3+2X=1是方程.
有些同学会认为,3+2X=1,不论X取什么值,方程两边都不会相等,所
以它不是方程.
在小学里,3+2X=1, X不论取什么值,方程两边都不会相等,那倒确实,
但是到了中学里学了新的知识以后,这个X的值是可以求出来的.现在,我
们只能说,X的值我们暂时求不出.但这道等式中含有未知数,符合方程的
定义,所以不管未知数的值是否能求出,都应是方程.(蔡宏圣)
怎样找等量关系列方程
列方程解应用题的关键是正确理解题意,找出题中数量之间的等量关
系.那么,怎样找等量关系列方程呢 常用的方法有:
一,根据常见的基本数量关系列方程.
例如:甲,乙两人加工264个零件,甲每小时加工5个,乙每小时加工
7个,两人合做几小时完成 设两人合做X小时完成.
根据工程问题基本数量关系式:
工作效率×工作时间=工作总量
列方程解5+7)×X=264
二,抓住题目中的关键语句找等量关系列方程.
例如:一个化肥厂,今年生产化肥2840吨,今年的产量比去年的2倍还
多44吨,去年生产化肥多少吨
抓住题目中&今年的产量比去年的2倍还多44吨&这一关键句进行分析,
可以知道:去年产量的2倍+44吨=今年的产量设去年生产化肥X吨.
列方程得:2X+44=2840
三,利用线段图找等量关系列方程.
例如:两个城市之间的公路长256千米.甲乙两辆汽车同时从两个城市
出发,相向而行,经过4小时相遇.甲汽车每小时行31千米,乙汽车每小时
行多少千米
设乙汽车每小时行X千米.
画出线段图:
从图上找出等量关系,
列方程得:31×4+4X=256
四,根据有关公式或概念列方程.
例如:一块三角形地,面积是2000平方分米,它的底是80分米,高是
设高是X分米,
根据&三角形的面积=底×高÷2&这一公式
列方程得:80X÷2=2000(朱润起)
这样列方程好吗
有这样一道题:妈妈买了3千克梨,付出6元,找回了2角4分.每千
克梨的价钱是多少元 (用方程解)
不少同学是这样解的:
解:设每千克梨的价钱是X元.
根据题意列方程,得:
X=(6-0.24)÷3
答:每千克梨的价钱是1.92元.
这样列方程好吗
我们知道:方程解法与算术解法是有区别的.用算术方法解应用题,是
根据已知条件的相互关系,用已知数逐步计算,最后得出未知数,未知数始
终处于特殊的地位,不参加运算.而列方程解应用题,要把未知数和已知数
同等看待,未知数参与列式,计算,根据题中数量间的相等关系列出方程后,
通过解方程,求出未知数.由此可以看出:上面的解法只是从形式上列出了
方程,但解题思路仍属于算术方法.这样做是不可取的.因为题目中限用方
程来解,所以,严格地说,是不正确的.正确的解法应该是:
解:设每千克梨的价钱是X元.根据题意列方程,得
答:每千克梨的价钱是1.92元.(邰晓进)
设未知数X的两种方法
列方程解应用题,先要确定一个未知量为X.一般说来,设未知数X有
下面两种方法.
1.直接设法.也就是应用题中要求哪个量,就设那个量为X.
例如:甲乙两班共有学生100人,乙班比甲班少4人,甲班有多少人
题目中问&甲班有多少人&,就直接设甲班有X人.
解:设甲班有X人.列方程得:
X+(X-4)=100
答:甲班有52人.
2.间接设法.当用直接设未知数X的方法难以列方程或所列的方程不易
求解时,可以把与问题有关的未知量设为X,然后再求出题目要求的未知量.
例如:四,五年级共植树80棵,五年级植树数比四年级的2倍少4棵,
五年级植树多少棵
这道题如果采用直接设法,会给列方程和解方程带来困难(同学们可以
试试看),而采用间接设法就比较容易.不过,间接设法所求出的X并不是
要求的答案,还要根据题中的数量关系计算出所要求的未知量是多少.这一
步不能遗漏.
解:设四年级植树X棵.列方程得:
X+(2X-4)=80
80-28=52(棵)
答:五年级共植树52棵.(晓松)
这类文字题还是用方程解好
同学们已经掌握了解答文字题的多种方法,但是碰到下面这类文字题还
是用方程解好.
[题目]一个数的8倍加上12,再除以3等于24,求这个数.如果用算术
方法解这类题目一般要&倒过来想&,也就是从结果开始,根据加与减,乘
与除的逆运算关系进行还原.用算术方法解:
(24×3-12)÷8
在列上面算式时,因为既要考虑从后往前推,又要考虑进行逆运算,运
算符号和顺序稍不注意,就会出错.
如果这类题目用方程去解就可变&倒过来想&为&顺着想&,直接根据
题目数量之间的相等关系列算式,既方便又不容易出错.用方程解:设这个
根据题意列方程,得:
(8X+12)÷3=24
一个数与7的和的2倍减去9除以3,商是2,求这个数.(用两种方法
从一道思考题谈起
六年制小学数学课本第十册第30页,有一道思考题:箱子里装有同样数
目的圆球和方块.每次取出5个圆球和3个方块,取了几次后,圆球没有了,
方块还剩6个.一共取了几次 圆球和方块各有多少个
用方程解答这道题,我们设一共取了X次,就会列出方程:5X=3X+6.
在上面这个方程中,未知数X出现了两次.像这样的方程怎么解呢 我
们先把5X看作3X加上6的和,根据&和—一个加数=另一个加数&可以得到
5X-3X=6.5X和3X分别表示5个X和3个X,所以5X-3X就是2X,这样就得
到2X=6,X=3.就是一共取了3次,圆球与方块的个数各是5×3(或3×3+6)
同学们如果掌握了上面这种方程的解法,那么当遇到类似下面的应用题
时,就会感到方程解题的优越性.
例如,张叔叔骑车从甲地到乙地后,又立即从乙地返回甲地.往返共用
了10个小时.已知去时每小时行6千米,返回时每小时行9千米.求甲,乙
两地的路程是多少千米
由于这道题的数量关系不很明显,因此,用算术方法解答,往往不容易
找到解题思路.如果我们用方程解,设去的时候用了X小时,那么返回的时
间就是(10-X)小时,这样,就能列出方程:6X=9×(10-X).先用乘法分
配律进行运算,得
再根据&差+减数=被减数&,得
甲,乙两地的路程是6×6=36(千米).
甲仓库中有化肥1700袋,乙仓库中有化肥580袋.如果每天从甲仓库运
出化肥50袋,乙仓库运进化肥30袋,那么几天以后,甲,乙两个仓库中化
肥的袋数正好相等 (用方程解)(古泉)
&数的整除&学习辅导
记者会开始了,小记者们围着老博士问了下列问题,老博士都一一回答
了.现在报道如下.
小记者:以前,我们学除法时,老师都讲&除尽&,&除不尽&;现在,
我们学习《数的整除》时,老师都讲&整除&.请问博士爷爷,&除尽&与
&整除&究竟有什么不同呢
老博士:同学们,在你们做整数或者小数除法时,除到被除数的个位,
或者除到小数部份的最末一位时,没有余数,我们就说,&除尽&了.例如
①20÷5=4;②21÷5=4.2;③1.69÷26=0.065;④2.25 ÷0.15=15.从①～
④式可以看出,讲&除尽&时,被除数,除数,商可以是整数,也可以是小
数.而到了《数的整除》这一单元,为了研究整除的一些性质,我们把被除
数,除数,商都限制在自然数的范围内,并规定:甲数除以乙数,除得的商
正好是整数而没有余数,我们就说甲数能被乙数整除.这样一来,上面的①～
④式中,只有①式叫做整除;算式②,③,④都不叫做整除.这样,你们能
说出&除尽&与&整除&的不同点吗
小记者:知道了,知道了,&除尽&的范围大,它包括了&整除&在内,
而&整除&限制在自然数的范围内.虽然都是没有余数,但被除数,除数,
商的范围却不相同.
老博士:对了,对了,我们研究数与数的运算和运算性质时,一定要首
先考虑在什么范围内.
小记者:博士爷爷,我对奇数,偶数,质数,合数有时搞不清楚,只知
道书上怎么写,我就怎么背.怎样才能搞清楚这些概念呢
老博士:要搞清楚这些概念,首先要弄清楚这些概念是怎么得来的;然
后再研究它们之间的关系.你们看,奇数,偶数的划分标准,是看这个自然
数能不能被2整除,能被2整除的叫做偶数,又称双数;不能被2整除的叫
做奇数,又称单数.由此可见,在所有的自然数中,它不是奇数,就是偶数.
我们还把1,3,5,7,9……叫做奇数数列;把2,4,6,8,10……叫做偶
而质数,合数这两个概念是怎么产生的呢 它们是从研究一自然数自身
的约数个数产生的.如果一个自然数只有1和它本身这两个约数,我们叫它
质数,又称它素数.例如 2,3,5,7,11,13,17,19……质数有无限个.
如果一个自然数除了1和它本身这两个约数以外,还有别的约数,我们叫它
合数.例如4,6,8,9,14,15…….从我们所写的质数可以看出:质数中
唯一的一个偶数就是2,2还是最小的质数;其它的质数都是奇数.从我们所
写的合数可以看出:4是最小的合数;合数里有奇数,也有偶数.还告诉小
朋友们两条有趣的规律:①所有的合数都可以写成若干个质数的连乘积,例
如210=2×3×5×7,我们就说210是由2, 3, 5,7四个质数连乘得到的;
②所有大于4的合数都是由两个素数相加得到的,例如6=3+3;24=5+19;
28=5+23,……这就是著名的哥德巴赫猜想.当然,第二条规律还没有得到
最后的证明.
小记者:质数,合数好懂,我觉得&质因数&和&互质数&最不容易区
分开,我经常混淆.请博士爷爷讲讲这方面的知识,帮助我们区分这两个概
老博士:&因数&是对&积&讲的,而不能单独讲某一个数是&因数&
例如 210=2×3×5×7, 2, 3, 5, 7都是积210的因数,又因为2,3,5,
7这些都是质数,可以把这些质数因数简称&质因数&.
&互质数&这个概念是在研究两个数的公约数的个数基础上产生的.6
和9的公约数有1,3两个,而8和9的公约数只有1.这时,我们就把公约
数只有1的两个数叫做互质数.它们之间是&互质&关系.这样一来,大小
不同的两个数之间就有三种关系,例如 5和13:①相差关系,5比13少8,
13比5多8;②倍数关系,13是5的
倍,或者说是的倍;③互质关系,因为和只有公约数,
所以5和13互质,用算式表示写成(5,13)=1.
小记者:是不是互质的两个数都是质数呢
老博士:互质的两个数不一定都是质数.有这样几种情况:
1.两个数都是质数,如(3,5)=1
2.两个数都是合数,如(8,9)=1
3.一个质数,一个合数,如(11,12)=1
4.1和一个合数,如(1,6)=1
5.1和一个质数,如(1,7)=1(继春)
快速找约数的方法
找一个数的约数,除采用课本上介绍的方法,还可以从小到大一对一对
例如,要找12的约数,先找出它的最小约数1,再看1和什么数相乘等
于12,1×12=12, 1与12这对因数是12的约数,将它们分别写在两边(1,……
12,),再看2和什么数相乘得12,2×6=12,2与6这对因数也是12的约
数,将2写在1的右边,6写在12的左边(1,2,……6,12)
另外,还有3×4=12,3与4这对因数是12的约数,再也没有别的约数
了,因此,把3和4写在中间.找12的所有约数的过程可用下图表示:
再如,找16的约数,因为1×16=16,2×8=16,4×4=16,所以,找16
的约数可以这样做:
这里需要注意的是:碰到相同的一对因数,只要写一个.
用上面的方法找约数既快,又不会遗漏和重复,同学们可以试一试.
找出下面各数的约数.
18,24,36(朱丹霞)
判断&能被3整除的数&的简便方法
&一个数的各位上的数的和能被3整除,这个数就能被3整除.&运用
这一特征可以判断一个数能不能被3整除.但是,当这个数的各位上的数相
加,所得的和较大时,口算往往容易出错.下面向你介绍四种简便判断方法.
1.被判断的数各个数位上的数都是3的倍数,那么这个数一定能被3
整除.如396,6039……都是能被3整除的数.
2.由三个相同的数字组成的三位数一定能被3整除.例如222,把各数
位上的数加起来:2+2+2=6,6能被3整除,所以222能被3整除.
3.连续的三个自然数组成的数也一定能被3整除.因为连续三个自然数
的和一定是3的倍数.例如456,各数位上的数加起来:4+5+6=15,15能
被3整除,所以456能被3整除.同样141516是由14,15,16三个连续自
然数组成的,它也能被3整除.
4.被判断的数不论在哪个数位上出现是3的倍数,都筛去不加,如果剩
下的各数位上数的和是3的倍数,这个数就能被3整除.例如3596,我们可
以这样判断:筛去3,9,6后,剩下的5不是3的倍数,所以3596不能被3
请同学们运用上面四种方法很快说出下面哪些数能被3整除.
789 (华应龙)
判断整除的一种简易方法
同学们已学过判断一个数能不能被2,3,5等数整除的方法,但是如果
要你判断一个数能不能被23,31或其它任意一个数整除,你有好的办法吗
这里介绍一种判断一个数能不能被任意一个数整除的简易方法.
判断一个数a能不能被另一个数b整除,我们先求出靠近a的b的倍数
bn,然后求出bn与a的差(或反过来),再判断这个差能不能被b整除,如
果这个差能被b整除,那么a就能被b整除,否则a就不能被b整除.
例1 判断6417能否被31整除.
31的200倍是 31×200=6200,
说明6417能被31整除.
例2判断2871能不能被29整除.
29的100倍是2900,比2871大,就用
所以2871能被29整除.
例3判断234874能不能被23整除.
这里得出的差4874相对23来说还比较大,不易判断,还可以再用上述
方法连续求差:
23×200=4600
23×10=230
274-230=44
44不能被23整除,所以234874不能被23整除.
实际上,上面一系列求差过程,可以用观察的方法得到,我们把各次相
减的过程简记成下面的格式:
最后的差为44,从而可作出判断.
巧记100以内的质数
百以内的质数共有25个,百以内的质数表可以分四段巧记:第一段,20
以内的质数共8个:2,3,5,7,11,13,17,19;第二段,质数个位数是
3,9的,而十位分别相差30的数;23,29,53,59,83,89,共6个
第三段,质数个位数是1,7的,而十位数又是相差30的数;
31,37,61,67共4个;
第四段,质数个位数是1,3,7,的,而十位数也分别相差30的
数;41,43,47,71,73.最后两个质数为79,97,正好是把79倒过
来就是97,共7个.这样分四段,(如下图)巧记,能正确,迅速地把百以
内的质数全部记牢,同学们在学习中运用起来就方便多了.
2,3,5,7,11,13,17,19
23,29,53,59,83,,,71,73,79,97
怎样算一个合数的约数的个数
一个质数只有两个约数,一个合数至少有三个约数,当同学们要写出一
个较大的合数的所有的约数时,一定希望知道这个合数的约数有几个,做到
&心中有数&.用分解质因数的方法,可以算出一个合数的约数的个数.
例1.求75的约数的个数
先将75分解质因数:
75=3×5×5
75是由1个3和2个5相乘得到的,把75各个相同质因数的个数加1,
再相乘,所得到的积就是 75的约数的个数;
(1+1)×(2+1)=2×3=6(个)
(同学们可以写出75的所有约数,验证一下这
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谢谢楼主,学习了
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以后仔细看看，有点累，谢谢楼主
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谢谢楼主,当家长的也和孩子一起学习一下
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内容不错，就是看起来比较累。
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谢谢楼主，需要慢慢学习学习
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谢谢楼主，真是精辟，慢慢学习。
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刚刚看了一点，不错，就是看起来太费劲。
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先学习一下啊，等看完后讲给孩子。
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下载了，认真学习了，谢谢！
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