瑞昌市二中徐平高中数学工作室
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高中数学试题中的语言问题初探
上传: 樊孝良 &&&&更新时间： 18:32:30
高中数学试题中的语言问题初探 数学学习就是数学语言的学习，因为数学语言是数学思维的工具，是数学知识和数学思想、方法的载体，反之，数学知识最终是借助数学语言来传播、交流的，数学史上，类似伽罗华的论文在去世后38年才被世人看懂的先例屡见不鲜。原因之一就是作数学论文和读数学论文都需要有坚实的数学语言功底，才能将抽象的思想流芳百世，化为人类进步的力量。在数学教学中，学生与数学的亲密接触就是从书本概念和考试试题中截取的，因此我们着重开展试题中数学语言的探索。
试题中的数学语言能力问题。 几乎所有的数学问题都少不了文字的描述，反之，学生体现的思 维过程也是通过文字表述而达成。尽管高考中的解答题，为学生反映自己的真实数学能力搭建了平台，但近年来，为凸显考察学生数学素养的目标，有些开始单独对语言提出明确的要求；有些题尽管没有明确考数学语言，但是，如果应试者对数学语言理解不深刻，不善于进行多种表示方式的转换，就很难将自己的聪明才智发挥出来。笔者作为数学教师，深感要认真加强自己的数学语言的修养，努力培养学生在具有良好的思维能力的同时，具有良好的语言理解能力，转换能力，表达交流能力。 例1：2006年上海春季高考试题：12. 同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列 &满足 ， 则&&&&&&&&&&&&&&&& （结论用数学式子表示）. 本题答案： 和 &&& 。 需要说明的是：&数学语言&是个使用很混乱的词语。笔者理解，数学语言有不同的表现方式，一种是基本上用自然语言表示的，也可以夹杂一些符号，另一种则是纯粹用符号和式子表示的。两种表示法，各有各的好处。一般说，纯粹用符号和式子表示的数学语言，缩短了语言长度，体现了语言的简洁美；基本上用自然语言表示的数学语言，有时有通俗的一面。更确切地说，将数学知识内化为自身的体验。这两种数学语言 &互译&是十分重要的。 例1是将自然语言表示的意思转换为符号和式子。下面的2008年上海高考（理）的一道习题，可以体会从符号式子到自然语言的转换： 例2：2008年上海高考（理）：16. 如图，在平面直角坐标系中， 是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点c、d的定圆所围成区域（含边界），a、b、c、d是该圆的四等分点，若点p(x,y)、p&(x&,y&)满足x&x& 且y&y&，则称p优于p&，如果 中的点q满足：不存在 中的其它点优于q，那么所有这样的点q组成的集合是劣弧（&& ） & &
a．&& &&&&&&&b．&& &&&&&& &c．&& &&&&&&&d．&& & & 本题就是一个数学语言的解读： &若点p(x,y)、p&(x&,y&)满足x&x& 且y&y&，则称p优于p&，& 这句话涵义就是准确地描述了所谓p优于p&，就是指p在p&的左上方，而左上方还是一个模糊的概念，因此数学语言利用直角坐标系解释了左上方的概念。由此 &如果 中的点q满足：不存在 中的其它点优于q，& 就是指对于点q而言，没有左上方的点，那在左上方的弧上的点不就满足条件了吗？而学生在处理这道题时，被&玄妙&的符号和式子所迷惑，而抓不住事物的本质。一旦用自然语言翻译一下，不就是&左上方&，&右上方&么！这种翻译，将抽象的式子内化为自己的一种体验，成为解这道题的关键。 本题答案：d。 &&& 再如： 例3：（上海市某区2008年第二次模拟考题）：若函数 和 的定义域、值域都是r，则 成立的充要条件是（ ）（答案：d） a．存在一个x（ ），使得
b．有无穷多个x（ ），使得
c．对于任意的x（ ），都有
下面是笔者在讲解这道题时候的课堂实录片断： 学生甲：因为定义域都是r，那不就是（c）; 学生乙：不对，本题即是 的解集概念，例如：令 ,则
而不是 对于一切实数恒成立的条件，（c）显然是不妥当的。应该选（d）。 学生丙：如果这么解释，那么b也对啊！ 学生丁：b不确切，如果 , 那就不存在x了。 &&& 其实学生对这道题的争论就是对概念的外延的辩论，他们不能用详尽的数学语言表达，但是可以同数学实例来说明自己的观点，虽然用实例说明概念不是很精确，但这就是一种&内化&的过程，转化了一种内心体验。 可见,要弄懂抽象的符号和式子，重要的是举例，也就是用具体化来应对抽象化。数学思维的检验必须通过数学语言的载体来表达，对数学语言的准确把握，简洁描述，用词规范体现了学生的数学素养和综合能力，教师在平常教学和作业反馈中应该进行足够的重视。平时在学习概念时，充分举例，尝试让学生用自己语言叙述概念。 本题答案：d 让我们回归到数学学习本身，之所以人类构建了数学体系的&万丈高楼&，&奠基石&还是经过反复推敲的基本概念和基本定理，例如我们学习的欧基里德体系就是从公理出发，将这个体系推向及至。因此教师不能放过任何一个传授新知识、新概念的机会，让懵懂的学生用自己的体验完成对数学的认识，充分理解数学语言蕴涵的深层涵义。近年来一些&概念阅读题&就反映这方面的能力要求。 例4：将能写成m（m&1）个连续自然数之和的数按从小到大的顺序排列构成一个数列，此数列记为 ， 表示第n个（从小到大的顺序排列）能写成m个（m&1）连续自然数之和的数，则 的解析式为 ＝&&&&&& 。 在学习了数列和组合数一些知识点后，对于抽象的数值计算的概念训练，本题的意思是求首项为n的m个连续自然数的和（它之后m个自然数的和），即 。 本题答案： 。 解这题时，关键是，要看透& &的意思，也就是要将它翻译成自然语言。
试题中数学语言的盲区反映着学生思维和知识点的误区 很多高中毕业的学生回到母校后普遍反映大学的高等数学简直犹 如天书，细想一下，其实，还是我们中学老师把他们&宠坏&了。教师为了渗透一些知识点，反复进行操作训练，而每个老师都知道，习题都是&换汤不换药&，语意背景相似，因此学生已经习惯了这些常见题型，而精准的数学语言往往在课堂教学中淡化了。 在近年高考中，一些老师觉得平时数学能力还不错的学生在理解题意上栽了跟头，其实还是暴露出数学素养培养得不够。印象比较深刻有这两个方面： 1．反例与反证 例5：2005年上海春季高考16. 设函数 的定义域为 ，有下列三个命题： （1）若存在常数 ，使得对任意 ，有 ，则 是函数 的最大值；(假) （2）若存在 ，使得对任意 ，且 ，有 ，则 是函数 的最大值；(真) （3）若存在 ，使得对任意 ，有 ，则 是函数 的最大值. (真)&& &&&& 这些命题中，真命题的个数是 (&&& )&&&&&&&& (答案：c) &&& （a）0个.&&&&& （b）1个.&&&&&& （c）2个.&& &&&（d）3个. 在解决这个问题时，学生心存疑虑，学生普遍认为命题（3）肯定是正确的，由于命题（3）正确，命题（2）显然不完整，可以用y=sinx的例子加以否定。其实从命题本身意义上而言，命题（2）并没有错，因为其前提条件是 &若存在 ，使得对任意 ，且 ，有 &， 而学生所举&反例&y=sinx并没有符合这个条件，因而也不具备否定该命题的依据，因而不是反例。命题（2）显然描述的是具有唯一自变量对应最大值的函数，例如开口向下的二次函数，作为&最大值&这个概念，命题（2）不是很完整，而作为具有&题设与结论&的命题而言，确实是真命题。 那么，反例的把握为什么是个语言问题呢？因为&举反例&，&反证法&都是思维的批判性的集中体现，语言的表述比较&拗口&，容易暴露出&存在性和任意性&的认知不完善。所谓&举反例&，就是存在一个元素（或事实）满足题设，但推不出相应的结论，比如，对 x&1,则x&2, 显然例举x=1.5,就可以推翻命题，只要存在一个即可，这是验证假命题的方法。而真命题的验证必须是所有满足题设的条件的元素都能推出结论。 类似的，我想起高三复习课的两道典型例题： 例6：（1）已知数列 其中 ，且数列 为等比数列，求常数p； （2）设 是公比不相等的两个等比数列， ,证明数列 不是等比数列。 解：第（1）小题中，我们可以利用 为等比数列,建立关系式 ， 得到 p=2或3。 但学生对第（2）小题的理解是这样的，他利用第（1）小题的 , 然后利用显然 , 证明这个 不是等比数列，他称这种证明方法是&举反例&.学生潜意识的逻辑可能认为要证&不是&，就是举反例，举一个反例加以否定，不就行了吗？每次讲这道例题总有学生纠缠许久，如果教师要将学生从这种谬误的逻辑中带出来，只要让学生体会一个字，如果把结论中的&不是&改成&是&，同学，你也举一个例子来证明吗？此时，学生才发现自己在证明问题中只考虑特殊情况，认清自己证明的失误。 其实第（2）小题，为了证明&不是&我们可以利用反证法， 证明：（反证法）若& 是等比数列& 不妨设{an}的公比为q,{bn}的公比为p,则 , 则可推得 的公比相等，与条件矛盾，所以 不是等比数列。由此我们把所有的此类 都给否定了。 反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。其步骤是 （1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从假设出发，经过推理，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 例7：下列各命题中，真命题是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （& ） (a)存在这样的 ， ，使cos( + )=cos cos +sin sin . (b)不存在无穷多个 ， ，使cos( + )=cos cos +sin sin . (c)对于任意的 ， ， cos( + )=cos cos +sin sin . &(d）不存在这样的 ， ，使cos( + ) cos cos +sin sin . 由a得 , 因此选择a 两角和公式提到：cos( + )=cos cos -sin sin ,适合于任何情况.但题目中利用学生平时一个记忆的偏差辨析了&任意&和&存在&的区别，值得让学生有更深层次的思考。 2.数学与生活 应用题中的语言问题历来成为了&众矢之的&，&众口难调&的&一道菜&，近年来上海高考题还是将课本中的常规模型作为检验载体，旨在测试学生的数学知识运用能力，但是问题就算一遍又一遍的操作，但在理解方面有阻碍的学生还是无法跨越。例如一道陈题，此次被选入某区的模拟考试卷中，学生还是有争议： 例8：（上海市某区2008年第二次模拟考题）某厂预计从2008年初开始的前x个月内，市场对某种产品的需求总量f(x)与月份x的近似关系为： （单位：台） 且
写出2008年第x个月的需求量g(x)与月份x的关系式；
如果该厂此种产品每月生产a台，为保证每月满足市场需求，则a至少为多少？
第（2）题正确解法：由
恒成立，得到
恒成立； & &
1 ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９
而学生错误理解：利用第（1）小题的结论，用 恒成立，即a大于等于g(x)中的最大值，但试想，平均量与各月的最大值进行比较，那每个月都多余那么多产品如何处理。其实应该：ax代表x月的生产总量，然后与累计需求量f(x)比较，使不等式恒成立。这道题学生欠缺还是实际生活经验，在课堂上，做对的学生告诉其他同学，也让做错的同学无言以对，其实让学生之间相互纠正语意问题，是值得推荐和尝试的。 生活经验无疑成为了学生建模过程中难以逾越的&坎&。 例9：（上海某区2008年第二次模拟考题）： 随着国民经济的日益发展和居民财富的不断积累，理财观念日益深入人心。投资股市正成为一种时尚，如图所示是某股票的k线图（即股票价格的走势图），其起始价格为每股10元。假设其运行规律为两个月上涨，接下来一个月下跌，上行线是以每月10％递增的指数型曲线段，下行线是以－1为斜率的直线型线段：设第n月末的股票价格为 。若某人用100500元投入该种股票，并于两年后抛出，问他共盈利多少元？（已知每次交易须交付印花税和佣金共计为交易额的0.5％，精确到元）。 解： 此人一共花了 元，买了10000股。 =11.1（元）， （元） （元）
设盈利为a， a= 元 学生当然不知道，股票不管买入卖出都要缴税，所以一开始投入的100500元的500元正好作缴税之用，也就是说真正的股票资金为100000元，即买了10000股。 当然，无论数学建模&门槛&如何再低，再回归到书本内容，学生对文字的辨析依然不是那么敏感，例如：数列中的前n项和与第n项的区别，确实又是学生的一个盲区，不用说隐含的条件，就算明确指出，学生有时也会视而不见。 例10：(2005年上海高考) &假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底： (1)该市历年所建中低价房的累积面积(以2004年为累积的第一年)将首次不少于4750万平方米？ (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？ 解：(1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列, && 其中 a1=250,d=50, 则 sn=250n+ =25n2+225n, 令 25n2+225n&4750, 即 n2+9n-190&0, 而n是正整数, ∴n&10. 到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则 bn=400&(1.08)n-1&0.85. && 由题意可知 an&0.85 bn, 有 250+(n-1)&50&400&(1.08)n-1&0.85. && 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6. && 到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 第（1）题要求的是前n项和，而第（2）题是第n项，学生在判断方面还是有偏差。 &&&& 一定程度上，类似试题的出现并不是单纯数学知识的考量，而是学习能力，生活能力的评判，我们不得不承认,对实际应用的语言把握不到位表面是一个审题不清，而暗藏背后的还是数学语言和生活语言&互译&存在缺陷。 三、试题中值得商榷的问题： 尽管学生在解决数学问题确实有欠缺，但作为教师而言，我们也 必须承认一些试题本身也存在着让学生匪夷所思的细节，难以把握。很多时候，往往分析试卷到一半，学生就开始对题意提出自己的解释。确实，平常一句话可以有千万种理解，但是作为自然科学之首的数学学科的一个概念、一个定论、一个判断应该是毫无瑕疵，来不得半点漏洞，因为它的体系必须是完整而无可辩驳的。因此教师在编写试题中，课堂教学过程中要事先充分考虑和预见各种结果，以免出现差错和歧义。 &&& 根据学生的反馈，有些试题还是值得商榷的： 例11：04年上海高考（理）12： 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的&基本量&.设{an}是 公比为q的无穷等比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列&基本量&的是第&&&&&&&&&&& 组.(写出所有符合要求的组号) &&& ①s1与s2;&& ②a2与s3;&& ③a1与an;&& ④q与an. 其中n为大于1的整数, sn为{an}的前n项和.（答案：①、④） 这道题的本意构造得相当好，要求学生是否知晓数列中&知三求二&的探求思想，同时利用等比数列的性质估计解的情况，可是学生对4个选择项里的an无法把握，an到底是指&a2,a3,&&a10等&具体常数呢，还是指含有&n&的解析式，然后学生只能猜测如果含有&n&的解析式，那么不就是唯一确定了吗？而这个疑虑并不是出题者本意让学生难辨，可惜的是，许多学生因为这道题的含糊表达，误导了他们的解答，如果题目后的注解是：指出an是中的&n&为大于1的整数常数，就可以回避这个不值得考虑的疑虑了。 值得注意的是同样一份试题的第22题： 设p1(x1,y1), p1(x2,y2),&, pn(xn,yn)(n&3,n&n) 是二次曲线c上的点, 且a1= 2, a2= 2, &, an= 2构成了一个公差为d(d&0) 的等差数列, 其中o是坐标原点. 记sn=a1+a2+&+an. (1)若c的方程为 =1,n=3. 点p1(10,0) 及s3=255, 求点p3的坐标； (只需写出一个) (2)若c的方程为 (a&b&0). 点p1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d变化时, 求sn的最小值； (3)请选定一条除椭圆外的二次曲线c及c上的一点p1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点p1, p2,&，pn存在的充要条件,并说明理由. 第（2）小题，出现类似的讲法：&对于给定的自然数n&，它的含义就相当明确，希望学生转换思路，一改平时以&n&为变量的函数关系，转换到关于&d&的一次函数，进行探求。 例12：2007年上海高考（理）20． & &&如果有穷数列 （ 为正整数）满足条件 ， ，&， ，即 （ ），我们称其为&对称数列&．例如，由组合数组成的数列 就是&对称数列&． （1）设 是项数为7的&对称数列&，其中 是等差数列，且 ， ．依次写出 的每一项； （2）设 是项数为 (正整数 )的&对称数列&，其中 是首项为 ，公差为 的等差数列．记 各项的和为 ．当 为何值时， 取得最大值？并求出 的最大值； （3）对于确定的正整数 ，写出所有项数不超过 的&对称数列&，使得 依次是该数列中连续的项；当 时，求其中一个&对称数列&前 项的和 ． 解：（1）设 的公差为 ，则 ， 解得 & ， &&& 数列 为 ．&&&&& &&& （2）
&&&&&&&&&&&&& ，&& &&&&&&&&& ， &&&&&&&& 当 时， 取得最大值．&& &&&& 的最大值为626．&& && &&&& （3）所有可能的&对称数列&是： &&&&& ① ； &&&&& ② ； &&&&& ③ ； &&&&& ④ ．&&& &&&&&&&&&&& &&&&& 对于①，当 时， ． &&& &&&&& 当 时，
&&& &&&&&&&&&&&& ．&&&&& &&&&& 对于②，当 时， ． &&&&& 当 时， ． &&&&& 对于③，当 时， ． &&&&& 当 时， ． &&&&& 对于④，当 时， ． &&&&& 当 时， ． 学生在回答第（3）小题时普遍反映 依次是否指顺序可以调换，即& &是否也是指的是& &中的依次，一个语文意义词语&依次&该如何解释，试想&甲乙丙&依次排开，是否是指甲可以为排头或排尾呢？致使许多学生对这道小题出现漏解情况。 例13：2008年上海春季高考第11题： 已知 ； （ 是正整数），令 ，
， . 某人用右图分析得到 恒等式： &&
， 则 &&&&&&&&&&&&&& . 本题答案： 。 本题结合了今后大部分学生都要涉及的积分的思想，引导学生利用数列、观察图形等的知识和思想方法，是一道漂亮的题，但是遗憾的是，学生不知道回答什么，学生总是认为用k，n的关系式作为解答，而未曾想答案确是用带下标的 表示，又让学生误入歧途。 例14：（上海某区2008第二次模拟考题） 若等差数列{an}的前n项和为sn，且满足 为常数，则称该数列为s数列。 （1）判断an=4n-2是否为s数列？并说明理由； （2）若首项为a1的等差数列{an}（an不为常数）为s数列，试求出其通项；
若首项为a1的各项为正数的等差数列{an}为s数列，设n+h=2008(n,h为正整数)，求 的最小值。 解:(1)由 ,得 ， 所以它为 数列; &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &(2)假设存在等差数列 ,公差为 ,则 (常数)
化简得 &&&&& ①&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 由于①对任意正整数 均成立, 则 &&&&&& 解得: & &&&&&&&&&&&&&&&&&& 故存在符合条件的等差数列,其通项公式为: ,其中 && (3)
.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 其最小值为 ，当且仅当 取等号。&&&&&&&&&&&&&&&&&& 解决第3个问题时，自然利用了第2个问题的结果，但第2个问题的结果里条件是非常数数列，而第（3）小题中应该把所有情况都有所考虑，经过比较，才能得到其最小值。 例15：关于根的个数的问题 （1）：方程 有且只有一个根在区间（0，3）内，则 &&&&&& 。
（2）：函数 与函数 的图像在x&（0，3）有一个交点，则 &&&&&& 。
（1）中的&一个根&不包括重根，即重根算2个根,所以不包括 . （2）中的&一个交点&（切点）包括即为联立方程中的重根，算一个点。两者的区分，在于：不牵涉到图像时，重根算成两个根；牵涉到图像时，由重根产生的切点只算一个交点。 这个知识点暴露出初高中衔接处的漏洞，初中时，我们反复强调重根的个数；而高中阶段在解析几何和函数与方程中，我们借助方程解决图形问题时，重根的意义与切点没有得到明确的统一，甚至，我们高中教师在出高一新生的暑期练习题时会想，学生知道相切的概念吗，初中有这个概念吗？如何探讨的呢？初高中的衔接确实是摆在新教材操作的&大问题&，前后知识概念的统一，脉络的一致是需要一个团队相互配合连贯的，以免让一线教师难以操作，在此不做详细赘述，只是希望引起普遍重视。 进入高三教学后，教师也认为掌握了一定高中数学知识的学生开始质疑试题的措辞，甚至质疑书本内容，可能会使教师感到有些尴尬，但我却认为这正是教育成功的体现。曾经有人认为&宣传&即&教育&，但是我认为&宣传&是&灌输&，而&教育&是&唤醒&，是引导学生去思考，去再创造。今天他们可以质疑&人造&试题，明天他们就可以质疑任何&不合理&的事物，探索未知世界，从而改造创新。所谓&数学教学&即是&数学语言&的教学，我们通过课堂加强了学生与&终日谋面&的教师的交流，通过试题加强了学生与&素未谋面&的学者的交流，而其中的桥梁都是因为数学语言，而主旨却是相同的，希望学生在数学语言的启发下，让逻辑思维日趋成熟，探求数学的真谛。 &
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高二数学教材中有关距离的问题练习
高二数学教材中有关距离的问题练习
题1（第111页练习第2题)如图，已知两条异面直线所成的角为θ，在直线a、b上分别取E、F，已知A’E=m，AF=n，EF=l，求公垂线A A′的长d.
&&&=π―θ（或θ），
当E,F在公垂线同一侧时取负号
当d等于0是即为“余弦定理”
变式1.已知:两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA1的长度为d，在直线a、b上分别取点E、F，设A1E＝m，AF＝n，求证:EF＝(92(26))
证明:设经过b与a平行的平面为α，经过a和AA1的平面为β，
α∩β＝c，则c∥a，因而b，c所成的角等于θ，且AA1⊥c，
又∵AA1⊥bÞAA1⊥α，由两个平面垂直的性质定理有
EG⊥α.连结FG，则EG⊥FG，在Rt△EFG中，EF2＝EG2＋FG2
∵AG＝m，∴在△AFG中，FG2＝m2＋n2－2mncosθ
∵EG＝d，∴EF2＝d2＋m2＋n2－2mncosθ
如果点F(或E)在点A(或A1)的另一侧，则
EF2＝d2＋m2＋n2＋2mncosθ
因此EF＝.
变式2:(P92练习第3题)如图,线段AB,BD在平面内,BD⊥AB,线段AC⊥α,且AB=a,BD=b,AC=c,求C,D间的距离.
(P106例2)：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为, AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
解：如图，
设向量 与的夹角为， 就是库底与水坝所成的二面角。
库底与水坝所成二面角的余弦值为
变式4: (P107练习第2题)已知在一个的二面角的棱长有两点，分别是在这个二面角的两个平面内，且垂直于线段，又知，求的长
解：由已知
变式5:(P113习题3.2A组第9题)正方体的棱长为1,点M是棱的中点,点O是的中点,求证:OM是异面直线与的公垂线,并求OM的长.
解: 以A为原点建立坐标系,得下列坐标:
因为,所以.
题2 (P119复习参考题B组第3题)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和AC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1,AD=0.5.
(1)四棱锥S-ABCD的体积；
（2）求面SCD与面SAB所成二面角的大小.
解：（1）直角梯形ABCD的面积为
∴四棱锥S-ABCD的体积为
(2)建立如图空间直角坐标系Axyz,则
∵SA⊥平面ABCD,AD⊥AB, ∴向量是面SAB的一个法向量.
设平面SCD的一个法向量为,由
∴面SCD与面SAB所成二面角的大小.
变式1:如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中, ,
(1)求证：面SAB⊥面SBC;
(2)E点是SC的中点,求证：DE⊥面SBC.
变式2:如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝a，AD＝3a，且∠ADC＝arcsin，又PA⊥平面ABCD，PA＝a，求：(94上海)
⑴二面角P－CD－A的大小(用反三角函数表示)；
⑵点A到平面PBC的距离.
解:如图，在平面ABCD内，过点A作AE⊥CD，垂足为E，连结PE，
有PA⊥平面ABCD，由三垂线定理知PE⊥CD，
故∠PEA是二面角P－CD－A的平面角
在Rt△DAE中，AD＝3a，∠ADC＝arcsin
则AE＝ADsin∠ADC＝a
在Rt△PAE中，tan∠PEA＝
故二面角P－CD－A的大小为arctan
⑵在平面PAB中，过点A作AH⊥PB，垂足为H，有PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，PA⊥BC，则有BC⊥平面PAB.
又AH∩平面PAB，因此BC⊥AH.又AH⊥PB，故AH⊥平面PBC.
因此线段AH的长即为点A到平面PBC的距离.
在等腰直角△PAB中，AH＝a,即点A到平面PBC的距离为a.
题3(P114习题3.2B组第3题)如图,在棱长为的正方体中,点E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF.
(1)求证;
(2)当三棱锥的体积取得最大时,求二面角的正切值.
解:(1)以C为坐标原点,以CO、CB、为x、y、z轴建立空间直角坐标系C-xyz,设，则，
当且仅当时,即E,F分别为AB,BC中点时, 最大.
取EF的中点G,连结BG, ,则,BG⊥EF, ⊥EF,即是二面角的平面角.
∴二面角的正切值是.
题4:(P114习题3.2B组第2题)在如图的实验装置中,正方形框架的边长都是1, 且平面ABCD与平面互相垂直.活动弹子M, N分别在正方形的对角线AC和BF上移动，且CM和BN若的长度相等,记CM＝BN＝a(0＜a＜).
(1)求MN的长；
(2)当a为何值时，MN的长最小；
(3)当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的余弦值。
解:以B为坐标原点,以BA、BE、BC为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则
(3)由(2)知当M, N分别为AC、BF中点时MN的长最小，则
取MN的中点G,连结AG, BG,则.
∵AM=AN,BM=BN, G为MN中点,
∴AG⊥MN,BG⊥MN,即∠AGB即为二面角α的平面角.
所求二面角α的余弦值为.
变式:如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直.点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜)(2002年全国(18)、天津(18乙))
1．求MN的长；
2．当a为何值时，MN的长最小；
3．当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小.
本小题主要考查线面关系、二面角和函数极值等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.
解：（1）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP＝NQ，即MNQP是平行四边形.
∴MN＝PQ,
由已知，CM＝BN＝a，CB＝AB＝BE＝1，
∴,即CP＝BQ＝.
MN＝PQ＝(0＜a＜)
∴MN＝(0＜a＜)
（2）由（1）MN＝
所以，当a＝时，MNmin＝
即当M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长度最小，最小值为
（3）取MN的中点G，连接AG、BG，
∵AM＝AN，BM＝BN，∴AG⊥MN，BG⊥MN，∴∠AGB即为二面角α的平面角。
又AG＝BG＝，所以由余弦定理有
cosα＝.故所求二面角α＝arccos(－).
题5:(P114习题3.2B组第1题)如图,四面体DABC中,AB,BC,BD两两垂直,且AB=BC=2,点E是AC中点;异面直线AD与BE所成角为,且,求四面体DABC的体积.
&解:以B为坐标原点,以BC、BA、BD为x、y、z轴建立空间直角坐标系Bxyz，则
题6:(P112习题3.2A组第5题)如图，空间四边形OABC各边以及AC,BO的长都是1,点D,E分别是边OA,BC的中点,连结DE.
(1)计算DE的长;
(2)求点O到平面ABC的距离.
点O到平面ABC的距离是.
题7如图，设△ABC和△DBC所在的两个平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°，求：(91上海)
⑴AD的连线与平面BCD所成的角；
⑵AD得连线与直线BC所成的角；
⑶二面角A－BD－C的大小
解:⑴过A在平面ABC内作AO⊥BC于O，连接DO，
∵ 面ABC⊥面BCD，∴ AO⊥面BCD，
于是∠ADO就是所求AD与平面BCD所成的角，且∠AOD＝90°.
设AB＝BC＝BD＝2，则AO＝DO＝，△AOD为等腰直角三角形，
∠ADO＝45°.
⑵注意到BC⊥AO，BC⊥DO，∴ BC⊥面AOD.
∴ BC⊥AD，即BC与AD所成交为90°
⑶在平面BCD内作OM⊥BD于M，连接AM
∵ AO⊥面BCD，由三垂线定理知：AM⊥BD
∴∠AMO即为二面角A－BD－C的平面角的补角，
计算可得：OM＝，又∠AOM＝90°，AO＝
∴∠AMO＝arctan2.
于是二面角A－BD－C的大小为π－arctan2.
