如图，在直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=4，点A（1，0），B为直线x=4上任意一点，直线AB交圆O于不同两点M，N．（1）若MN=14，求点B的坐标；（2）若MA=2AN，求直线AB的方程；（3）设AM=λMB，AN=μNB，求证：λ+μ为定值．
分析：（1）设AB的方程y=k（x-1），利用垂径定理和点到直线的距离公式，结合题意建立关于k的等式解出k=±1，可得直线AB的方程，进而算出点B的坐标；（2）设M（x1，y1）N（x2，y2），根据由MA=2AN求出用x2、y2表示x1、y1的式子，代入圆方程化简得到N点的坐标，利用直线的斜率公式算出AB的斜率，可得直线AB的方程；（3）由AM=λMB、AN=μNB，利用向量的坐标运算法则算出λ=x1-14-x1、μ=x2-14-x2．由直线AB方程与圆方程消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系化简λ+μ关于x1+x2、x1x2的式子，可得λ+μ=0（定值）．解答：解：（1）设直线AB的方程y=k（x-1），即kx-y-k=0∵MN=14，∴根据垂径定理，得14=222-d2，解之得d=22，由点到直线的距离公式，得|k|k2+1=22，解之得k=±1，∴直线AB的方程y=±（x-1），结合B的横坐标为4，代入直线方程求得y=±3，得点B的坐标为B（4，±3）．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由MA=2AN，得x1=3-2x2y1=-2y2∴代入圆的方程，得(3-2x2)2+(-2y2)2=4x22+y22=4，解之得x2=74y2=±154，∴直线AB的斜率为kAB=±154-074-1=±153，可得直线AB的方程为y=±153(x-1)．（3）设M（x1，y1）N（x2，y2），由AM=λMB，得x1-1=λ（4-x1），解得λ=x1-14-x1，同理得到μ=x2-14-x2，∴λ+μ=5(x1+x&2)-2x1x2-816-4(x1+x2)由y=k(x-1)x2+y2=4消去y，得（1+k2）x2-2k2x+k2-4=0∴x1+x2=2k21+k2x1x2=k2-41+k2，可得λ+μ=5&#+k2-2&#+k2-816-4&#+k2=0，即λ+μ=0（定值）．点评：本题着重考查了向量的坐标运算、直线的基本量与基本形式、直线与圆的位置关系和一元二次方程根与系数的关系等知识，属于中档题．
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科目：高中数学
（;杭州二模）如图，在直角坐标系xOy中，锐角△ABC内接于圆x2+y2=1．已知BC平行于x轴，AB所在直线方程为y=kx+m（k＞0），记角A，B，C所对的边分别是a，b，c．（1）若3k=2aca2+c2-b2，求cos2A+C2+sin2B的值；（2）若k=2，记∠xOA=α(0＜α＜π2)，∠xOB=β(π＜β＜3π2)，求sin(α+β)的值．
科目：高中数学
如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在X轴上的椭圆G的离心率为e=154，左顶点A（-4，0），圆O'：（x-2）2+y2=r2是椭圆G的内接△ABC的内切圆．（Ⅰ）&求椭圆G的方程；（Ⅱ）求圆O'的半径r；（Ⅲ）过M（0，1）作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，判断直线EF与圆O'的位置关系，并证明．
科目：高中数学
（;石景山区二模）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈(π6，π2)．将角α的终边按逆时针方向旋转π3，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若x1=13，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．
科目：高中数学
如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈(π3，π2)．将角α的终边按逆时针方向旋转π6，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若x1=14，求x2；&（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=S2，求角α的值．
科目：高中数学
如图，在直角坐标系中，已知射线OA：x-y=0（x≥0），OB：3x+3y=0（x≥0），过点P（a，0）（a＞0）作直线l分别交射线OA，OB于A，B两点，且AP=2PB，则直线l的斜率为．已知：关于x的方程x2+（m-4）x-3（m-1）=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）抛物线C：y=-x2-（m-4）x+3（m-1）与x轴交于A、B两点．若m≤-1且直线l1：经过点A，求抛物线C的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，直线l1：绕着点A旋转得到直线l2：y=kx+b，设直线l2与y轴交于点D，与抛物线C交于点M（M不与点A重合），当时，求k的取值范围．
（1）方程有两个不等的实数根，则判别式△＞0，据此即可得到关于m的不等式求得m的范围；
（2）求得抛物线与x轴的两个交点坐标，y=-x-1经过点A点，则A可能是两个交点中的任意一个，分两种情况进行讨论，把点的坐标代入直线的解析式，即可求得m的值；
（3）设出M点的坐标，当点M在A点的右侧时，可得=M-OA
，据此即可求得M的横坐标，则M的坐标可以得到，代入函数解析式，利用待定系数法即可求得k值；
当点M与A点重合时直线l2与抛物线C只有一个公共点，则两个函数解析式组成的方程组，只有一个解，利用根的判别式即可求解；
当点M在A点的左侧时，可证=M
，可以求得M的横坐标，则M的坐标可以得到，代入函数解析式，利用待定系数法即可求得k值．
解：（1）△=（m-4）2-4[-3（m-1）]=（m+2）2，
∵方程x2+（m-4）x-3（m-1）=0有两个不相等的实数根，
（2）抛物线y=-x2-（m-4）x+3（m-1）中，令y=0，
则x2+（m-4）x-3（m-1）=0，
解得：x1=3，x2=1-m．
∴抛物线与x轴的交点坐标为（3，0）和（1-m，0），
∵直线l1：y=-x-1经过点A，
当点A坐标为（3，0）时-×3-1=0，
当点A坐标为（1-m，0）时，-×（1-m）x-1=0，
解得m=2或m=-1，
又∵m≤-1，
∴m=-1且A（2，0），
∴抛物线C的解析式为y=-x2+5x-6；
（3）设M（xM，-xM2+5xM-6），
①当点M在A点的右侧时，可证=M-OA
若=，则M-2
此时xM=5，M（5，-6），
过点A的直线l2：y=kx+b的解析式为y=kx-2k，M（5，-6）时，5k-2k=-6，
求得k=-2；
②当点M与A点重合时直线l2与抛物线C只有一个公共点，
解得2+5x-6
则x2+（k-5）x+6-2k=0，
令△=（k-5）2-4（6-2k）=0，求得k=1；
③当点M在A点的左侧时，
=，此时xM=-1，则M的坐标是：（-1，-12），
则-k-2k=-12，解得k=4．
综上所述，当时-2≤k≤4且k≠1．您好！解答详情请参考：
菁优解析考点：．专题：综合题．分析：从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为AP，AQ，则∠PAQ为60°时，∠PMQ为120°，所以MA的长度为4，故可确定点A的横坐标x0的取值范围．解答：解：由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为AP，AQ，则∠PAQ为60°时，∠PMQ为120°，所以MA的长度为4，故问题转化为在直线上找到一点，使它到点M的距离为4．设A（x0，6-x0），则∵M（1，1），∴（x0-1）2+（5-x0）2=16∴x0=1或5∴点A的横坐标x0的取值范围是[1，5]故答案为：[1，5]点评：本题考查直线与圆的方程的应用，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是明确从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角．答题：刘长柏老师　
其它回答（2条）
从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为AP，AQ，则∠PAQ为60°时，∠PMQ为120°，所以MA的长度为4，故可确定点A的横坐标x的取值范围．【解析】由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为AP，AQ，则∠PAQ为60°时，∠PMQ为120°，所以MA的长度为4，故问题转化为在直线上找到一点，使它到点M的距离为4．设A（x，6-x），则∵M（1，1），∴（x-1）2+（5-x）2=16∴x=1或5∴点A的横坐标x的取值范围是[1，5]故答案为：[1，5]
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＞＞＞如图X15－3所示，已知圆C1：x2＋(y－1)2＝4和抛物线C2：y＝x2－1，过坐标..
如图X15－3所示，已知圆C1：x2＋(y－1)2＝4和抛物线C2：y＝x2－1，过坐标原点O的直线与C2相交于点A，B，定点M的坐标为(0，－1)，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.(1)求证：MA⊥MB；(2)记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若＝λ，求λ的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）见解析（2）(1)证明：设直线AB的方程为y＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则?x2－kx－1＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝－1. 又·＝(x1，y1＋1)·(x2，y2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－k2－1＋k2＋1＝0，∴MA⊥MB.(2)设直线MA的方程为y＝k1x－1，MB的方程为y＝k2x－1，k1k2＝－1.解得或∴A(k1，－1)，同理可得B(k2，－1)，∴S1＝|MA||MB|＝|k1k2|.又解得或∴D，同理可得E.∴S2＝|MD||ME|＝.＝λ＝＝≥.故λ的取值范围是.
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据魔方格专家权威分析，试题“如图X15－3所示，已知圆C1：x2＋(y－1)2＝4和抛物线C2：y＝x2－1，过坐标..”主要考查你对&&抛物线的定义&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
抛物线的定义
抛物线的定义:
平面内与一个定点F和一条定直线l(F∈l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线，抛物线的定义也可以说成是：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比等于1的点的轨迹．
抛物线中的有关概念：
抛物线的规律总结：
①在抛物线的定义中的定点F不在直线l上，否则动点的轨迹就是过点F且垂直于直线l的一条直线，而不再是抛物线；②抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故在一些问题中，二者可以互相转化，这是利用抛物线定义解题的关键．
发现相似题
与“如图X15－3所示，已知圆C1：x2＋(y－1)2＝4和抛物线C2：y＝x2－1，过坐标..”考查相似的试题有：
886034881813794196814041849276796341其它问题:2012武汉 抛物线y=二分之一（x-1）2，顶点为M，直线AB交抛物线于A、B两点，且MA垂直于MB,求证：直线AB过定点_答案网
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&2012武汉 抛物线y=二分之一（x-1）2，顶点为M，直线AB交抛物线于A、B两点，且MA垂直于MB,求证：直线AB过定点分类:&&&【来自ip:&116.209.73.184&的&热心网友&咨询】
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抛物线y=二分之一（x-1）2，顶点为M，直线AB交抛物线于A、B两点，且MA垂直于MB,求证：直线AB过定点
1）求点C坐标 （2）如图1，平行于Y轴的直线x=4交直线AB于点D，交抛物线C...答：(1) A (1,2) B(2,0) AB: y= -2x+4 C1：y=-1/2(x-1)^2+2 连解得 x=1 , 5 所以 C(5,-6) (2) 求得 DE=1.5 经观察另有2个m值，且AB在上 所以 （-2x+4） -（-1/2(x-1)^2+2）= 1.5 x= 3 + 根号7 ，3 - 根号7 (3) 因为 角QNM=角PNM NQ平行于MO 所以 角R...
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