“最大公因数与最小公倍数”专题
约数个数和约数求和的公式
需要先把一个数分解"质因数",然后再算约数的个数和所有约数之和.
1.约数的个数等于:所有质因数的指数加上1后的乘积;
若一个数分解质因数后为(a^m)*(b^n),其中a,b均为质因数;m,n均为相应质因数的指数.
则约数个数为(m+1)(n+1).
例如:(1)12=2²*3,质因数有2和3,其指数分别为2和1,那么12的约数有(2+1)*(1+1)=6(个);
(2)60=2²*3*5,质因数2,3,5的指数分别为2,1,1,那么60的约数有(2+1)*(1+1)*(1+1)=12(个).
2.一个数所有约数之和等于:先把每个质因数从0次幂一直加到其最高次幂,再把每个相应质因数幂的和相乘.
若一个数分解为(a^m)*(b^n),则这个数所有约数的和为:
(a^0+a^1+a^2+a^3+…+a^m)(b^0+b^1+b^2+b^3+…+b^n).
例如:(1)12=2²*3,则12所有约数的和为：(2^0+2^1+2^2)*(3^0+3^1)=7*4=28;
(2)60=2²*3*5=(2^0+2^1+2^2)*(3^0+3^1)*(5^0+5^1)=7*4*6=168.
典型例题：
1、有这样一个自然数、它加1是2的倍数、加2是3的倍数、加3是4的倍数、加5是6的倍数、加6是7的倍数!这个自然数除了1以外最小的自然数是多少?
（提示：把倍数问题转化为同余问题：求[2、3、4、5、6、7]的最小公倍数--1）
解：根据题意,这个数减1,
是2、3、4、5、6、7的倍数,也就是说,是2、3、4、5、6、7的公倍数.
求2、3、4、5、6、7的公倍数,只需要看4、5、6、7这4个数,因2、3的整除已包含在6中.
4、6不互质,其最小公倍数是12,
12、5、7两两互素,其最小公倍数（也就是2、3、4、5、6、7最小公倍数） = 12&5&7 =
因此,题中所求的数最小是420 + 1 = 421.
在421的基础上,加任意个420,得到的数如841、1261……都满足题意.
补充：2、3、4、5、6、7的公倍数还有一个比较特殊的“0倍数”.对本题来说2、3、4、5、6、7的0倍 + 1 =
1,也满足题中的整除条件,但题目明确排除了自然数1
2、三个连续自然数的和是21，这三个数的最小公倍数是（&&
解：设中间的一个自然数是X，前面一个数为X-1；后面一个自然数为X+1。
所以：X=21&3＝7
这三个连续自然数分别是6,7,8。
6,7,8求最小公倍的方法是：先求其中的两个数，求出的最小公倍数，然后再与第三个数求最小公倍数，即得出这一最小公倍数为最终的最小公倍数。如：6与7的最小公倍数为42；42与8的最小公倍数是168。
它们的最大公约数是1,最小公倍数是168
3、有8个因数的最小自然数是（&&
解一：因为是求最小的一个是多少,因此它的约数也应该是最小的.约数最小的是1,2,3,4.有约数1,2,3,4.也就必有约数2&3=6,3&4=12,又因为有8个不同约数的自然数,因此还必有约数2&4=8,2&3&4=24.故最小的是24.
解二：有8个不同的约数的自然数中,最小的一个是几?&（看不太懂呀！）
8=2*2*2=(1+1)(1+1)(1+1)---&最小数=2*3*5=30&
8=4*2=(3+1)(1+1)----------&最小数=2^3*3=24&
8=8=(7+1)-----------------&最小数=2^7=128&
比较以上三个最小数,最小的当然是 24.&
设一个正整数 M 的质因数分解式为：&
M=(p1^a1)*(p2^a2)*(p3^a3)*.&
其中,p1、p2、p3、...是连续的质数(当没有质因兹pi时,ai=0)&
则：M 的约数个数 = (a1+1)(a2+1)(a3+1)...
另一种解释：不太懂得
先一个自然数M可以分解质因数后可写成如下形式:
M=(p1^k1)(p2^k2)(p3^k3).....(pn^kn)
其约数的个数为m=(k1+1)(k2+1)(k3+1)...(kn+1)
现在约数个数为m=8,
如果M有1个质因数,m=8,k1=7,M最小=2^7=128
如果M有2个质因数,m=4*2,k1=3,k2=1,M最小=2^3*3=24
如果M有3个质因数,m=2*2*2,k1=1,k2=1,k3=1,M最小=2*3*5=30
4、同时是3、5、11的倍数的最小四位数是（
解：第一步：先出出[3、5、11]的最小公倍数，165；第二步：最小的四位数是1000，看1000有几个165，即。。。。多。第三步：最小的四位数即为：165乘7=1155
5、将1至9九个数字写在一条纸带上，如下图。将它剪成三段，每段上的数字连在一起算一个数，把这3个数相加，使和是77的倍数，那么中间一段上的数是（
1 2 3 4 5 6 7 8 9
解因为1～9这九个数字相加的和是45，所以分成的三段之和是9的倍数．
又由于和能被77整除，所以和能被77&9=693整除，
所以假设和为693，显然不合题意．
假设和为693&2=1386，由于123+456+789=1368，也不合题意．
假设和为693&3=2079，因为=2079，而2079&77=27，
所以中间的一段数是56．
故答案为：56．
由于77=7&11，（7、11）=1，所以能被77整除的数，必能分别被7和11整除。
先考虑能被11整除。一个数若能被11整除，其奇位数字之和与偶位数字之和的差必能被11整除。对于这一性质，可以得到这样的推论：如果几个加数的和能被11整除，那么这几个加数所有奇位数字之和与偶位数字之和的差必能被11整除。
对于这条纸带上的九个数字，不管怎样剪，奇位数字和总大于偶位数字和。由于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，45=39+6=28+17，39-6=11&3，28-17=11，所以奇数、偶数的所有数字和分别是39和6或28和17。
（一）当奇位数字之和是39，偶位数字之和是6时，因为6=1+2+3=5+1=4+2，只剪两刀，使另外的6个或7个数字都在奇位上，这显然是办不到的。
（二）当奇位数字之和是28，偶位数字之和是17时，因为
（1）如果9、8、7、3、1在奇位上，无法使相邻的三个数字4、5、6都在偶位上。
（2）如果9、8、6、3、2在奇位上，无法使相邻的两个数字4、5都在偶位上。
（3）如果9、8、6、4、1在奇位上，无法使相邻的两个
（4）如果9、8、5、4、2在奇位上，无法使相邻的两个数字6、7都在偶位上。
（5）如果9、7、6、5、1在奇位上，无法使相邻的三个数字2、3、4都在偶位上。
（6）如果9、7、6、4、2在奇位上，相邻的两个数字6、7都在奇位上，因此必在6、7之间剪一刀，另一刀的剪法有三种：
第一种剪法得到的三个数的和：12+7，……1
第二种剪法得到的三个数的和：=&7=297，由此可知，剪后中间一段的数是56。
第三种剪法得到的三个数的和：+89=50……2。
（7）如果9、7、5、4、3在奇位上，无法使相邻的两个数字1、2都在偶位上。
综上所述，本题只有一种剪法，中间一段的数是56
<font COLOR="#、甲、乙两数的积是168，甲、乙两数的最大公因数是2，最小的倍数是（
解：168=2x2x42
所以最小公倍数是2x42=84
7、100以内有10个因数的自然数是（
解法：先说一个关于因数的公式
如果一个数分解质因数是有 a个2,b个3,相乘,那么这个数就有(a+1)*(b+1)个因数
假设有两个质数m和n
对于10个因数来说,只能是10个相同m或者n相乘,或者是4个m,1个n,或者1个m、4个n
因为要求最小的自然数,所以,我们能判断出来 ,且4个2、1个3,这样相乘的结果最小.
这个数=2*2*2*2*3=48
它的所有因数是124
8、两个质数的最小公倍数是123，这两个质数是（
）,或（）和（）
解：方法：先把123分解质因数：123=3&41
互质数是指只有公因数1的两个非零自然数.
所以：这两个互质数是（3）和（41）,或（1）和（123）
9、某种商品的编号是一个三位数，现有5个三位数：874、765、123、364、925，其中每一个数与商品的编号恰好在同一位上有一个相同的数字，那么这个商品的编号是（
解一：用排除法做,如果个位是5,剩下的3个数各个位上都没有一个相同的数,而取十位或百位相同的最多只能取2个数,这样必有1个不符题意,所以排除5只能选4,同样的道理十位只能选2,最后只剩下765,百位选7,这个数是724
解二：（1）商品编号的十位数字是6，这样个位数字就不能是5和4，个位上就不能出现两次相同；
（2）商品编号的十位数字是2．这样，个位数字就不能是3和5；商品编号的个位只能是4，在个位上恰好出现两次相同；
当确定后两位是24后，5个数中后两位与24都不相同的只有第二个数765；商品编号的百位数只能是7，商品编号是724．
答：商品编号是724．
10、有一根长240厘米的绳子，从一端开始每4厘米做一个记号，每6厘米也做一个记号，然后将标有记号的剪断，绳子共被剪成了（
解：240/6=40 40段6厘米可以截出一个4厘米,所以一共是80段
每4厘米截一次,可以截240/4=60
每6厘米截一次,可以截240/6=40
60+40=100其中还有共同的部分,就是4和6的最小公倍数12,240中有240/12=20公共部分,所以最终100-20=80
11、自然数A除自然数B，商是18，A与B的最小公倍数是（
）。（A与B均不为0）
解：因为自然数a除自然数b,商是18
所以b&a=18,那么b=18a
所以a与b的最小公倍数也就是a与18a的最小公倍数
12、一个大于1的自然数除326、258、207所得的余数相同，这个自然数是（
就是326和258除以这个数的余数相同
所以326-258=68能被他整除
同样,258-207=51也能被这个数整除
所以他是68和51的公约数
68和51的公约数有1和17
1显然不合题意
所以这个数是17
13、已知两个数的积是3174，它们的最大因数是23，这两个数是（
解：*23*23
所以第一组：2*23=46
第二组：23*1=23
2*3*23=138
所以是46和69或23和138
14、两个自然数的和为72，它们的最大公因数与最小公倍数的和为216，这两个数分别是（
解法一：设两个数为ax，bx．x为最大公约数，则有
ax+bx=72；x+abx=216．（abx为最小公倍数）
则x为72的约数，
72的所有约数有：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，
分别代入，舍去非整数解，
可得a=5，b=7，x=6．&
ax=30，bx=42．
所以两个自然数是30和42．
故答案为：30，42．
解法二：72/2 =36； 说明一个数比36大,一个比36小.
由于他们有公因数,所以必是合数.那往小的看,就是4,6,8,9,10,...,35；
和为72,则有4+68；6+66；8+64；9+63；...35+37;
如果两个数成倍数,则肯定不是可排除(4+68；6+66；8+64；9+63,...）{因为他们的最小公倍数就是其中的数,所以最后无法构成216},然后进行检验测算发现只有30和42 满足题目的要求.
所以两个自然数是30和42 .
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，142？这是什么
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JKL7F-18GF 无功功率因素补偿控制器的详细信息
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JKL7F-18GF 无功功率因素补偿控制器■产品类型：JKL8F-12系列智能无功功率自动补偿控制器
本控制器可用于任何需要无功补偿控制的地方。控制器的所有功能受一单片机控制，选用先进采样电路及算法，对电网中存在的谐波对测试没有影响。(点击浏览大图) 2.主要特点 2.1.采用宽屏液晶显示2.2.采用功率因数和无功功率两物理量进行综合控制2.3.通过四个键操作可以达到自动运行、手动投切、参数设定、动态参数显示2.4.电流输入不用考虑极性自动判别转换2.5.投切路数1-12由用户自由选择设定2.6.当改变设定参数后失电时, 设定参数不会丢失, 数据永久保存, 上电时参数不用重新设定2.7.可直观显示功率因数、电压、电流、有功功率、无功功率等五种参数2.8.电网电压低于300V或超过设定值时自动快速（5秒）逐级切除已投入的电容器组，并闪动电压显示值.2.9.电网无功量低于投入无功门限, 既使 COSj小于设定值, 为避免投切振荡不投入补偿电容器组.2.10.当电流互感器次级信号小于150mA时，封锁电容器的投入，同时按设定延时逐级切除已投入的电容器组,并闪动电流显示值.2.11.为了防止电容器因放电不完全, 引起切投过电压 ,当同一组电容器切投动作时间间隔小于电容器放电时间不投入,待时间间隔大于 1分钟后才能投入. 3.技术数据 3.1.工作电压 380V&15%3.2.工作电流 150mA-5A3.3.频率 50Hz3.4.继电器触点容量 5A/250V 3A/380V3.5.同组电容切投封锁时间 大于60S3.6.投入门限 大于无功门限设定值3.7.切除门限 大于目标COSj值3.8.功率损耗 最大15W3.9.开空尺寸 113&113mm 4.接线图5.外型尺寸 ■产品类型：JKL58系列智能无功功率自动补偿控制器
JKL 58系列无功功率自动补偿控制器采用现代最先进单片机技术，绍构紧凑，抗干扰能力强，操作简单，易于安装和应用。产品分四个系列十几个品种，三种开孔尺寸，适合于工矿集中和分散无功补偿，线路和柱上变压器无功补偿，动能和静能无功补偿。(点击浏览大图) JKL5F系列功能:JKl58-5标准自寻投入有限功率因数、延时、过压、路数设定显示JKL58-7显示功率因数、电压、电流、有功功率、无功功率，投入有限设定JKL58-7DSK实时动态控制型响应时间20ms-100ms每路输出12V 30mAJKL58-7JKS快速投入型功率因数低于0.90投入时间小于2S,继电器输出JKL58-7DBM按编码方式输出:1:2:2:2:21:2:4:4:41:2:4:8型号说明:2.技术性能: 2.1.易于操作的用户界面2.2.自动CT极性检测2.3.电源中断，所有投入电容器切除2.4.数据记忆，断电不丢失2.5.过压保护2.6.切投时间间隔保持2.7. 低负荷不振荡2.8.符合ZBK44001-89及DL/T597-96标准 3.技术参数: 3.1.工作电压: 380V&15%3.2.输入电流: 0-5A3.3.输出功率:3A/250V或直流30mA/12V3.4.环境功率:-10℃-+50℃3.5.安装尺寸:72&72mm 深 113mm 开空尺寸:68&68mm(JKL58系列) 120&120mm 深130mm 开空尺寸:113&113mm(JKL7F系列 JKL5F系列) ■产品类型：JKL5F系列智能无功功率自动补偿控制器
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九肚KOTO牌、胜技电子Syntec牌管道型BSMJ系列自愈式低压并联电力电容器企业设计序号:九肚KOTO为BSMJk,胜技电子为BSMJs适用于工频50HZ或60HZ交流低压电力系统，以补偿无功功率，改善电网功率因数，提高设备输出能力，改善电压质量，降低功率损耗和电能损失。 (点击浏览大图)主要特点:1.管道型电容器(新型专利产品),散热面积比传统电容器增加45%。2.管道型电容器在同等条件下运行温度比传统电容器低3-4℃。3.采用进口材料，体质小，重量轻，安装维修方便（可卸支座，国内首创）。4.采用金、银印铁（申请专利），辉煌美观。5.可靠性高，市场品质满意率99.99%，质保二年。6.安全性高，内装有放电电阻和过压力保护装置，安全。7.介质损耗低，自愈性能优越。8.采用固体电容蜡为浸渍材料，无毒，环保。产品型号额定电压(V)额定电容(Kvar)总容量(&f)外壳尺寸(mm)图号出线端子0.23-20-3230201204.1240&125&300EIM120.23-18-3230181083.6240&125&3000.23-16-323016963.2240&125&220M100.23-15-323015903240&125&2200.23-14-323014842.8240&125&2200.23-12-323012722.4178&70&2800.23-10-323010602178&70&280CM60.23-7.5-32307.5451.5178&70&2600.23-6-32306361.2178&70&220M60.23-5-32305301153&53&210AM60.23-4-32304240.8153&53&2100.23-3-32303179.1153&53&2100.23-2-32302119.4153&53&1200.23-1-3230159.7153&53&120注:10千乏以下不带管道 产品型号额定电压(V)额定电容(Kvar)总容量(&f)外壳尺寸(mm)图号出线端子0.25-22-3250221121240&125&300EIM120.25-20-3250201019.1240&125&3000.25-18-325018917.2240&125&3000.25-16-325016815.3240&125&220M100.25-15-325015764.3240&125&2200.25-14-325014713.3240&125&2200.25-12-325012611.5178&70&280CM80.25-10-325010509.6178&70&2600.25-8-32508407.6178&70&220AM60.25-7.5-32507.5382.2178&70&2200.25-6-32506305.7153&53&2100.25-5-32505254.8153&53&2100.25-4-32504203.8153&53&1900.25-3-32503152.9153&53&1200.25-2-32502101.9153&53&1200.25-1-3250151153&53&120注:12千乏以下不带管道 [超强抗衡能力][超低运行温度][超高散热性能][超常使用寿命]产品型号额定电压(V)额定电容(Kvar)额定容量(&f)外壳尺寸(mm)图号出线端子0.4-90-3400901791.4240&125&400EIM120.4-75-3400751492.3240&125&3600.4-60-3400601194.3240&125&3000.4-50-340050995.2240&125&3000.4-45-340045895.7240&125&245M100.4-40-340040796.2240&125&2450.4-32-340032637210&70&220EIIM60.4-30-340030596.8210&70&2200.4-28-340028557210&70&2200.4-25-340025497.6210&70&2200.4-24-340024477.7210&70&2200.4-22-340022437.9210&70&220M60.4-20-340020397.9210&70&1650.4-18-340018358.2210&70&1650.4-16-340016318.3153&53&210AM60.4-15-340015298.4153&53&2100.4-14-340014278.5153&53&2100.4-12-340012238.7153&53&2100.4-10-340010198.9153&53&2100.4-8-34008159.2153&53&1200.4-7.5-34007.5149.2153&53&1200.4-6-34006119.4153&53&1200.4-5-3400599.5153&53&1200.4-4-3400479.6153&53&1200.4-3-3400359.7153&53&1200.4-2-3400239.9153&53&1200.4-1-3400119.8153&53&120注:12千乏以下不带管道 产品型号额定电压(V)额定电容(Kvar)额定容量(&f)外壳尺寸(mm)图号出线端子0.415-60-3415601109.5240&125&300EIM120.415-50-341550924.6240&125&3000.415-45-341545832.1240&125&245M100.415-40-341540739.7240&125&2450.415-32-341532591.7210&70&220EIIM60.415-30-341530554.7210&70&2200.415-28-341528517.8210&70&2200.415-25-341525462.3210&70&2200.415-24-341524443.8210&70&2200.415-22-341522406.8210&70&220M60.415-20-341520370210&70&1650.415-18-341518332.8210&70&1650.415-16-341516295.9153&53&210AM60.415-15-341515277.4153&53&2100.415-14-341514258.9153&53&2100.415-12-341512221.9153&53&2100.415-10-341510184.9153&53&2100.415-8-34158147.9153&53&1200.415-7.5-34157.5138.7153&53&1200.415-6-34156110.9153&53&1200.415-5-3415592.5153&53&120注:16千乏以下不带管道 产品型号额定电压(V)额定电容(Kvar)额定容量(&f)外壳尺寸(mm)图号出线端子0.45-60-345060943.6240&125&300EIM120.45-50-345050786.3240&125&3000.45-45-345045707.7240&125&245M100.45-40-345040629.1240&125&2450.45-32-345032503.3210&70&220EIIM60.45-30-345030471.8210&70&2200.45-28-345028440.4210&70&2200.45-25-345025393.2210&70&2200.45-24-345024377.4210&70&2600.45-22-345022346210&70&220M60.45-20-345020314.5210&70&1650.45-18-345018283.1210&70&1650.45-16-345016251.6210&70&1650.45-15-345015235.9210&70&1650.45-14-345014220.2210&70&1650.45-12-345012188.7153&53&210AM60.45-10-345010157.3153&53&2100.45-8-34508125.8153&53&2100.45-7.5-34507.5118153&53&1200.45-6-3450694.4153&53&1200.45-5-3450578.6153&53&1200.45-4-3450462.9153&53&120注:12千乏以下不带管道产品型号额定电压(V)额定电容(Kvar)额定容量(&f)外壳尺寸(mm)图号出线端子0.525-60-352560693.3240&125&300EIM120.525-50-352550577.7240&125&3000.525-45-352545520240&125&245M100.525-40-352540462.2240&125&2450.525-32-352532369.7210&70&220EIIM60.525-30-352530346.6210&70&2200.525-28-352528323.5210&70&2200.525-25-352525288.9210&70&2200.525-24-352524277.3210&70&2200.525-22-352522254.2210&70&220M60.525-20-352520231.1210&70&1650.525-18-352518208210&70&1650.525-16-352516184.9210&70&1650.525-15-352515173.3210&70&1650.525-14-352514161.8210&70&1650.525-12-352512138.7153&53&210AM60.525-10-352510115.5153&53&2100.525-8-3525892.4153&53&1200.525-7.5-35257.586.7153&53&1200.525-6-3525669.3153&53&1200.525-5-3525557.8153&53&120注:12千乏以下不带管道产品型号额定电压(V)额定电容(Kvar)总容量(&f)外壳尺寸(mm)图号出线端子0.69-60-369060401.4240&125&300EIM120.69-50-369050334.5240&125&3000.69-45-369045301240&125&245M100.69-40-369040267.6240&125&2450.69-32-369032214.1210&70&220EIIM60.69-30-369030200.7210&70&2200.69-28-369028187.3210&70&2200.69-25-369025167.2210&70&2200.69-24-369024160.5210&70&2200.69-22-369022147.2210&70&220M60.69-20-369020133.8210&70&1650.69-18-369018120.4210&70&1650.69-16-369016107210&70&1650.69-15-369015100.3210&70&1650.69-14-36901493.6210&70&1650.69-12-36901280.3153&53&210AM60.69-10-36901066.9153&53&2100.69-8-3690853.5153&53&1200.69-7.5-36907.550.2153&53&1200.69-6-3690640.1153&53&1200.69-5-3690533.4153&53&1200.69-4-3690426.8153&53&1200.69-3-3690320.1153&53&120注:12千乏以下不带管道主要技术指标1.引用标准：GB/T4 IEC962.使用条件：户内，-25℃~40℃，湿度&80%RH，海拔&2000米3.额定电压：230VAC、250VAC、400VAC、415VAC、450VAC、525VAC、690VAC4.额定容量：1~90Kvar5.容量允差：0~10%6.耐压性能：极间2Un10秒，极壳3000VAC10秒7.绝缘性能：极壳500VDC1分钟大于1000M&O8.损耗角正切(tg&)：小于0.1%（工频额定电压，温度20℃）9.最高过电压：1.1Un.(方均根值）10.最高过电流：1.3In.(方均根值）11.自放电特性：切出电网3分钟后，电容器端子间电压降到50V以下使用注意事项:1.安装在干燥通风良好场所，避免腐蚀气体和尘埃，避免阳光直射和雨雪侵蚀。2.两台安装间距应在此50mm以上，以利散热。3.连接导线应能承受电容器1.3 In以上，且连接可靠。4.应用于调整功率因数时，请串连限流电抗器或使用切换电容接触器，避免瞬间涌流破坏电容器。5.若用于谐波含量高于环境时，请提升电容器电压等级和串联抗谐波电抗器使用。6.为避免重叠电压破坏电容器，电容器再投入需彻底放电大于3分钟。7.电容器若在额定电压和额定电流以外状态下运行,会缩短电容器使用寿命。实验指标:1.环境温度:恒温60℃2.电压:650V3.时间:通过72小时4.实验温差小于6℃
买家注意：1、部分产品因原材料及其它原因,价格有所波动,本店网上报价可能不能及时更新，请您购买产品之前务必联系店主确认.2、由于某些产品运费无法精确计算，所以本店所标运费价格仅供参考，实际是多少就收多少，绝不多收！3、实体经营，绝无假货；产品质保为一年!4、如没找到您要的产品，敬请联系我。备注 免责声明： 本公司网站图片及技术等资料来源于网络及原创网站，版权系原创所有，如原创没有异议则表示感谢；如有异议，本公司将有关资料无条件删除，由此造成贵公司不便，本公司深表歉意！小小微企业创业敬请关照。
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