f(x)=(x+2)分之一在x=2处展开为泰勒级数展开公式是什么

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-05-04 02:01 标签： 常用泰勒级数展开公式
泰勒级数_百度百科
在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的求得。泰勒级数是以于1715年发表了的英国数学家布鲁克·泰勒（Sir Brook Taylor）的名字来命名的。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做迈克劳林级数，以苏格兰数学家的名字命名。 泰勒级数在近似计算中有重要作用。
泰勒级数概述
定义：如果
在点x=x0具有任意阶导数，则幂级数
在点x0处的泰勒级数。[1]
在泰勒公式中，取x0=0，得到的级数[2]
称为级数。函数
的麦克劳林级数是x的，那么这种展开是唯一的，且必然与
的麦克劳林级数一致。[3]
注意：如果
的麦克劳林级数在点的某一内，它不一定收敛于f（x）。因此，如果f（x）在某处有各阶，则f（x）的麦克劳林级数虽然能算出来，但这个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于f（x）还需要进一步验证。
一些函数无法被展开为泰勒级数，因为那里存在一些。但是如果变量x是负指数幂的话，仍然可以将其展开为一个级数。例如
，就可以被展开为一个。
泰勒级数定理
的某个邻域
内具有任意阶导数，则函数
在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是的泰勒公式中的余项
能展开成泰勒级数
则右端的幂级数是惟一的。[4]
泰勒级数作用
泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：
幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。
一个可被延伸为一个定义在上的一个开区域上的泰勒级数通过解析延拓得到的函数，并使得复分析这种手法可行。
泰勒级数可以用来近似计算函数的值。
对于一些无穷可微函数f(x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。例如，分段函数
，当 x ≠ 0 且 f(0) = 0 ，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数 f 仅在 x = 0 处为零。而这个问题在内并不成立，因为当 z 沿虚轴趋于零时
并不趋于零。
一些函数无法被展开为泰勒级数是因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，
就可以被展开为一个。
基本原理：的k重不可约因式是其微商的k-1重不可约因式；
基本思想：通过系数为微商的多项式来研究任意函数的性质（本科主
要是收敛性)
泰勒级数发展简史
希腊哲学家芝诺 （Zeno of Elea）在考虑了利用无穷级数求和来得到有限结果的问题，得出不可能的结论 -
Brook Taylor
。后来，相对于芝诺悖论提出了一个哲学的决议，但显然此部分数学内容没有得到解决直到被接手以及后来的。 正是用了阿基米德的才使得一个无穷级数被逐步的细分，实现了有限的结果。
进入14世纪，Mādhava of Sa&gamāgrama最早使用了泰勒级数以及相关的方法。虽然没有保留他的工作记录，但后来印度数学家的著作表明他发现了一些特殊的泰勒级数，这些级数包括，，，和反正切三角函数等等。之后，的天文与数学学校在他的基础上进行了一系列的延伸与合理逼近，一直持续到16世纪。
到了17世纪，詹姆斯格雷戈 （）同样继续着这方面的研究并且发表了若干。没到1715年，布鲁克泰勒 （Brook Taylor） 提出了一个常用的方法来构建这一系列级数并适用于所有函数。这就是后来被人们所熟知的泰勒级数。 麦克劳林级数是以爱丁堡大学教授麦克劳林来命名的。他在18世纪发表了泰勒级数的特例。
泰勒级数常见的麦克劳林级数
下面给出几个常见函数在x=0处的泰勒级数，即麦克劳林级数。[2]
指数函数：
自然对数：
几何级数：
正弦函数：
余弦函数：
．华中农业大学 南湖教苑[引用日期]
同济大学数学系．高等数学：高等教育出版社，2010
傅英定，谢云荪．微积分（上册）：高等教育出版社，2003
傅英定，谢云荪．微积分（下册）：高等教育出版社，2003请问函数f(x)=x^2能否用泰勒公式得到它的幂级数展开式,如果能展开它的具体展开形式是什么样的
f(x)=x^2 就是f(x)在x=0处的泰勒展开式.因为：f(0)=f '(0)=f '''(0)=f '''...(0)=0;只有：f ''(0)=2≠0而泰勒展式为：f(x)=f(0)+f '(x)x+f ''(0)x^2/2+f '''(0)x^3/3!+.代入之后：f(x) = 0+0+2x^2/2!+0+0+.= X^2因此：f(x)=x^2 的泰勒展开式就是它本身.但是f(x)在x=1处展开,那么展开式的形式要有所变化：f(x)=f(1)+f '(1)(x-1)+f ''(1)(x-1)^2/2!+f '''(1)(x-1)^3/3!+.之后要算出相应的值：f(1)=1,f '(1)=2,f ''(1)=2,f '''(1)=0,.带入之后：f(x)=x^2=1+2(x-1)+2(x-1)^2/2+0+0+.即：f(x)=1+2(x-1)+(x-1)^2 实际上,展开之后还是：x^2.表明 f(x)=1+2(x-1)+2(x-1)^2/2 = x^2
就是说能展开，但有无穷多项为0，可以这样理解么
可以那么理解！
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出门在外也不愁e^x^2展开泰勒级数 用定义&如果用这个的话e^x^2的一阶导数是2xe^x^2&带入0&那这项就是0了后面2阶导数2e^x^2+2x^2e^x^2带入0&好像跟把x^2看成整体那种方法算出的结果不一样啊
zqVD38WU27
如果你有足够耐心,多算几个阶次的导数,代入计算,看看就明白了!前提是别算错!我自己以前把类似展开式算到12阶,只是为了找直观感受!因为前面0比较多,算出十几项,最终排下来也只有三四项.
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（1）确切地说：“是函数f(x)在x=x0点处带有拉格朗日余项的二阶泰勒公式。”
（2）这个十句八句话说不清楚，简而言之，利用导数基本性质研究函数
e^(2x)=∑&n=0,∞&[(2x)^n/n!]=∑&n=0,∞&[2^n*x^n/n!]
(-∞&x&+∞)
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