微分几何习题全解(梅向明高教版第四版)_百度文库
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微分几何习题全解(梅向明高教版第四版)
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&&微​分​几​何​ ​ ​习​题​解​答​ ​ ​课​后​练​习​全​解
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你可能喜欢上同调主要在超对称场论、弦论中出现较多（近些年，群的上同调在凝聚态中也有重要应用）。&br&&br&在场论和弦论中，上同调群一般以两种方法出现：&br&a）物理问题直接涉及的流形本身的上同调群；&br&b）物理问题直接涉及 nilpotent 算符，这个算符可以定义自己的复形以及上同调群。&br&在许多情境下，b）中的算符会实现为某些较为抽象的流形上的微分算符，相应的上同调群便实现为这个流形的上同调群。&br&&br&1a）研究拓扑非平凡的流形上的场论问题时，非平凡的同调闭链（或者，其庞加莱对偶）可以作为拓扑与规范场强耦合。这些拓扑荷产生的规范场位形是拓扑非平凡的，上同调群刻画的就是这些潜在的非平凡规范场位形。&br&&br&2a）与1）密切相关的是，上同调群也参与确定流形上一些矢量丛的拓扑分类以及存在性，包括流形上的复线从，旋量丛等，在物理中，这些丛的截面就是带某种荷的标量场、旋量场，可以与丛的规范场进行耦合。&br&&br&1a）2a）熟悉的例子包括 Dirac 磁单极，AB 效应。&br&&br&1b）&img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BN%7D+%3D+%282%2C2%29& alt=&\mathcal{N} = (2,2)& eeimg=&1&& 规范线性 Sigma 模型（GLSM）在低能时约化到&img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BN%7D+%3D+%282%2C2%29& alt=&\mathcal{N} = (2,2)& eeimg=&1&& 非线性 Sigma 模型（并以 &img src=&///equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&为目标流形）。在特殊情况下，&img src=&///equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&是 Calabi-Yau 流形。通过添加 superpotential （或者 twisted superpotential） 到 GLSM 的作用量，可以（无穷小）改变最终目标流形&img src=&///equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&的复结构（或者 K?hler 结构），因此 superpotential（twisted superpotential）对应 &img src=&///equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&的上同调群 &img src=&///equation?tex=H%5E%7B2%2C1%7D_%7B%5Cbar%5Cpartial%7D%28M%29& alt=&H^{2,1}_{\bar\partial}(M)& eeimg=&1&&（&img src=&///equation?tex=H%5E%7B1%2C1%7D%28M%29& alt=&H^{1,1}(M)& eeimg=&1&&）（这些上同调群的元素指示&img src=&///equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&无穷小形变的方法）。&br&&br&与 1b) 相关的话题是 Mirror Symmetry。&br&&br&2b）使得欧几里得作用量最小的位形通常是一系列微分方程的解，全体解空间称为模空间。模空间的维度可以通过构造相应的二项复形来求解。这个二项复形有两个（非平凡）上同调群，其中一个上同调群 &img src=&///equation?tex=H%5E2& alt=&H^2& eeimg=&1&& 对应模空间的预期维度，另一个是模空间成为光滑流形的障碍。&img src=&///equation?tex=H%5E2& alt=&H^2& eeimg=&1&& 的每一个元素对应模空间的切矢量，即保持原微分方程的对解的无穷小改变。&br&&br&2b）的常见例子包括瞬子，Seiberg-Witten 解，涡旋。&br&&br&3b）超对称物理体系有若干超对称算符，它们的某些线性组合&img src=&///equation?tex=Q& alt=&Q& eeimg=&1&&可以用来构成超对称量子力学，比如&img src=&///equation?tex=Q%5E2+%3D+%28Q%5E%5Cdagger%29%5E2+%3D+0& alt=&Q^2 = (Q^\dagger)^2 = 0& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=%5C%7BQ%2CQ%5E%5Cdagger%5C%7D%3DH& alt=&\{Q,Q^\dagger\}=H& eeimg=&1&&。这 &img src=&///equation?tex=Q& alt=&Q& eeimg=&1&& 可以看成是某（目标）流形&img src=&///equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&上的外微分，而哈密顿量相当于拉普拉斯算子。因此，超对称态 &img src=&///equation?tex=+%5Cleft%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle& alt=& \left| \psi
\right\rangle& eeimg=&1&&（即&img src=&///equation?tex=Q+%5Cleft%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%3D0& alt=&Q \left| \psi
\right\rangle =0& eeimg=&1&&）对应流形的闭合形式，超对称基态（&img src=&///equation?tex=H& alt=&H& eeimg=&1&&作用为0）对应调和形式，全体超对称基态构成的线性空间与&img src=&///equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&上的上同调群同构。&br&&br&3b) 的相关例子包括 Topological twisted 的超对称场论（2d &img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BN%7D+%3D+%282%2C2%29& alt=&\mathcal{N} = (2,2)& eeimg=&1&&，4d &img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BN%7D+%3D+2& alt=&\mathcal{N} = 2& eeimg=&1&&）。
上同调主要在超对称场论、弦论中出现较多（近些年，群的上同调在凝聚态中也有重要应用）。在场论和弦论中，上同调群一般以两种方法出现：a）物理问题直接涉及的流形本身的上同调群；b）物理问题直接涉及 nilpotent 算符，这个算符可以定义自己的复形以及上…
我是学这个的！学的不好，但是实在抑制不住冲动，还好我读书少，不知道负责任的言论是什么意思！&br&&br&&br&算子代数是一个很年轻的学科，诺伊曼先生为了量子力学公理化建构出来，先有vonneumann代数后有c*代数。同属一个分支，但从考虑的问题到应用的方法方面来说，两者截然不同。&br&&br&&br&c*代数，现在共有三个大方向：应用在物理，应用在其他数学分支（以几何拓扑为主），以及内部有意义的问题。应用在物理方面我了解的不多，但是@千本 同学非常了解。自身的问题，一部分集中在c*代数分类上面，学习这方面知识，如果是走winter或者林华新老师的路子，主要需要代数和分析功底。用分析来实现代数的洞察是林老师的格言。代数主要是群环理论，同调代数，代数k理论等，分析则最好多用调和分析和函数论熏一熏。如果走龚贵华老师的路子，那么需要深厚的拓扑功底。不论是哪种分类，都离不开k理论。上面提到的三个人是当下分类理论最具代表性的三个牛人。关于c*代数的性质和内在结构方面，则其他知识需要不是太多，但水平基本上取决于你的“课外知识”，尤其是算子。应用在其他数学分支，主要得益于K理论和Allen Connes的非交换几何理论，现在最风生水起的方面是由华人教授郁国梁老师领衔的推广Atiyah-singer指标定理。若想从这方面学习，入门大约需要三四年，需要足够扎实的泛函分析基础，扎实的拓扑基础，基本的微分几何，K理论，然后看一本c*代数专业书籍，对c*代数本身及其分类有一定了解，然后酌情学习Atiyah-Singer指标理论（17+only），几何群论，和拓扑动力系统知识。&br&&br&&br&c*代数可以看作一种拓扑理论，所以学习拓扑是自然的。von neumann代数则可以看作是测度理论，本质上是一种分析。所以两者差别极大，不喾隔山。分析功底要求极厚，所需要学习的主要是测度论，调和分析，熵理论，遍历理论，群论（群论在这里非常重要）等。目前华人数学家李寒峰是个中佼佼。voiculescu还搞出来一个自由测度论，十分艰深，没有接触过。看缘分可能还会学到一点knot理论，fields奖的工作呀！&br&&br&&br&大概就这些了。其实我诚然是个学渣，至今为止没有形成成熟完备的关于该领域的大局观，以上都是平时听来的只言片语拼凑的。&br&&br&&br&上面提到了好多华人的名字，他们确实都是该领域里面最有影响力的大牛。但是从整体实力来说，最强的地方还是日本和加拿大。日本传统深厚，学者众多，对加拿大而言，算子代数更是几成国学。法国德国北欧国家都具有杰出人物，美国当然什么都会ok。&br&&br&&br&算子代数并非主流学科，我的老师说过：普林斯顿里面没有我们这个领域的学者不是普林斯顿的问题，而是我们的问题。&br&&br&&br&下笔千言，胸中实无点墨，承蒙阅读，此文仅供参考！
我是学这个的！学的不好，但是实在抑制不住冲动，还好我读书少，不知道负责任的言论是什么意思！算子代数是一个很年轻的学科，诺伊曼先生为了量子力学公理化建构出来，先有vonneumann代数后有c*代数。同属一个分支，但从考虑的问题到应用的方法方面来说，两…
&按照线性代数的常理来说，一个m维的线性空间，它的对偶空间的维数应该是m*m维的。&就冲你这句话，如果你是我线代班上的学生，不管你考得多好，我也得挂了你。
"按照线性代数的常理来说，一个m维的线性空间，它的对偶空间的维数应该是m*m维的。"就冲你这句话，如果你是我线代班上的学生，不管你考得多好，我也得挂了你。
我学几何，第一本书是陈省身的《微分几何讲义》，感觉很喜欢他的风格，然后就一直看，最后发现并没有讲黎曼几何，而是把黎曼几何中很多内容放在最后一章芬斯勒框架下了。&br&一开始觉得不喜欢伍鸿熙的，感觉没什么计算，操作性不强。就一直没读，就读了点Gallot的《Riemannian geometry》，计算丰富。也因为需要看过一部分Peterson，这本真是经典之作，内容全面，计算多并且脉络也清晰，相比其他经典黎曼几何教材，作者加入了比较新的东西(应该最新是截止到02年左右的文章)。&br&再后来，觉得伍鸿熙的书真的很棒，一点点经验就是，如果不想读大部头，读黎曼几何入门就找一本计算比较丰富的，然后会算以后再读伍鸿熙。&br&最后，就是到现在回头总结的话，最喜欢的微分几何书就是Kobayashi&Nomizu两卷本了。真正的微分几何角度，包括写复流形的时候，也是站在微分几何立场，侧重联络和曲率。读起来和Kodaira完全不一样的感觉了，感觉Kodaira看起来是以他的消灭和嵌入为目的来写复流形的(个人见解瞎说的╮(╯▽╰)╭您比我懂多了2333)。另外我也很喜欢Demailly“Complex Analytic and Differential Geometry”的风格，但是没看过多少。
我学几何，第一本书是陈省身的《微分几何讲义》，感觉很喜欢他的风格，然后就一直看，最后发现并没有讲黎曼几何，而是把黎曼几何中很多内容放在最后一章芬斯勒框架下了。一开始觉得不喜欢伍鸿熙的，感觉没什么计算，操作性不强。就一直没读，就读了点Gallot…
微分几何可以包含不同的范围。如果是数学系二年级的微分几何，可能是指三维欧氏空间的曲线论和曲面论，学了线性代数和多元微积分就可以了，最好修过空间解析几何。如果是稍微高级一点的内容，大概相当于黎曼几何初步，需要一些微分流形的基础。如果是数学分支的介绍，即包括纤维丛上的联络的话，可能需要些代数拓扑和李群的知识，学过微分方程更好。
微分几何可以包含不同的范围。如果是数学系二年级的微分几何，可能是指三维欧氏空间的曲线论和曲面论，学了线性代数和多元微积分就可以了，最好修过空间解析几何。如果是稍微高级一点的内容，大概相当于黎曼几何初步，需要一些微分流形的基础。如果是数学分…
谢邀，我没有专门学习过上同调群，但是在学物理的过程中遇到了一些需要上同调群的问题。目前我接触过的就是Derahm cohomology和BRST cohomology. &br&数学上上同调的引入就是度量拓扑空间的洞，同调是比同伦更为有力的工具，不过具体的数学概念我没有深究。&br&物理上，&b&deham上同调的定义是闭的但非恰当的形式场&/b&，闭的形式场是w,它的外微分dw=0。恰当的形式场是w，存在&img src=&///equation?tex=w%3Dd%5Cmu& alt=&w=d\mu& eeimg=&1&&, 可见恰当的形式场是闭的，因为&img src=&///equation?tex=d%5E%7B2%7D%3D0& alt=&d^{2}=0& eeimg=&1&&(如果应用斯托克斯定理，对应于边界的边界是0这个概念）， 但是闭的形式场不一定是恰当的，它只可能是局域恰当（庞加莱引理）。德拉姆上同调群的意义是H＝闭的形式场／恰当的形式场。也就是闭形式场去掉恰当形式场的那部分。德拉姆上同调的意义在于可以描述诸如磁单极子，虫洞等物理系统。&br&&br&&br&比如磁单极子，依据斯托克斯定理&img src=&///equation?tex=%5Cint_%7BC%7DdA%3D%5Cint_%7B%5Cpartial+C%7DA& alt=&\int_{C}dA=\int_{\partial C}A& eeimg=&1&&, 这就是高数中斯托克斯定理的一种微分几何的写法吧。通常电磁学中这也就是安培环路定理，对于闭合面的积分&img src=&///equation?tex=%5Cint+dA%3D0& alt=&\int dA=0& eeimg=&1&&, 因为闭合面没有边界。这样，如果&img src=&///equation?tex=B%3DdA& alt=&B=dA& eeimg=&1&&那么就意味着磁场是无源的了。&b&对于磁单极关键就在于，这里的B是属于德拉姆上同调，是不能写成上面这种恰当形式的记法的，所以上面的推论不成立，也就是说它可以描述磁场有源的情况&/b&。之所以不成立，就意味着拓扑空间中存在洞，比如磁单极的位置。&br&&br&另外一个上同调的重要例子是在规范场量子化中出现的BRST上同调，这个更加丰富一些，我尽量以我所知做一个简单的介绍。&br&在规范场量子化中，因为规范对称性带来的冗余的自由度，我们需要把它们固定并分离出来，路径积分中用的是Fadev－Popov方法进行固定，这里不拟介绍，只要知道最后的结果把规范自由度分离了出来，并且在作用量中多了一项规范固定的项。同时在非阿贝尔场论的时候，出了规范固定项之外，还出现了一项鬼场，由于引入的FP行列式含有规范势导致。&br&最后的拉氏量为&br&&img src=&/da3fc911b750c_b.png& data-rawwidth=&541& data-rawheight=&41& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&541& data-original=&/da3fc911b750c_r.png&&h叫aulixury field，没有动能部分，是引入的一个辅助场。&br&虽然固定了规范，但是仍然存在整体对称性，这个也不难理解，广义相对论和电动力学甚至弦论都有这种性质。整体对称性可以依据诺特定理给出守恒荷。&br&规范场中的整体对称性叫做BRST对称性，具体变换的表达式是这个。&br&&img src=&/bdc74adf310f5bb0432b_b.png& data-rawwidth=&273& data-rawheight=&135& class=&content_image& width=&273&&后面就用s来统一的代表了&br&以上是理解BRST上同调的背景简介，最关键的一项是我们可以证明&img src=&///equation?tex=s%5E%7B2%7D& alt=&s^{2}& eeimg=&1&&=0（这个证明有些繁琐，需要用到雅可比恒等式等性质）。根据这个很不trivial的性质，我们可以发现把物理态可以分成3类，&br&第一类是&img src=&///equation?tex=%5Cpsi_%7B2%7D%3Ds%5Cpsi_%7B1%7D& alt=&\psi_{2}=s\psi_{1}& eeimg=&1&&, 类似于恰当形式，第二类是&img src=&///equation?tex=s%5Cpsi%27%3D0& alt=&s\psi'=0& eeimg=&1&&，类似于闭的形式。&br&如果满足第二类的条件但不满足第一类的条件，这其实就是一个上同调的形式了，我们记做第三类的情况。后来我们发现，第三类的态满足物理态的定义，而第一类荷第二类的态都会有非物理的态存在。所以通常物理的空间是由BRST的上同调定义的。&br&要看出这一点也并非很困难，以电磁场为例，如果规范固定的条件&img src=&///equation?tex=f%3D%5Cpartial_%7B%5Cmu%7DA%5E%7B%5Cmu%7D& alt=&f=\partial_{\mu}A^{\mu}& eeimg=&1&&, 对于h求它的运动方程就知道&img src=&///equation?tex=%5Cxi+h%3D-%5Cpartial_%7B%5Cmu%7DA%5E%7B%5Cmu%7D& alt=&\xi h=-\partial_{\mu}A^{\mu}& eeimg=&1&&, h如果不是0，意味着&img src=&///equation?tex=k_%7B%5Cmu%7DA%5E%7B%5Cmu%7D%5Cne+0& alt=&k_{\mu}A^{\mu}\ne 0& eeimg=&1&&, 所以实际上h对应的是纵向的偏振，它也属于第一类的条件。但是我们知道光子只有两个偏振，纵向自由度非物理，所以物理态必然不能是第一种（类似于恰当形式），这样可以相信物理的状态可以由BRST上同调表示。&br&&br&综上，上同调群作为一种数学工具，在物理上起到了清楚的描述的工具作用。比如磁单极子和BRST等问题，这里由于本人水平及篇幅所限，只能给出这种浅显的介绍。希望对各位知友有所帮助。
谢邀，我没有专门学习过上同调群，但是在学物理的过程中遇到了一些需要上同调群的问题。目前我接触过的就是Derahm cohomology和BRST cohomology. 数学上上同调的引入就是度量拓扑空间的洞，同调是比同伦更为有力的工具，不过具体的数学概念我没有深究。物理…
滑翔的鸟看流水的速度就是李导数；世界上的航海家说道的航速就是协变导数；我们凝望着日月经天，它们的角速度里既有李导数（关于地球自转）又有协变导数（关于天球度量）。&br&&br&所以李导数是处在运动中而不自知，协变导数是处在弯曲中而不自知。
滑翔的鸟看流水的速度就是李导数；世界上的航海家说道的航速就是协变导数；我们凝望着日月经天，它们的角速度里既有李导数（关于地球自转）又有协变导数（关于天球度量）。所以李导数是处在运动中而不自知，协变导数是处在弯曲中而不自知。
依使用环境，对微分形式的看法有许多层面。&br&&br&1）就其定义而言，微分形式就是协变全反对称张量。对于大部分物理问题，这个认识已经足够了。有了这个观点，就可以用 Levi-civita 联络对微分形式（的分量）求协变导数，用来表示场强张量以及所有规范不变的组合，以及对这些组合的求导。&br&&br&2）当把微分形式看成几何对象&img src=&///equation?tex=%5Comega_M+dx%5EM& alt=&\omega_M dx^M& eeimg=&1&&后，其分量的全反对称性自动引出方便的外微分算子&img src=&///equation?tex=d& alt=&d& eeimg=&1&&。很多时候，面对协变全反对称张量，这个微分形式的语言提供很方便的计算。比如流形度规曲率和挠率的计算可以用标架以及 Cartan 结构方程进行计算，或者用 Hodge 算符来描述张量的缩并。就此而言，微分形式是一套方便的计算方法，就像一套高级编程语言，自带许多方便的函数。当然这一切均可以用 Levi-civita 联络来完成。&br&&br&3）只要流形是微分流形，就有微分形式。从这点看，全体微分形式蕴含了流形的大量信息，尤其是其&b&拓扑信息，以及微分拓扑信息&/b&。形象地说，因为微分形式很柔软，就像流形上的局部坐标线，当流形形变（但保持拓扑、微分拓扑信息），微分形式也可以跟着变动而不发生撕裂，因此它们很适合用来表征流形的拓扑和微分拓扑信息。&br&&br&但是全体微分形式太多，要从中提炼出有用的信息，就要细致地利用微分形式的全反对称性、外微分算符、Hodge 算符等，构成 de Rham 复型，然后可以用来表达流形的拓扑信息。从这点看，微分形式是流形几何的携带者。&br&&br&4）微分形式与其他由微分结构确定的对象有紧密联系。比如切丛，还有旋量。比如选取正交归一基底后，每个微分形式也可以看成旋量，正交归一基底可以看成是 Gamma 矩阵。&br&&br&5）微分形式可以与黎曼积分进行结合，定义出流形上的积分，并自动满足 Stoke 定理。这个又使得微分形式与流形的闭合子流形构成对应，看成是线性化子流形空间（奇异复型）的线性函数。这与3）呼应，给出微分形式与流形拓扑的直接联系。&br&&br&6）微分形式也可以与流形上的其他结构结合，比如与矢量丛结合，构成矢量值微分形式。自然地，全体矢量值微分形式蕴含了矢量丛的拓扑信息。要提取这些信息，可以通过构造各种示性类来实现。&br&&br&7）微分形式不仅携带流形最基本的信息（拓扑、微分拓扑），还可以用来表征额外的几何信息，比如是否 Kahler。因为额外的几何结构一般会诱导一系列相关的微分形式，并且这些微分形式会&b&被迫满足某种微分方程&/b&。比如当流形携带了厄米结构，就可以定义 Kahler 形式&img src=&///equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&，且&img src=&///equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&必然是非退化。这个厄米结构要成为 Kahler 结构，&img src=&///equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&要满足微分方程 &img src=&///equation?tex=d%5Comega+%3D+0& alt=&d\omega = 0& eeimg=&1&&。因此 Kahler 结构必然导致辛结构，要求&img src=&///equation?tex=H%5E2%28M%2C%5Cmathbb%7BZ%7D%29%5Cne+%5C%7B0%5C%7D& alt=&H^2(M,\mathbb{Z})\ne \{0\}& eeimg=&1&&。这就暗示了有些流形不能携带 Kahler 结构，倘若&img src=&///equation?tex=H%5E2%28M%2C%5Cmathbb%7BZ%7D%29%3D+%5C%7B0%5C%7D& alt=&H^2(M,\mathbb{Z})= \{0\}& eeimg=&1&&。因此&b&满足某微分方程的微分形式&/b&的存在性控制了某类几何结构的存在性。&br&&br&&br&&br&8）要运用微分形式，得先熟悉基本的张量计算。虽然微分形式的语言有时可以让&b&简单的计算变得更简单&/b&，&b&但是并不能把复杂的计算变简单&/b&。这对于研究物理问题尤其重要；事实上物理问题很少真的用到微分形式来&b&求解&/b&，顶多是用作&b&求解后的&/b&&b&表述&/b&。
依使用环境，对微分形式的看法有许多层面。1）就其定义而言，微分形式就是协变全反对称张量。对于大部分物理问题，这个认识已经足够了。有了这个观点，就可以用 Levi-civita 联络对微分形式（的分量）求协变导数，用来表示场强张量以及所有规范不变的组合，…
【被蛋疼的referee给的蛋疼的comment气得不行的我跑来献丑了（不要奖品只是提示 ( o ?ωo? )）】&br&&br&我在文章下面给了个提示：“&img src=&///equation?tex=%5Clog+r& alt=&\log r& eeimg=&1&&是2维格林函数（差一个乘积常数）【手动滑稽】”。有人表示看不懂，于是我就写个详细一点的提示吧。不过只是对于类似的柯西积分公式（而题主问的某种意义上可以看做是留数定理），并且只从纯粹分析的角度。&br&&br&首先，在&a href=&///?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E5%E5%25B8%E6%%25E5%25AD%25A6%25E5%E6%259E%2590%29& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&分布&i class=&icon-external&&&/i&&/a&意义下，&img src=&///equation?tex=%5CDelta+%5Clog+z%3D%5Cbar+%5Cpartial+%5Cpartial+%5Clog+z%3Dc%5Cdelta_0& alt=&\Delta \log z=\bar \partial \partial \log z=c\delta_0& eeimg=&1&&，其中&img src=&///equation?tex=c& alt=&c& eeimg=&1&&是一个复常数。这里的&img src=&///equation?tex=%5Cpartial%2C+%5C%2C%5Cbar+%5Cpartial+& alt=&\partial, \,\bar \partial & eeimg=&1&&指的是&a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Wirtinger_derivatives& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Wirtinger derivatives&i class=&icon-external&&&/i&&/a&. 因此对于&img src=&///equation?tex=C%5E1& alt=&C^1& eeimg=&1&&的Jordan区域&img src=&///equation?tex=%5COmega%5Csubset+%5Cmathbb+R%5E2& alt=&\Omega\subset \mathbb R^2& eeimg=&1&&, &img src=&///equation?tex=w%5Cin+++%5COmega& alt=&w\in
\Omega& eeimg=&1&&和解析函数&img src=&///equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&，我们根据&a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Stokes%2527_theorem& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Stokes'&i class=&icon-external&&&/i&&/a&定理有&br&&img src=&///equation?tex=%5Cint_%7B%5Cpartial+%5COmega%7D+%5Cfrac+%7Bf%28z%29%7D%7Bz-w%7D%5C%2Cdz%3D%5Cint_%7B%5Cpartial+%5COmega%7D++%7Bf%28z%29%7D%5C%2Cd%5Clog%28z-w%29%3D%5Cint_%7B%5COmega%7D++%7Bf%28z%29%7D%5C%2C%5Cbar+d+d%5Clog%28z-w%29%3Dc%5Cint_%7B%5COmega%7D++%7Bf%28z%29%7D%5Cdelta_%7Bz-w%7D%5C%2Cd%5Cbar+z%5Cwedge+dz%3Dcf%28w%29.& alt=&\int_{\partial \Omega} \frac {f(z)}{z-w}\,dz=\int_{\partial \Omega}
{f(z)}\,d\log(z-w)=\int_{\Omega}
{f(z)}\,\bar d d\log(z-w)=c\int_{\Omega}
{f(z)}\delta_{z-w}\,d\bar z\wedge dz=cf(w).& eeimg=&1&&&br&这就是&a href=&///?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E6%259F%25AF%25E8%25A5%25BF%25E7%25A9%258D%25E5%E5%2585%25AC%25E5%25BC%258F& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&柯西积分公式&i class=&icon-external&&&/i&&/a&. &br&&br&不过这个地方我们在使用Stokes'定理的时候是有默认的：我们考虑了边界的重数是&img src=&///equation?tex=1& alt=&1& eeimg=&1&&的情形。如果要考虑多次重数，比如我们沿着&img src=&///equation?tex=%5Cpartial+%5COmega& alt=&\partial \Omega& eeimg=&1&&转了好几圈，那么自然这里的重数应该计入。因此严格地来说，我们应该使用关于&a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Current_%28mathematics%29& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Current (mathematics)&i class=&icon-external&&&/i&&/a&（可定向流形的分布意义下推广，加入了重数计数）的Stokes'定理. 这样一来我们得到的柯西积分公式就加入了圈绕数（&a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Winding_number& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Winding number&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）。自然，圈绕数和代数拓扑什么的就相关了。同时，拉普拉斯算子也和代数拓扑相关（&a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Hodge_theory& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Hodge theory&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）。&br&&br&嘛，我就写这么多，算是做一点微小的贡献吧，虽说有点文不对题呢2333333~
【被蛋疼的referee给的蛋疼的comment气得不行的我跑来献丑了（不要奖品只是提示 ( o ?ωo? )）】我在文章下面给了个提示：“\log r是2维格林函数（差一个乘积常数）【手动滑稽】”。有人表示看不懂，于是我就写个详细一点的提示吧。不过只是对…
其他的回答都有一个问题，可能在理解上不要紧但在数学上很重要：&br&&br&测地线是空间中局部最短的连接两点的曲线。&br&&br&这里局部有具体的数学意义，你可以想象就是在一个很小的区域上。如果从整体的角度考虑测地线，那测地线未必是整体最短的连接两点的曲线。例如在球面上，考虑不是正对的两点，那它们用大圆弧连接有两种可能，一条是最短的，另一条则不是。&br&&br&为什么大圆弧能够保证它局部上使得连接两点的长度是最短的呢？利用变分法计算是可以证明的。&br&&br&还有一种（真正意义上局部的）观点。在平面上，我们说直线也可以是指：曲线延伸的方向和我们前进的方向一致，也就是我们没有“转弯”。在弯曲的流形上（比如球面），我们可以类比过来：前进的方向就是这一点处的切方向（在弯曲的空间上也可以定义），没有转弯就是这个切方向沿着曲线求导是0（所谓的沿着曲线方向求联络）。这个定义可以帮助我们写下测地线的方程，可以证明与变分法得到的测地线方程是一样的。&br&&br&当然，这里我们考虑的空间都很简单。如果空间很复杂，那么或许需要更加严谨的考虑。我想大家也不是特别感兴趣，就此打住。
其他的回答都有一个问题，可能在理解上不要紧但在数学上很重要：测地线是空间中局部最短的连接两点的曲线。这里局部有具体的数学意义，你可以想象就是在一个很小的区域上。如果从整体的角度考虑测地线，那测地线未必是整体最短的连接两点的曲线。例如在球面…
只说一点：微分流形可用来描述广义相对论，而广义相对论据说可用于卫星上高精度时间的修正，通过一系列我也说不清楚的过程，可以应用到你手机上地图GPS之类app的应用（这是看到知乎上之前某个答案提到的，具体怎么说的我忘了）。&br&&br&等我有时间再系统总结一下。不过老实说，让做理论的人一定要想想理论有什么应用也是有点强人所难，因为做理论和做应用的不一定是一拨人。
只说一点：微分流形可用来描述广义相对论，而广义相对论据说可用于卫星上高精度时间的修正，通过一系列我也说不清楚的过程，可以应用到你手机上地图GPS之类app的应用（这是看到知乎上之前某个答案提到的，具体怎么说的我忘了）。等我有时间再系统总结一下。…
不要学，因为早都过时了。&br&(有答主说我的回答武断，可能是有，但我还是想反驳一下。仿射微分几何(还有射影微分几何这些)可能是有一些没有解决的问题，但是原来二三十年代苏步青先生，还有同时期的一些做这个方面的人，他们的方法可能已经被使用得很好，而难以解决这些新的问题，从这个角度说是过时了。当然了，不能完全说仿射微分几何这门学科过时，毕竟它还有新的问题，但是它使用的那些方法(至少苏步青使用的那些方法)基本可以说是过时的。即使你要学，也应该先把主流的东西学会，再去看这些东西。
不要学，因为早都过时了。(有答主说我的回答武断，可能是有，但我还是想反驳一下。仿射微分几何(还有射影微分几何这些)可能是有一些没有解决的问题，但是原来二三十年代苏步青先生，还有同时期的一些做这个方面的人，他们的方法可能已经被使用得很好，而难…
至少 Computer Graphics 里面有一堆. 比较完整的书大概像是手边这本 Siggraph 2006 的 Course Note[4], &i&Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction&/i&. &br&&br&具体例子的话, 最近正好因为某个 Course Project 的缘故读了篇相关的论文, 做的是&b&保持特征的情况下的网格简化(Mesh Saliency)&/b&. 作者利用离散微分几何中的平均曲率[1], 定义了该点 Saliency(大致想法就是用那个点附近的那些点的平均曲率加上个正态分布作为权重, 再算一下不同标准差下面的变化. ) 来刻画曲面的凸起程度[3], 并以此改进了之前的简化算法[2], 效果如下:&br&&img src=&/f12f5e03decfffbeab083b_b.png& data-rawwidth=&866& data-rawheight=&457& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&866& data-original=&/f12f5e03decfffbeab083b_r.png&&&br&仔细看的话, 可以发现在用了相同数量三角形网格的情况下, 下面这排的 Armadillo 看起来比上面这排保持了更多的特征(比如说鼻子和眼睛更明显).&br&&br&多说几句的话, [2]中的简化算法是逐点对合并的, 所以说我们会得到下面这样的顶点和面的序列:&br&&img src=&/459a54d64ba_b.png& data-rawwidth=&897& data-rawheight=&198& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&897& data-original=&/459a54d64ba_r.png&&&br&这样的合并顺序的计算, 可以通过前面提及的 Saliency 进行预处理. [4]里面还有更多的应用, 比如说和物理模拟相关的, 不过答主不是搞 Grahpics 的, 所以也就不班门弄斧了. &br&&br&&b&Reference&/b&&br&[1]Taubin G. Estimating the tensor of curvature of a surface from a polyhedral approximation[C]//Computer Vision, 1995. Proceedings., Fifth International Conference on. IEEE, 7.&br&[2]Garland M, Heckbert P S. Surface simplification using quadric error metrics[C]//Proceedings of the 24th annual conference on Computer graphics and interactive techniques. ACM Press/Addison-Wesley Publishing Co., 6.&br&[3]Lee C H, Varshney A, Jacobs D W. Mesh saliency[C]//ACM transactions on graphics (TOG). ACM, ): 659-666.&br&[4]Grinspun E, Desbrun M, Polthier K, et al. Discrete differential geometry: an applied introduction[J]. ACM SIGGRAPH Course, 2006, 7.
至少 Computer Graphics 里面有一堆. 比较完整的书大概像是手边这本 Siggraph 2006 的 Course Note[4], Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction. 具体例子的话, 最近正好因为某个 Course Project 的缘故读了篇相关的论文, 做的是保持特征…
我来谈谈什么是曲面的“内蕴”几何，说白了核心就是所谓的高斯绝妙定理，Theorema Egregium。&br&&br&在研究超曲面（codimension 1）第二基本形式&img src=&///equation?tex=%5Cuppercase%5Cexpandafter%7B%5Cromannumeral2%7D& alt=&\uppercase\expandafter{\romannumeral2}& eeimg=&1&&时候，我们用到了所谓的单位法向量,这个法向量不在曲面中，是指向曲面外的（而且和如何放这个曲面有关系），因此不是内蕴的。&br&&br&高斯对于欧式空间的hypersurface发现了下面的定理：&br&&img src=&///equation?tex=%5Clangle+R%28u%2Cv%29%2Cw%2Cz%5Crangle%3D%5Clangle%0A%5Cuppercase%5Cexpandafter%7B%5Cromannumeral2%7D%28u%2Cz%29%2C%5Cuppercase%5Cexpandafter%7B%5Cromannumeral2%7D%28v%2Cw%29%5Crangle-%5Clangle%0A%5Cuppercase%5Cexpandafter%7B%5Cromannumeral2%7D%28u%2Cw%29%2C%5Cuppercase%5Cexpandafter%7B%5Cromannumeral2%7D%28v%2Cz%29%5Crangle& alt=&\langle R(u,v),w,z\rangle=\langle
\uppercase\expandafter{\romannumeral2}(u,z),\uppercase\expandafter{\romannumeral2}(v,w)\rangle-\langle
\uppercase\expandafter{\romannumeral2}(u,w),\uppercase\expandafter{\romannumeral2}(v,z)\rangle& eeimg=&1&&&br&其中等式左面是用hypersurface自身的联络定义的曲率，（内蕴）&br&等式等式右面是用第二基本形式给出的。（非内蕴）&br&&br&那么美在哪里呢？&br&非内蕴非常直观的给出了曲面的形状，内蕴曲率则代表了这个定义只与曲面自身形状有关，和如何嵌入无关。
我来谈谈什么是曲面的“内蕴”几何，说白了核心就是所谓的高斯绝妙定理，Theorema Egregium。在研究超曲面（codimension 1）第二基本形式\uppercase\expandafter{\romannumeral2}时候，我们用到了所谓的单位法向量,这个法向量不在曲面中，是指向曲面外的（…
谢邀。黎曼度量实际上给了你一把尺子，可以量黎曼流形上曲线的长度。&br&&br&为了说明这一点，我们先回忆，在多元微积分中学过的，欧氏空间中（可微）曲线的长度计算公式（第二类曲线积分）：&img src=&///equation?tex=L%28%5Cgamma%29%3D%5Cint_a%5Eb%7C%5Cgamma%27%28t%29%7Cdt.& alt=&L(\gamma)=\int_a^b|\gamma'(t)|dt.& eeimg=&1&& 在这里我们度量切向量&img src=&///equation?tex=%5Cgamma%27%28t%29& alt=&\gamma'(t)& eeimg=&1&&的长度，使用的是&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E3& alt=&\mathbb{R}^3& eeimg=&1&&的内蕴度量（也就是直接用勾股定理算长度）。&br&&br&但是如果我们&b&强行规定&/b&&img src=&///equation?tex=%5Cgamma%27%28t%29& alt=&\gamma'(t)& eeimg=&1&&为另一个长度（对所有的t都这样做），那么就得到了沿着曲线&img src=&///equation?tex=%5Cgamma& alt=&\gamma& eeimg=&1&&的另一个度量。如果我们对&img src=&///equation?tex=%5Cgamma& alt=&\gamma& eeimg=&1&&所生活的流形M的每一点的每一个切向量都规定一个长度（实际上是对每个切空间规定一个内积，因为我们至少希望可以这个长度是线性增长的，且我们希望可以讨论“垂直”这个概念），那么我们就得到了一个黎曼度量（当然我们一般要求这个内积对底流形上的点是光滑依赖的）。&br&&br&所以我们可以看出黎曼度量是个很flexible的东西，我们几乎可以“随心所欲”的操纵他，修改他。所以我们真正感兴趣的，往往是一些满足特定性质的度量，比如常截面曲面度量，恒正（或者恒负）截面曲率度量，常数量曲率度量，Einstein度量,blabla.
谢邀。黎曼度量实际上给了你一把尺子，可以量黎曼流形上曲线的长度。为了说明这一点，我们先回忆，在多元微积分中学过的，欧氏空间中（可微）曲线的长度计算公式（第二类曲线积分）：L(\gamma)=\int_a^b|\gamma'(t)|dt. 在这里我们度量切向量\gamma'(t)的长…
个人经验，会. 我先学了陈维桓的《微分几何》，然后学俞允强的《广义相对论引论》，轻松多了。再然后看Sean Carroll 的 Spacetime and geometry，很容易就看完了。回头想想当初没学微分几何的时候看刘辽赵峥的《广义相对论》，以及张启仁的《经典力学》中广义相对论部分，完全看不懂。这就是差别。
个人经验，会. 我先学了陈维桓的《微分几何》，然后学俞允强的《广义相对论引论》，轻松多了。再然后看Sean Carroll 的 Spacetime and geometry，很容易就看完了。回头想想当初没学微分几何的时候看刘辽赵峥的《广义相对论》，以及张启仁的《经典力学》中广…
联络即平行移动，它给出了不同位置切空间的联系，它指定了一个切向量沿一条曲线“平行移动”的方式。这种移动的方式，你把它想象成一种&b&惯性&/b&, 如同陀螺仪中高速旋转的指针的指向有一种惯性一样。联络等于说给出了流形上的&b&惯性&/b&。沿闭曲线走一圈, 始末向量间的偏差即holonomy。如果闭曲线是可缩的，这种偏差一定是由曲率引起的。
联络即平行移动，它给出了不同位置切空间的联系，它指定了一个切向量沿一条曲线“平行移动”的方式。这种移动的方式，你把它想象成一种惯性, 如同陀螺仪中高速旋转的指针的指向有一种惯性一样。联络等于说给出了流形上的惯性。沿闭曲线走一圈, 始末向量间的…
个人感觉热力学中比较容易理解：&b&我就是想换个变量&/b&。&br&&br&但是这个又不是随便换的。热力学中，我是想做这样的事情：&img src=&///equation?tex=pdV+%5Crightarrow+Vdp& alt=&pdV \rightarrow Vdp& eeimg=&1&&，但是我又不想把好好地一个全微分式子变成不是全微分，于是：&br&&img src=&///equation?tex=dU%3DSdT-pdV+%5Crightarrow+%0AdU%2Bd%28pV%29%0A%3DsdT-pdV%2BVdp%2BpdV%0A%3DsdT%2BVdp& alt=&dU=SdT-pdV \rightarrow
=sdT-pdV+Vdp+pdV
=sdT+Vdp& eeimg=&1&&&br&为了完成这样的变换，我们需要把内能变成另外一个函数，就是：&br&&img src=&///equation?tex=U+%5Crightarrow+U%2BpV& alt=&U \rightarrow U+pV& eeimg=&1&&&br&这就是Legendre变换。&br&&br&经典力学中也是如此：我们不想用速度作为变量了，想用动量作为变量，也就是微分式子中不再出现&img src=&///equation?tex=dv& alt=&dv& eeimg=&1&&而是出现&img src=&///equation?tex=dp& alt=&dp& eeimg=&1&&。然后想想Lagangian中动量就是&img src=&///equation?tex=%5Cpartial+L%2F%5Cpartial+v& alt=&\partial L/\partial v& eeimg=&1&&所以一切Lagrangian的微分式中，v,p都是一起出现的，正好用Legendre变换就可以解决。于是，我们有了Hamiltonian：&br&&img src=&///equation?tex=H%3Dpv-L& alt=&H=pv-L& eeimg=&1&&（PS：我不知道知乎上怎么弄出来q一点，所以用v代替，有点别扭）&br&&br&所以我一直觉得这个变换没什么，只是想换个变量而已……&br&&br&关于为什么要换这个变量，原因基本上是Hamilton力学的运动方程是一阶的，理论上可以解出来，比较好玩；另外量子力学都是用Hamiltonian的，也是因为“量子力学除了对易关系以外没有其他的求导方式”，所以不好定义x的导数。&br&&br&PS：引号中的话来自于Dirac。
个人感觉热力学中比较容易理解：我就是想换个变量。但是这个又不是随便换的。热力学中，我是想做这样的事情：pdV \rightarrow Vdp，但是我又不想把好好地一个全微分式子变成不是全微分，于是：dU=SdT-pdV \rightarrow
=sdT-pdV+Vdp+pdV
=sdT+Vdp…
谢邀&br&直观的说，李导数和协变导数各自规定了一种比较不同两点的张量的方法，不过内在的精神是相通的。那就是对于时空中不同的两个点，它们两个点上的矢量并不处在一个矢量空间当中，所以是没有办法进行比较的。在平直欧式时空下，之所以可以比较，因为平坦的时空天然的规定了一种平移的方式，所以我们都习以为常并不觉得奇怪。&br&但是在弯曲的时空中，比较不同的两点的矢量（张量类似）通常也需要进行平移，也就是说计算的差值是&img src=&///equation?tex=V%5E%7B%5Cmu%7D%7C_%7Bq%7D-V%5E%7B%5Cmu%7D%7C_%7Bp%5Cto+q%7D& alt=&V^{\mu}|_{q}-V^{\mu}|_{p\to q}& eeimg=&1&&而不是&img src=&///equation?tex=V%5E%7B%5Cmu%7D%7C_%7Bq%7D-V%5E%7B%5Cmu%7D%7C_p& alt=&V^{\mu}|_{q}-V^{\mu}|_p& eeimg=&1&&. 然后如果利用平直时空下的平移方式，我们会发现导数的变换关系并不满足张量协变律，也就是说利用平直时空中的偏导数算符&img src=&///equation?tex=%5Cpartial_%7B%5Cnu%7DV%5E%7B%5Cmu%7D& alt=&\partial_{\nu}V^{\mu}& eeimg=&1&&不是张量，鉴于张量不依赖于坐标系的特点，通常物理量都应该是张量，所以我们可以凑一项联络项也就是克式符让结果变成张量。联络项加上偏导数项构成了协变导数，其实协变导数就是规定了一种平移的方式，当然联络项的引入使得这种平移和平直的时候是不同的。&br&但是也可以不这么看这个问题，我们还可以找到另外的移动两个不同点的两个矢量的方法。看待时空中两个点之间的变换有两种观点，主动观点认为是点之间的映射，而被动观点认为是点不动，坐标发生了变换。所以当比较坐标系中两个点时，我们可以认为它们是一个点，只不过是在不同坐标系下，这样我们就利用坐标变换，把不同点的两个矢量，看成了一个点的两个矢量。当然可以进行导数运算。这就是李导数。（李导数在微分几何的语言下，利用拉回映射，有更清楚的定义，不过如果没有相关基础也可以跳过）&br&&br&综上，李导数和协变导数就是定义了比较不同两个点的矢量的方式而已，只不过关于移动方式的指定不同。
谢邀直观的说，李导数和协变导数各自规定了一种比较不同两点的张量的方法，不过内在的精神是相通的。那就是对于时空中不同的两个点，它们两个点上的矢量并不处在一个矢量空间当中，所以是没有办法进行比较的。在平直欧式时空下，之所以可以比较，因为平坦的…
谢邀。&br&看你怎么定义“入门”了。我实在不知道什么叫“入门李群”。因为这方面内容太多了。估且从三个方面说点最基础的东西，深的我也不懂。&br&&br&几何方面：紧李群上的Haar测度，李群上的（左或者右）不变度量，李群与齐次空间对称空间之间的联系。&br&代数方面：紧李群或者不紧的李群的有限维或者无限维表示论，以及对应的李代数的表示论。复的单李代数、半单李代数的结构，root system。Cartan subalgebra,极大环面。其他数域上的李群（如p-adic等等）。与代数群理论的联系（reductive group啥啥的，which我完全不懂）。等等。&br&分析方面：李群本来就起源于微分方程，大概跟方程的对称性有关系。此外李群表示论跟分析也有关系，比如S^1的表示论跟调和分析有关系，不交换的李群的表示论跟“非交换的调和分析”有关系。&br&&br&可见这三个方面也不是孤立的，相互之间也是有联系的。李群是贯穿数学各个分支的基础对象，内容非常丰富。&br&&br&我这个半吊子也只能讲这么多了。去年上Kirillov的李群李代数课，零零散散地记得一点点。要更专业的回答还是另请高明吧。
谢邀。看你怎么定义“入门”了。我实在不知道什么叫“入门李群”。因为这方面内容太多了。估且从三个方面说点最基础的东西，深的我也不懂。几何方面：紧李群上的Haar测度，李群上的（左或者右）不变度量，李群与齐次空间对称空间之间的联系。代数方面：紧李…
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