d^3y/dx^3-x 1=y 2y 3y 0的通解解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-06-01 02:13 标签： y 2y 3y 0的通解
求非齐次方程的通解dβ/dθ+3β=2最后答案是3β=2+Ce^(-3θ)
求非齐次方程的通解dβ/dθ+3β=2.最后答案是3β=2+Ce^(-3θ).dβ/dθ+3β=2,dβ/dθ=2-3β,dβ/(2-3β)=dθ,(-1/3)[1/(2-3β)]d(2-3β)=dθ,[1/(2-3β)]d(2-3β)=-3dθ,两边积分：∫[1/(2-3β)]d(2-3β)=-3∫dθln(2-3β)=-3θ+C （C为任意常数）2-3β=e^(-3θ+C),3β=2-e^(-3θ+C),3β=2+(-e^C)e^(-3θ),因为C为任意常数,所以不妨让-e^C作为任意常数,并仍然用C表示,原微分方程通解为3β=2+Ce^(-3θ)（C为任意常数）
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扫描下载二维码微分方程y3y”－1＝0 求通解
设y'=p,则y''=pdp/dy代入原方程得y³pdp/dy-1=0==>y³pdp/dy=1==>pdp=dy/y³==>p²/2=-1/(2y²)+C1/2 (C1是积分常数)==>p²=C1-1/y²==>p=±√(C1-1/y²)==>dy/dx=±√(C1y²-1)/y==>ydy/√(C1y²-1)=±dx==>d(C1y²-1)/√(C1y²-1)=±2C1dx==>2√(C1y²-1)=±2C1x+2C2 (C2是积分常数)==>√(C1y²-1)=±C1x+C2==>C1y²-1=(C2±C1x)²==>C1y²=(C2±C1x)²+1故原微分方程的通解是 C1y²=(C2±C1x)²+1 (C1,C2是积分常数)
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（1）由于y=0恒为微分方程y^2(x-3y)dx+(1-3y^2x)dy=0的解；（2）下面考虑当y不等于0时,方程的解.微分方程y^2(x-3y)dx+(1-3y^2x)dy=0可化简为：(x-3y)dx+[y^(-2)-3x]dy=0 (两边同除y^2得到的)x*dx-3y*dx+y^(-2)*dy-3x*dy=0d[(x^2)/2]-3(y*dx+x*dy)+d(1/y)=0d[(x^2)/2]-3d(x*y)+d(-1/y)=0d[(x^2)/2-3(x*y)-1/y]=0(x^2)/2-3(x*y)-1/y=C (其中C为任意常数).所以由（1）与（2）可知：微分方程y^2(x-3y)dx+(1-3y^2x)dy=0的通解为：y=0 或 (x^2)/2-3(x*y)-1/y=C.
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dy/dx=(x³+y³)/3xy²=(1/3)[(x/y)²+(y/x)]=(1/3)[1/(y/x)²+(y/x)]令y/x=u,则y=ux,dy/dx=u+x(du/dx),代入上式得：u+x(du/dx)=(1/3)[(1/u²)+u]故有x(du/dx)=1/(3u²)-(2/3)u=(1-2u³)/(3u²)分离变量得x/dx=(1-2u³)/(3u²du)取倒数得(1/x)dx=3u²du/(1-2u³)=-(1/2)[d(1-2u³)]/(1-2u³)两边取积分得lnx=-(1/2)ln(1-2u³)+lnC₁=ln[C₁/√(1-2u³)]故得x=C₁/√(1-2u³)],将u=y/x代入得x=C₁/√[1-2(y/x)³)]=C₁x(√x)/√(x³-2y³)于是得√(x³-2y³)=C₁√x平方去根号便得原方程的通解为：x³-2y³=Cx,其中C=C²₁
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等式(x^3+y^3)dx=3xy^2dy两边同时除以x^3则可以得到[(y/x)^3+1]dx=3(y/x)^2dy
再令y=ux则dy=udx+xdu带入求的(1-2u^3)^(1/2)=(x+c)^2
在带入u即可
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