多项式插值法和拉格朗日插值_百度文库
多项式插值法和拉格朗日插值
多项式插值法和拉格朗日插值
基本内容提要
多项式插值法的基本概念
插值多项式的存在性与唯一性分析
拉格朗日插值多项式的构造及截断误差
截断误差的实用估计式
逐次线性插值法
教学目的和要求
熟练掌握多项式插值法的基本概念
理解插值多项式的存在性与唯一性
掌握拉格朗日插值法
掌握截断误差的估计方法
理解逐次线性插值法的基本思想，掌握Aitken逐次线性插值法 6
掌握运用拉格朗日插值法处理问题的基本过程
拉格朗日插值基函数及拉格朗日插值多项式的构造
拉格朗日插值多项式的截断误差分析
逐次线性插值法的基本思想
插值多项式存在唯一性条件的讨论分析
插值误差的分析与估计
Aitken逐次线性插值法的计算过程
新知识理论课
结合提问，以讲授法为主
实际问题中许多变量间的依赖关系往往可用数学中的函数概念刻画，但在多数情况下，这些函数的表达式是未知的，或者函数已知，但形式十分复杂。基于未知函数或复杂函数的某些已知信息，如何构造这些函数的近似表达式？如何计算这些函数在其它点处的函数值？所构造的近似表达式与真实函数的误差是多少？插值理论与方法就是解决这些问题的有效工具之一。
贡献者：xgleee
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记一下拉格朗日插值公式的推导和一些要点【这里说的都是二维插值，多维上的以此类推】
1、插值问题：在做实验的过程中，往往得到一堆离散的数据，现在想用数学公式模拟这堆离散数据。怎么办，数学家们提出了插值问题。插值问题的提法是这样的给定一堆数据点(x0, y0), (x1, y1), (x2, y2)...(xn, yn)，要求一个函数 y = f(x) ，要求该函数经过上面所有的数据点。
2、多项式插值及其唯一性：在所有的函数中，多项式函数是最简单的函数，所以只要是人就会想到用多项式函数来作为插值函数，好，以上给定了n+1个点，现在要求一个n次多项式y = an * x^n + ... a1 * x + a0, 使它们经过这n+1个点；通过范德蒙行列式 和 克莱姆法则，可以判定如果这n+1个点的x值各不相同，那么这个多项式是唯一的。结果唯一，但是用直接法很不好求。现在用别的办法来求之。这就是：拉格朗日多项式
3、拉格朗日多项式的构造，以四个点为例子进行说明
由于函数经过4个点(x0, y0)，(x1, y1)，(x2, y2)，(x3, y3)，所以可以设函数为：
f(x) = b0(x) * y0 + b1(x) * y1 + b2(x) * y2 + b3(x) * y3
注意：b0(x)，...，b3(x)都是x的3次多项式，称之为拉格朗日插值基函数。
由于要求当x为x0时候，f(x) = y0, 所以最简单的做法就是让b0(x0) = 1, b1(x0) = b2(x0) =& b3(x0) = 0;
同理可知，在x1，x2，x3点上，插值基函数的值构造如下：
& && &&&&&&&&&& b0(x)&&&&&&& b1(x)&&&&&&& b2(x)&&&&&&& b3(x)
x=x0&&&&&&&& 1&&&&&&&&&&&&&&& 0&&&&&&&&&&&&& 0&&&&&&&&&&&&& 0
x=x1&&&&&&&& 0&&&&&&&&&&&&&&& 1&&&&&&&&&&&&& 0&&&&&&&&&&&&& 0
x=x2&&&&&&&& 0&&&&&&&&&&&&&&& 0&&&&&&&&&&&&& 1&&&&&&&&&&&&& 0
x=x3&&&&&&&& 0&&&&&&&&&&&&&&& 0&&&&&&&&&&&&& 0&&&&&&&&&&&&&& 1
问题1、根据这些值来确定b0(x)的表达式，
由于b0(x1) = b0(x2) = b0(x3) = 0，所以x1, x2, x3是b0(x)的零点，由于b0(x)是三次多项式，所以设
b0(x) = c0 * (x-x1) * (x-x2) * (x-x3)
由于b0(x0) = 1,所以 1 = c0 * (x0-x1) * (x0-x2) * (x0-x3)& 得到 c0 = 1/[(x0-x1)(x0-x2)(x0-x3)]
所以：b0(x) = (x-x1)*(x-x2)*(x-x3)/[(x0-x1)*(x0-x2)*(x0-x3)]
同理可求b1(x)、b2(x)，略
问题2、根据上面的表格说明插值基函数的一个性质：无论x取和值，它们的和都为1.【这个叫做调和函数】
以3次为例子说明：将上述表格的每一行分别相加，得到的事函数：g(x) = b0(x) + b1(x) + b2(x) + b3(x)在x0, x1, x2, x3的值，都为1.
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& b0(x) + b1(x) + b2(x) + b3(x)
x=x0&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 1+0+0+0 = 1
x=x1&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 0+1+0+0 = 1
x=x2&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 0+0+1+0 = 1
x=x3&&&&&&&&&&&&&&&& && 0+0+0+1 = 1
所以：方程g(x) - 1 = 0，应该有4个根x0, x1, x2, x3；但是，由于b0(x)、b1(x)、b2(x)、b3(x)都是3次多项式，所以，g(x)最多也是3次多项式，至多只有3个根，所以等式：g(x) = 1 应该是恒等式。得证。
问题3、基函数：b0(x)、b1(x)、b2(x)、b3(x) 是线性无关的。
设：数t0, t1, t2, t3使得：t0 * b0(x) + t1 * b1(x) + t2 * b2(x) + t3 * b3(x) = 0
x=x0时候：0 = t0 * b0(x0) + t1 * b1(x0) + t2 * b2(x0) + t3 * b3(x0) = t0 * 1 + t1 * 0 + t2 * 0 + t3 * 0 得到：t0 = 0;
同理有：t1 = t2 = t3 = 0，根据定义（所有系数为0）。所以插值基函数是线性无关的。
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毕业论文--几种插值法的应用与比较
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官方公共微信这样一组数是不是不能进行拉格朗日插值？_百度知道
这样一组数是不是不能进行拉格朗日插值？
5,400.5,550,91,87;x0=[22,26,36,88,800,500..,66.7,86,93,440,160,100,290,350，是这个原因么.5,95,1100,].5,81,85,82.7,250,y1;y1=[57,62,1250],0，所以不适用,63.基本全是0因为朗格朗日要求插值多项式全部过插值点,200,,40,80.2,x0)算出来都是y=0,,91,25.5,870;总之就是没什么规律的两组数,0,170,44.,630,92,0,125,x0,91，x1,135.y=lagrange(x1.5,70,53,110,315.,93,670.5,92x1=[20,50,31,90
提问者采纳
计算更容易，否则就不能叫插值(interpolation)，你可以想想有多大，不是因为它要过全部的点所以不适用。当次数过高时，因为产生的18阶线性系统会很难解，对于这样高次的多项式，但是要rescale你的数据值。二是用分段插值法，插值的图像也不会有过大的波动，所以我不敢保证这种方法一定有效。但是。你可以将x0和x1都除以100或1000试试，我更倾向于第二种，而叫做拟合(fitting)。因为所有的插值方法都是要过所有的数据点的，所以要18次的多项式。Lagrange本质上是多项式插值，（注意计算机是基于有限位进行运算的）。对于大多数的实际问题，再取18次方。这时你有两种选择，这样次数也下来了，你有19组点，这种插值方法非常不好，因为你的次数跨度过大，多项式插值本身就缺乏对实际问题的合理解释：一是继续用Lagrange首先必须强调一下，因为好多值都非常大，就更没什么意义了
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出门在外也不愁拉格朗日插值法_中华文本库
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拉格朗日插值法的一些讨论
在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解。如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式。数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后（1783年）由莱昂哈德·欧拉再次发现。1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起。
数据建模有两大方法：一类是插值方法，另一类是拟合函数一般的说，插值法比较适合数据准确或数据量小的情形。然而Lagrange插值有很多种，1阶，2阶,,,n阶。我们可以利用拉格朗日插值求方程，根据它的程序求原方程的图像。下面我具体介绍分析一下拉格朗日插值的算法设计及应用。
1、基本概念
已知函数y=f(x)在若干点xi的函数值yi=f?xi?（i=0,1,???,n）一个差
则p(x)为f(x)的插值函数，而f(x)为被插值函数会插值原函数，x0，x1，x2，...,xn为插值节点，式（1）为插值条件，如果对固定点x求f(x)数值解，??值问题就是求一“简单”的函数p(x)：p(xi)=yi,i=0,1,???,n,
我们称x为一个插值节点，f(x)?p(x)称为x点的插值，当x?[min(x0，x1，x2，...,xn)，max(x0，x1，x2，...,xn)]时，称为内插，否则称为外插式外推，?????特别地，当p(x)为不超过n次多项式时称为n阶Lagrange插值。
2、Lagrange插值公式
（1）线性插值L1(1)
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