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京ICP证080135号例谈逆向思维——以课本中的一道例题为例--《高中数学教与学》2016年08期
例谈逆向思维——以课本中的一道例题为例
【摘要】：正数学例题的作用是帮助学生理解数学概念,熟悉解题过程,实现从未知向已知、从知识向能力的转化;同时也是使学生获取数学知识,掌握解题技巧,理解数学思想方法,提高思维能力的主要途径.如何讲解、剖析数学例题应是我们教师在教学过程中的主要工作.笔者在讲授人教版必修4"正弦函数、余弦函数的性质"这一节时,学生对其中的一个例题感觉较难理解.本文结合本例题的解题方法,浅谈例题中的"逆向思维"教学.
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：G633.6【正文快照】：
数学例题的作用是帮助学生理解数学概念,熟悉解题过程,实现从未知向已知、从知识向能力的转化;同时也是使学生获取数学知识,掌握解题技巧,理解数学思想方法,提高思维能力的主要途径.如何讲解、剖析数学例题应是我们教师在教学过程中的主要工作.笔者在讲授人教版必修4“正弦函
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在小学数学解题中培养学生逆向思维能力
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浅析小学数学教学中逆向思维的培养[ 10:09:28|by:王磊]
浅析小学数学教学中逆向思维的培养江都区小纪镇吴堡小学
王磊摘要：逆向思维作为数学思维的一种形式，蕴育着创新思维的萌芽，它是创造性人才必备的思维品质，也是人们学习、生活和工作中必备的一种思维品质。教师在小学数学教学中应当充分认识到逆向思维的作用和意义，加强从正向思维向逆向思维的培养，高度注重学生逆向思维能力的训练，不仅能进一步完善学生的知识结构、开阔思路，更好地实现教学目标，还能激发学生的思维能力和创新意识、提高学生学习数学的兴趣。关键词：培养 逆向思维 数学三天造十万支箭，在拥有先进技术与充足劳动力的今天，即便加大生产力，积极发展先进技术，连夜赶工，也不能轻松完成这个任务；在缺乏先进的技术和劳动力的蜀国，如果认为一定没有人能完成此任务，则我们就猜错了，老谋深算的孔明压根就没有去造，而是去借，如果猜他是通过向朋友借，那么我们又猜错了，因为孔明是巧妙地向敌人借，并且他成功了。有一天，司马光和一群小伙伴玩耍，一位小伙伴不小心跌入储满水的大缸里，由于缸太高，一时无法让人离开水，小伙伴们都慌了神，这时司马光把缸砸破，让人离开水，这样小伙伴就得救了。“草船借箭”和“司马光砸缸”这两个故事传诵千古的魅力都源于逆向思维。一、逆向思维的概念和特点在数学发展史上，对于某些数学问题，从正面思考遇到困难时人们就倒过来反面思考；在探求某个命题的证明的途径时，如果不能顺利地从条件推出结论，那么从结论出发，进行逆推，就会柳暗花明又一村。（一）什么是逆向思维逆向思维是根据概念、方法、原理、思想及研究对象的特点，从问题的相反或否定的方向进行思考。逆向思维也叫求异思维，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。敢于“反其道而思之”，让思维向对立面的方向发展，从问题的相反面深入地进行探索，树立新思想，创立新形象。当大家都朝着一个固定的思维方向思考问题时，而你却独自朝相反的方向思索，这样的思维方式就叫逆向思维。人们习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法。其实，对于某些问题，尤其是一些特殊问题，从结论往回推，倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化。（二）逆向思维的特点1．普遍性逆向思维在很多方面中都有它的适用性，在小学数学教学中，我们运用逆向思维来简化解题步骤的实例比比皆是，我们的很多数学定理、公式、公理都有其相反面。2．批判性逆向是与正向比较而言，正向是指学习和生活中人们公认的、常规的、或习惯的想法与做法。逆向思维是对常规的挑战。它既能够克服思维定势，也能够破除由经验和习惯造成的僵化的思维模式。3．新颖性运用常规思维和传统方式解决问题的方法有时表面上或短期角度来看虽然简单，但容易造成思维僵化、刻板，难以摆脱思维定势，得到的往往是一些片面的答案。任何事物都具有多方面属性，受过去经验的影响，人们容易看到熟悉的一面，而对另一面却忽视了。逆向思维能够让你看到难以发现的“另一面”。二、小学数学教学中培养逆向思维的意义和作用数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科，透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体的形状及运动的观察中产生，要掌握好数学这门学科，单靠正向思维是不够得，则必须发展学生的逆向思维，在小学数学教学中培养逆向思维有以下三方面的作用和意义：（一）在小学数学中培养逆向思维有助于提高学生的思维敏锐性在教学实践中，对优等生和学困生的解决问题过程作一个跟踪，经过观察分析得出这样一个结论：优等生对一道题能从不同角度、不同方面应用各种方式进行分析遐想，然后就每一种可能进行合理的思维推理，一旦思维受阻，能马上改变思维方式。而中、差生则不然，不但想法单一、缓慢，而且思维一旦受阻，就会停止思维。教师要通过基本方法来训练学生的逆向思维，不仅能够达到简化步骤、事半功倍的效果，同时学生的思维的敏锐性也得到提高。（二）在小学数学中培养逆向思维有助于提高学生的解题能力学生形成的思维定势会造成解题时遇到困难，当正向思维不能解决问题时，通过培养学生的逆向思维，让学生学会反证法、逆推法等能够解决更多的题目，从而提高数学解题能力。另一视角，“在这种学习情境中，要求学习者面对一个结构不良的问题并在问题解决过程中扮演积极的探究者的角色【1】。”对学生应用数学知识及能力的培养，作为新时期数学素质教育的内容之一，应贯穿于整个教学的始终。从形式上看，数学知识是抽象的，但它的内容却是客观的、具体的，从学生所熟悉的生产、生活活动和其他学科的实际问题出发，去提取问题。（三）在小学数学中培养逆向思维有助于提高学生的创新意识逆向思维是创新思维的重要组成，培养创新思维的能力，目前已是一个全球性的问题。逆向思维，在“逆”字上做文章，摒弃常规的顺向思路，把注意力和着眼点放在问题的对立面上，通过对其进行观察，从反面出发独辟蹊径寻求解决问题的策略，能够有效地提高创新意识。而在实际教学过程中教师往往忽视了学生科学教育与人文教育的培养，在教学方法上往往采取的是机械的“填鸭式”的教学方法，不注重理论联系实际；而在教学评估方面，人们往往更多注重的是分数和成绩，只知道一味地死学，机械地记忆，而忽视了活学活用。【2】小学阶段，学生的思维已具有了可逆性，重视对学生进行逆向思维的训练，有利于加速学生思维能力的提高，有利于学生数学素质的提高，有利于创新能力的培养。三、小学数学教学中培养逆向思维的途径根据心理发展阶段的划分小学生处于思想萌芽期。思维发展表现为：开始形成想象思维，具有组织性和创造性，具有独立性和合作性，但是还存在很大的个体差异性。根据小学生以上的思维特征，教师在小学数学教学中逆向思维的培养可以从以下两方面入手：（一）通过重视概念（定义）、公式、法则等的教学培养学生的逆向思维数学概念（定义）总是双向的，在平时的教学中，我们习惯注重的概念及公式、法则等从左到右的运用，于是就形成了思维定势，逆用公式、法则就很迟钝，不习惯，因此在教学中教师要善于有意识地引导启发学生对于概念（定义）、公式、法则等的逆用，加深对知识的理解和掌握。例如在解答应用题“李强和张宁同时从两地相向而行。李强每分钟走30米，张宁每分钟走40米，6分钟后相遇，两地相距多少米？”时，我们可以从问题出发，问题要求的是路程，我们就用“路程=速度×时间”这个数量关系式来求；在这个数量关系式当中时间已知是6分钟，而这里的速度应该是他们的速度和，题目是没有直接给出的，这就要先求它。通过以上的逆向分析得出解答的第一步是先求中间问题速度和，第二步运用“路程=速度×时间”求出结果。运用反向分析，引导逆分解，学生在解答时就有针对性，条理清晰，逻辑严密，防止盲目性，最终准确地求出答案。在教学伊始,对于其他的公式、法则利用其间的数量关系,推导出逆向思维的公式,例如:时间=路程÷速度、速度=路程÷时间等对学生进行有目的的训练。（二）加强某些基本教学方法，促进逆向思维教学的重要内容是数学的基本方法，如逆推分析法、“反证”法以及举反例的方法等都可以看做是培养学生逆向思维的主要途径。1．逆推分析法把问题发生的顺序倒过来，从结论开始，执果索因，逆向推导，逐步还原，以求问题的解决，这种方法称为逆推法。例1：王叔叔第一次去买东西时，用去袋中钱的一半;然后去银行取款150元，取款后再去买衣服，又用去袋中钱的一半，剩下130元。王叔叔第一次买东西时，袋中原有钱多少元?分析：采用逆推法可以先求出第一次余下的钱，然后再求出袋中原有的钱。解：(1)第一次用去后余下：130×2-150=110(元)& &(2)袋中原有钱：110×2=220(元)& & 综合算式：(130×2-150)×2=220(元) 答：袋中原有钱220元。2．“反证”法在教学中重视运用变式的方法精心设计练习，既有正向思维的题目，也有逆向思维的题目，把正逆思维交融在一起,既能帮助学生克服思维定势的消极影响，也能培养学生不能静止地、孤立地、僵化地用一种方法思考问题，使逆向思维不断深化。例如在学生学完了“两位数除法” 后，解答训练题：“2□00÷50＝□8”时，要求学生会转化为竖式。又如在判断“85×63＝×31＝6889”的积是否正确时，有的学生提出再算一遍，教师可以让学生思考有无其他方法，这时有些学生会提出不再算一遍，只要用估算的方法：80×60＝＞4800，所以85×63＝4765是错误的。这种提出反问质疑是“反证”法的雏形，应给予高度的重视，及时发扬，经常训练，持之以恒，促进学生逆向思维的发展。举反例就是通过从对立面给出反例，从而解决问题，它在解决判断题和选择题中有广泛的应用。“说明在课改的进行中，人们遇到了问题，这些问题需要用理性的秩序加以规范，需要对课程改革的动因进行深层阐释，需要对课程改革的具体设施进行更充分的可行性论证，需要加强对课程改革成果的科学判断与评量，并加强对课程改革过程将要出现的新问题的预见能力和调控能力【3】。”3．举反例（1）互逆概念小学数学教学中让学生从正反两面去思考与理解这些知识，不仅对于学生掌握知识本身，还是培养学生逆向思维能力，都具有十分重要的意义。 例如:①3的倒数是（
）；　②1的倒数（
）；　③16是（
）倍数；④（
）的倒数是8； ⑤（ ）的倍数是8；⑥7的约数是（
）；例如：在教学分数的基本性质时出示练习题:把四个相同的圆片分别平均分成2份、4份、8份、16份，并涂上了颜色。如果把每张圆片都看成单位“1”，请你把涂色的部分用分数表示：（如右图）(2) 逆向观察在课堂教学中，除了正面讲授外，我还有意识地挖掘教材中蕴含着的丰富的互逆因素，精心设计互逆式问题，打破学生思维中的定势，逐步增加逆向思维的意识。由上图可以看出，这四个分数所表示的面积都相等，即：组织学生从左向右观察，的分子与分母都同时乘以2，则等于 ；若都同时乘以4得 ；若同时乘以8得 ；可见分数的分子与分母都同时乘以同一个不为零的数，分数的大小不变。再组织学生从右向左观察， 的分子与分母都同时除以2；则等于 ，若都同时除以4得 ；若再同时除以8得 ；可见分数的分子与分母都同时除以同一个不为零的数，分数的大小不变。通过顺向与逆向观察就可以总结出分数的基本性质。有效发挥学生的主动性和积极性，在课堂教学中教师有意识地培养学生的逆向思维，能挖掘智慧的潜力有利于提高学习兴趣和克服困难的信心。荷兰数学家弗赖登塔尔说过：“学习过程必须含有直接创造的侧面，即从学生观点看是创造，通过再创造获得知识与能力，要比被动方式获得的理解更好，也更容易保持。”教师要调动学生的学习自主性，给学生较多的思考、探索发现的时间和空间。教师对学生进行逆向思维的训练始终贯穿在整个教学过程中。 参考文献[1] 袁维新．试论基于建构主义的科学教育理念［J］．外国教育研究，2002，（6）：1-4[2] 丁邦平．科学教育学：一个新兴的教育研究领域[J].外国教育研究，2000, (5):12-16 [3] 赵景木，徐继存．我国课程改革研究20年：回顾与前瞻[J]．课程.教材.教法 ，2002，（1）:3-10
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