有人吗，快快，急死了
明：作△ABC的外接圆及弦BD，使BD=BC=a，则∠BAD=∠BAC& & & & & &又∠CAB=∠CDB，∠BCD=∠CDB，& & & & & &∠CAD=2∠CAB=∠CBA=∠ADC，& & & & & &∠ABD=∠ACD=∠ACB-∠DCB=∠ACB-∠CDB=∠ACB-∠CAB=3∠CAB& & & & & & & & & & &=2∠CAB+∠CDB=∠CBA+∠CDB=∠ADC+∠CDB=∠ADB，& & & & &&∴CD=b，AD=c，& & & & & 由A、B、C、D四点共圆及托勒密定理，得& & & & & ab+ac=bc，∴（1/c）+（1/b）=1/a，即（1/AB）+（1/AC）=（1/BC）
菁优解析考点：．专题：证明题．分析：欲证+=，只需证明=或=即可，为此若能设法利用长度分别为AB，BC，CA及l=AB+AC这4条线段，构造一对相似三角形，问题可能解决．注意到，原△ABC中，已含上述4条线段中的三条，因此，不妨以原三角形ABC为基础添加辅助线，构造一个三角形，使它与△ABC相似，期望能解决问题．解答：证明：延长AB至D，使BD=AC（此时，AD=AB+AC），又延长BC至E，使AE=AC，连接ED．下面证明，△ADE∽△ABC．设∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，则∠A+∠B+∠C=7α=180°．由作图知，∠ACB是等腰三角形ACE的外角，∴∠ACE=180°-4α=3α，∴∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α．从而∠EAB=2α=∠EBA，AE=BE．又由作图AE=AC，AE=BD，∴BE=BD，△BDE是等腰三角形，∴∠D=∠BED=α=∠CAB，∴△ABC∽△DAE，即=，即=∴．点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质问题，能够利用其性质求解一些计算、证明问题．答题：yeyue老师　
其它回答（3条）
证法一：延长BC至E，使得AE=AC；延长AB至D，使得BD=AC；连接DE．∠A：∠B：∠C=1：2：4，则∠A=180/7，∠B=360/7，∠C=720/7，∠EAC=180-2×（180/7+360/7）=180/7，∴∠EAD=180/7+180/7=360/7=∠ABC；∴BE=AE=AC=BD，∠D=（360/7）÷2=180/7=∠BAC．三角形ABC与ADE相似，AD：AB=AE：BC，即：（AB+AC）/AB=AC/BC，1/AB+1/AC=1/BC．证法二：要证1/AB+1/AC=1/BC，等式两边同乘三角形面积的2倍可知，即证AB、AC边上的高之和等于BC边上的高，即图中的AF=CD+BE．（CD、BE、AF为三条高线）∠A：∠B：∠C=1：2：4，则∠A=180/7，∠B=360/7，∠C=720/7，作角B和角C的平分线，分别交AC、AB于H、G，则∠CHB=360/7∠CBA，∠CGB=180-2×360/7=540/7，∠ECB=∠FCA=180/7+360/7=540/7，所以，三角形CDG、BEC、AFC相似．在AC上取一点P，使得CP=CB．过P作BC的平行线，交AF于N；过N作AC的平行线，交CF于M．则三角形NFM与BEC全等，NF=BE．连接PG，三角形CPG与CBG全等，所以，PG=BG=GC．于是可知，三角形APG和PGC均为等腰三角形，则AP=PG=CG．所以，三角形ANP全等于三角形 CDG，AN=CD．所以，AF=AN+NF=CD+BE．即：1/AB+1/AC=1/BC．
三种方法你想用哪一种啊》不明白继续追问
初中解决不了1：2：4的，要高中学了正弦定理（a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R）就能解决了．
&&&&，V2.14752当前位置：
＞＞＞将图中的箭头缩小到原来的1/2，得到的图形是[]A.B.C.D.-九年..
&将图 中的箭头缩小到原来的1/2，得到的图形是&&
题型：单选题难度：中档来源：同步题
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据魔方格专家权威分析，试题“将图中的箭头缩小到原来的1/2，得到的图形是[]A.B.C.D.-九年..”主要考查你对&&相似图形&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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相似图形：如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么称这两个图形相似。相似比：相似多边形对应边的比。注：（1）相似比是有顺序的；（2）全等三角形是相似比为1的两个相似三角形。主要性质：1.对应内角相等2.两个图形对应边成比例如果是正方形，则只要边长成比例就可以，所以所有的正方形，正三角形都相似长方形是长和高对应成比例3.相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。相似图形基本法则:1. 如果选用同一个长度单位量得的两条线段AB,CD的长度分别是m,n那么就说这两条线段的比AB：CD=m:n，或写成AB/CD=m/n。分别叫做这个线段比的前项后项。2. 在地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺。3. 四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段。4. 如果a/b=c/d，那么ad=bc. 如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0)，那么a/b=c/d.5. 如果a/b=c/d，那么(a±b)/b=(c±d)/d；那么（a±kb)/b=(c±kd)/d；那么a/b±ka=c/d±kc6如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0)，那么（a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b.7 如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，（√5-1）/2叫做黄金比。8. 长于宽的比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形。9. 三角形ABC与三角形A’B’C’是形状形同的图形，其中10 各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做&a&相似多边形。11.相似多边形的比叫做相似比。12.三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。若三角形ABC与三角形DEF相似，记作：△ ABC∽△DEF，把对应顶点的字母写在相应的位置上13.探索三角形相似的条件：① 两角对应相等的两个三角形相似。② 三边对应成比例的两个三角形相似。③ 两边对应成比例且夹角相等的两个三角相似。14.相似多边形的性质：① 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。② 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方（或相似比等于面积比的算术平方根）。15.如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。16.位似图形上任一对对应点到位似中心的距离之比和周长比等于位似比，且面积比等于位似比的平方对应角相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。17. 相似具有方向性与传递性。18.位似是特殊的相似。
发现相似题
与“将图中的箭头缩小到原来的1/2，得到的图形是[]A.B.C.D.-九年..”考查相似的试题有：
720902734810693528744942689206689211（易错题）已知：如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC，图中相似三角形共有（　　）
D．_百度知道
（易错题）已知：如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC，图中相似三角形共有（　　）
易错题）已知.baidu://c.hiphotos，图中相似三角形共有（　　）
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中考相似三角形解答题精选
中考相似三角形解答题精选1.（2009年台湾）
某校一年级有64人，分成甲、乙、丙三队，其人数比为4：5：7。若由外校转入1人加入 乙队，则后来乙与丙的人数比为何？ (A) 3：4 (B) 4：5 (C) 5：6 (D) 6：7 。【关键词】比例【答案】A2.（2009年长春）如图，在矩形中，点分别在边上，，，求的长．【关键词】矩形的性质、直角三角形的有关计算、相似三角形有关的计算和证明【答案】解：∵四边形是矩形，AB=6∴∠A=∠D=90°，DC=AB=6又∵AE=9∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=∵，∴，即∴EF=3．（2009年长春）如图，在中，，分别以为边向外作和，使．延长交边于点，点在两点之间，连结．（1）求证：．（2）当时，求的度数．【关键词】平行四边形的性质、相似三角形有关的计算和证明【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB=DC.又∵DF=DC，∴AB=DF.同理EB=AD.在平行四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC.又∵∠EBC=∠CDF，∴∠ABE=∠ADF，∴△ABE≌△FDA.（4分）（2）解：∵△ABE≌△FDA，∴∠AEB=∠DAF.∵∠EBH=∠AEB+∠EAB,∴∠EBH=∠DAF+∠EAB.∵AE⊥AF，∴∠EAF=90°.∵∠BAD=32°，∴∠DAF+∠EAB=90°-32°=58°，∴∠EBH=58°.4.（2009年安徽）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝，AF＝3，求FG的长．【关键词】直角三角形的有关计算、相似三角形有关的计算和证明【答案】（1）证：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM（写出两对即可）以下证明△AMF∽△BGM．∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B∴△AMF∽△BGM．（2）解：当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝分又∵AMF∽△BGM，∴∴又，∴，∴5.（2009年郴州市）如图，在ABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3，（1）求的值，（2）求BC的长【关键词】相似【答案】解：（1）因为所以所以（2）因为，所以所以因为所以所以6.（2009年常德市）如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论．【关键词】相似【答案】△ABE 与△ADC相似．理由如下：在△ABE与△ADC中∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90o，∵AD是△ABC的边BC上的高，∴∠ADC=90o， ∴∠ABE=∠ADC．又∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠BEA=∠DCA．∴△ABE ～△ADC．7.(2009武汉)如图1，在中，，于点，点是边上一点，连接交于，交边于点．（1）求证：；（2）当为边中点，时，如图2，求的值；（3）当为边中点，时，请直接写出的值．【关键词】相似三角形的判定和性质【答案】解：（1），．．，，．；（2）解法一：作，交的延长线于．，是边的中点，．由（1）有，，．，，又，．，．，，，，．解法二：于，．．设，则，．，．由（1）知，设，，．在中，．．．（3）．8.(2009年上海市)已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足（如图1所示）．（1）当AD=2，且点与点重合时（如图2所示），求线段的长；（2）在图中，联结．当，且点在线段上时，设点之间的距离为，，其中表示△APQ的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当，且点在线段的延长线上时（如图3所示），求的大小．【关键词】等腰直角三角形 相似三角形 共高三角形的面积 直角三角形相似的判定【答案】（1）∵Rt△ABD中，AB=2，AD=2，∴=1，∠D=45°∴PQ=PC即PB=PC，过点P作PE⊥BC，则BE=。而∠PBC=∠D=45°∴PC=PB=（2）在图8中，过点P作PE⊥BC，PF⊥AB于点F。∵∠A=∠PEB=90°，∠D=∠PBE∴Rt△ABD∽Rt△EPB∴设EB=3k，则EP=4k，PF=EB=3k∴，=∴函数定义域为（3）答：90°证明：在图8中，过点P作PE⊥BC，PF⊥AB于点F。∵∠A=∠PEB=90°，∠D=∠PBE∴Rt△ABD∽Rt△EPB∴∴=∴Rt△PQF∽Rt△PCE∴∠FPQ=∠EPC∴∠EPC+∠QPE=∠FPQ+∠QPE=90°8. (2009年陕西省)20．小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）．【关键词】利用相似知识测物高【答案】解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，则EH＝AG＝CD＝1.2，DH＝CE＝0.8，DG＝CA＝30．∵EF∥AB，∴．由题意，知FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5．∴，解之，得BG＝18.75．∴AB＝BG+AG＝18.75+1.2＝19.95≈20.0．∴楼高AB约为20.0米．9. (2009年安顺)如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。（1） 求抛物线的解析式；（2） 设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；（3） △AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。【关键词】待定系数法，相似三角形判定和性质【答案】（1）∵抛物线与轴交于点（0，3），∴设抛物线解析式为根据题意，得，解得∴抛物线的解析式为 (5′)(2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）设对称轴与x轴的交点为F∴四边形ABDE的面积====9（3）似如图，BD=；∴BE=DE= ∴,即： ,所以是直角三角形∴,且,∴∽10. （2009山西省太原市）甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为
米．解析：本题考查相似的有关知识，设路灯高为米，由相似得，解得，所以路灯甲的高为9米，故填9.【关键词】相似三角形的应用【答案】9.11. （2009年浙江省绍兴市）定义一种变换：平移抛物线得到抛物线，使经过的顶点．设的对称轴分别交于点，点是点关于直线的对称点．（1）如图1，若：，经过变换后，得到：，点的坐标为，则①的值等于______________；②四边形为（
）A．平行四边形
D．正方形（2）如图2，若：，经过变换后，点的坐标为，求的面积；（3）如图3，若：，经过变换后，，点是直线上的动点，求点到点的距离和到直线的距离之和的最小值．【关键词】平移变换【答案】12.（2009年吉林省）如图，⊙中，弦相交于的中点，连接并延长至点， 使，连接BC、．（1）求证：；（2）当时，求的值【关键词】相似三角形判定和性质【答案】（1）证明：是的中位线，又（2）解：由（1）知，又．13.（2009年宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，直线BC经过点，，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、Q．（1）四边形OABC的形状是
，当时，的值是
；（2）①如图2，当四边形的顶点落在轴正半轴时，求的值；②如图3，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积．（3）在四边形OABC旋转过程中，当时，是否存在这样的点P和点Q，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【关键词】相似三角形有关的计算和证明【答案】解：（1）矩形（长方形）；．（2）①，，．，即，，．同理，，即，，．．②在和中，．．设，在中， ，解得．．（3）存在这样的点和点，使．点的坐标是，．对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求．过点画于，连结，则，，，．设，，，① 如图1，当点P在点B左侧时，，在中，，解得，（不符实际，舍去）．，．②如图2，当点P在点B右侧时，，．在中，，解得．，．综上可知，存在点，，使．14.(2009年义乌)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。（1）当时，折痕EF的长为；当点E与点A重合时，折痕EF的长为；（2）请写出使四边形EPFD为菱形的的取值范围，并求出当时菱形的边长；（3）令，当点E在AD、点F在BC上时，写出与的函数关系式。当取最大值时，判断与是否相似？若相似，求出的值；若不相似，请说明理由。温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！【关键词】相似三角形【答案】解：（1）3，（2）．当时，如图1，连接，为折痕，，令为，则，在中，，，解得，此时菱形边长为．（3）如图2，过作，易证，，当与点重合时，如图3，连接，，，．显然，函数的值在轴的右侧随的增大而增大，当时，有最大值．此时，．综上所述，当取最大值时，，（不写不扣分）．15.（2009恩施市）如图，在中，的面积为25，点为边上的任意一点（不与、重合），过点作，交于点．设，以为折线将翻折（使落在四边形所在的平面内），所得的与梯形重叠部分的面积记为．（1）用表示的面积；（2）求出时与的函数关系式；（3）求出时与的函数关系式；（4）当取何值时，的值最大？最大值是多少？【关键词】相似、二次函数【答案】解:(1)
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C∴△ADE∽△ABC
∴即(2)∵BC=10
∴BC边所对的三角形的中位线长为5∴当0﹤ 时（3）﹤10时，点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形∵S△A'DE=S△ADE=∴DE边上的高AH=AH'=由已知求得AF=5∴A'F=AA'-AF=x-5由△A'MN∽△A'DE知∴（4）在函数中∵0﹤x≤5∴当x=5时y最大为：在函数中当时y最大为：∵﹤∴当时，y最大为：16.（2009年甘肃庆阳）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F．（1）求证：△ACB∽△DCE；（2）求证：EF⊥AB．【关键词】相似三角形【答案】证明：（1）∵∴又 ∠ACB=∠DCE=90°，∴
△ACB∽△DCE．（2）∵ △ACB∽△DCE，∴ ∠ABC＝∠DEC．又 ∠ABC＋∠A =90°，∴ ∠DEC＋∠A=90°．∴ ∠EFA=90°． ∴ EF⊥AB．7．（2009泰安）将一个量角器和一个含30度角的直角三角板如图（1）放置，图（2）是由他抽象出的几何图形，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OD。（1） 求证：DB∥CF。（2） 当OD=2时，若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，求OB。【关键词】相似、切线【答案】证明：（1）连接OF，如图∵AB且半圆O于F，∴OF⊥AB。∵CB⊥AB ，∴BC∥OF。∵BC=OD，OD=OF，∴BC=OF。∴四边形OBCF是平行四边形，∴DB∥CF。（2）∵以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，∠OFB=∠ABC=90°，∴∠A∠OBF∠BOF∵∠OBF=∠BFC，∠BFC＞∠A，∴∠OBF＞∠A∴∠OBF与∠A不可能是对顶角。∴∠A与∠BOF是对应角。∴∠BOF=30°
∴OB=OF/cos30°=18.（2009泰安）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F。（1） 求证：FD2=FB●FC。（2） 若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由。【关键词】相似、垂直【答案】证明：（1）∵E是Rt△ACD斜边中点∴DE=EA∴∠A=∠2∵∠1=∠2∴∠1=∠A...∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A∴∠FDC=∠FBD∵F是公共角∴△FBD∽△FDC∴∴（2）GD⊥EF理由如下：∵DG是Rt△CDB斜边上的中线，∴DG=GC∴∠3=∠4由（1）得∠4=∠1∴∠3=∠1∵∠3+∠5=90°∴∠5+∠1=90°∴DG⊥EF19、（2009江西）问题背景 在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm.丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm.任务要求（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线与相切于点.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段的影长；需要时可采用等式）.【关键词】相似、光影【答案】解：（1）由题意可知：∴∴即∴DE=1200（cm）．所以，学校旗杆的高度是12m．（2）解法一：与①类似得：即∴GN=208．在中，根据勾股定理得：∴NH=260．设的半径为rcm，连结OM，∵NH切于M，∴则又∴∴又．∴解得：r=12．所以，景灯灯罩的半径是12cm．解法二：与①类似得：即∴GN=208．设的半径为rcm，连结OM，∵NH切于M，∴则又∴∴即∴又．在中，根据勾股定理得：即解得：（不合题意，舍去）所以，景灯灯罩的半径是12cm．20. （2009年湘西自治州如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．【关键词】相似三角形的判定和判定【答案】证明：∵DE∥BC，∴DE∥FC，∴∠AED＝∠C又∵EF∥AB，∴EF∥AD，∴∠A＝∠FEC∴△ADE∽△EFC21. （2009年清远）如图，已知是的直径，过点作弦的平行线，交过点的切线于点，连结．（1）求证：；（2）若，，求的长．【关键词】相似三角形有关的计算和证明【答案】（1）证明：是直径是的切线，切点为（2）22.（2009年清远）如图，已知一个三角形纸片，边的长为8，边上的高为，和都为锐角，为一动点（点与点不重合），过点作，交于点，在中，设的长为，上的高为．（1）请你用含的代数式表示．（2）将沿折叠，使落在四边形所在平面，设点落在平面的点为，与四边形重叠部分的面积为，当为何值时，最大，最大值为多少？【关键词】分类讨论思想【答案】解：（1）（2）的边上的高为，当点落在四边形内或边上时，=（0）当落在四边形外时，如下图，设的边上的高为，则所以综上所述：当时，，取，当时，，取，当时，最大，23. （2009年济宁市）如图，中，，，.半径为1的圆的圆心以1个单位/的速度由点沿方向在上移动，设移动时间为（单位：）.（1）当为何值时，⊙与相切；（2）作交于点，如果⊙和线段交于点，证明：当时，四边形为平行四边形.【关键词】相似【答案】(1)解：当⊙在移动中与相切时，设切点为，连，则.∴∽.∴.∵,,∴.∴.(2)证明：∵，，∴∥.当时，.∴.∴.∴.∵∽,∴.∴，∴.∴.∴当时，四边形为平行四边形.24.（2009年宜宾）如图，公园内有一个长5米的跷跷板AB，当支点O在距离A端2米时，A端的人可以将B端的人跷高1.5米，那么当支点O在AB的中点时，A端的人下降同样的高度可以将B端的人跷高
米．【关键词】相似三角形的性质【答案】1.25.（2009年广西钦州）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．（1）求证：BC＝CD；（2）求证：∠ADE＝∠ABD；（3）设AD＝2，AE＝1，求⊙O直径的长．【关键词】切线长定理、相似三角形.【答案】解：（1）∵∠ABC＝90°，∴OB⊥BC．∵OB是⊙O的半径，∴CB为⊙O的切线．又∵CD切⊙O于点D，∴BC＝CD；（2）∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°．∴∠ADE＋∠CDB ＝90°．又∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＋∠CBD＝90°．由（1）得BC＝CD，∴∠CDB ＝∠CBD．∴∠ADE＝∠ABD；（3）由（2）得，∠ADE＝∠ABD，∠A＝∠A．∴△ADE∽△ABD．∴＝．∴＝，∴BE＝3，∴所求⊙O的直径长为3．26.（2009年广西钦州）如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．（1）填空：点C的坐标是_▲_，b＝_▲_，c＝_▲_；（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．【关键词】二次函数、相似三角形.【答案】解：（1）（0，－3），b＝－，c＝－3．（2）由（1），得y＝x2－x－3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）．∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5．由题意，得△BHP∽△BOC，∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5，∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5，∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t．∴OH＝OB－HB＝4－4t．由y＝x－3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）．∴OQ＝4t．①当H在Q、B之间时，QH＝OH－OQ＝（4－4t）－4t＝4－8t．②当H在O、Q之间时，QH＝OQ－OH＝4t－（4－4t）＝8t－4．综合①，②得QH＝｜4－8t｜；（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似．①当H在Q、B之间时，QH＝4－8t，若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，∴t＝．若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，即t2＋2t－1＝0．∴t1＝－1，t2＝－－1（舍去）．②当H在O、Q之间时，QH＝8t－4．若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，∴t＝．若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，即t2－2t＋1＝0．∴t1＝t2＝1（舍去）．综上所述，存在的值，t1＝－1，t2＝，t3＝．27.（2009年莆田）已知，如图1，过点作平行于轴的直线，抛物线上的两点的横坐标分别为1和4，直线交轴于点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点、，连接．（1）求点的坐标；（2）求证：；（3）点是抛物线对称轴右侧图象上的一动点，过点作交轴于点，是否存在点使得与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【关键词】二次函数、抛物线、一次函数、相似三角形（1）解:方法一，如图1，当时,当时,∴设直线的解析式为则　　　解得∴直线的解析式为当时,方法二:求两点坐标同方法一,如图2,作,,垂足分别为、,交轴于点,则四边形和四边形均为矩形,设 3分解得(2)证明：方法一：在中，在中，由（1）得方法二：由 （1）知同理：同理：即（3）存在.解：如图3，作轴，垂足为点 9分又设，则①当时，解得②当时，解得综上，存在点、使得与相似. 14分28.（2009年包头）如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点，，．（1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）点是的中点，交于点，若，求的值．【关键词】圆、切线解：（1），又，．又是的直径，，，即，而是的半径，是的切线．（2），，又，．）（3）连接，点是的中点，，，而，，而，，，，又是的直径，，．，．29. （2009肇庆）．如图 ，在中，，线段 AB 的垂直平分线交 AB于 D，交 AC于 E，连接BE．（1）求证：∠CBE=36°；（2）求证：．【关键词】三角形相似【答案】证明：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴，∴．∵，∴．∴．（2）由（1）得，在△BCE中，，∴，∴．在△ABC 与△BEC中，，，∴．∴，即．故．30. (2009年南充)如图，半圆的直径，点C在半圆上，．（1）求弦的长；（2）若P为AB的中点，交于点E，求的长．【关键词】圆的性质，三角形相似的性质【答案】解：是半圆的直径，点在半圆上，．在中，（2），．，．又，，．31．(2009年温州)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与Y轴和X轴分别交于点A、点8，与反比例函数y一罟在第一象限的图象交于点c(1，6)、点D(3，x)．过点C作CE上y轴于E，过点D作DF上X轴于F．(1)求m，n的值；(2)求直线AB的函数解析式；(3)求证：△AEC∽△DFB．【关键词】反比例函数的定义，待定系数法确定一次函数的解析式，相似的判定【答案】解：（1）由题意得1= ∴m=6∴n= ∴n=2（2）设直线AB的函数解析式为y=kx+b由题意得解得∴直线AB的函数解析式为y=－2x+8。（3）∵y=－2x+8∴A（0，8），B（4，0）∵CE⊥y轴，DF⊥x轴，∴∠AEC=∠DFB=Rt∠∵AE=DF=2，CE=BF=1，∴△AEC≌△DFB。32．(2009年温州)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．0为BC边上一点，以0为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连结DE．
'(1)当BD=3时，求线段DE的长；(2)过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：△FAE是等腰三角形．【关键词】直角三角形、圆的性质，相似的判定，切线的性质，等腰三角形的判定【答案】解：（1）∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，∵DB为直径，∴∠DEB=∠C=90°，又∵∠B=∠B ，∴△DBE∽△ABC∴ 即∴DE=。（2）解法一：连结OE，∵EF为半圆O的切线，∴∠DEO+∠DEF=90°，∵∠AEF+∠DEF=90°，∴∠AEF=∠DEO，∵△DBE∽△ABC，∴∠A=∠EDB，又∵∠EDO=∠DEO，∴∠AEF=∠A，∴△FAE是等腰三角形。解法二：连结OE，∵EF为半圆O的切线，∴∠AEF+∠OEB=90°，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OE=OB∴∠OEB=∠B，∴∠AEF=∠A∴△FAE是等腰三角形。33（2009临沂）如图，抛物线经过三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标．【关键词】抛物线的解析式，相似的性质，二次函数的最值问题【答案】解：（1）该抛物线过点，可设该抛物线的解析式为．将，代入，得解得此抛物线的解析式为．（2）存在．如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为，当时，，．又，①当时，，即．解得（舍去），．②当时，，即．解得，（均不合题意，舍去）当时，．类似地可求出当时，．当时，．综上所述，符合条件的点为或或．（3）如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为．过作轴的平行线交于．由题意可求得直线的解析式为．点的坐标为．．．当时，面积最大．．34.（2009年中山）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，（1）证明：；（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；（3）当点运动到什么位置时，求的值．【关键词】相似三角形有关的计算和证明【答案】（1）在正方形中，，，，．在中，，，．（2），，，，当时，取最大值，最大值为10．（3），要使，必须有，由（1）知，，当点运动到的中点时，，此时．35.（2009年牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且（1）求的值．（2）若为轴上的点，且求经过、两点的直线的解析式，并判断与是否相似？（3）若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点使以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【关键词】三角函数，一次函数，菱形，相似三角形的综合应用【答案】（1）解得在中，由勾股定理有（2）∵点在轴上，由已知可知D（6，4）设当时有解得同理时，在中，在中，（3）满足条件的点有四个36. （2009年凉山州）如图，在方格纸中（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使，并求出点坐标；（2）以原点为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形；（3）计算的面积．【关键词】位似、相似比、面积【答案】（1）画出原点，轴、轴．，（2）画出图形．（3）．37. （2009年济宁市）如图，中，，，.半径为1的圆的圆心以1个单位/的速度由点沿方向在上移动，设移动时间为（单位：）.（1）当为何值时，⊙与相切；（2）作交于点，如果⊙和线段交于点，证明：当时，四边形为平行四边形.【关键词】相似【答案】(1)解：当⊙在移动中与相切时，设切点为，连，则.∴∽.∴.∵,,∴.∴.(2)证明：∵，，∴∥.当时，.∴.∴.∴.∵∽,∴.∴，∴.∴.∴当时，四边形为平行四边形.38. (2009年宁德市)如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．【关键词】四边形中三角形全等和相似的运用解：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形∴AB=AD，AE=AG，∠BAD＝∠EAG＝90o∴∠BAE＋∠EAD＝∠DAG＋∠EAD∴∠BAE＝∠DAG∴△ BAE≌△DAG（2）∠FCN＝45o理由是：作FH⊥MN于H∵∠AEF＝∠ABE＝90o∴∠BAE +∠AEB＝90o，∠FEH+∠AEB＝90o∴∠FEH＝∠BAE又∵AE=EF，∠EHF＝∠EBA＝90o∴△EFH≌△ABE∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE＝FH∵∠FHC＝90o，∴∠FCH＝45o（3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，理由是：作FH⊥MN于H由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90o结合（1）（2）得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG又∵G在射线CD上∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90o∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE∴EH＝AD＝BC＝b，∴CH＝BE，∴＝＝∴在Rt△FEH中，tan∠FCN＝＝＝∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝39.(2009年潍坊)已知，延长BC到D，使．取的中点，连结交于点．（1）求的值；（2）若，求的长．解：（1）过点F作，交于点．为的中点为的中点，．由，得，（2）又．40.(2009年咸宁市)如图，将矩形沿对角线剪开，再把沿方向平移得到．（1）证明；（2）若，试问当点在线段上的什么位置时，四边形是菱形，并请说明理由．40. （09湖南怀化）如图，直线经过⊙上的点，并且⊙交直线于、两点，连接，，．求证：（1）； （2）∽．【关键词】圆的基本性质、切线定理【答案】证明：（1）∵OE=OD，∴△ODE是等腰三角形，又EC=DC，∴C是底边DE上的中点，∴（2）∵AB是直径，∴∠ACB=，∴∠B+∠BAC=，又∠DCA+∠ACO=，∠ACO=∠BAC，∴∠DCA=∠B．又∠ADC=∠CDB，∴△ACD∽△CBD．41．（09湖南怀化）如图11，已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、，与轴的交点为．设的外接圆的圆心为点．（1）求与轴的另一个交点D的坐标；（2）如果恰好为的直径，且的面积等于，求和的值．【关键词】圆的基本性质、三角形相似的判定和性质【答案】解
（1）易求得点的坐标为由题设可知是方程即 的两根，所以，所如图3，∵⊙P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，设它们的交点为点O，连结DB，∴△AOC∽△DOC，则由题意知点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D的坐标为（0，1）（2）因为AB⊥CD， AB又恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为，即又，所以解得42.（09湖北宜昌）（09湖北宜昌）已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合(P不与点D，C重合)， MN为折痕，点M，N分别在边BC， AD上，连接AP，MP，AM， AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P．(1)请你在图1中作出⊙O(不写作法，保留作图痕迹)；(2)与 是否相等？请你说明理由；(3)随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．(图2，3供参考)图1
图3【关键词】矩形的性质与判定、线段的比和比例线段【答案】解：(1)如图；(2)与不相等．假设，则由相似三角形的性质，得MN∥DC．∵∠D=90°，∴DC⊥AD，∴MN⊥AD．∵据题意得，A与P关于MN对称，∴MN⊥AP．∵据题意，P与D不重合，∴这与"过一点（A）只能作一条直线与已知直线（MN）垂直"矛盾．∴假设不成立．∴不成立．(2) 解法2：与不相等．理由如下：∵P， A关于MN对称，∴MN垂直平分AP．∴cos∠FAN=．∵∠D=90°， ∴cos∠PAD=．∵∠FAN=∠PAD，∴=．∵P不与D重合，P在边DC上;∴AD≠AP．∴≠;从而≠．(3)∵AM是⊙O的切线，∴∠AMP=90°，∴∠CMP＋∠AMB=90°．∵∠BAM＋∠AMB=90°，∴∠CMP=∠BAM．∵MN垂直平分，∴MA=MP，∵∠B=∠C=90°， ∴△ABM≌△MCD．∴MC=AB=4， 设PD=x，则CP=4－x，∴BM=PC=4－x． (5分)连结HO并延长交BC于J．∵AD是⊙O的切线，∴∠JHD=90°．∴矩形HDCJ． (7分)∴OJ∥CP， ∴△MOJ∽△MPC，∴OJ:CP=MO:MP=1:2，∴OJ=(4－x)，OH=MP=4－OJ=(4＋x)．∵MC2= MP2－CP2，∴(4＋x)2－(4－x)2=16．解得:x=1．即PD=1，PC=3，∴BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7．由此画图(图形大致能示意即可)．（3）解法2：连接HO，并延长HO交BC于J点，连接AO．由切线性质知，JH⊥AD，∵BC∥AD，∴HJ⊥BC，∴OJ⊥MC，∴MJ=JC．∵AM，AH与⊙O相切于点M，H，∴∠AMO=∠AHO=90°，∵OM=OH， AO=AO，∴Rt△AMO≌Rt△AHO．∴设AM=x，则 AM=AH=x，由切线性质得，AM⊥PM，∴∠AMP=90°，∴∠BMA+∠CMP=90°．∵∠BMA+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CMP ，∵∠B=∠MCP=90°，∵MN为AP的中垂线，∴AM=MP．∴△ABM≌△MCP ．∴四边形ABJH为矩形，得BJ=AH=x，Rt△ABM中，BM=，∴MJ==JC，（9分）∴AB=MC．∴4=2()，∴∴AD=BC==7，∴PC==3．由此画图(图形大致能示意即可)．43. （2009年湖北荆州）21．（7分）如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，N是线段BC上一点（不与B﹑C重合），过N作AB的垂线交AB于M，交AC的延长线于E，过C点作半圆O的切线交EM于F.⑴求证：△ACO∽△NCF；⑵若NC∶CF＝3∶2，求sinB 的值.【关键词】相似三角形综合【答案】44.（2009年茂名市）如图，在中，点是边上的动点（点与点不重合），过动点作交于点（1）若与相似，则是多少度？ （2分）（2）试问：当等于多少时，的面积最大？最大面积是多少？ （4分）（3）若以线段为直径的圆和以线段为直径的圆相外切，求线段的长．（4分）【关键词】二次函数、圆、相似综合题【答案】（1）当△ABC 与△DAP 相似时，∠APD的度数是60°或30°．（2）设，∵，，∴，又∵，∴，，∴，而，∴．∴PC 等于12时，的面积最大，最大面积是．（3）设以和为直径的圆心分别为、，过 作 于点，设的半径为，则．显然，，∴，∴，∴，，又∵和外切，∴．在中，有，∴，解得：， ∴．45.（2009年湖北十堰市）如图①，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.(1) 求证：DE－BF = EF．(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由．(3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．【关键词】正方形的性质与判定、多边形相似【答案】(1) 证明:∵ 四边形ABCD 是正方形, BF⊥AG , DE⊥AG∴ DA=AB， ∠BAF + ∠DAE = ∠DAE + ∠ADE = 90°∴ ∠BAF = ∠ADE∴ △ABF ≌ △DAE∴ BF = AE ,
AF = DE∴ DE－BF = AF－AE = EF（2）EF = 2FG
理由如下：∵ AB⊥BC , BF⊥AG , AB =2 BG∴ △AFB ∽△BFG ∽△ABG∴∴
AF = 2BF , BF = 2 FG由(1)知,
AE = BF，∴ EF = BF = 2 FG(3) 如图DE + BF = EF46．（2009年山东青岛市）如图，在梯形ABCD中，，，，，点由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交于Q，连接PE．若设运动时间为（s）（）．解答下列问题：（1）当为何值时，？（2）设的面积为（cm2），求与之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由．（4）连接，在上述运动过程中，五边形的面积是否发生变化？说明理由．【关键词】全等三角形的性质与判定、相似三角形判定和性质、平行四边形有关的计算【答案】解：（1）∵∴．而，∴，∴．∴当．（2）∵平行且等于，∴四边形是平行四边形．∴．∵，∴．∴．∴．．∴．过B作，交于，过作，交于．．∵，∴．又，，，．（3）．若，则有，解得．（4）在和中，∴．∴在运动过程中，五边形的面积不变．47.（2009年广东省）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点， 当点在上运动时，保持和垂直，（1）证明：；（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；（3）当点运动到什么位置时，求此时的值．【关键词】正方形的性质；相似三角形判定和性质；直角梯形；与二次函数有关的面积问题；二次函数的极值问题；相似三角形有关的计算和证明【答案】解：（1）在正方形中，，，，，在中，，，，（2），，，，当时，取最大值，最大值为10．（3），要使，必须有，由（1）知，，当点运动到的中点时，，此时．48.（2009年山西省）如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合．（1）求的面积；（2）求矩形的边与的长；（3）若矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围．【关键词】一次函数的几何应用；一次函数与二元一次方程；矩形的性质；特殊平行四边形相关的面积问题；相似三角形有关的计算【答案】（1）解：由得点坐标为由得点坐标为∴由解得∴点的坐标为∴（2）解：∵点在上且∴点坐标为又∵点在上且∴点坐标为∴（3）解法一：当时，如图1，矩形与重叠部分为五边形（时，为四边形）．过作于，则∴即∴∴即当时，如图2，为梯形面积，∵G（8－t,0）∴GR=,∴当时，如图3,为三角形面积，49.（2009 黑龙江大兴安岭）已知：在中，，动点绕的顶点逆时针旋转，且，连结．过、的中点、作直线，直线与直线、分别相交于点、．（1）如图1，当点旋转到的延长线上时，点恰好与点重合，取的中点，连结、，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论（不需证明）．（2）当点旋转到图2或图3中的位置时，与有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．【关键词】三角形中位线、平行线的性质、阅读理解题【答案】图2：图3：证明：如图2，取的中点，连结、∵是的中点，是的中点，∴，，∴．同理，，，∴∵，∴,∴∴．证明图3的过程与证明图2过程给分相同.50. （2009年崇左）如图，中，分别是边的中点，相交于．求证：．【关键词】三角形的相似。利用中点做辅助线可得。连接两中点可利用中位线知识得到其结果。【答案】证明：连结，分别是边的中点，，，，．51. （2009东营）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．（1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时△EMN的面积；（2）设MN与AB之间的距离为米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．【关键词】二次函数与面积，相似【答案】解：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN应位于DC下方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米.所以，S△EMN= =0.5（平方米）.即△EMN的面积为0.5平方米.（2）①如图1所示，当MN在矩形区域滑动，即0＜x≤1时，△EMN的面积S= = ；②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，即1＜x＜ 时，如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，∵ E为AB中点，∴ F为CD中点，GF⊥CD,且FG＝ .又∵ MN∥CD，∴ △MNG∽△DCG．∴
，即 ．......4分故△EMN的面积S＝＝ ；综合可得：（3）①当MN在矩形区域滑动时， ，所以有 ；②当MN在三角形区域滑动时，S= .因而，当 （米）时,S得到最大值，最大值S= = = （平方米）.
，∴ S有最大值，最大值为 平方米.52.（2009年枣庄市）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．【关键词】黄金矩形【答案】证明：在正方形ABCD中，取，∵ N为BC的中点，∴ ．在中，．又∵ ，∴ ．∴ ．故矩形DCEF为黄金矩形．53. （2009年厦门市）已知：在中，．（1）设的周长为，，（≤≤）．写出关于的函数关系式，并在直角坐标系中画出此函数的图象；（2）如图，是线段上一点，连接，若．求证：．【关键词】一次函数的图象，相似三角形【答案】（1）解：y＝7－2x（2≤x≤3）画直角坐标系画线段（2）证明：∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C.∵ ∠B＝∠BAD，∴ ∠BAD＝∠C.又∵ ∠B＝∠B，∴.【关键词】三角形三边关系【答案】B54.（2009年赤峰市）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=k/x的图象交于A、B、两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA=
，tan∠AOC=1/3，点B的坐标为（m，-2）。（1）求反比例函数的解析式（2）求一次函数的解析式（3）在y轴上存在一点P，是的△PDC与△ODC相似，请你求出P点的坐标。55.（2009年绵阳市）如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC =∠BPC = 60?，AB与PC交于Q点．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）求证：；（3）若∠ABP = 15?，△ABC的面积为4，求PC的长．【关键词】圆的性质，相似三角形，三角函数【答案】（1） ∵ ∠ABC =∠APC = 60?，∠BAC =∠BPC = 60?，∴ ∠ACB = 180?－∠ABC－∠BAC = 60?，∴ △ABC是等边三角形．（2）如图，过B作BD∥PA交PC于D，则 ∠BDP =∠APC = 60?．又 ∵ ∠AQP =∠BQD，∴ △AQP∽△BQD， ．∵ ∠BPD =∠BDP = 60?， ∴ PB = BD． ∴ ．（3）设正△ABC的高为h，则 h = BC· sin 60?．∵ BC · h = 4， 即BC · BC· sin 60? = 4，解得BC = 4．连接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E．由△ABC是正三角形知∠BOC = 120?，从而得∠OCE = 30?，∴ ．由∠ABP = 15? 得 ∠PBC =∠ABC +∠ABP = 75?，于是 ∠POC = 2∠PBC = 150?．∴ ∠PCO =（180?－150?）÷2 = 15?．如图，作等腰直角△RMN，在直角边RM上取点G，使∠GNM = 15?，则∠RNG = 30?，作GH⊥RN，垂足为H．设GH = 1，则 cos∠GNM = cos15? = MN．∵ 在Rt△GHN中，NH = GN · cos30?，GH = GN · sin30?．于是 RH = GH，MN = RN · sin45?，∴ cos15? =．在图中，作OF⊥PC于E，∴ PC = 2FD = 2 OC ·cos15? =．56.(2009年梅州市)如图 ，梯形ABCD中，，点在上，连与的延长线交于点G．（1）求证：；（2）当点F是BC的中点时，过F作交于点，若，求的长．【关键词】相似三角形【答案】（1）证明：∵梯形，，∴，∴．（2） 由（1），又是的中点，∴，∴又∵，，∴，得．∴，∴．