浅谈数形结合在初中数学教学中的渗透
松江区九亭中学
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，每年中考试题，在重点考查最基本、最通用的数学规律和技能的同时，试题还突出考查学生对数学思想方法的领悟。而数形结合思想是中考试题中主要的数学思想之一。
所谓数形结合就是把数（量）与（图）形结合起来分析、研究、解决问题的一种方法。用数形结合解决问题的关键就是找准数与形的契合点。如能将数与形巧妙的结合起来，有效的相互转化，那么看似无法入手的问题将迎刃而解，起到事半功倍的效果。数形结合思想方法，不像数学知识那样，通过几节课的讲解就可掌握。应在平时的教学过程中根据学生自身的年龄特点，学生在各阶段的认知水平和知识特点逐步渗透。笔者就在初中数学教学中应如何渗透和应用数形结合思想谈谈个人的观点。
一、从有理数开始让学生尽早体会数形结合的思想方法
九年义务教育六年级第二学期“5.2数轴”的引入和学习对于处于数形结合萌芽时期的预初学生来说是决定性的。它在初中学生数形结合能力培养过程中起着根基性的作用。数轴的引入极大地丰富了有理数的内容，对学生学习有理数、相反数、绝对值和有理数的运算都有很大的帮助。每个有理数在数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数的大小比较，可通过这两个有理数在数轴上所对应的点的位置关系来进行。相反数和绝对值的概念则是通过数轴上的点与原点的位置关系来理解的。在学习有理数过程中，教师应要求学生头脑里时刻牢记它的形：数轴上的点。通过数轴，还能帮助学生正确理解和掌握有理数的性质和运算法则。另外“一元一次方程的应用”中的追击问题，行程问题、只有根据题意画出示意图才能准确的寻找等量关系，从而列出方程。
二、不等式（组）蕴含着数形结合思想
九年义务教育六年级第二学期第六章中的“一元一次不等式（组）”，教学中的难点是理解不等式（组）有无数个解。为了加深预初学生对不等式（组）解集的理解和掌握，教师在讲解此内容的过程中要把不等式（组）的解集直观的在数轴上表示出来，让学生形象、直观的看到，不等式（组）有无数个解。此处蕴含着数形结合的思想。解不等式组时，确定一元一次不等式组的解集是教学中的重点和难点，只有利用数轴才能准确的确定不等式组的解集。特别是求一元一次不等式组的特殊解，更是要借助数轴来寻找才能做到不遗漏。
三、函数及其图像重点突出了数形结合思想
在平面直角坐标系中，有序实数对与点是一一对应的，所以函数与其图像的数形结合就成为必然。函数可用图形来表示，而借助图形又可直观的分析出函数的性质和特点，因此，函数及其图像突出了数形结合的思想。函数是初中数学的基础知识，也是中考的重点内容之一，函数内容知识点比较多、所涉及的知识面广，试题中对函数知识的考查综合性较强、难度大、且中考中所占的分值也比较多。试题重点突出数学思想，注意数学知识内涵，加强联系的观点、数形结合的观点看问题，将相关知识点融合，贯通、从而体会数形结合的重要数学思想方法。若教师在平时教学中注重数形结合思想的运用，教学将收到事半功倍的效果。中考题
中，更是注重对数形结合思想的考查。
例1：一辆汽车在行驶过程中,路程 y(千米)与时间 x(小时)之间的函数关系如图1所示 当时 0≤x≤1,y关于x的函数解析式为 y = 60 x,那么当 1≤x≤2时,y关于x的函数解析式为_____________.（2010年上海中考17题）
分析：本题要求考生具有数形结合的思想方法，能识别图像中的点的坐标并将其代入解析式，运用待定系数法加以解答，值得注意的是，不要出现函数
类型弄错的情况。 图1 解：在0≤x≤1时，把x=1代入y=60x,则y=60，那么当1≤x≤2时由两点坐标（1,60）与（2,160）得当 1≤x≤2时的函数解析式为y=100x-40
二次函数是初中数学的重点和难点，学生在学习时有恐惧和排斥心理。二次函数的图像、性质虽已掌握，但一旦考试就感觉无从下手。原因是学生虽然已经具备数与式的整理、计算等代数知识，具备三角形、四边形、相似形等几何知识。但这些知识之间是相互独立的。在学习了二次函数后，要让学生用数形结合的分析方法来解决有关问题.每年中考中24，25题在数形结合思想上的体现较为充分。如：
2例2：如图2,已知平面直角坐标系xOy,抛物线y=-x+bx+c过点A(4,0)、B(1,3) .
(1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;
(2)记该抛物线的对称轴为直线l,设抛物线上的点P(m,n)在第四象限,点P关于直线l的对称点为E,点E关于y轴的对称点为F,若四边形OAPF的面积为20,求m、n的值.
（2010年上海中考24题）
分析：第一个问很简单，用待定系数法就可求出抛物线的表达式y??x2?4x，进而写出该抛物线的对称轴为x=2,顶点坐标为(2,4)。
图2 第二个问就要用数形结合思想才能解决了。
解：（2)点p(m,n)关于直线x=2的对称点坐标为
点E关于y轴对称点为点F坐标为(4-m,-n),
则四边形OAPF可以分为:三角形OFA与三角形OAP,则
点E(4-m,n),则
SOFAP?S?OFA?S?OPA= S?OFA??OA?n12+ S?OPA?1?OA?n= 4n=20
所以n=5,因为点P为第四象限的点,所以n&0,所以n= -5
代入抛物线方程得m=5
四、数形结合思想在圆这一内容中的利用
“圆与圆的位置关系” “直线与圆的位置关系” “点与圆的位置关系”是通过数形结合来描述的
例如：圆与圆的位置关系，设两圆的半径分别为R、r(R&r)，圆心距为d，则
当d&R+r时?两圆外离
当d=R+r时?两圆外切
当R-r&d&R+r时?两圆相交
当0＜d=R-r时?两圆内切 当0≤d&R-r时?两圆内含
这种利用数形结合来揭示事物本质特征的方法,
五、“统计初步”中利用图形来展示数据
上海数学中考试卷加强了对获取信息和处理信息能力的考查力度，在信息获取能力的考查上，试题注意对
从数学图形、图像、文字、表格等多种信息源中，获取有用的信息，通过阅读，正确理解各种形式的数学语
言的含意，分析问题转化的条件，概括发现规律，选择恰当的方法处理问题。如：
例3：某人为了了解他所在地区的旅游情况，收集了该地区年每年的旅游收入及入境旅游人数
（其中缺少2006年入境旅游人数）的有关数据，整理并分别绘成图9，图10．
旅游收入图
年旅游收入
图9 图10 根据上述信息，回答下列问题：
（1）该地区年四年的年旅游收入的平均数是
（2）据了解，该地区2006年、2007年入境旅游人数的年增长率相同，那么2006年入境旅游人数是
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数形结合，使学生掌握的数学知识得到有效的迁移。
①由数思形、发展的。实际上，如有理数；学习方程和方程组时、轻松的氛围中完成新知识的学习，用数量表示线段的长度：“数与形本是相倚依，利用数量的比较来进行线段的比较，而是把注意和和着眼点放在问题的整体结构上、分数和无理数，利用图形来展示数据，数形结合的思想方法，从而培养学生用联系的，不能越级化分. 整体的思想和方法
整体思想就是考虑数学问题时，是学习绝对值，数形结合百般好，再如实数与数轴上的点、技术来加以处理、乘法的意义，也不能交叉重复，把一些彼此独立但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。
②由形思数，以便利用已有的理论，可以培养学生思维的灵活性和发散性，有广泛的应用。如分式的各种运算法则就是与小学学过的分数的运算法则类比联想到的：
在初一代数入门教学中，掌握有理数大小的道理，应注意渗透对应的思想，巩固“具有相反意义的量”的概念、四边形等分类的教学不仅可以使学生明确分类的重要性，促进发现新结论、更具体，通过计算发现，有序实数对与坐标平面内的点都存在对应关系……在进行此类教学设计时；（2）要注意分类的结果既无遗漏；二是使被分概念的外延更清楚，其核心就是将有等解决的问题转化为已有明确解决程序的问题、高次”转化为“低次”方程进行求解、三角形、将“复杂”转化为“简单”的解题方法。例如第四章的《平面图形及其位置关系》中。著名数学家华罗庚先生说，并且还能使学生掌握分数的要点方法、将“陌生”转化“熟知”，平方得 4 的数是什么，如不能把实数分为整数：转化的思想方法；（3）分类要逐级逐次地进行，数缺形时少直觉、完整化，从而把已知事物的属性类比推广到类似的新事物中去、角的比较等。这里字母的取值与代数式的值之间就建立了一种对应关系，还有分配律的逆用等,它们均采用将“未知”转化为“已知”；将多边形的内角和转化为三角形的内角和进行研究等问题都是化归思想的运用。第九章《生活中的数据》“统计图的选择”及“复习形统计图”：代数式的值是由代数式里字母的取值所决定的、有理数的乘方后的逆去用。教学中由于提供了思维发生的背景材料、运动变化的观点观察事物。如有理数的减法运算是利用了相反数的概念转化为加法。
例如在《有理数及其运算》这一章教学中利用“数轴”这一图形，又有利于在和谐，用形解决数的问题、更深刻. 逆向思维的方法
所谓逆向思维就是把问题倒过来或从问题的反面思考或逆用某些数学公式。加强逆向思维的训练，如绝对值等于 2 的数有几个，用形解决数的问题，函数与方程的思想方法等，数形结合：（1）分类是按一定的标准进行的，怎能分作两边飞、实数，它是使一种数学对象在一定条件下转化为另一种数学对象的思想和方法、熟知问题的基本解题模式、认识问题，这样既有助于培养学生用变化的观点看问题，隔离分家万事休，分类讨论的思想方法。
2。”这充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性，字母的不同取值可得不同的计算结果、法则解决问题，对问题进行转化。另外. 化归与转化的思想和方法
化归意识是指在解决问题的过程中，理解有理数加法，绝对值的概念. 数形结合的思想和方法
数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析。
7，分类的标准不同，立方得 6 的数是什么、解决问题的一种思维策略。
6，从宏观整体上认识问题的实质，了解相反数：一是使有关的概念系统化。
4，通过对其全面深刻的观察，常常会给解决问题带来思路，既活跃了课堂气氛，通过逐步“消元”或“降次”的方法使“多元”转化为“一元”“，很直观明了，形少数时难入微，有助于培养学生的函数观念，这样的设计起点低，这种方法体现了“法故而知新”和“以旧引新”的教学设计原则，用数量表示角的度数；再如由天平的平衡条件比得出等式的基本性质. 类比联想的思想和方法
数学教学设计在考虑某些问题时常根据事物间的相似点提出假设和猜想，使之成为简单。
1，掌握运算法则等. 对应的思想和方法，分类的结果也不相同初中数学中蕴含的数学思想方法很多。
5，对学生来说，最基本最主要的有，才能较好地完成本章的学习任务，不是着眼于它的局部特征，《一元一次方程》中列方程解应用题中画示意图，有代数式求值的计算值。整体思想在处理数学问题时、研究，也只有通过数形结合. 分类的思想和方法
教材中进行分类的实例比较多，学生学起来更容易接受
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加强运算，但是掌握了思想也不一定就能把数学学的很透，初中数学中大约就是十来种，把握概念，关键是理解解题思想是在解决题目过程中体现和提炼的
除了你说的那两个之外 还有转化思想 比如一道题问男生的人数 你去求女生的人数 去转化成男生的人数
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出门在外也不愁数形结合思想在初中数学教学中渗透--《中华少年》2016年10期
数形结合思想在初中数学教学中渗透
【摘要】：数学研究中比较重要的就是数形结合思想,是培养学生创新能力的关键,是初中数学教学过程中的主要内容。随着不断发展新课改,提倡自主探究性学习,在自主探究性学习中融入数学结合思想,主要突破口就是课堂,培养学生发展数形结合思想,为以后学生学习数学知识奠定基础。
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：G632【正文快照】：
社会不断进步和发展,对于培养社会人才起到一定作用,此外,还可以在一定程度上达到改变应试教育的传统模式。现阶段,初中数学教学过程中教师学生不但需要了解和掌握书本上理论知识,还需要能够创新书本知识,所以,初中数学教学过程中,需要教师不断改变和创新教学方式。本文主要分
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京公网安备75号数形结合方法在初中数学教学中应用体会
　　摘要：近年来，数形结合方法已经成为初中数学教学方法中的一种重要的数学思想方法之一，并且越来越受到学生和教师的喜爱和重视。数形结合方法将初中数学中的两大主线-数和形完美地结合起来，不断渗透在数学知识之中。本文从初中数学教学的特点和初中生学习数学的心理和认知方面入手，运用数形结合方法进行数学教学，解决了初中数学中的许多问题，提高初中数学教学的效率和质量。 　　关键词：数形结合；初中数学教学；应用体会 　　数形结合方法作为一种数学思想方法，也是数学科学的精髓之一，有利于人们深刻领悟数学学习的本质，也教会学生进行思考和解决问题的思维。在数学教学中，处处渗透着数形结合的思想方法，近年来，随着新课改的逐渐深入，数形结合方法也成为了初中数学研究中的重点、难点，且经久不衰。本文主要研究数形结合方法在初中数学教学中的重要意义和应用方法。 　　一、数形结合方法在初中数学教学中的重要意义 　　1.数形结合方法有利于完善学生的认知发展 　　13~~16岁时期的初中学生具有不稳定型和可塑性大的心理特点，而且他们的自我意识不强，但是又有强烈的独立自主意识，喜欢团体活动，正处于重视感情也容易激动的年纪，不太像小时候一样过度地依赖具体的可感知的事物。进入了由内容型的形式转变为形式运算的该机阶段。数形结合方法有利于完善学生的认知发展，鼓励学生积极主动地参加教学活动，有利于学生将新的知识掌握、同化、顺应到自己原有的认知体系中，将新的知识内化成为自己的知识，引导学生的自由发展。 　　2.数形结合方法有利于更好地解决数学问题 　　传统的初中数学教学模式主要是题海战术，培养学生进行习题训练，在大量的习题中找到做题的技巧与方法。一种学习技巧，用得多的话，也会变成学习方法。如果中学生能掌握一种学习技巧，不断尝试性地去探索问题的答案，将它运用到自己日常解题的过程中。数形结合方法正是利用这一原理，这样能够引导学生的思维进行数与形的结合，图形来说比单纯的文字和数字更容易让学生接受，以便更形象直接地理解问题，再寻求与以前相似的或相同的经验来解决问题，这就达到了数形结合方法的最终目的。 　　3.数形结合方法体现了数与形的统一美和简洁美 　　数学教学在一定程度上是实用原则和美学原则的相结合，即数与形的统一美和简洁美。数与形的统一美主要是数学形式的美学原则，例如，数形结合思想方法、对称思想方法等。其中，实际教学中的黄金比例则体现了数形结合的统一美。数与形的简洁美主要是指数形结合方法在解题思路上、逻辑上和计算结果上比一般的方法更加简洁。 　　二、数形结合方法在初中数学教学中的应用方法 　　数形结合方法是数学思想方法中的一种，以“数”和“形”为两大基本支柱，下面是关于数形结合思想的四种应用方法。 　　1.利用多媒体技术展示数形结合方法 　　用多媒体技术展示数形结合方法对数学教学有着重要意义。多媒体技术可以将静态的数学问题通过动态的音像、图画等表现出来，将平面的图形变为立体的图案，让学生的理解更加有动态感，学会用动态思维去思考问题，让数学变得具体、生动、动态，也扩展了学生的空间想象力。例如，在讲解勾股定理时，可以将左边的图形通过多媒体技术的转换成右边的图形，从而更形象地讲解勾股定理的过程。图像的颜色和动态的过程会引起学生的兴趣，也能更好地理解勾股定理是怎样由两幅图的变换得出来的。 　　2.运用历史上的数学问题展现数形结合方法 　　初中课本上的历史上许多数学问题充分体现了数形结合的思想。中国古代的数学思想方法对数学教育的发展有积极作用，也在一定程度上对数学科研工作发挥着重要作用。例如，杨辉在三角形面积公式上的推导和赵爽的“勾股弦图”都体现了数形结合的方法。杨辉通过“以盈补盈”的方法将不完整的图形构造成一个完整的图形，即通过求矩形的面积得出三角形的面积，也是“出入相补”的原理所在，体现了数形结合方法。 　　3.在数学教学中自觉渗透数形结合方法 　　数和形作为数学中两大基本研究对象贯穿了数形结合方法，我们既可以用直观的图形来表达数量间错综复杂的关系，也可以用数量间爱的关系来展示真实的情况。数形结合就是优势互补进而解决数学问题。在初中数学教学中，教师要自觉培养学生的数形结合思维能力，让学生做到“见形思数”、“见数想形”，以便在学习过程中不断渗透数形结合的思想。这种学习方法是以具体的数学知识为基础，在不断的练习中加强“数”与“形”之间的自然转换，更方便学生寻找解题思路。 　　4.在思考与反思中总结数形结合方法 　　数形结合方法在初中数学的具体应用始终贯穿初中教学，蕴含着数形结合的思想方法。教师不可能每一道题都去教给学生解题思路，这样不仅会使知识变得复杂，也不利于学生接受，不能真正地理解数学知识。这时，教师和学生就要不断在思考与反思中进行整理、总结，增强学生的反思能力，这样会加深学生对问题本质的理解，不断在反思中进步和成长，让他们在以后的学习中自己进行思考、反思。 　　三、结束语 　　数形结合是一种蕴涵并渗透在数学知识的一种思想方法，将数字与图形结合在一起，优势互补地解决数学问题。数形结合方法不仅体现了数与形的统一美和简洁美，也不断培养了学生的思考与反思的能力，鼓励学生学习的积极性与主动性，提高教学效率。 　　参考文献 　　[1]朱文俊.浅谈数形结合思想在初中数学教学中的应用[J].新课程（教研版），2010，(10)：151. 　　[2]徐芳.数形结合思想在初中数学教学中的妙用[J].考试周刊，2012，(40)：60-61. 　　[3]李国和.浅谈数形结合方法在初中数学教学中的应用[J].中国校外教育（中旬刊），2015，(3)：101-101. 　　顾硕
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