单调有界数列必有极限的前n项和极限与首项的关系，怎么用？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-09-12 22:18 标签： 数列极限的定义
数列、极限、数学归纳法?数列通项公式与前n项和公式关系_百度文库
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数列、极限、数学归纳法?数列通项公式与前n项和公式关系
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一. 教学内容：数列的应用问题、数列的极限和归纳法二. 教学要求：1. 了解数列的一般应用问题，理解&复制&的概念及相关的应用问题，能建立较典型问题的数学模型。2. 了解数列极限的概念，掌握极限的四则运算法则，会求某些数列的极限。3. 理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。三. 串讲1. 零存整取和按揭贷款问题（见例题选讲）2. 数列极限的概念
3. 常用的极限
4. 数列极限的运算法则：
5. 无穷递缩等比数列的各项和{an}为等比数列，q＜1则称{an}为无穷递缩等比数列。
6. 求数列极限的常用①求分子、分母都含有关于n的代数式或指数式的数列的极限，可将分子分母同除以分母的最高次幂（即无穷小量分出法），再求极限。②利用有理化因子变形；③求和式极限时，一般先求和，再求极限； ⑤求含有参数的式子的极限时，注意对参数的值进行分类讨论，分别确定极限是否存在，若存在求出值。7. 数学归纳法数学归纳法是一种证明与自然数n有关的数学命题的证明方法。（1）数学归纳法的步骤：（分三步）①验证n取第一个值n0时命题f(n0)正确。（是递推基础）；②假设n＝k（k&N，k&n0）时命题f(k)正确，证明n＝k＋1时命题f(k＋1)也正确。（是递推的依据）；③由①、②可知对任意n&n0命题f(n)都正确。（结论）。（2）用数学归纳法证明命题f(n)时，难点在第二步。即假设n＝k，f(k)成立，推出n＝k＋1时f(k＋1)也成立，在推导中必须用到&归纳假设&，而此步骤证明的是&结构相同&。如：用数学归纳法证明 ∴等式成立。 则n＝k＋1时 （与k时的结构相同）∴当n＝k＋1时，等式也成立。 解：由递推公式算出前几项
再用数学归纳法证明：&【典型例题】例1. 零存整取和按揭贷款问题（1）利息计算：①单利：每期都按初始本金计算利息，当期利息不计入下期本金。例如：某人存入银行1万元现金，年利率5%，三年后一次性取出，本利和为多少？ 结论：按单利计算，每期的本利和组成等差数列，按复利计算，每期的本利和组成等比数列。（2）零存整取储蓄（单利）本利和计算模型，若每期存入本金P元，每期利率为r，当n期后，本利和为Sn。
P?D贷款 r?D利率 n?D还款期数 例如：某企业为筹划资金A元，以年利率r每年按复利计算利息。在当年年初借入，前m年这段时间内不还款，从第m＋1年开始每年末按一定的金额a元偿还，并在后继的n年中还清借款的本利和，试求a的表达式。解：从借入之日到偿还付清须（m＋n）个年份，故A元的本利和是：A(1＋r)m n元 ①而偿还金额的本利和是：
例2. 可化成递推关系的问题。（1）等差型递推关系式： （2）等比型递推关系式：
∴该职工第十二个月底有余款700元。例3. 甲、乙两企业，2000年的销售量均为P（设2000年为第一年），根据市场分析和 ①求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式；②根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年销售量不足另一企业年销售量的20%，则该企业将被另一企业收购。试判断，哪一个企业将被收购？这种情形将在哪一年出现？解：设甲企业前n年的总销量为Sn，第n年的销量为an，乙企业第n年的销量为bn，则依题意可得：
例5. 在一系列球中，第一个球的半径为1，第2个球的直径等于第一个球的半径，第3个球的直径等于第二个球的半径，依次类推，求所有这些球的表面积之和与体积之和。解：设由球的半径组成的数列为{rn}
因此由这些球的表面积、体积都组成等比数列，
例6. 已知a＞0且a&1，数列{an}是首项为a，公比也为a的等比数列，令bn＝anlgan（n&N）。①求数列{bn}的前n项和Sn； 解：&0& style='width:225.75 &
&6& style='width:198 & &7& style=' & &8& & 例7. 用数学归纳法证明不等式 显然，左端＞右端；所以n＝1时，原不等式成立。②假设当n＝k（k&N）时不等式正确，即：
由①、②可知，对一切n&N*，不等式均成立。考虑：
公式仍成立
【模拟】（一）选择题1. 某种电子产品面市时单价为a元/只,，由于供不应求，连续提价三次，每次提高20%，经过一段时间后，市场开始疲软，厂家又采取了降价措施，若连续降价三次，每次降低17%，最后的价格为b元/只，则（ ）A. C. 元/m2，二层的价格为 元/m2，第i层（i&4）的价格为 B. D. A. 0 B. 1 C. 2 D. 34. 若数列{an}的通项公式是 （ ）A. C. 5. 数列 ，则 （ ）A. 1 B. 0 C. 2 D. （二）填空题6. 设等比数列 的公比为 ，且 ，则a1＝_______。7. 如图，P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为 的半圆后得到图形P2，然后依次剪去更小的半圆（其直径为前一被剪掉半圆的半径）得图形P3，P4，&，Pn，&。记纸板Pn的面积为Sn，则 ___________。 8. 用数学归纳法证明 第一步要证的不等式是_____________。9. 在数列{an}中，已知a1＝2，l1：l2： 的交点为P1（x1，y1），且对于n&2的自然数，两点（0，b），（ ）的连线与直线y＝ x交于点 。（1）求P1，P2的坐标；（2）猜想Pn的坐标公式，并证明。 【试题答案】1. A解析： ∴a＞b2. B解析： 3. B解析：各层房的总价值为
4. C解析： 即
5. A解析：∵ ∴
7. 解析： 两边相加： 8. 10. 解：设第n年后欠款为an则第一年后欠款为－4000＝a1第二年后欠款为 &&第十年后欠款为
即 而 ， ，&，4000分别是第一年后，第二年后，&第十年后各年所还欠款到第十年后的本息，看二者能否抵销。11. 解：（1）解方程组 过（0，b），（ ，0）两点的直线方程为 。（2）猜想 ，下面用数学归纳法证明：①n＝2时，结论已被证；②假设n＝k（k&2）时， ，过（0，b），（
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数列的通项公式与求和的常用方法
数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用
数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法
1数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同
因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性
数列{an}前n 项和Sn与通项anan=? ?Sn?Sn?1,n?23求通项常用方法
①作新数列法作等差数列与等比数列
②累差叠加法
最基本形式是an=(an－an－1+(an－1+an－2)+,,+(a2－a1)+a1
③归纳、猜想法
4数列前n项和常用求法
①重要公式 1n(n+1) 2
112+22+,,+n2=n(n+1)(2n+1) 6
113+23+,,+n3=(1+2+,,+n)2=n2(n+1)2 41+2+,,+n=
②等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn
③裂项求和
将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项
应掌握以下常见的裂项1111??,n?n!?(n?1)!?n!,?ctgα?ctg2α, n(n?1)nn?1sin2?
?1?1rCn?Cr
nn?Cn,111??等 (n?1)!n!(n?1)!
④错项相消法
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贡献者：伊光千草
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求数列n项和极限很好用的一个公式收藏
好像叫斯脱克公式，有知道的吗
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