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菲波那契数列是指这样的数列: 数列的第一个和第二个数都为1，接下来每个数都等于前面2个数之和。给出一个正整数a，要求菲波那契数列中第a个数对1000取模的结果是多少。
第1行是测试数据的组数n，后面跟着n行输入。每组测试数据占1行，包括一个正整数a(1 &= a &= 1000000)。
n行，每行输出对应一个输入。输出应是一个正整数，为菲波那契数列中第a个数对1000取模得到的结果。
Sample Input
4 5 2 19 1
Sample Output
5 1 181 1 题解C++:本题用递归来做得时候出现runtime error，因为递归实现的时候压栈太多超出内存了，所以得用for循环来做题，但是如果用数组存下所有数据貌似这样的数组也没法开出，菲波那契数列的原理是加上前两个，那么就保存前两个就好了，取模是个重点问题，想想无论取模没取模的加，他的末尾数还是按照那样的规律发展上去，所以一直都取模，就不会出现超过一千的结果出现。源代码：#include&iostream&int main(){& & int T=0;& & cin&&T;& & while(T--)& & {& & & & int N=0;& & & & cin&&N;& & & & int a=1,b=1,c=1;& & & & while(N&2)& & & & {& & & & & & c=(a+b)%1000;& & & & & & a=b;& & & & & & b=c;& & & & & & N--;& & & & }& & & & cout&&c&&& & }& & return 0;}
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历史上的今天
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blogTitle:'解题报告：百炼-2758:菲波那契数列(2)',
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2758:菲波那契数列(2)
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菲波那契数列是指这样的数列: 数列的第一个和第二个数都为1，接下来每个数都等于前面2个数之和。给出一个正整数a，要求菲波那契数列中第a个数对1000取模的结果是多少。
第1行是测试数据的组数n，后面跟着n行输入。每组测试数据占1行，包括一个正整数a(1 &= a &= 1000000)。
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其中 f(0)=0,f(1)=1 。并写出相应主函数。#include &stdio.h&long int f(int n){ if(n==0) return 0; else if(n==1) return 1; else return f(n-1) + f(n-2);}int main(){ while(scanf(&%d&,&n)==1) { printf(&f(%d) = %dn&,n,f(n)); }}网友回答
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斐波那契数列是从0 1开始的?斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 　　如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N+） 　　F(0) = 0,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥2）,
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斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和.它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（又叫“比内公式”,是用无理数表示有理数的一个范例.）（√5表示根号5） 有趣的是：这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的.在数学上,斐波那契数列是以递归的方法来定义：· F0 = 0 · F1 = 1 · Fn = Fn - 1 + Fn - 2用文字来说,就是：斐波那契数列由0和1开始,之后的斐波那契数就由之前的两数相加.前边几个斐波那契数是：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,81,
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如果黄金比例变成2:1，世界会是什么样子？
之前在知乎上看到了一个名为“怎么做才能把圆周率改成3.15？改完以后世界会是啥样？？”的问题。问题问的脑洞大开，大家的回答也非常有趣，有人用数学证明，有人写了科幻小说，有人说这玩意压根没法改，并列举了各种千奇百怪的理由。
看完之后，我就想，世间神奇的无理数又不止π一个。
如果黄金比例变成2:1，世界会是什么样子？
在讨论变之前、变之后有什么区别之前，我们先了解一下两者都是什么。
我们都知道，黄金比例其比值为1.618:1，即长段为全段的0.618。
为什么一会是0.618一会是1.618？是这样，黄金比例有一个神奇的特点是，0.618的倒数是1.618。也就是说，如果设较长的一段为a，较短的一段为b，那么有：a/b=（a+b）/a，都等于1.618。所以0.618和1.618均被称为分割点。
好了，我们看看1.618:1是怎么来的。
这得从菲波那契数列说起。斐波那契数列是由数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……。在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(0)=1，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n&=2，n∈N*）
菲波那契数列与黄金比例有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比。即f(n)/f(n-1)的比值将趋近于(√5-1)/2，即0.618……。1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666，3÷5=0.6，5÷8=0.625，8÷13=0.615，……，4=0.618****86……
那么，我的2:1又是怎么来的呢？
我编的呗。不过如果一定要找到理论根据的话，那就是愚人节数列（2^n数列）：1，2，4，8，16，32，64，128，256……
那这个数列有什么特点呢？
我瞎编的比值当然不会有黄金分割点那么神奇的0.618和1.618。但如果设较长的一段为a，较短的一段为b，那么还是可以得到两个关键数字：b/a=1/2，a/(a+b)=2/3。
好了，有1/2和2/3这两个数字就够了。
现在我的假设也渐渐清晰了，也就是说，当黄金分割点变为三分之一节点的时候，世界啥样？
寻根溯源的任务完成，现在看看那些被传得神乎其神的黄金比例作品都有哪些。
1. 自然美学：地球表面的纬度范围是0—90°，对其进行黄金分割，则北纬30°，正是地球的黄金地带。无论从平均气温、年日照时数、年降水量、相对湿度等方面都是具备适于人类生活的最佳地区。
2. 人体美学：人体结构中有14个“黄金点”：（1）肚脐：头顶－足底之分割点；(2)鼻尖：头顶－下巴之分割点……
3. 建筑美学：无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618有关的数据。
4. 美术创作：达·芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形，《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局。
5. 音乐创作：乐曲的高潮部分大多在整首曲子的后三分之一处。钢琴键盘的每一个八度都有8个白键和5个黑键，8/（8+5）= 0.615，接近0.618。
6. 战争：成吉思汗率领的的蒙古骑兵的战斗队形与西方传统的方阵大不相同，在它的5排制阵形中，人盔马甲的重骑兵和快捷灵动兵的比例为2:3。
种种这类说法太多了。但其实仔细看来，总觉得有种“少年不识愁滋味，为赋新词强说愁”的牵强附会之嫌。甚至很多就是在证明我的歪理。
就拿最常说的面部“三庭五眼”，这不明显是给我的歪论做佐证呢么。
不过想想也是，黄金分割不可能出现在现实世界，因为它是一个无理数，只能无限接近。反正就是各种接近呗。
我能想到的在数字上计算得出真的非常贴近黄金比例的，就是乐理上的十二平均律了。
说到音乐与数学，我先感慨两句。
有的时候真的觉得音乐与数学有一种非常奇妙的联系。这联系，既浅显，又深奥。
毕达哥拉斯说：“音乐反映宇宙本质的数的关系。”
圣奥古斯汀说：“音乐是由数规定的运动。数可以把世界转化为和我们心灵相通的音乐。”
爱因斯坦说：“我们这个世界可以由音乐的音符组成，也可以由数学公式组成。”
若说什么是全人类共同的语言，那似乎就是数学和音乐。是不是这也就命中注定，音乐与数学有那么多的共通之处。数学是研究现实世界空间形式的数量关系的一门科学，符号的使用使数学具有高度的抽象性；音乐是以音符为基本符号加以排列组合，它是对自然声音的抽象。它们都是通过有限去反映和把握无限，把对世界的认知符号化、纯粹化，进而认知整个世界，把人的精神带入一个相对纯粹的境界，从而提升之、激扬之。
于是，希腊作曲家克赛纳基斯创立了“算法音乐”，以数学方法代替音乐思维。马卡黑尔发展了施托克豪森的“图表音乐”，以几何图形的轮转方式作出“几何音乐”。人工智能 DeepBach 学会了巴赫音乐中和声的套路，它仿制的巴赫音乐能够以假乱真。
然而，数学给人的印象是单调、枯燥、冷漠，而音乐则是丰富、有趣，充溢着感情及幻想，一个是理性的科学，一个感性的艺术。他们又是那样的不同。简直就像两条平行线，风马牛不相及。
好了不废话了，说十二平均律里面蕴含的黄金比例。
音律要解决的是音阶的确定问题。音组都是以纯八度作为周期。给定一个基准频率F，频率区间 [F, 2F] 即对应纯八度。比如国际标准音a1，每秒振动440次，而a2每秒振动880次。所以，其实音律通过一组规则映射出一个频率区间 [F, 2F] 内的其他频率。
十二平均律的12个声音阶是将八度音分为12等分，其结果就是每个音的频率为前一个音的2开12次方倍，各音频率（近似值）分别为：
C#/Db：1.059F
D#/Eb：1.189F
F#/Gb：1.414F
G#/Ab：1.587F
A#/Bb：1.782F
于是，每两个半音的比值减1为0.059，这个我是真的觉得惊人接近了。
那么，如果黄金比例变成了2:1那会发生什么？
除了十二平均律以来，音律不止一个，还有五度相生律。
西方最早提出五度相生律的是古希腊的毕达哥拉斯（所以西方把按3/2比例定音律的做法叫做Pythagorean tuning）。在中国，《管子》也有过类似的证明，他截一根约八寸一的竹管，将吹出的音高称为“黄钟”，将竹管全长分为三分，减去一份取其两份之长约五寸四，另截一根竹管，可吹出比第一根竹管高五度的音称“林钟”，以此类推。这样三减一的五度反复12次，出现12个音，从而划分音阶。我国历代的各种音律也都是从这种“三分律”发展出来，即为“五度相生律”。
所以在音乐领域，黄金比例变成了2:1结果就是，西方音乐的十二平均律变成了中国古代乐曲的所用的五度相生律。
钢琴就是按十二平均律来确定各键音高的，虽然差异不大，但如果想听五度相生律的do、re、mi、fa、sou、la、si，已经很不容易了。
看我对音乐的解释就能发现，我的数学真不怎么样……所以在美术领域，我就不扯数学了，我就放一些那些用来证明世界名作使用了黄金比例的作证。
但其实我并没有觉得对应上什么。总感觉是先画好曲线，然后找图片往上硬靠。
而且，如果套用按照我的歪理，我觉得也套得通：
唠唠叨叨写了那么多。其实最开始我只是想开一下脑洞，但是写到这里我发现我真不是一个脑洞想开就能开的人。这感觉就像毕加索所说：“我11岁就能画得像拉斐尔那么好了，然后耗尽一生学习如何像孩子一样画画”。
脑洞早已经被各种理论、经验给堵死了。
但是我还是有些发现的。比如，三分之一节点的确与美学有千丝万缕的联系，神乎其神的黄金比例其实忽悠人的成分更多。
我百度了下，黄金分割与美学的关系主要来自两个人：
第一个人是卢卡·帕西奥利，在1509年这位方济会修士写了一本名为《神圣比例》的书。在他的书中，帕西奥利并不主张将黄金分割的美学理论应用于艺术、建筑和设计上，相反，他支持公元前一世纪的建筑大师维特鲁威的系统合理比例。1799年，奥·里维奥他写了一本关于黄金分割的书，将黄金分割冠在了帕西奥利头上。帕西奥利与达·芬奇是好朋友，因达·芬奇的插图《神圣的比例》，大家以讹传讹才有了达·芬奇本人使用黄金分割才创造了这么精画的说法。
另外一位是Adolf Zeising。他认为黄金分割是一个普遍规律，描述了自然和艺术领域的美和完整性。“黄金分割无处不在，所有结构、形式和比例、宇宙或者个人、有机或无机、声或光都能对上号”。其实Zeising的理论听起来是非常独断的。自然界这么复杂的存在，很容易找到各种比例接近1.6的关系。但是，就像莫扎特效应一样，Zeising的理论变得非常流行。20世纪，著名建筑师勒·柯布西耶的Modulor系统人体比例成了黄金分割，达利《最后的晚餐》画布形似黄金矩形，接着，艺术历史学家们开始重新梳理历史上优秀设计，试图将黄金分割适用于巨石阵、伦勃朗作品、沙特尔大教堂和修拉作品中。这样，黄金分割和美丽的世界艺术、建筑和设计联系在了一起。
可见，黄金分割只是一个传说。
就像《The Oxford Murders》里说的，为了我找到真理，我们尝试运用数学逻辑。也是，还有什么比一种不受人类影响、永恒不变的语言更能来发现真理呢。我们希望一切按照逻辑走，而不仅仅是随机的。如果我写2，4，6，我们就很高兴，因为知道下一个数字是8，能遇见，一切都按照操控走。但不幸的是，这其实与真理无关。
也许我们生物生来就为感知模式、寻求意义。我们的DNA让我们对艺术这种任性的东西感到不舒服，于是就不断地想往数学上靠拢，以求解释。人们认为他们周围都是黄金分割，但实际上无法证实。
最后我再重申一线主旨哈，黄金分割没有那么神，但三分之一节点与美有着千丝万缕的联系。所以在照相的时候，使用三分法还是有道理的。
哎，我是自己给自己挖了个坑……
&大团圆、放鞭炮、贴对联、吃饺子，人人笑容满面，家家喜气洋洋，各式各样庙会，丰富多彩的年俗杂耍小吃……这便是中国传统的年味儿。春节向来是中国人一年中最期待的大日子，自古至今从未改变，即便到了如今日新月异的互联网时代。人们期待春节的心情虽然没有改变，但随着网络和社交媒体的快速发展，春节被赋予了鲜明的时代气息。一个插上了“互联网+”翅膀的春节是怎么样的呢？无需再上演人在囧途对在外漂泊的人来说，家不仅是一...&今年的奥斯卡颁奖典礼，可谓精彩纷呈。怒怼特朗普，还顺便闹了个大乌龙。金融圈这一年也没消停，如果办一场金融圈的奥斯卡，会是什么样？最佳男主角：姚老板影片：《门口的野蛮人》一部惊心动魄的金融商战大片，影片主要讲述了某保险公司董事长对中国优秀的实体企业进行野蛮入侵和斩首，万科、格力、伊利、南玻等大量公司纷纷被入侵，实体企业战战兢兢。最后的惊天大逆转：被保监会罚禁入保险业10年！最佳女主角：杜鹃影片：《美...&共享经济植入农业，会是什么样子？又会引发哪些农业新趋势！">导语“摩拜单车”“ofo”……“共享经济”又一次成为热议话题。我们享受共享经济带来的便利与效益，那究竟什么是“共享经济”？共享经济有什么优势？我们所在的农业，如果植入共享经济，会是什么样子？何为共享经济共享经济的本质是通过整合线下的闲散物品或服务者，让他们以较低的价格提供产品或服务。对于供给方来说，通过在特定时间内让渡物品的使用权或提供服...&更多精彩资讯，欢迎点击上方"和讯黄金"关注我们“黑天鹅事件不断的2016终于落下帷幕，过去一年黄金市场的波动令人大跌眼镜，一月份还处于1100美元低点的金价，在八月初飙上1370美元高峰，但年终又摔下1130美元。如今临近年关，金价依旧不安分，下冲之后又迎来一小波涨幅，这次的反弹会是又一场泡沫吗？”机构展望：　　金价未来走势引发业界强烈关注，多家大行的分析报告中甚至出现了截然对立的观点，业内各大高...&诚邀各领域专家学者、从业者及机构投稿或荐稿与30余万行业精英分享与共同发展投/荐稿邮箱：导读供应链金融已在资本市场上掀起热潮，成为不少产业转型的新方向，供应链金融在升级换代的同时取得了快速的发展，迎来发展黄金时期。供应链金融具有产业和金融两个属性，由于对两个属性不同的侧重，市场对于供应链金融的定位也不同。一起来看看以金融的视角看供应链金融，会是什么样子？异于传统的...&
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对于斐波那契数列(f1=1,f2=1,f3=2),求证：(fn+1)^2+(fn)^2=f2n+1
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证明：假设对任意正整数m,n>=2有f(m+n)=f(m+1)f(n)+f(m)f(n-1)；1、当m=2时显然有f(n+2)=f(n)+f(n+1)=2f(n)+f(n-1)=f(3)f(n)+f(2)f(n-1)成立,同理也可知f(m+2)=f(2)f(m+1)+f(1)f(m).故当 m或者n=2时有f(m+n)=f(m+1)f(n)+f(m)f(n-1);2、假设当m=k时上式成立,那么f(k+1+n)=f(k+n)+f(k+n-1)=f(k+1)f(n)+f(k)f(n-1)+f(k+1)f(n-1)+f(k)f(n-2)=f(k+2)f(n)+f(k+1)f(n-1).故得证当m=k+1时上式也成立；同理当n=k假设上式成立可求出n=k+1时上式也成立!终上所述：当正整数m,n>=2时有f(m+n)=f(m+1)f(n)+f(m)f(n-1);当m=n-1时,可得（fn+1)^2+(fn)^2=f2n+1
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