【线性代数的几何意义】行列式的几何意义 - AndyJee - 博客园
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三、行列式的几何意义：
行列式的定义：
行列式是由一些数据排列成的方阵经过规定的计算方法而得到的一个数。当然，如果行列式中含有未知数，那么行列式就是一个多项式。它本质上代表一个数值，这点请与矩阵区别开来。矩阵只是一个数表，行列式还要对这个数表按照规则进一步计算,最终得到一个实数、复数或者多项式。
一阶行列式
（注意不是绝对值）
二阶行列式
三阶行列式
行列式的几何意义是什么呢？
概括说来有两个解释：
一个解释是行列式就是行列式中的行或列向量所构成的超平行多面体的有向面积或有向体积；
另一个解释是矩阵A的行列式detA就是线性变换A下的图形面积或体积的伸缩因子。
这两个几何解释一个是静态的体积概念，一个是动态的变换比例概念。但具有相同的几何本质，因为矩阵A表示的（矩阵向量所构成的）几何图形相对于单位矩阵E的所表示的单位面积或体积（即正方形或正方体或超立方体的容积等于1）的几何图形而言，伸缩因子本身就是矩阵矩阵A表示的几何图形的面积或体积，也就是矩阵A的行列式。
二阶行列式的几何意义：
二阶行列式的几何意义是xoy平面上以行向量为邻边的平行四边形的有向面积。
二阶行列式的几何意义就是由行列式的向量所张成的平行四边形的面积。另外，两个向量的叉积也是这个公式。
二阶行列式的另一个意义就是是两个行向量或列向量的叉积的数值，这个数值是z轴上（在二维平面上，z轴的正向想象为指向读者的方向）的叉积分量。如果数值是正值，则与z坐标同向；负值就与z坐标反向。如果我们不强调叉积是第三维的向量，也就是忽略单位向量，那么二阶行列式就与两个向量的叉积完全等价了。
二阶行列式性质的几何解释：
两向量在同一条直线上，显然围成的四边形的面积为零，因此行列式为零
这个性质由行列式的叉积特性得到，交换行列式的两行，就是改变了向量a和向量b的叉积顺序，根据，因此行列式换号。
把行列式的一行的k倍加到另一行，则行列式值不变，即
矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式（根据行列式的定义可证）
（1）用一个数k乘以向量a,b中之一的a，则平行四边形的面积就相应地增大了k倍；
（2）把向量a,b中的一个乘以数k之后加到另一个上，则平行四边形的面积不变；
（3）以单位向量(1，0)，(0，1)构成的平行四边形(即单位正方形)的面积为1。
三阶行列式的几何意义：
一个3×3阶的行列式是其行向量或列向量所张成的平行六面体的有向体积。
一个行列式可以通过拆分某一个列向量得到两个行列式的和
行列式的有两行或者两列元素相同，它对应的空间平行六面体的两条邻边重合，相当于三维空间中六面体被压成了高度为零的二维平面，显然，这个平面的三维体积为零。
一个行列式对应着一个数值，这个数值是对行列式中的元素经过运算得到的。这个运算是与元素的位置有关系的，因此你改变了行列式中列向量或行向量的位置当然会改变行列式的结果。幸而只改变结果的符号。一般地，一个行列式的值对应矩阵A的列向量的一个固定顺序。当detA为负值时，它确定原象的一个反射。所以，这种变换改变了原象的定向。
这就是说，平行六面体的体积的k倍等于六面体的三条棱中一条棱长的k倍。这是显然的。因为立方体的体积增大可以沿着立方体某一棱方向增大相同的倍数。
此性质表述了以为底面积的平行六面体在a方向上进行了切向变换，变换的后的六面体因为底面积不变，高也不变，因此体积不变。
矩阵A的行列式等于矩阵A转置的行列式
行列式化为对角形的几何解释：
一个行列式的第i行加上j行的K倍，可以使第i行的某一个元素变为0，而这个行列式的值不变。这个性质在化简行列式时非常有用。
一个二阶行列式所表示的平行四边形被变成了一个对角行列式所表示的正（长）方形。
三阶行列式有类似的变换情形，对角化的过程会把一个平行六面体变化为一个等体积的立方体或长方体。
那么n阶行列式我们亦不怀疑的认为也可以被表示成一个n维的长方体的几何图形。
二阶行列式乘积项的几何意义：
对于二阶行列式而言，既然二阶行列式的几何图形是一个有方向的面积，那么从二阶行列式公理化定义-看，又是如何构成这个面积的呢？显然，式中项和项的和构成了这个面积。（面积方向的确定：叉积的右手定则）
三阶行列式乘积项的几何意义：
与二阶行列式的乘积项的几何解释类似，三阶行列式的乘积项，可以看成具有有方向的小长方体的体积。也就是说，在三阶方阵张成的三维平行六面体可以分解为一个个由各座标分量混合积构成的小长方体。这些小长方体共有六块，其体积具有方向。
n阶行列式乘积项的几何意义：
N阶行列式的超平行多面体的几何图形是由行(或列)向量张成的，而且这个n维超平行多面体与一个n维超长方体等体积。
比如一个二阶行列式可以分拆成两个这样的二阶对角行列式：
一个三阶行列式可以拆分成六个（其余的行列式值等于零）三阶对角行列式：
一个行列式的整体几何意义是有向线段（一阶行列式）或有向面积（二阶行列式）或有向体积（三阶行列式及以上）。
因此，行列式最基本的几何意义是由各个坐标轴上的有向线段所围起来的所有有向面积或有向体积的累加和。这个累加要注意每个面积或体积的方向或符号，方向相同的要加，方向相反的要减，因而，这个累加的和是代数和。
克莱姆法则的几何意义：
1750年，瑞士的克莱姆发现了用行列式求解现行方程组的克莱姆（Cramer）法则。这个法则在表述上简洁自然，思想深刻，包含了对多重行列式的计算，是对行列式与线性方程组之间关系的深刻理解。如果我们不能从几何上解释这个法则，就不可能领会向量、行列式和线性方程组之间的真正关系。
二阶克莱姆法则的几何解释：
二阶线性方程组：
其克莱姆法则的解：
三阶克莱姆法则的几何解释：
三阶线性方程组如下：
其克莱姆法则的解：
过程与二阶类似，参考二阶的推导过程。
克莱姆法则的意义是可以用方程组的系数和常数项的行列式把方程组的解简洁的表达出来。但在实际工程应用中由于计算量较大，常常采用高斯消元法来解大型的线性方程组。上传时间：
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行列式在中，是一个函数，其定义域为det的A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性、多项式，还是在学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学，都有着重要的应用。
行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。
行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“”的。
历史/行列式
行列式的最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。
关孝和在《解伏题之法》中首次运用行列式的概念1545年，卡当在著作《大术》（Ars Magna）中给出了一种解两个一次方程组的方法。他把这种方法称为“母法”（regula de modo）。这种方法和后来的克莱姆法则已经很相似了，但卡当并没有给出行列式的概念。
1683年，日本数学家关孝和在其著作《解伏题之法》中首次引进了行列式的概念。书中出现了、乃至的行列式，行列式被用来求解高次。
1693年，德国数学家莱布尼茨开始使用指标数的系统集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数。他从三个方程的系统中消去了两个未知量后得到一个行列式。这个行列式等于零，就意味着有一组解同时满足三个方程。由于当时没有矩阵的，莱布尼茨将行列式中元素的位置用数对来表示：ij代表第i 行第j 列。莱布尼茨对行列式的研究成果中已经包括了行列式的展开和克莱姆法则，但这些结果在当时并不为人所知。
任意阶数的行列式
1730年，苏格兰数学家科林·麦克劳林在他的《论代数》中已经开始阐述行列式的理论，记载了用行列式解二元、三元和四元一次方程的方法，并给出了四元一次方程组的一般解的正确形式，尽管这本书直到麦克劳林逝世两年后（1748年）才得以出版。
1750年，瑞士的加布里尔·克莱姆首先在他的《代数曲线分析引论》给出了n 元一次方程组求解的法则，用于确定经过五个点的一般二次曲线的系数，但并没有给出证明。其中行列式的计算十分复杂，因为是定义在奇置换和偶置换上的。
此后，关于行列式的研究逐渐增多。1764年，法国的艾蒂安·裴蜀的论文中关于行列式的计算方法的研究简化了克莱姆法则，给出了用结式来判别线性方程组的方法。同是法国人的亚历山德·勒·范德蒙德（Alexandre-Théophile Vandermonde）则在1771年的论著中第一个将行列式和解方程理论分离，对行列式单独作出阐述。这是数学家们开始对行列式本身进行研究的开端。
1772年，皮埃尔-在论文《对积分和世界体系的探讨》中推广了范德蒙德著作里面将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法，发展出子式的概念。一年后，约瑟夫·路易斯·拉格朗日发现了的行列式与空间中体积的联系。他发现：原点和空间中三个点所构成的四面体的体积，是它们的坐标所组成的行列式的六分之一。
行列式在大部分欧洲语言中被称为“determinant”（某些语言中词尾加e或o，或变成s），这个称呼最早是由卡尔·弗里德里希·高斯在他的《算术研究》中引入的。这个称呼的词根有“决定”意思，因为在高斯的使用中，行列式能够决定二次曲线的性质。在同一本著作中，高斯还叙述了一种通过系数之间加减来求解多元一次方程组的方法，也就是现在的高斯消元法。
行列式的现代概念进入十九世纪后，行列式理论进一步得到发展和完善。奥古斯丁·路易·柯西在1812年首先将“determinant”一词用来表示十八世纪出现的行列式，此前高斯只不过将这个词限定在二次曲线所对应的系数行列式中。柯西也是最早将行列式排成方阵并将其元素用双重下标表示的数学家（垂直线记法是在1841年率先使用的）。柯西还证明了行列式的乘法定理（实际上是），这个定理曾经在雅克·菲利普·玛利·比内（Jacque Philippe Marie Binet）的书中出现过，但没有证明。
十九世纪五十年代，凯莱和詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特将矩阵的概念引入数学研究中[18]。行列式和矩阵之间的密切关系使得矩阵论蓬勃发展的同时也带来了许多关于行列式的新结果，例如阿达马不等式、正交行列式、对称行列式等等。
与此同时，行列式也被应用于各种领域中。高斯在和二次型的研究中使用行列式作为二次曲线和二次型划归为标准型时的判别依据。之后，和西尔维斯特又完善了二次型理论，研究了λ-矩阵的行列式以及初等因子。行列式被用于多重函数的积分大约始于十九世纪三十年代。1832年至1833年间卡尔·雅可比发现了一些特殊结果，1839年，欧仁·查尔·卡塔兰（Eugène Charles Catalan）发现了所谓的雅可比行列式。1841年，雅可比发表了一篇关于函数行列式的，讨论的线性相关性与雅可比行列式的关系。
定义方式/行列式
重要的数学和工具之一。它来源于求解线性方程组。由n2 个（数）αij(i,j=1,2,…,n)排成n行n列并写成
的形式，它表示所有符合以下条件的项的代数和：
① 每项是n个元素的乘积，这n个元素是从(1)中每行取一个元素、每列取一个组成的，可记为
式中p1,p2,…,pn是1,2,…,n的一个排列。
② 每项应带正号或负号，以1,2,…,n的顺序为标准来比较排列(p1p2…pn)的逆序数是偶或奇而决定。例如三阶行列式中的项 α12α23α31排列(231)有2个逆序，即2在1之前；3在1之前,所以α12α23α31应带正号；而α12α21α33中(213)的逆序为1，因为这时只有2在 1之前，所以应带负号。
(1)称为n阶行列式,有时简记为｜αij｜，其中αij称为第i行第j列上的元素或元;当i=j时即αii,称为主(α11α22…αnn)上的元。
因为n个元的所有排列共有n！个,所以｜αij｜共有n！个项。由此可知，
式中是对1,2,…,n的所有排列取和，±符号按上述规则确定。例如，
行列式有多种定义方式，实质上不同的大致有三类：除上述的完全展开式定义外，常见的还有和公理化定义等。
基本性质/行列式
任一行列式都有以下性质:
①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。
②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。
③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则｜αij｜是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与｜αij｜的完全一样。
④行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。
⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。
行列式的计算/行列式
简单的行列式根据定义或基本性质容易计算。一般方法是把它按行（或列）展开化为低阶行列式来计算。如n阶行列式A按第i行（或列）展开：
是从|αij|中划去第i行和第j列后得到的行列式即n-1阶子式,称为αij的余子式；Aij称为αij的代数余子式。在上式中把Ait(或Ati)换成Ajt(或Atj)，i≠j,即第i行(或列)中各元与第j行（或列）中各元的代数余子式相乘，其结果为零。以上结果可综合写成：
式中δ是克罗内克符号。δ表示当i=j时,δij=1,i≠j时，δij＝0。上面是按某一行(或列)展开，还可以按某几行（或列）展开。在n阶行列式A中取定某k(1≤k≤n)个行（或列），则在这k个行(或列)中的所有k阶子式分别与它的代数余子式的乘积的和为A。这就是拉普拉斯展开式。它由A.-L.柯西于1812年首先证明。k阶子式的代数余子式是上述1阶子式αij的代数余子式Aij的推广。设N是从n阶行列式A中划去(n-k)个行和(n-k)个列得到的k阶子式,M是从A中划去N所在的行和所在的列得到的（n-k）阶子式,则M称为N的余子式。如果N所在的行是i1,i2,…,ik,所在的列分别是j1，j2,…,jk，那么行列式称为N的代数余子式。A自身的余子式规定为1，所以A的代数余子式也是1。若子式N所在行的序数与所在列的序数相同,则N称为主子式。某些行列式用拉普拉斯展开式计算非常方便。例如，2n阶行列式
范德蒙德行列式/行列式
用数学归纳法可以证明
显然,一个范德蒙德行列式为零的充分必要条件是x1,x2,…,xn中至少有两个相等。
行列式的乘积/行列式
，两个n阶行列式｜αij｜与｜bij｜的乘积是n阶行列式｜сij｜,即 行列式
式中 行列式
设A＝｜αij｜是一n阶行列式，则A的伴随行列式是
式中Aij是αij的代数余子式。
行列式的应用/行列式
是用行列式求解
的一种方法。设有线性方程组 (2)
那么它有惟一解 xi=Di/D　(i=1,2,…,n)， (3)
式中Di是将D中第i列中元素αi1,αi2,…,αin分别用b1，b2,…,bn替换得到的行列式。
中过两点(x1，y1)和(x2,y2)的
可用行列式表达如下：
两两互异,交于一点的充分必要条件是
以(x1,y1)、(x2,y2)和(x3 ,y3)三点为顶点的
的绝对值。特别地，以(0,0)、(x1,y1)、(x2,y2)为顶点的三角形的面积是
的绝对值。因此以向量(x1,y1)、(x2,y2)为边的
的绝对值。这一结论可以推广为:n阶行列式(1)的绝对值可以看作是n维欧几里得空间中以n个向量(αi1,αi2,…,αin)(i=1,2,…,n)为边所张成的超平行六面体的
。此亦即行列式(1)的几何意义。 设n维欧几里得空间中有一个变换
函数行列式
。当J≠0时，则下面的积分变量变换公式成立：
式中G是n维欧几里得空间内有确定面积的有界域，B是G的像。雅可比行列式给出了
之间的联系
它在隐论的研究中也是不可缺少的。
上面行列式|αij|中的元 αij假定都是数；如果αij都在一个域中，上面得到的结果仍能成立。1943年，迪厄多内发表了《非可换体行列式》一文，在非可换域即体上建立了所谓非可换行列式理论，大致具备上述行列式基本性质，并把克莱姆规则推广到系数是体中元素的线性方程组上。 历史上，最早使用行列式是在17世纪G.W.莱布尼茨与G.-F.-A.de洛必达时代。后来G.克莱姆于1750年发表了著名的克莱姆规则。A.-L.柯西于1841年首先创立了现代的行列式
，但他的某些思想却来自C.F.
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线性代数之行列式(1) ——行列式的定义以及二阶行列式
使用消元法解二元线性方程组:
解决方式：
首先想办法干掉x2,那么第一个方程两边乘以a22,第二个方程两边乘以a12然后相减
同理可以得到x2的值：
若将方程组的系数按照原来的位置排成两行两列，则可以表示为以下的方式：
其中实线表示主对角线、虚线表示次对角线
可以看到得到的x1和x2的值得分母都是,即主对角线的元素的乘积减去次对角线的乘积。通常使用下面的记号表示：
称为二阶行列式，其中aij（其中I,j=1,2）称为行列式第i行第j列的元素，行列式一般用字母D表示.二阶行列式表示的意义就是.那么上面的方程组的解的分子可以表示为以下的行列式：
那么方程组的解可以表示为：
例子：使用行列式解以下线性方程组
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