两道关于对数和指数运算的计算题，求解！谢谢了_数学吧_百度贴吧
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两道关于对数和指数运算的计算题，求解！谢谢了收藏
唉，数学对数和指数感觉太难了，谁能帮帮我，谢谢了，我13号就要会考了，还有10天时间，能学好吗？这次考试的两道计算题求解，谢谢了，要详细过程！
数学来精锐,针对学科薄弱点,1对1突破,量身定制辅导课程,补习效果好;数学1对1/1对3,满足不同学生的学习需求,&精锐教育&众多学生家长的选择.
，求解下，谢谢你了！
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& 学年高中数学 第二章2.2.1《对数与对数运算》讲解与例题 新人教A版必修1
学年高中数学 第二章2.2.1《对数与对数运算》讲解与例题 新人教A版必修1
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资料概述与简介
2.2.1　对数与对数运算
1．对数的概念
(1)定义：一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
在对数logaN中规定a＞0，且a≠1，N＞0的原因
(1)若a＜0，则N为某些数值时，x不存在，如式子(－3)x＝4没有实数解，所以log(－3)4不存在，因此规定a不能小于0；
(2)若a＝0，且N≠0时，logaN不存在；N＝0时，loga0有无数个值，不能确定，因此规定a≠0，N≠0；
(3)若a＝1，且N≠1时，x不存在；而a＝1，N＝1时，x可以为任何实数，不能确定，因此规定a≠1；
(4)由ax＝N，a＞0知N恒大于0．
(2)特殊对数
名称 记法 说明
常用对数 lg N 以10为底的对数，并把log10N记为lg N
自然对数 ln N 以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N
(3)对数的性质
根据对数的概念，对数logaN(a＞0，且a≠1)具有以下性质：
零和负数没有对数，即N＞0 当a＞0，且a≠1时，ax＞0，即N＝ax＞0，所以对数logaN只有在N＞0时才有意义
1的对数等于0，即loga1＝0 因为a0＝1，由对数的定义得0＝loga1
底的对数等于1，即logaa＝1 因为a1＝a，由对数的定义得1＝logaa
(4)对数与指数的互化关系
当a＞0，且a≠1时．如图所示：
比如：43＝643＝log464；log525＝252＝25；以前无法解的方程2x＝3，学习了对数后就可以解得x＝log23．
对指数与对数的互化关系的理解　(1)由指数式ab＝N可以写成logaN＝b(a＞0，且a≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．从对数定义可知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．其关系如下表：
式子 名称 意义
指数式ax＝N 底数 指数 幂 a的x次幂等于N
对数式logaN＝x 底数 对数 真数 以a为底N的对数等于x
(2)根据指数与对数的互化关系，可以得到恒等式．
指数与对数的互化是解决指数式和对数式有关问题的有效手段．
【例1－1】下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是(　　)
A．100＝1与lg 1＝0
B．与＝C．log39＝2与＝3
D．log55＝1与51＝5
解析：指数式与对数式的互化中，其底数都不变，指数式中的函数值与对数式中的真数相对应，对于C，log39＝2→32＝9或＝3→log93＝．故选C．
【例1－2】完成下表指数式与对数式的转换．
题号 指数式 对数式
(1) 103＝1 000
解析：(1)103＝1 000lg 1 000＝3．
(2)log210＝x2x＝10．
(3)e3＝xln x＝3．
答案：(1)lg 1 000＝3；(2)2x＝10；(3)ln x＝3．
【例1－3】求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；
(3)logx27＝；(4)x＝log84．
解：(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1．∴x＝51＝5．
(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3．∴x＝103＝1 000．
(3)∵logx27＝，∴＝27．∴x＝＝34＝81．
(4)∵x＝log84，∴8x＝4．∴23x＝22．∴3x＝2，即x＝．
2．对数的运算性质
(1)对数的运算性质
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
①loga(M·N)＝logaM＋logaN；
②＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(nR)．
对对数的运算性质的理解　(1)对应每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，如log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．
(2)巧记对数的运算性质：①两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的积；②两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差；③正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数．
(2)对数的运算法则与指数的运算法则的联系
式子 ab＝N logaN＝b
性质 am·an＝am＋n loga(MN)＝logaM＋logaN
＝am－n ＝logaM－logaN
(am)n＝amn logaMn＝nlogaM
对数运算性质推导的基本方法
利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．如“loga(MN)＝logaM＋logaN”的推导：设logaM＝m，logaN＝n，则am＝M，an＝N，于是MN＝am·an＝am＋n，因此loga(MN)＝logaM＋logaN＝m＋n．
【例2－1】若a＞0，且a≠1，x＞y＞0，nN*，则下列各式：
①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；
③loga(xy)＝logax·logay；④；
⑤(logax)n＝logaxn；⑥；
其中式子成立的个数为(　　)
序号 对错 理由
① × 例如log24·log22＝2，而log2(4＋2)＝log26≠2
② × 例如log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2
③ × 例如log2(4×2)＝log28＝3，而log24·log22＝2≠3
④ × 例如＝2≠＝1
⑤ × 例如(log24)3＝8≠log243＝6
⑥ √ ＝－logax－1＝－(－logax)＝logax
应用对数的运算性质常见的错误　常见的错误有：loga(M±N)＝logaM±logaN；
loga(M·N)＝logaM·logaN；
logaMn＝(logaM)n．
【例2－2】计算：(1)2log122＋log123；(2)lg 500－lg 5；
(3)已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求．
解：(1)原式＝log1222＋log123＝log124＋log123＝log1212＝1．
(2)原式＝＝lg 100＝lg 102＝2lg 10＝2．
(3)∵＝＝(lg 5＋lg 9)＝＝(1－lg 2＋2lg 3)，
又∵lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，
∴＝(1－0.301 0＋2×0.477 1)＝0.826 6．
对数的运算性质的作用　(1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算；(2)由于lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，所以lg 5＝1－lg 2，这是在对数运算中经常用到的结论．
3．换底公式
(1)公式logab＝(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1，b＞0)．
(2)公式推导：
设，则logcb＝xlogca＝logcax，
∴b＝ax．∴x＝logab．∴＝logab．
(3)公式的作用
换底公式的作用在于把以a为底的对数，换成了以c为底的对数，特别有：，，利用它及常用对数表、自然对数表便可求任一个对数的值．
(4)换底公式的三个推论：①(a，N＞0，且a≠1，m≠0，m，nR)；②logab＝(a，b＞0，且a，b≠1)；③logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c＞0，且a，b，c≠1，d＞0)．
证明：①logamNn＝．
②logab＝．
③logab·logbc·logcd＝＝logad．
【例3－1】的值是(　　)
解析：(思路一)将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即．
(思路二)将分母利用换底公式转化为以2为底的对数，
【例3－2】若log34·log48·log8m＝log416，则m等于(　　)
解析：∵log34·log48·log8m＝log416，
∴＝log442＝2，化简得
lg m＝2lg 3＝lg 9．∴m＝9．
4．对数定义中隐含条件的应用
根据对数的定义，对数符号logaN中实数a和N满足的条件是底数a是不等于1的正实数，真数N是正实数，即
因此讨论对数问题时，首先要注意对数的底数和真数满足的隐含条件．
对数概念比较难理解，对数符号初学时不太好掌握，学习时要抓住对数与指数相互联系，深刻理解对数与指数之间的关系，将有助于掌握对数的概念．【例4－1】已知对数log(1－a)(a＋2)有意义，则实数a的取值范围是__________．
解析：根据对数的定义，得
解得－2＜a＜0或0＜a＜1．
答案：(－2,0)(0,1)
【例4－2】若log(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝__________．
解析：由题意知1－x＝(1＋x)2，解得x＝0，或x＝－3．
验证知，当x＝0时，log(1－x)(1＋x)2无意义，故x＝0不合题意，应舍去．
所以x＝－3．
答案：x＝－35．对数的化简、求值问题
应用对数的定义、有关性质及运算法则等可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算过程，加快计算速度．
(1)同底数的对数式的化简、求值
一是“拆”，将积、商的对数拆成对数的和、差．
如＋log35＝log39－log35＋log35＝log39＝2．
二是“收”，将同底数的对数和、差合成积、商的对数．
如，＋log35＝＝log39＝2．
三是“拆”与“收”相结合．
(2)不同底数的对数式的化简、求值
常用方法是利用换底公式，转化为同底数的对数式，进而进行化简，化简后再将底数统一进行计算．也可以在方向还不清楚的情况下，统一将不同的底换为常用对数等，再进行化简、求值．
对数式的化简、求值，要灵活运用对数的性质、运算性质、换底公式和一些常见的结论，如loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N，lg 2＋lg 5＝1，logab·logba＝1等．【例5－1】化简求值：
(1)4lg 2＋3lg 5－；(2)；
(3)2log32－＋log38－；(4)log2(1＋＋)＋log2(1＋－)．
分析：依据对数的运算性质进行化简，注意运算性质的正用、逆用以及变形应用．
解：(1)原式＝＝lg 104＝4．
＝－3log32×log23＝－3．
(3)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3
＝5log32－(5log32－2log33)－3＝－1．
(4)原式＝log2[(1＋＋)(1＋－)]＝log2[(1＋)2－3]
＝log2(3＋－3)＝．
【例5－2】计算：(log43＋log83)(log32＋log92)－．
分析：按照对数的运算法则，无法进行计算，因此可先用换底公式将其化为同底对数，再对代数式进行化简计算．观察底数的特点，化成以2或以3为底的对数．
解：原式＝
＝．6．条件求值问题
对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题，如果附加条件比较复杂，则需先对其进行变形、化简，并充分利用其最简结果解决问题．
例如：设x＝log23，求的值时，我们可由x＝log23，求出2x＝3,2－x＝，然后将它们代入，可得．【例6】已知3a＝4b＝36，求的值．
解：(方法一)由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436．
故＝2log363＋log364＝log369＋log364
＝log3636＝1．
(方法二)由3a＝4b＝36，得log63a＝log64b＝log636，
即alog63＝blog64＝2．
于是＝log63，＝log62，＝log63＋log62＝log66＝1．
与对数式有关的求值问题的解决方法　(1)注意指数式与对数式的互化，有些需要将对数式化为指数式，而有些需要将指数式化为对数式；(2)注意换底公式与对数的运算性质的应用，解题时应全方位、多角度地思考，注意已知条件和所求式子的前后照应．7．利用已知对数表示其他对数
(1)换底公式的作用是将不同底的对数式转化成同底的对数式，将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(2)用对数logax和logby等表示其他对数时，首先仔细观察a，b和所要表示的对数底数的关系，利用换底公式把所要表示的对数底数换为a，b．解决此类题目时，通常用到对数的运算性质和换底公式．
对数的运算性质总结：
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
loga(M·N)＝logaM＋logaN；
＝logaM－logaN；
logaMn＝nlogaM(nR)．
换底公式：logab＝(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)．
(3)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．【例7－1】已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36＝(　　)
A．　　　B．
解析：由换底公式得
【例7－2】已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)．
分析：利用指数式和对数式的互化公式，将18b＝5化成log185＝b，再利用换底公式，将log3645化成以18为底的对数，最后进行对数运算即可．
解：(方法一)∵log189＝a,18b＝5，
∴log185＝b．
于是log3645＝
(方法二)∵log189＝a，且18b＝5，
∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18．
∴log3645＝．
8．与对数有关的方程的求解问题
关于对数的方程有三类：
第一类是形如关于x的方程logaf(x)＝b，通常将其化为指数式f(x)＝ab，这样解关于x的方程f(x)＝ab即可，最后要注意验根．例如：解方程，将其化为指数式为，又，则，所以x＝1，经检验x＝1是原方程的根．
第二类是形如关于x的方程logf(x)n＝b，通常将其化为指数式fb(x)＝n，这样解关于x的方程fb(x)＝n即可，最后要注意验根．例如，解方程log(1－x)4＝2，将其化为指数式为(1－x)2＝4，解得x＝3或x＝－1，经检验x＝3是增根，原方程的根是x＝－1．
第三类是形如关于x的方程f(logax)＝0，通常利用换元法，设logax＝t，转化为解方程f(t)＝0得t＝p的值，再解方程logax＝p，化为指数式则x＝ap，最后要注意验根．
【例8－1】已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，求的值．
解：由已知，可得lg(xy)＝lg(x－2y)2，从而有xy＝(x－2y)2，整理得x2－5xy＋4y2＝0，即(x－y)(x－4y)＝0．从而可得x＝y或x＝4y．
但由x＞0，y＞0，x－2y＞0，可得x＞2y＞0，于是x＝y应舍去．故x＝4y，即．因此＝4．
解对数方程易出现的错误　在处理与对数有关的问题时，必须注意“真数大于零”这一条件，否则会出现错误．例如，本题若不注意“真数大于零”，则会出现两个结果：4和0．
【例8－2】解方程lg2x－lg x2－3＝0．
解：原方程可化为lg2x－2lg x－3＝0．
设lg x＝t，则有t2－2t－3＝0，解得t＝－1或t＝3，
于是lg x＝－1或3，解得或1 000．
经检验，1 000均符合题意，
因此原方程的根是，或x＝1 000．
lg2x与lg x2的区别　本题中，易混淆lg2x和lg x2的区别，lg2x表示lg x的平方，即lg2x＝(lg x)2，而lg x2＝2lg x．
9．对数运算的实际应用
对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛，其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型(公式)，在此基础上进行一些实际求值．计算时要注意利用“指、对互化”把对数式化成指数式．另一类是先建立指数函数应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边进行取对数运算．【例9】抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg 2≈0.301 0)
解：设至少抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%，
则a(1－60%)n＜0.1%a(设原先容器中的空气体积为a)，即0.4n＜0.001，
两边取常用对数得n·lg 0.4＜lg 0.001，
所以n＞≈7.5．
故至少需要抽8次．
求数值较大的指数的方法　利用对数计算是常用的方法，一般的方法是对等式(或不等式)两边取常用对数或自然对数，再用计算器或计算机进行对数的计算．
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高一数学对数与对数的运算3.ppt27页
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* * §2.2　对数函数 ? 2．2.1　对数与对数运算 第一课时　对　数 学习目标 1.理解对数的概念． 2．掌握对数的基本性质．
课堂互动讲练 知能优化训练 第一课时　 课前自主学案 课前自主学案 温故夯基 1．有理指数幂的运算性质有 1 aras＝____； 2
ab r＝____； 3
ar s＝____. 其中a，b＞0，r，s∈Q
2．若a＞0且a≠1，则当x＝__时，ax＝1；当x＝__时，ax＝a. 3．若2x＝2，则x＝__；若3x＝9，则x＝__；若2x＝ ，则x＝____. ar＋s arbr ars 0 1 1 2 －4 www.3edu.net
www.3edu.net
知新益能 1．对数的概念
1 定义：一般地，如果ax＝N a 0，且a≠1 ，那么数x叫做以______________，记作________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2 指数式与对数式的关系 a为底N的对数 x＝logaN 式子 名称 a b N 指数式 ab＝N _____ _____ ____ 对数式 logaN＝b _____ _____ _____ 底数 指数 幂 底数 对数 真数 2.两种特殊的对数
1 以10为底的对数叫做________，简记为_____.
2 以无理数e＝2.71828…为底数的对数叫做__________，简记为______. 3．对数的基本性质 设a 0，且a≠1，则
1 零和负数______对数；
2 1的对数为零，即_________；
3 底数的对数等于1，即_________. 常用对数 lgN 自然对数 lnN 没有 loga1＝0 logaa＝1 问题探究 1． －3 2＝9能写为log －3 9＝2吗？ 提示：不可以．只有符合a＞0，且a≠1且N＞0时，才有ax＝N?x＝logaN. 2．alogaN＝N a 0，a≠1，N 0 成立吗？为什么？ 提示：成立．此式称为对数恒等式．设ab＝N，则b＝logaN，∴ab＝alogaN＝N. 课堂互动讲练 考点突破 指数式与对数式的互化 对数式是指数式的另一种表达，求幂指数往往转化为对数；求对数值往往转化为指数幂的形式． 【思路点拨】　将对数式与指数式互化，即可得解． 例1
3 由logx25＝2，得x2＝25. ∵x 0，且x≠1，∴x＝5.
4 由log5x2＝2，
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a&0且a≠1和N&0。
（3）关键：抓住对数和指数的实质一样，充分利用对数式和指数式的互化，理解对数的概念应与指数式进行比较，a、b、N三者的身份的对应和比较。
二、教法探究：
1、问题发现法作为一种启发式教学方法，从实际问题出发，提出问题，如何解决问题，启发学生通过主动思考，使学生变被动学习为主动愉快的学习。教学中我引导学生从实例出发启发出对数的定义，引发学生对学习新概念的重视和关注。
2、本节课采用多媒体辅助与讲练结合法，通过一些指数式和对数式互化题型层层深入进行讲练，对进一步理解两种式子的对照和对数定义起很大的作用，并能求一些简单的对数，及其a、b、N。
三、学法设计：
1、学情分析：大部分学生比较怕数学概念的学习，理解能力，逆向思维能力等方面参差不齐。
a&0且a≠1和N&0。(?)
&(2)对数记号的理解（完整的记号）
（3）对数实质是一个实数，是
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。高一数学对数与对数运算同步练习题_高一数学
高一数学对数与对数运算同步练习题
学习啦【高一数学】 编辑：舒雯
　　对数的运算是高中数学的主要考察对象，所以一定要进行充分的练习。以下是学习啦小编为您整理的关于高一数学对数与对数运算同步练习题的相关资料，希望对您有所帮助。
　　高一数学对数与对数运算同步练习题及解析
　　1.2-3=18化为对数式为(　　)
　　A.log182=-3 B.log18(-3)=2
　　C.log218=-3 D.log2(-3)=18
　　解析：选C.根据对数的定义可知选C.
　　2.在b=log(a-2)(5-a)中，实数a的取值范围是(　　)
　　A.a&5或a&2 B.2
　　解析：选B.5-a&0a-2&0且a-2&1，∴2
　　3.有以下四个结论：①lg(lg10)=0;②ln(lne)=0;③若10=lgx，则x=10;④若e=lnx，则x=e2，其中正确的是(　　)
　　A.①③ B.②④
　　C.①② D.③④
　　解析：选C.lg(lg10)=lg1=0;ln(lne)=ln1=0，故①、②正确;若10=lgx，则x=1010，故③错误;若e=lnx，则x=ee，故④错误.
　　4.方程log3(2x-1)=1的解为x=________.
　　解析：2x-1=3，∴x=2.
　　答案：2
　　1.logab=1成立的条件是(　　)
　　A.a=b　　　　　　　　　　 B.a=b，且b&0
　　C.a&0，且a&1 D.a&0，a=b&1
　　解析：选D.a&0且a&1，b&0，a1=b.
　　2.若loga7b=c，则a、b、c之间满足(　　)
　　A.b7=ac B.b=a7c
　　C.b=7ac D.b=c7a
　　解析：选B.loga7b=c&rAac=7b，∴b=a7c.
　　3.如果f(ex)=x，则f(e)=(　　)
　　A.1 B.ee
　　C.2e D.0
　　解析：选A.令ex=t(t&0)，则x=lnt，∴f(t)=lnt.
　　∴f(e)=lne=1.
　　4.方程2log3x=14的解是(　　)
　　A.x=19 B.x=x3
　　C.x=3 D.x=9
　　解析：选A.2log3x=2-2，∴log3x=-2，∴x=3-2=19.
　　5.若log2(log3x)=log3(log4y)=log4(log2z)=0，则x+y+z的值为(　　)
　　A.9 B.8
　　C.7 D.6
　　解析：选A.∵log2(log3x)=0，∴log3x=1，∴x=3.
　　同理y=4，z=2.∴x+y+z=9.
　　6.已知logax=2，logbx=1，logcx=4(a，b，c，x&0且&1)，则logx(abc)=(　　)
　　A.47 B.27
　　C.72 D.74
　　解析：选D.x=a2=b=c4，所以(abc)4=x7，
　　所以abc=x74.即logx(abc)=74.
　　7.若a&0，a2=49，则log23a=________.
　　解析：由a&0，a2=(23)2，可知a=23，
　　∴log23a=log2323=1.
　　答案：1
　　8.若lg(lnx)=0，则x=________.
　　解析：lnx=1，x=e.
　　答案：e
　　9.方程9x-6&3x-7=0的解是________.
　　解析：设3x=t(t&0)，
　　则原方程可化为t2-6t-7=0，
　　解得t=7或t=-1(舍去)，∴t=7，即3x=7.
　　∴x=log37.
　　答案：x=log37
　　10.将下列指数式与对数式互化：
　　(1)log216=4;　　　　　(2)log1327=-3;
　　(3)log3x=6(x&0); (4)43=64;
　　(5)3-2=19; (6)(14)-2=16.
　　解：(1)24=16.(2)(13)-3=27.
　　(3)(3)6=x.(4)log464=3.
　　(5)log319=-2.(6)log1416=-2.
　　11.计算：23+log23+35-log39.
　　解：原式=23&2log23+353log39=23&3+359=24+27=51.
　　12.已知logab=logba(a&0，且a&1;b&0，且b&1).
　　求证：a=b或a=1b.
　　证明：设logab=logba=k，
　　则b=ak，a=bk，∴b=(bk)k=bk2.
　　∵b&0，且b&1，∴k2=1，
　　即k=&1.当k=-1时，a=1b;
　　当k=1时，a=b.∴a=b或a=1b，命题得证.
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