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瑞金一中2011全国高中数学联赛冲刺模拟题（2）
一、填空题（本题满分64分，每小题8分）
1. 已知a??2，且A??x?2?x?a?，B??yy?2x?3,x?A?
C?B，则a的取值范围是
2. 在?ABC中，若???AB??2，???AC??3，???BC??4，O为?ABC的内心，且???AO??????AB??????BC?
3. 已知函数f?x?????2?x?1,?x?0?,
若关于x的方程f??x??x?a有且只有两个不相等的实数
?f?x?1?,?x?0?根，则实数a的取值范围是
4. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n?1中的任意一个数。如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是
5. 已知椭圆x2y2
?1的左、右焦点分别为F1、F2，过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆于点P、Q，则△F1PQ内切圆面积的最大值是．
6. 设?an?为一个整数数列，并且满足：?n?1?an?1??n?1?an?2?n?1?，n?N?．若，则满足2008an且n?2的最小正整数n是
7. 如图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半径为12的圆形的洞，再将余下部分融铸成一个新的实心球，那么新球的
8. 在平面直角坐标系内，将适合x?y,x?3,y?3,且使关于t
的方程(x3?y3)t4
?没有实数根的点0
(x,y)所成的集合
记为N，则由点集N所成区域的面积为
二、解答题（本题满分56分）
9. （本小题满分16分）对正整数n?2，记an??nnn?k?12k?1，求数列?an?中的最大值．
10.（本小题满分20分）已知椭圆a2?b
2?1 过定点A（1，0），且焦点在x轴上，椭圆与曲线
y?x的交点为B、C。现有以A为焦点，过B，C且开口向左的抛物线，其顶点坐标为M（m，0），
当椭圆的离心率满足 2
?e2?1 时，求实数m的取值范围。
11.（本小题满分20分）映射f的定义域是A??1,2,?,20?的全体真子集，值域包含于?1,2,?,10?，满足条件：对任意B,C?A，都有f?B?C??min?f?B?,f?C??
，求这种映射的个数．
一、（本题满分40分）
B、C、D、E为直线l上顺次排列的五点，ACBC
，F在直线l外的一点，连结FC并延长至点G，恰使?FAC??AGD，?FEC??EGB同时成立.
求证：?FAC??FEC。
二、（本题满分40分）
已知：a,b,c
?0，a?b?c?2，
1?abca?b?ca1?abcb?c?ab
1?abcc?a?1。
三、（本题满分50分）
设正整数n大于1，它的全部正因数为d1，d2，…，dk，满足1=d1&d2&…&dk = n。再设D = d1d2
＋d2d3＋…＋dk－1dk。
(i) 证明：D&n2；
(ii) 确定所有的n，使得D整除n2。
四、（本题满分50分）
设圆周上有一些红点和蓝点，可以进行如下操作：加上一个红点，并改变其相邻两点的颜色；或去掉一个红点，并改变原先与之相邻的两点颜色．已知开始时只有两个点，均为红点，那么是否有可能经过若干次操作，使得圆周上只有两个点，且均为蓝点．
瑞金一中2011全国高中数学联赛冲刺模拟题（2）
1. 答：??1??2
B???1,2a?3?，
要使C?B，只需C中的最大元素在B当中，所以?????2?2
，得1??a?3。 ?a2?2a?3
设AO交BC于点D，由角平分线定理知BDAB2
????3????2????DC?AC?3，于是AD?5AB?5AC，又
AOOD?ABBD?ACCD?AB?ACBD?CD5
9A?B1?3?A?C??2?
?5????2????79AB?9AC，因此????9
。 3. 答：???,1?
利用函数图象进行分析易得结果。 4. 答：
若计算器上显示n的时候按下按键，因此时共有1~n?1共n种选择，所以产生给定的数m的概率是
。如果计算器上的数在变化过程中除了，99，9和0以外，还产生了a1,a2,?,an，则概率为
a???1?，所以所求概率为 12anp???a??????1?1
1a2an999999
??12??0??091???1?1?
1?000?19?99? ??998
?1??1?100??199????119???8?
1???1?1?10??91??
1? 1?注意到
1???2010????1?1?2009??????1?1?1000??????1?1?999??????1?1?998??
??1?1? 两式相除即得p?
6。 5. 答：
? 因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F1PQ的周长是定值8，所以
只需求出△F1PQ面积的最大值。设直线l方程为x?my?1，与椭圆方程联立得
y2?6my?9?0，设P?x1,y1?，Q?x2,y2?，则y6m1?y2??
3m2?4，y1y2
F1F2?y1?y2?
B?3m?2B?4?
22??，所以内切圆半径C
?19m?9?16m2?1
94，因此其面积最大值是16
?。 6. 答：501
当n?2时，将原式变形为
an?1n?1n?annn?1?2
n?1n，令ban?nnn?1，则有
n?n?n?1n，叠加可得b?11?
1?n?b2?2??2?n??
2a2??n?1??n?2?。 由?2006?
2007，得???
，化简得a2?6?mod2008?。
由2008a?n?1?n，得
a2??n?1??n?2??0?mod20?0，
8将上述关于a2的结果代入得?n?1??n?1??0?mod1004?，于是质数251?n?1??n?1?且n是奇数，所以满足条件的最小的n是
501。 7. 答：16
将题目所得几何体的上半部分与半径为16的半球作比较，将它们的底面置于同一水平面，并考
察高度为h的水平面与两个几何体所截的截面面积。与第一个几何体形成的截面是圆环，外径是
12，所以面积是??202?h2?122????162?h2?
，这正是与第二个球体形成的
截面圆的面积，由祖原理知两个几何体的体积是相等的。
23?e2?1，∴0?b?。 33
令u?t(x?y)u?(3x?y)u?
?0.由对称性知，所求抛物线只要过椭圆与射线y?x(x?0)的交点，就必过椭圆与射线
，原方程化为x?y
① ??(3x?y)2?4(x3?y3)?
?5x2?2xy?3y2?(5x?3y)(x?y).
所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根，所以，
???x?y,?x?y,
x?3,3,或??y?3,
?y?3, ???(5x?3y)(x?y)?0?(5x?3y)(x?y)?0,??3x?y?0.
点集N所成区域为图中阴影部分，其面积为
S?S?ABO?S?BCO
??5?3?2?6?3?5
.9. （本小题满分16分）
解：经计算知a2?2，a3?3，a4?a5?10103，下面用数学归纳法证明：当n?5时，有an?3
?n?5?，则an?1n?11n?11n?11n?
n?1?n?n?1?2?n?2?22???1?2n?1
n?1n?1?nn1n1n?2n??n?1?n?2?2???1??
n?1n?n?12n?103?n?1n?83?65?83?103
。 所以数列?a10
n?中的最大值是a4?a5?3
10.（本小题满分20分）
解：椭圆过定点A（1，0），则a?1,c??b2,e??b2,
y??x(x?0)的交点。
联立方程 ?
?2，解得 x?y?b2y 。??
，∴0?x?12。
设抛物线方程为：y2??2p(x?m)，p?0,m?1。 又 ∵
y2?(1?m)(x?m)
① 把 y?x，0?x?
12 代入①得x2?4(m?1)x?4m(m?1)?0，m?1，0?x?12
。令f(x)?x2?4(m?1)x?4m(m?1)，m?1，0?x?1
， ∵ f(x)在??
内有根且单调递增， ?f(0)??4m(m?1)?0?m?1或m?0
f??1?1 ? ??3?2?2???4?2(m?1)?4m(m?1)?0??4m〈3?2
4综上得：1?m?3?2
11.（本小题满分20分）
解：记Ai?A/?i?，其中i?1,2,?,20。
首先任意设定f
?A1?,f?2A??,,?f2?A0的值，则对于
A的任意真子集B，A/B??ai1,ai2,?,ain?，则
f?B??f?Ai1?Ai2???Ain??min?f?Ai1?,f?Ai2?,?,f?Ain??，
因此，映射f可由f?A1?,f?A2?,?,f?A20?的值完全确定。 下面证明这样的映射满足条件。
对任意B,C?A，有f?B??f???i??A?
i??min?f?Ai??，
???Ai??min?f?Ai??，
?C??f???Ai??min?f?Ai??，
?i?A/?B?C???
i?A/?B?C?由?A/B???A/C??A/?B?C?知f?B?C??min?f?B?,f?C??
综上所述，由于确定f?A1?,f?A2?,?,f?A20?的值有1020
种选择，所以这种映射的个数也为
一、 证法一：过B作BH∥AF，交CF于H，则
CHCF?CBCBCA，又由CA?CDCHCE，故CF?CD
。 连结HD，知HD∥FE，延长HB,HD分别交AG,EG于I.J，连结IJ。 因为?IBA??FAC??AGD，故I、B、D、G共圆； 因为?JDE??FEC??EGB，故J、D、B、G共圆， ∴I、B、D、J、G五点共圆，故?HBC??DJI。 ∵IH?AF，JH?EF，∴
GIGA?GHGF?GJ
，故IJ?AE，?DJI??EDJ， ∴?FAC??HBC??DJI??EDJ??FEC。
证法二：作?EBG外接圆C1，交射线CF于P，则BC?CE?GC?CP。
又由BC?CE?AC?CD，知AC?CD?GC?CP，所以P、A、G、D共圆，记该圆为C2。下证P必在CF内.用反证法，假设P不在CF内。
连结PA、PE，则
?AFE??APE??APG??EPG??ADG??EBG?180???BGD
又?FAE??AGD，
??AFE?FAE?180?
??BGD??AGD?180?
，矛盾！ 于是，F在GP延长线上.
∵?FAC??AGD,?FEC??EGB，∴FE为C1切线，FA为C2切线，
∴FA2?FP?FG?FE2?AF?EF，故?FAC??FEC。 二、 证明：1?abc?a?b???ab?bc?ca????1?c?a?b?????1?ab?，
∵a,b,c?0，a?b?c?2，
?a?b??1,ab?1。
?a?b??ab?bc?ca， 同理1?abc?b?c??ab?bc?ca，
??a?a?bb?c。 ca
那么将不等式左式的三个分母均放缩为其中最小的那个即可。
三、(i) 若d1，d2，…，dk是n的全部正因数，则n/d1，n/d2，…，n/dk也是n的全部正因数，且当1=d1&d2&…&dk=n时，有dj=n/dk－j＋1。则
n2/d2=n2/(d1d2)≤D = d1d2＋d2d3＋…＋dk－1dk=n2｛1/(dk－1dk)＋1/(dk－2dk－1)＋…＋1/(d1d2)｝
≤n2{(1/dk－1－1/dk)＋(1/dk－2－1/dk－1)＋…＋(1/d1－1/d2)} =n2(1/d1－1/dk)=n2(1－1/n)=n2－n。
(ii) 在(i)的证明中已指出n2/d2≤D≤n2－n。若D整除n2，由上式知
n2=qD，1&q≤d2。(**)
因为d2是n的最小的大于1的除数，所以，d2是素数。d2当然也是n2的素除数，并且n2没有比d2更小的大于1的除数。那么由式(**)就推出q=d2。因此，k=2，n的全部正因数是1和n本身，即n是素数。
四、对于圆周上任意一种状态，按下列方式定义该状态的特征值：
考察圆周上的n个蓝点将圆周分成的n段圆弧，将这n段圆弧依次赋值?1，?1，?1，?1，……并在每个红点处标上所在弧的数值，再将所有红点上的数值相加即得S值。
下面考察各种加点的操作：
(1) 若在两个相邻红点（原本标有+1）间增加一个红点，则标有+1的这两个红点变为蓝点，新增加
的红点应标?1，且其他红点不受影响，所以S值减少3。若两个红点原本标有?1，则类似可知S
(2) 若在两个相邻蓝点间增加一个红点，则这三个红点都将标上相同的数值，且其他红点不受影响，
所以S的变化量仍然是3的倍数；
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数学 计算器与复杂的运算...
有种特别的计算器它只有两个按键[+1]和[×2]．当你按下其中一个键计算器马上会显示运算结果．例如若计算器原有数据为9，当你按下[+1]时就会显示为10，再按下[×2]时就会显示20．如果此计算机初始值为1，要用他得到200，这个数至少要按键多少次？（　　）
A8 B9 C10 D11
第-1小题正确答案及相关解析