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高数中求极限的16种方法
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3秒自动关闭窗口为什么入门的微积分教材都是从极限的概念开始讲起？
这样的高等数学入门引论是非常令人难懂又难受。如果有时间翻看几百年前牛顿，泰勒，欧拉，拉格朗日等等的书，是否觉得他们的书才是真正传授思想的书。又为什么这些大师的书，大师的言论没有翻译成中文，有时候连基本的英文版本都没有，是不是翻译会误解作者的原本的意思。 那些困惑的人，真的想去读懂伟人思想的人应该是不会惧怕任何语言上的障碍。 那些不困惑的人，以为已经得了真髓，就不了了之。或许真的得了。 ………8.5 ……8.6 15:30 市面上流行的教材基层上都是一个套路。 我是想说这些流行的教材为什么不加入一些18世纪的公式演算方面的内容，比如拉格朗日试图用纯代数的演算建立微积分的基础。9.29我在思考是什么东西造成人与人之间没有共同的声音。
按时间排序
因为极限是微积分这门语言的最基本组成成分，或者是微积分的背景和环境。就如同当我们谈论天空，其必要的知识是我们的方位感知，本质在于重力，当我们身处太空，没有了重力感应和参照物，我们永远说不出天空在哪。而当我们谈论微积分的时候，潜在的知识在于极限，或者说当我们谈论微积分时，实际就是在讨论极限，而极限是可以用已经被定义的清晰的数学语言所表达的。我们也可以用无穷小量来讨论微积分，但是无穷小量是鬼魂一样的东西，没有一个清晰的，无法用数学符号或者概念进行表达和定义，没有了清晰的定义，那么就无法正确地使用。如果微积分是一个公理系统，那么极限就是公理，是微积分的基础，或者微积分可以在极限概念的基础上进行演绎。如果我们生活在微积分的世界里，那么极限就是这个世界的重力，我们谈论方位的时候不用讨谈论重力，但是重力是我们之所以能讨论方位的基础
我只想说，我国沿用前苏联教材体系，都是从极限开始，可是欧美的不少微积分教材，是从导数开始的，开始就是rate of change
它们之间的关系是由浅入深的，需要用心体会
楼主的困难在于不知道极限是什么，极限是怎么来的，以及极限在微积分中的作用。实际上，目前教材中微积分的知识结构堪称完美了，再修改会出现其他问题。
牛顿都是用几何证明的……你能看懂？
题主很敏锐。极限在微积分诞生之后一百多年才出现却被当成了教材的第一部分。当牛顿发明微积分后，数学家无法接受他的结果，牛顿使用曲线上的两个点的连线，并使两个点无限逼近，则两点连线无限逼近过该点的切线的方法。牛顿直接使用了结果，但数学家面临了奇点难题，两个点只要不重合，就不能算是切线，但如果重合了，就无法逼近了，过重合点可以做无数个直线。因此微积分出现后尽管开始使用，但没有数学基础的证明，直到函数极限出现，斜率用函数表示才算是补全了微分的数学基础。要命的是虽然极限是微分的数学基础，但微积分思想才是高等数学的灵魂。目前大多数本科教学都忽略了微积分思想的建立，绝大多数本科生将微积分当成高等函数计算，完全没有微积分思想，遇到实际问题没有方向，只会套公式。
一个商科生纯粹的谈谈我的一些个人心路历程。极限的概念挺重要，高中数学里，一个函数，一个点上一个值；引入了极限以后，函数变得更丰富了。因为极限是一个函数一个点邻域上的近似值（当然还有x趋于两端的情况）。不但如此，极限与连续，与微分不定积分，与定积分等等直接相关。当然，你的困惑我也有过。为啥课本总喜欢把柯西的定义写了写写了又写呢，直接上微积分不完事了。现在，我的小小的建议是，在工科和商科的数学工具箱里，直接用到极限的机会不多。不能理解没有关系，我们用的更多的是微积分和简单的幂级数和傅里叶级数，初等的线代和概率论。如果对“怎么用五条基本原则构建一个完美的自然数体系”“实数有理数无理数是神马”“怎么用严谨的语言定义极限”之类的问题有兴趣，那看看数学分析挺好的。但是如果不是数学系的学生这不是你的主业，而是兴趣爱好了。
不一定非要从极限开始讲，可以从实数的各种性质（代数结构、序结构、拓扑结构……）开始讲，接下来讲一些基础的拓扑空间与度量空间的知识，然后开始讲度量空间中数列的极限与函数极限.有不少分析类的教材就是这么做的.
给你介绍一本书《微积分的历程》
我觉得从数列开始讲也是可以的，但是很快就会开始讲极限
微积分是牛顿的工作，但是把微积分写成自洽的数学理论，这里面有更多人的工作。你可以把所有原始文献都看一遍，没人拦你，但是你要记住在看完之前不要老死。推荐古今数学思想第四册。
楼上的废话太多，简单一句话，现代的知识体系（理工类）都是建立在高等数学的体系上面.(微积分，呵呵)
仔细去看高数教材， 前面都有几个故事， 这些故事太神奇了。
其实我也不赞同从实数连续性定理讲起，许多课本都是先入为主的，本该介绍的背景知识都未介绍。
搜索 无穷分析引论，你会觉得打开了新世界的大门。
我猜你就是想换个角度装一个没有人装过的╮(╯▽╰)╭
如果有想学近世代数，搞清楚为啥五次以上方程没有通解的去看伽罗华，会看到一堆：我没有时间了，我来不及了。而且我估计也看不懂，因为当时最牛逼的一堆数学家都没人懂。如果有人想去看欧拉，那真要努力点了，欧拉同学光所有著作的目录都能单独出一卷书。如果要去看牛顿，看到满篇的流数啥的不知道作何感想。大师的著作固然重要，但是如其他几个答案说的那样，在教材里面已经把共通的东西抽离出来，也统一了符号，如果教材都没看懂，还是不要贸贸然去挑战的好
不客气的说，微积分是你能在大学期间学到的最简单的数学，微积分都学的不大对劲的人大学数学得重来（比如我的多变量就很差）。而极限论则第一次告诉了你一个问题。任何数学都是要有严密的理论基石的，这套理论框架本身是很美的。数学不是记积分公式，就跟量子力学不是解薛定谔方程一样。虽然事实上现在大学的必修课是人是哪里来的之类羞羞的事情，然而对于一个大学新生，需要明白的另一件十分重要的事情就是数学理论是从哪来的。不讲极限论的微积分是物理学。。。所以微积分不讲极限论属于耍流氓。（当然这并不难意味着物理学是耍流氓，绝没有这个意思）而且极限论本身就很有意思啊，用动态的方法看静态的问题，这可能是很多人一生接触到的第一个算得上极为高明的数学思想（而不是解题技巧）了。所以什么同济高数之类的不讲极限的东西和&，& ，& &之流的书性质差不多，就是速查手册和谭浩强，对于数学学习本身是坑害人，看不得的。说学不懂的大概是书太烂了吧。（我多年前翻过体验同济高数是只有两三页极限论的，也可能不是同济出的书我记错了）。讲实话，牛老爷子那个时代的微积分更像是物理学。。玩玩简单的微分方程积分求导可以，到高级一些的理论就不行了，多变量数学分析的极限理论很复杂的。比如微分流形之类的东西用牛顿时代的理论很难得心应手，我很难想象没有极限理论怎么去定义一个切空间。。。（虽然按照我挂了广相的数学水平我也就知道这些东西怎么用而已，摊手）
其实题主并不是问了一个很无脑的问题。实际上，至少是理科，大牛们都是从文献里汲取了最多的营养，而不是教材。教材是爸正确的东西，已知的东西交给你，但是教材忽略的是过程。当你自己想做一个未知领域的时候，你会发现你要解决的不是证明过程，而是找到一个结果。大家往往记住的是提出猜想的人，而不是证明猜想的人。教材优势在于让你少走弯路，少进已知的坑，但坏处是不告诉你怎么掉到坑里，怎么分析这个坑的构成，最后怎么爬出一个未知的坑。回到极限的问题，微积分入门为什么不直接学导数这种实用的东西。答案是，极限本身是一个实用的概念。没有极限的概念，至少说洛必达法则和泰勒展开这两个非数学专业学生的最爱你都无法正确地理解。那么，你是愿意学实用的极限，还是蛋疼的实数的七种刻画？至于从什么莱布尼茨牛顿的原著中学习，这就有点无理取闹了，且不说你只是图个实用，你就看看牛顿的那些证明和符号，你告诉我你看得下去。
题主的第一个印象是正确的：原始文献和学科早期的著作中往往包含极具洞察力的观点，有时叙述也更加简单明了。然而，牛顿究其科学生涯，都努力徘徊在现代极限概念的外围，而始终不能满意。你应该庆幸，现代教科书只用一章就能让你掌握好几代数学家呕心沥血建立起来的概念。
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