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第9章习题答案
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3秒自动关闭窗口第9章习题答案；3.画出有三个顶点四条弧的所有可能的简单有向图(；解：；4.画出有三个顶点的所有可能的简单无向图，但不能；解：；5.证明图9.25中的有向图D；1和D2同构；证明：因为在两个图的顶点集合之间存在双射f：f?；f?v4??u3,f?v5??u4并且边有如下对；v1,v2?u5,u1，v1,v4?u5,u3，；所以两图同构；6.证明图9.26中的
第9章习题答案
3. 画出有三个顶点四条弧的所有可能的简单有向图(注意: 同构的图看作同一个图)。
4. 画出有三个顶点的所有可能的简单无向图，但不能出现同构的图。
5. 证明图9.25中的有向图D
1和D2同构。
证明：因为在两个图的顶点集合之间存在双射f：
f?v5??u4 并且 边有如下对应关系：
v1,v2?u5,u1，v1,v4?u5,u3，v2,v5?u1,u4， v3,v2?u2,u1，v3,v4?u2,u3，v4,v5?u3,u4 v5,v1?u4,u5，v5,v3?u4,u2
所以两图同构。
6. 证明图9.26中的无向图G1和G2不同构。
证明：因为在图G1中，每个3度顶点都有2个3度顶点与之邻接，而图G2中，每个3度顶点只有一个3度顶点与之邻接。所以两图不同构。
7. 证明在n个顶点的简单无向图中(n≥2)，至少有两个顶点次数相同。
证明：反证法，假设n个顶点的次数互不相同。由于n个顶点的简单无向图中，每个顶点的次数均小于n，则n个顶点的次数分别为0，1，2，?n-1。次数为0的顶点为孤立点，因此，图中次数为0和n-1的顶点不可能同时存在，故假设错误。所以在n个顶点的简单无向图中(n≥2)，至少有两个顶点次数相同。 9. 设G是有四个顶点的完全无向图， (1) 画出G的所有不同构的子图。
(2) 指出哪些是生成子图，哪些是导出子图。
解：(1) G的所有不同构的子图如下：
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
(11) (8) (9) (10)
(16) (17) (15) (13)
其中(8)至(18)是生成子图，(1)、(3)、(7)、(18)是导出子图。 12. 证明在有向图D中，任何一个回路总包含有一个基本回路。
证明：设u1u2?unu1是有向图D中的任意一条回路。除u1外，若回路中无重复出现的顶点，则它是一条基本回路，否则存在i?j，使得ui?uj。我们把ui?1ui?2?uj从回路中删去，所得结果仍为一条回路。若这条新回路除u1外仍有重复出现的顶点，就重复前边的操作，直到无重复出现的顶点为止。最后得到的回路就是一条基本回路。这表明，任何一条回路中必包含有一条基本回路。
13. 判别图9.28及图9.29中的有向图是否为强连通的，单向连通的或弱连通的
解：两图均为单向连通的。
17. 证明在一个连通无向图中。任何两条最长的基本链必有公共顶点。
证明：假设图中两条最长的基本链分别为P1=（a0，a1，a2，?，an，），P2=（b0，b1，b2，?bm，），m?n，P1与P2没有公共顶点。由于此图是连通图，则P1中必有一顶点ai，P2中必有一顶点bj，ai和bj连通，令ai到bj的链为P3=（ai，c1，c2，?ck，bj），则｜P3｜?1，ai和bj分别将链P1，P2分成两部分，则P1的较长部分与P3和P2的较长部分构成的链长度大于m，这与P2是两条最长基本链中之一矛盾。因此，任何两条最长的基本链必有公共顶点。 18. 证明在一个无向图G中，如果有两个且仅有两个奇顶点，则这两个顶点是连通的。
证明：假设无向图G中恰有两个奇度顶点U和V，若U和V不连通，则U和V分别在G的两个不同的连通分支中，不妨把这两个连通分支分别记为G1和G2，于是G1和G2中各含一个奇数顶点。这与推论：“在任何图中，度数为奇数的顶点个数必定是偶数”相矛盾。故U和V两顶点必连通。
19. 设G是具有n个顶点的简单无向图，并且G中任何两个顶点的次数之和大于或等于n-1，证明G为连通图。
证明: 假设G不是连通图，有k（k?1）个连通分支，令它们的顶点数分别为n1，n2，?，nk，则第i个连通分支ni的每个顶点的次数至多为ni-1。设u，v分别为任意两个不同连通分支i和j的顶点，则它们的顶点次数之和至多为ni+nj-2，因为n1+n2+?+nk=n，所以ni+nj-2? n-1，这与G中任何两个顶点的次数之和大于或等于n-1矛盾，故G必为连通图。
20. 设给定无向图G=&V,E&，按如下方式构造无向图G@=&V@,E@&，使得V@=V，E@={(u,v)*｜u∈V∧v∈V∧(u,v)?E}，证明: 如果G是不连通的，则G@是连通的。
证明：因为G是不连通图，不妨设G有k个连通分支，则k≥2。由已知条件，在G@图
中，G的不同连通分支中的两个顶点之间有边相连。若u和v是G的同一连通分支中的两个不同顶点，则在G@中，u和v与G的另一连通分支中的顶点w邻接，故u和v连通。所以，G@是连通图。
23. 设有2n个电话局，如果每一个电话局至少可以与另外n个电话局通话，证明在这2n个电话局的任何两个电话局之间都可以通话(也可能要通过另外的电话局)
证明：设电话局为顶点，在能通话的电话局之间连一条边，则得无向简单图G。由题意可知，G有2n个顶点，G的每个顶点的度数大于等于n，证明G为连通图。反证法如下：
假设G不是连通图，则G至少有两个连通分支。由于G有2n个顶点，故必存在一个最多有n个顶点的连通分支，令其为G1。由于G是无向简单图，因此其连通子图G1中的每个顶点的度数?n-1，这与G的每个顶点的度数大于等于n矛盾，因此G必为连通图。这就是说，G的2n个顶点中，任何两个顶点都可达。也即表明2n个电话局的任何两个电话局之间都可以通话。
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习题参考答案
Exercises(Homework): P25
1.3 What are the four important attributes that all professional software should have? Suggest four other attributes that may sometimes be significant.
Four important attributes are maintainability, dependability, performance and usability. Other attributes that may be significant could be reusability (can it be reused in other applications), distributability (can it be distributed over a network of processors), portability (can it operate on multiple platforms e.g laptop and mobile platforms) and inter-operability (can it work with a wide range of other software systems).
Decompositions of the 4 key attributes e.g. dependability decomposes to security, safety, availability, etc. is also a valid answer to this question.
Giving reasons for your answer based on the type of system being developed, suggest the most appropriate generic software process model that might be used as a basis for managing the development of the following systems:
o A system to control anti-lock braking in a car
o A virtual reality system to support software maintenance
o A university accounting system that replaces an existing system o An interactive travel planning system that helps users plan journeys with the lowest environmental impact
1. Anti-lock braking system This is a safety-critical system so requires a lot of up-front analysis before implementation. It certainly needs a plan-driven approach to development with the requirements carefully analysed. A waterfall model is therefore the most appropriate approach to use, perhaps with formal transformations between the different development stages.
2. Virtual reality system This is a system where the requirements will change and there will be an extensive user interface components. Incremental development with, perhaps, some UI prototyping is the most appropriate model. An agile process may be used.
3. University accounting system This is a system whose requirements are fairly ell-known and which will be used in an environment in conjunction with lots of other
stems such as a research grant management system. Therefore, a reuse-based
proach is likely to be appropriate for this.
4. Interactive travel planning system System with a complex user
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