设v=<r ， ，其中.代表普通乘法，判断下面的哪些函数是v的自同态复仇

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《离散数学》(屈婉玲,耿素云)习题解答.pdf105页
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（2）{x|x?N?x与5互素}；
不能构成代数系统V=&N,+&的子代数
9-15、设V=&Z,+,.&，其中+和.代表普通加法和乘法，对下面给定的每个集合确定它是否够成V的子代数，为什么？
S2?{2n?1|n?Z}
不能构成V的子代数，因为该运算对加法不封闭。
如：任意两个奇数的和是偶数，但是偶数并不属于集合S2。
9-17、V=&R*,.&其中R*为非零实数集合，.为普通乘法，判断下面的哪些函数是V的自同态?是否为单自同态，满自同态，自同构？计算V的同态像。
（1）f（x）=x；
（3）f（x）=x2。
（1）?x，y?R*，使得f(x,y)=xy?f(x)f(y),所以f是V的自同态;
又ranf?R*，故f不是V的满自同态，
且对于?y?ranf，存在不唯一的x?R*满足f(x)?y,
故f不是V的单自同态，也不是自同构。
f(V)=&R*,?&
(3)?x，y?R*，使得f（x，y）=x2y2?f(x)f(y)
所以f是V的自同态；
f：R*?R*，f（x）=x2，f不是单调函数，且ranf?R*
所以f不是V的单自同态，也不是满自同态，也不是自同构。
f(V)=&R*,?&。
9-19、设V1??A,?,V2??B，*?为同类型代数系统，V1?V2是积代数
定义函数f：A?B?A，f（&x,y&）=x，证明f是V1?V2到V1的同态映射。证明：
设V1?V2??A?B,??,??x1,y1??x2,y2??A?B,
有f(?x1,y1???x2,y2?)=f(&x1x2,y1*y2&)=x1x2?f(?x1,y1?)f(&x2,y2&)于是f是V1?V2到V1的同态映射。
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