设随机变量X和Y相互独立,且都满足标准正态分布,求P（X＋Y＞＝0）
橙umeyu4906
N(0,1),N(0,1),且独立,根据正态分布可加性,X+Y~N（0,2）则把所求的概率问题不等式两边标准化之后就得到答案,是0.5
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全国2009年4月自学考试概率论与数理统计（二）试题 
试题类型：WORD文档
试题时间：2009年4月
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全国2009年4月自学考试概率论与数理统计（二）试题
课程代码：02197
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．设A，B为两个互不相容事件，则下列各式中错误的是（
A．P（AB）=0 B．P（A）=P（A）+P（B）
C．P（AB）=P（A）P（B） D．P（B-A）=P（B）
2．设事件A，B相互独立，且P（A）=，则=（
3．设随机变量X在[-1，2]上服从均匀分布，则随机变量X的概率密度f(x)为（
4．设随机变量X~B，则P{X1}=（
5．设二维随机变量（X，Y）的分布律为
则P{XY=2}=（
6．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
则当时，（X，Y）关于X的边缘概率密度为fx(x)=（
A． B．2x
C． D．2y
7．设二维随机变量（X，Y）的分布律为
则（X，Y）的协方差Cov(X,Y)=（
A．- B．0
8．设随机变量X1，X2，…，Xn,…相互独立同分布，且Xi的分布律为
i=1,2,…,为标准正态分布函数，则（
A．0 B．1
C． D．1-
9．设x1,x2,…，x100为来自总体X~N（μ,42）的一个样本，而y1,y2,…，y100为来自总体Y~N（μ,32）的一个样本，且两个样本独立，以分别表示这两个样本的样本均值，则~
A．N B．N
C．N（0，7） D．N（0，25）
10．设总体X~N（μ）其中μ未知，x1,x2,x3,x4为来自总体X的一个样本，则以下关于μ的四个无偏估计：=
，中，哪一个方差最小？（
二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11．设A、B为两随机事件，且A与B互不相容，P（A）=0.3，P（B）=0.4，则P（）=_________.
12．盒中有4个棋子，其中白子2个，黑子2个，今有1人随机地从盒中取出2子，则这2 个子颜色相同的概率为_________.
13．若随机变量X在区间内取值的概率等于随机变量Y=X-3在区间内取值的概率，则a=________.
14．设离散型随机变量X的分布律为
，则常数C=________.
15．设离散型随机变量X的分布函数为则P=________.
16．设随机变量X的分布函数为用Y表示对X的3次独立重复观察中事件{X&20}出现的次数，则P{Y&1}=__________.
17．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
则P{X+Y2}=______.
18．设二维随机变量（X，Y）的分布律为
则P{|X-Y|=1}=__________.
19．设随机变量X~B，Y服从参数为3的泊松分布，且X与Y相互独立，则
D（X+Y）=______.
20．设随机变量X的概率密度为则E（|X|）=______.
21．已知E（X）=2，E（Y）=2，E（XY）=4，则X，Y的协方差Cov(X,Y)=________.
22．一个系统由100个互相独立起作用的部件组成，各个部件损坏的概率均为0.2，已知必须有80个以上的部件正常工作才能使整个系统工作，则由中心极限定理可得，整个系统正常工作的概率为_______.
23．设总体X的概率密度为x1,x2,…,xn为来自总体X的一个样本，为总体X的样本均值，则E（）=________.
24．设x1,x2,…,x25为来自总体X的一个样本，X~N（μ,52）,则μ的置信度为0.90的置信区间长度为________.(μ0.05=1.645)
25．设总体X服从参数为的泊松分布，x1,x2,…,xn为X的一个样本，其样体均值=2，则的矩估计值=________.
三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
26．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
（1）分别求（X，Y）关于X和Y的边缘概率密度；
（2）问：X与Y是否相互独立，为什么？
27．一批产品共10件，其中8件正品，2件次品，每次从这批产品中任取1件，设X为直至取得正品为止所需抽取次数.
(1)若每次取出的产品仍放回去，求X的分布律；
（2）若每次取出的产品不放回去，求P{X=3}.
四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
28．某气象站天气预报的准确率0.8，且各次预报之间相互独立.试求：
（1）5次预报全部准确的概率p1；
（2）5次预报中至少有1次准确的概率p2；
（3）5次预报中至少有4次准确的概率p3.
29．设离散型随机变量X的分布律为
,且已知E（X）=0.3，试求：
（1）p1, p2;（2）D（-3X+2）；（3）X的分布函数F（x）.
五、应用题（10分）
30．某厂生产的一种元件，其寿命服从方差=10的正态分布，现换一种新工艺生产该元件，从生产情况看，寿命的波动比较大，现随机取26个，测得样本方差s2=12,试判断用新工艺生产后，元件寿命波动较以往有无显著变化.（=0.05）
............
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福师《概率论》在线作业一
一、（共 50 道试题，共 100 分。）
1.&&设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=
正确答案：D
2.&&设两个随机变量X与Y相互独立且同分布；P{X=-1}=P{Y=-1}=1/2,P{X=1}=P{Y=1}=1/2,则下列各式中成立的是（）。
A. P{X=Y}=1/2
B. P{X=Y}=1
C. P{X+Y=0}=1/4
D. P{XY=1}=1/4
正确答案：A
3.&&事件A与B互为对立事件，则P(A+B)＝
正确答案：D
4.&&一部10卷文集，将其按任意顺序排放在书架上，试求其恰好按先后顺序排放的概率( )．
正确答案：A
5.&&如果随机变量X和Y满足D（X+Y）=D（X-Y），则下列式子正确的是（ ）
A. X与Y相互独立
B. X与Y不相关
D. DX*DY=0
正确答案：B
6.&&市场供应的某种商品中，甲厂生产的产品占50%，乙厂生产的产品占30%，丙厂生产的产品占 20%，甲、乙、丙产品的合格率分别为90%、85%、和95%，则顾客买到这种产品为合格品的概率是（ ）
正确答案：C
7.&&电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在1000小时以后最多有一个坏了的概率（ ）
正确答案：C
8.&&设离散型随机变量X的取值是在2次独立试验中事件A发生的次数，而在每次试验中事件A发生的概率相同并且已知，又设EX＝1.2。则随机变量X的方差为（ ）
正确答案：A
9.&&电路由元件A与两个并联的元件B、C串联而成，若A、B、C损坏与否是相互独立的，且它们损坏的概率依次为0.3，0.2，0.1，则电路断路的概率是
正确答案：D
10.&&设X,Y为两个随机变量，已知cov(X,Y)=0,则必有（）。
A. X与Y相互独立
B. D(XY)=DX*DY
C. E(XY)=EX*EY
D. 以上都不对
正确答案：C
11.&&设g(x)与h(x)分别为随机变量X与Y的分布函数，为了使F（x)=ag(x)-bh(x)是某一随机变量的分布函数，在下列各组值中应取（ ）
A. a=3/5 b=-2/5
B. a=-1/2 b=3/2
C. a=2/3 b=2/3
D. a=1/2 b=-2/3
正确答案：
12.&&射手每次射击的命中率为为0.02，独立射击了400次，设随机变量X为命中的次数，则X的方差为（ ）
正确答案：
13.&&某门课只有通过口试及笔试两种考试方可结业。某学生通过口试的概率为80%，通过笔试的概率为65%。至少通过两者之一的概率为75%，问该学生这门课结业的可能性为（ ）
正确答案：
14.&&在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能确定预料其是否出现，这类现象我们称之为
A. 确定现象
B. 随机现象
C. 自然现象
D. 认为现象
正确答案：
15.&&设P(A)=a,P(B)=b,P(A+B)=C，则B的补集与A相交得到的事件的概率是
正确答案：
16.&&炮弹爆炸时产生大、中、小三块弹片。大、中、小三块弹片打中某距离的装甲车的概率分别等于0.1，0.2，0.4。当大、中、小三块弹片打中装甲车时其打穿装甲车的概率分别为0.9，0.5，0.01。今有一装甲车被一块炮弹弹片打穿（在上述距离），则装甲车是被大弹片打穿的概率是（ ）
正确答案：
17.&&全国国营工业企业构成一个（ ）总体
正确答案：
18.&&在1，2，3，4，5这5个数码中，每次取一个数码，不放回，连续取两次，求第1次取到偶数的概率（ ）
正确答案：
19.&&从5双不同号码的鞋中任取4只，求4只鞋子中至少有2只是一双的概率 （）
正确答案：
20.&&设X与Y是相互独立的两个随机变量，X的分布律为：X=0时，P=0.4；X=1时，P=0.6。Y的分布律为：Y=0时，P=0.4，Y=1时，P=0.6。则必有（ ）
B. P{X=Y}=0.52
C. P{X=Y}=1
D. P{X#Y}=0
正确答案：
21.&&设随机变量X服从泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}，则E（X）=（ ）
正确答案：
22.&&现考察某个学校一年级学生的数学成绩，现随机抽取一个班，男生21人，女生25人。则样本容量为( )
正确答案：
23.&&三人独立破译一密码，他们能单独译出的概率分别为1/5,1/3,1/4,则此密码被译出的概率是
正确答案：
24.&&已知随机事件A 的概率为P（A）=0.5，随机事件B的概率P（B）=0.6，且P（B︱A）=0.8，则和事件A+B的概率P（A+B）=（ ）
正确答案：
25.&&对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时，产品的合格率为 90% , 而当机器发生某一故障时，其合格率为 30% 。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为 75% 。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？
正确答案：
26.&&10个产品中有7个正品，3个次品，按不放回抽样，依次抽取两个，已知第一个取到次品，则第二次取到次品的概率是（ ）
正确答案：
27.&&已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.2,则P（B|A）=________.
正确答案：
28.&&一个工人照看三台机床，在一小时内，甲、乙、丙三台机床需要人看管的概率分别是0.8,0.9和0.85，求在一小时内没有一台机床需要照看的概率（ ）
正确答案：
29.&&袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率
正确答案：
30.&&甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是（）。
正确答案：
31.&&在长度为a的线段内任取两点将其分成三段，则它们可以构成一个三角形的概率是
正确答案：
32.&&甲乙两人投篮，命中率分别为0.7，0.6，每人投三次，则甲比乙进球数多的概率是
正确答案：
33.&&设随机变量的数学期望E（ξ）=μ，均方差为σ，则由切比雪夫不等式，有{P（|ξ-μ|≥3σ）}≤（ ）
正确答案：
34.&&设随机事件A，B及其和事件A∪B的概率分别是0.4，0.3和0.6，则B的对立事件与A的积的概率是
正确答案：
35.&&假设一厂家一条自动生产线上生产的每台仪器以概率0.8可以出厂，以概率0.2需进一步调试，经调试后，以概率0.75可以出厂，以概率0.25定为不合格品而不能出厂。现该厂新生产了十台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），则十台仪器中能够出厂的仪器期望值为（ ）
正确答案：
36.&&随机变量X服从正态分布，其数学期望为25，X落在区间（15,20）内的概率等于0.2,则X落在区间（30,35）内的概率为（ ）
正确答案：
37.&&袋中有4白5黑共9个球，现从中任取两个，则这少一个是黑球的概率是
正确答案：
38.&&设随机变量X~B(n,p),已知EX=0.5,DX=0.45,则n,p的值是（）。
A. n=5,p=0.3
B. n=10,p=0.05
C. n=1,p=0.5
D. n=5,p=0.1
正确答案：
39.&&设A、B互不相容，且P(A)&0,P(B)&0则下列选项正确的是（）。
A. P(B/A)&0
B. P(A/B)=P(A)
C. P(A/B)=0
D. P(AB)=P(A)*P(B)
正确答案：
40.&&若随机变量X与Y不独立,则下面式子一定正确的是（ ）
A. E(XY)＝EX*EY
B. D(X＋Y)＝DX＋DY
C. Cov(X,Y)＝0
D. E(X＋Y)=EX＋EY
正确答案：
41.&&进行n重伯努利试验，X为n次试验中成功的次数，若已知EX＝12.8，DX=2.56 则n=（ ）
正确答案：
42.&&一批10个元件的产品中含有3个废品，现从中任意抽取2个元件，则这2个元件中的废品数X的数学期望为（ ）
正确答案：
43.&&设A,B为任意两事件，且A包含于B（不等于B），P(B)≥0,则下列选项必然成立的是
A. P(A)=P(A∣B)
B. P(A)≤P(A∣B)
C. P(A)&P(A∣B)
D. P(A)≥P(A∣B)
正确答案：
44.&&设A,B,C是两两独立且不能同时发生的随机事件，且P(A)=P(B)=P(C)=x,则x的最大值为（）。
正确答案：
45.&&假设事件A和B满足P(A∣B)＝1，则
A. A、B为对立事件
B. A、B为互不相容事件
C. A是B的子集
D. P(AB)=P(B)
正确答案：
46.&&安培计是以相隔0.1为刻度的，读数时选取最靠近的那个刻度，允许误差为0.02A，则超出允许误差的概率是（ ）
正确答案：
47.&&设10件产品中只有4件不合格，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，另一件也是不合格品的概率为
正确答案：
48.&&环境保护条例规定，在排放的工业废水中，某有害物质含量不得超过0.5‰ 现取5份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：0.53‰, 0.542‰， 0.510‰ ， 0.495‰ ， 0.515‰则抽样检验结果(& & )认为说明含量超过了规定
D. 以上都不对
正确答案：
49.&&已知随机变量X服从二项分布，且E（X）=2.4，D（X）=1.44，则二项分布的参数n,p的值为（ ）
D. 24，0.1
正确答案：
50.&&如果随机变量X服从标准正态分布，则Y＝－X服从（ )
A. 标准正态分布
B. 一般正态分布
C. 二项分布
D. 泊淞分布
正确答案：
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400-627-0688
Powered by正态分布Normal distribution又名高斯分布Gaussian distribution
正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：
X∼N(μ,σ2),
则其概率密度函数为
正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ
= 0,σ = 1的正态分布（见右图中绿色曲线）。
2&正态分布的定义
2.1&概率密度函数2.2&累积分布函数2.3&生成函数
2.3.1&动差生成函数2.3.2&特征函数
3.1&标准化正态随机变量3.2&矩(英文:moment)3.3&生成正态随机变量3.4&中心极限定理3.5&无限可分性3.6&稳定性3.7&标准偏差
4&正态测试5&相关分布6&参量估计
6.1&参数的极大似然估计
6.1.1&概念一般化
6.2&参数的矩估计
7&常见实例
7.1&光子计数7.2&计量误差7.3&生物标本的物理特性7.4&金融变量7.5&寿命7.6&测试和智力分布
8&计算统计应用
8.1&生成正态分布随机变量
9&参见10&引用条目11&外部连接
[编辑]概要
正态分布是自然科学与行为科学中的定量现象的一个方便模型。各种各样的心理学测试分数和物理现象比如光子计数都被发现近似地服从正态分布。尽管这些现象的根本原因经常是未知的，
理论上可以证明如果把许多小作用加起来看做一个变量，那么这个变量服从正态分布(在R.N.Bracewell的Fourier transform and its application中可以找到一种简单的证明)。正态分布出现在许多区域统计:例如,&采样分布均值是近似地正态的，既使被采样的样本总体并不服从正态分布。另外，常态分布信息熵在所有的已知均值及方差的分布中最大，这使得它作为一种均值以及方差已知的分布的自然选择。正态分布是在统计以及许多统计测试中最广泛应用的一类分布。在概率论，正态分布是几种连续以及离散分布的极限分布。
[编辑]历史
常态分布最早是亚伯拉罕·棣莫弗在1734年发表的一篇关于二项分布文章中提出的。拉普拉斯在1812年发表的《分析概率论》（Theorie
Analytique des Probabilites）中对棣莫佛的结论作了扩展。现在这一结论通常被称为棣莫佛－拉普拉斯定理。
拉普拉斯在误差分析试验中使用了正态分布。勒让德于1805年引入最小二乘法这一重要方法；而高斯则宣称他早在1794年就使用了该方法，并通过假设误差服从正态分布给出了严格的证明。
“钟形曲线”这个名字可以追溯到Jouffret他在1872年首次提出这个术语&钟形曲面&，用来指代二元正态分布（bivariate
normal）。正态分布这个名字还被Charles S. Peirce、Francis
Galton、Wilhelm Lexis在1875分布独立的使用。这个术语是不幸的，因为它反应和鼓励了一种谬误，即很多概率分布都是正态的。（请参考下面的“实例”）
这个分布被称为“正态”或者“高斯”正好是Stigler名字由来法则的一个例子，这个法则说“没有科学发现是以它最初的发现者命名的”。
[编辑]正态分布的定义
有几种不同的方法用来说明一个随机变量。最直观的方法是概率密度函数，这种方法能够表示随机变量每个取值有多大的可能性。累积分布函数是一种概率上更加清楚的方法，但是非专业人士看起来不直观（请看下边的例子）。还有一些其他的等价方法，例如cumulant、特征函数、动差生成函数以及cumulant-生成函数。这些方法中有一些对于理论工作非常有用，但是不够直观。请参考关于概率分布的讨论。
[编辑]概率密度函数
四个不同参数集的概率密度函数（绿色线代表标准正态分布）
正态分布的概率密度函数均值为μ&方差为σ2&(或标准差σ)是高斯函数的一个实例：
(请看指数函数以及π.)
如果一个随机变量X服从这个分布，我们写作&X&~&N(μ,σ2).
如果μ = 0并且σ = 1，这个分布被称为标准正态分布，这个分布能够简化为
右边是给出了不同参数的正态分布的函数图。
正态分布中一些值得注意的量：
密度函数关于平均值对称平均值是它的众数（statistical mode）以及中位数（median）函数曲线下68.268949%的面积在平均值左右的一个标准差范围内95.449974%的面积在平均值左右两个标准差2σ的范围内99.730020%的面积在平均值左右三个标准差3σ的范围内99.993666%的面积在平均值左右四个标准差4σ的范围内反曲点（inflection point）在离平均值的距离为标准差之处
[编辑]累积分布函数
上图所示的概率密度函数的累积分布函数
累积分布函数是指随机变量X小于或等于x的概率，用密度函数表示为
正态分布的累积分布函数能够由一个叫做误差函数的特殊函数表示：
标准正态分布的累积分布函数习惯上记为Φ，它仅仅是指μ = 0，σ = 1时的值，
将一般正态分布用误差函数表示的公式简化，可得：
它的反函数被称为反误差函数，为：
该分位数函数有时也被称为probit函数。probit函数已被证明没有初等原函数。
正态分布的分布函数Φ(x)没有解析表达式，它的值可以通过数值积分、泰勒级数或者渐进序列近似得到。
[编辑]生成函数
[编辑]动差生成函数
动差生成函数被定义为exp(tX)的期望值。
正态分布的矩生成函数如下：
可以通过在指数函数内配平方得到。
[编辑]特征函数
特征函数被定义为exp(itX)的期望值，其中i是虚数单位.
对于一个正态分布来讲，特征函数是：
把矩生成函数中的t换成it就能得到特征函数。
[编辑]性质
正态分布的一些性质:
如果且a与b是实数，那么aX&+&b∼N(aμ
+&b,(aσ)2)&(参见期望值和方差).如果与是统计独立的正态随机变量，那么:
它们的和也满足正态分布&(proof).它们的差也满足正态分布.U与V两者是相互独立的。
如果和是独立正态随机变量，那么:
它们的积XY服从概率密度函数为p的分布
其中K0是贝塞尔函数（modified
Bessel function）
它们的比符合柯西分布，满足X&/&Y∼Cauchy(0,σX&/
如果为独立标准正态随机变量，那么服从自由度为n的卡方分布。
[编辑]标准化正态随机变量
[编辑]矩(英文:moment)
一些正态分布的一阶动差如下：
μ2&+ σ2
μ3&+ 3μσ2
μ4&+ 6μ2σ2&+ 3σ4
正态分布的所有二阶以上的累积量为零。
[编辑]生成正态随机变量
[编辑]中心极限定理
主条目：中心极限定理
正态分布的概率密度函数，参数为μ = 12，σ = 3，趋近于n&= 48、p&= 1/4的二项分布的概率质量函数。
正态分布有一个非常重要的性质：在特定条件下，大量统计独立的随机变量的和的分布趋于正态分布，这就是中心极限定理。中心极限定理的重要意义在于，根据这一定理的结论，其他概率分布可以用正态分布作为近似。
参数为n和p的二项分布，在n相当大而且p不接近1或者0时近似于正态分布（有的参考书建议仅在np与n(1
-&p)至少为5时才能使用这一近似）。
近似正态分布平均数为μ =&np且方差为σ2&=&np(1 -&p).
一泊松分布带有参数λ当取样样本数很大时将近似正态分布λ.
近似正态分布平均数为μ = λ且方差为σ2&= λ.
这些近似值是否完全充分正确取决于使用者的使用需求
[编辑]无限可分性
正态分布是无限可分的概率分布。
[编辑]稳定性
正态分布是严格稳定的概率分布。
[编辑]标准偏差
深蓝色区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。在正态分布中，此范围所占比率为全部数值之68%。根据正态分布，两个标准差之内（蓝，棕）的比率合起来为95%。根据正态分布，三个标准差之内（深蓝，橙，黄）的比率合起来为99%。
在实际应用上，常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。若其假设正确，则约68%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围，约95%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围，以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。称为&68-95-99.7法则&或&经验法则&.
[编辑]正态测试
[编辑]相关分布
R∼Rayleigh(σ)是瑞利分布，如果，这里X∼N(0,σ2)和Y∼N(0,σ2)是两个独立正态分布。是卡方分布具有ν自由度，如果这里Xk∼N(0,1)其中是独立的。Y∼Cauchy(μ = 0,θ = 1)是柯西分布，如果Y&=&X1&/&X2，其中X1∼N(0,1)并且X2∼N(0,1)是两个独立的正态分布。Y∼Log-N(μ,σ2)是对数正态分布如果Y&=&eX并且X∼N(μ,σ2).与Lévy skew alpha-stable分布相关：如果因而.
截断正态分布.如果，
在A以下和B以上截取X&将产生一个平均值这里，φ是一个标准正态随机变量的密度函数
如果X是一个正态分布的随机变量,&Y&= |&X&|&，那么Y具有折叠正态分布.
[编辑]参量估计
[编辑]参数的极大似然估计
[编辑]概念一般化
多元正态分布的协方差矩阵的估计的推导是比较难于理解的。它需要了解谱原理（spectral
theorem）以及为什么把一个标量看做一个1×1 matrix的trace而不仅仅是一个标量更合理的原因。请参考协方差矩阵的估计（estimation
of covariance matrices）.
[编辑]参数的矩估计
[编辑]常见实例
[编辑]光子计数
[编辑]计量误差
《饮料装填量不足与超量的概率》
某饮料公司装瓶流程严谨，每罐饮料装填量符合平均600毫升，标准差3毫升的常态分配法则。随机选取一罐，容量超过605毫升的概率？容量小于590毫升的概率
容量超过605毫升的概率 = p ( X & 605)= p ( ((X-μ) /σ) & ( (605 – 600) / 3) )= p ( Z & 5/3) = p( Z & 1.67) = 0.9525
容量小于590毫升的概率 = p (X & 590) = p ( ((X-μ) /σ) & ( (590 – 600) / 3) )= p ( Z & -10/3) = p( Z & -3.33) = 0.0004
《6-标准差(6-sigma或6-σ)的品质管制标准》
6-标准差(6-sigma或6-σ)，是制造业流行的品质管制标准。在这个标准之下，一个标准常态分配的变量值出现在正负三个标准差之外，只有2* 0.6 (p (Z & -3) = 0.0013以及p(Z & 3) = 0.0013)。也就是说，这种品质管制标准的产品不良率只有万分之二十六。假设例3-16的饮料公司装瓶流程采用这个标准，而每罐饮料装填量符合平均600毫升，标准差3毫升的常态分配法则。预期装填容量的范围应该多少？ 6-标准差的范围 = p ( -3 & Z & 3)= p (
- 3 & (X-μ) /σ & 3) = p ( -3 & (X- 600) / 3 & 3)= p ( -9 & X – 600 & 9) = p (591 & X & 609) 因此，预期装填容量应该介于591至609毫升之间。
[编辑]生物标本的物理特性
[编辑]金融变量
[编辑]寿命
[编辑]测试和智力分布
《计算学生智商高低的概率》
假设某校入学新生的智力测验平均分数与方差分别为100与12。那么随机抽取50个学生，他们智力测验平均分数大于105的概率？小于90的概率？
本例没有常态分配的假设，还好中心极限定理提供一个可行解，那就是当随机样本长度超过30，样本平均数xbar近似于一个常态变量，因此标准常态变量Z = (xbar –μ) /σ/ √n。
平均分数大于105的概率 = p(Z& (105 – 100) / (12 /√50))= p(Z& 5/1.7) = p( Z & 2.94) = 0.0016
平均分数小于90的概率 = p(Z& (90 – 100) / (12 /√50))= p(Z & 5.88) = 0.0000
[编辑]计算统计应用
[编辑]生成正态分布随机变量
在计算机模拟中，经常需要生成正态分布的数值。最基本的一个方法是使用标准的正态累积分布函数的反函数。除此之外还有其他更加高效的方法，Box-Muller变换就是其中之一。另一个更加快捷的方法是ziggurat算法。下面将介绍这两种方法。一个简单可行的并且容易编程的方法是：求12个在（0,1）上均匀分布的和，然后减6(12的一半)。这种方法可以用在很多应用中。这12个数的和是Irwin-Hall分布；选择一个方差12。这个随即推导的结果限制在（-6,6）之间，并且密度为12，是用11次多项式估计正态分布。
Box-Muller方法是以两组独立的随机数U和V，这两组数在(0,1]上均匀分布，用U和V生成两组独立的标准正态分布随即变量X和Y:
这个方程的提出是因为二自由度的卡方分布（见性质4）很容易由指数随机变量（方程中的lnU）生成。因而通过随机变量V可以选择一个均匀环绕圆圈的角度，用指数分布选择半径然后变换成（正态分布的）x,y坐标。
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