2.5 计算机生物信号采集处理系统 - 动物实验 - 生物秀
标题: 2.5 计算机生物信号采集处理系统
摘要: [2 5 计算机生物信号采集处理系统]2 5 计算机生物信号采集处理系统在生理学实验中的应用 生物信号采集、处理系统是应用大规模集成电路、计算机硬件和软件技术开发的一种集生物信号的放大、采集、显示、处理、存储和分析的电机一体化仪器。该系统可替代传统的刺激器、放大器、示波器、记录仪，一机多用，功能强大。广泛地被应用于生理学、病理学、药理学实验。2 5 1 计算…… [关键词:采样 计算机 刺激器 脉冲 换能器 放大器 动作电位]……
2.5 计算机生物信号采集处理系统在生理学实验中的应用 生物信号采集、处理系统是应用大规模集成电路、计算机硬件和软件技术开发的一种集生物信号的放大、采集、显示、处理、存储和分析的电机一体化。该系统可替代传统的刺激器、放大器、示波器、记录仪，一机多用，功能强大。广泛地被应用于生理学、病理学、药理学实验。2.5.1 计算机生物信号采、集处理系统的基本组成和工作原理 目前我国的生物信号采集处理系统多达十余种,因各制造商开发的年代和使用风格不同,相互之间存在着一定的差异。早期的产品基于DOS操作系统，而近期产品多以Windows操作系统，虽然产品有不同的特点，但基本的结构和工作原理具有一定的共性,现做一简要的介绍。 该系统由硬件和软件两大部分组成。硬件主要完成对各种生物电信号(如：心电、肌电、脑电)与非电生物信号(如：血压、张力、呼吸)的采集。并对采集到的信号进行调理、放大，进而对信号进行模／数(A／D)转换，使之进入计算机。软件主要用来对已经数字化了的生物信号进行显示、记录、存储、处理及打印输出，同时对系统各部分进行控制，与操作者进行人机对话(图2.5-1)。2.5.1.1 传感器和放大器 生物所产生的信息，其形式多种多样，除生物电信号可直接检取外，其它形式的生物信号必须先转换成电信号，对微弱的电信号还需经过放大，才能作进一步的处理。生物信号采集处理系统中的刺激器和放大器都是由计算机程控的,其工作原理和一般的刺激器、放大器完全一样。主要的区别在于一般是机械触点式切换，而信号采集系统是电子模拟开关，由电压高低的变化控制，是程序化管理，提高了仪器的可靠性，延长了仪器的寿命。 2.5.1.2 信号的采集 计算机在采集生物信号时，通常按照一定的时间间隔对生物信号取样，并将其转换成数字信号后放入内存。这个过程称为采样。 (1)A/D转换器 生物信号通常是一种连续的时间函数，必需转换为离散函数，再将这离散的函数按照计算机的“标准尺度”数字化，以二进制表达，才能被计算机所接受。A/D转换设备能提供多路模/数转化和数/模转换化。A/D转换需要一定时间，这个时间的长短决定着系统的最高采样速度。A/D转换的结果是以一定精度的数字量表示，精度愈高，（曲线的）幅度的连续性愈好。对一般的 生物信号采样精度不应低于12位数字。转换速度和转换精度是衡量A/D转换器性能的重要指标。 (2)采样与采样有关的参数包括：通道选择、采样间隔、触发方式和采样长度等方面。 ①通道选择： 一个实验往往要记录多路信号，如心电、心音、血压等。计算机对多路信号进行同步采样，是通过一个“多选一”的模拟开关完成的。在一个很短暂的时间内，计算机通过模拟开关对各路信号分别选通、采样。这样，尽管对各路信号的采样有先有后，但由于这个“时间差”极短暂，因此，仍可以认为对各路信号的采样是“同步”的。
②采样间隔： 原始信号是连续的，而采样是间断进行的。对某一路信号而言，两个相邻采样之间的时间间隔称为采样间隔。间隔愈短，单位时间内的采样次数愈多。采样间隔的选取与生理信号的频率也有关，采样速率过低，就会使信号的高频成分丢失。但采样速率过高会产生大量不必要的数据，给处理、存储带来麻烦。根据采样定律，采样频率应大于信号最高频率的2倍。实际应用时，常取信号最高频率的3～5倍来作为采样速率。 ③采样方式： 采样通常有连续采样和触发采样两种方式。在记录自发生理信号(如心电、血压)时，采用连续采样的方式。而在记录诱发生理信号(如皮层诱发电位)时，常采用触发采样的方式。后者又可根据触发信号的来源分为外触发和内触发。 ④采样长度： 在触发采样方式中．启动采样后，采样持续的时间称为采样长度。它一般应略长于一次生理反应所持续的时间。这样既记录到了有用的波形，又不会采集太多无用的数据造成内存的浪费。2.5.1.3 生物信号的处理
计算机生物信号采集处理系统因其强大的计算功能，可起到滤波器的功能，而且性能远远超过模拟电路，恢复被噪音所淹没的重复性生理信号。人们可以测量信号的大小、数量、变化程度和变化规律，如波形的宽度、幅度、斜率、零交点数等参数。做进一步的分类统计、分析给出各频率分能量（如脑电、肌电及心率变异信号）在信号总能量中所占的比重、对信号源进行定位。对实验结果可以用计数或图形方式输出。对来自摄像机或扫描仪的图像信息经转换后，也可输入计算机进行分析。所以计算机生物信号采集处理系统，不仅具备了刺激器、放大器、示波器、记录仪和照相机等仪器的记录功能外，而且还兼有微分仪、积分仪、触发积分仪、频谱分析仪等信号分析仪器的信息处理功能。为节省存储空间，计算机可对其获得的数据可按一定的算法进行压缩。2.5.1.4 动态模拟 通过建立一定的数学模型。计算机可以仿真模拟一些生理过程。例如激素或药物在体内的分布过程、心脏的起搏过程、动作电位的产生过程等均可用计算机进行模拟。除过程模拟外，利用计算机动画技术还可在荧光屏上模拟心脏泵血、胃肠蠕动、尿液生成、兴奋的传导等生理过程。 2.5.2 计算机生物信号采集、处理系统的基本操作 计算机生物信号采集、处理系统种类繁多，用其进行实验操作方法各有所异,这里只能做一般的、原则性介绍。掌握实验的一般流程、配置实验和刺激参数设置方法是我们用好生物信号采集系统的关键。 (1)进入系统，选择通道：确定信号输入到哪个通道，以打“对勾”表示。 (2)刺激方式的选择:根据实验的需要确定是否需要刺激。一般可有7种刺激方式可被选择（见刺激参数设置） (3)选择输入方式：根据生物信号的性质：是非电信号（如骨骼肌张力、血压、呼吸道压力、心肌收缩力、肠肌张力等）还是电的信号（如神经干动作电位、心电、神经放电、脑电等），确定是否需要换能器。 (4)交/直流的选择 根据生物信号是快信号（如神经干动作电位、心室肌动作电位、神经放电等）还是慢信号（如血压、呼吸、心电、平滑肌张力等）确定以何种电流输入。一般电信号选择交流输入，非电信号经换能后选择直流输入。来自另外的前置放大器的输入信号，采用直流输入的方式（如经微电极放大器后的心室肌动作电位信号）。可用放大器的时间常数进行选择（或有专门的开关）。 (5)放大器放大倍数的选择：采样卡的有效采样电压一般位+/-5V。所以输入信号的强度一般不能超过5 V，根据信号的强弱选择适当的放大倍数,在不溢出的前提下,放大倍数选大一些为好。 (6)滤波选择： 根据是否需要滤波确定高频滤波和时间常数，使采样在最好的波段中进行（见2.3.1）。
(7)选择显示模式 ：用计算机生物信号采集、处理系统进行实验时有两种显示模 式的选择：一类为快捷（或标准）方式，系统内提供了许多常规的生理、病理、药理专项实验方法，所配置及标定的参数都已提供在每一专项实验选项中。因此只要进入系统，激活实验菜单，选择具体的实验项目，即可按照标准实验内容做好各项配置、标定而进行实验。另一类是一般性（或通用）方式，适用于科研与特殊教学实验，可根据需要不断改变系统参数（进行显示设置），使采集的波形更好，更适合于观察及符合实验结果。 ① “连续记录”方式：用来记录变化较慢，频率较低的生物信号。如实验中的血压，呼吸，心电、张力等，扫描线的方向是由右向左，连续滚动，与传统仪器的二导记录仪相一致。它的采样间隔从最慢50 ms至最快25 μs，有11档可选。在上述经典实验中一般选l ms～ 10 ms之间即可。 ② “记忆示波”方式：用来记录变化快，频率高的生物信号。如：实验中的神经干动作电位，动作电位传导速度，心室肌动作电位等。扫描线的方向是由左至右，一屏一屏地记录，与传统示波器相一致。它的采样间隔选项从最快每次1 ms～10 μs,有8档可选。(注意：在10 μs档即100 KHz采样频率只允许单窗口运行)在经典型实验一般选25 μs或50 μs即可。 ③刺激触发显示方式 是一种单帧波形显示方式。表示发出一个刺激信号，采集一帧生物信号数据，并把它显示在屏幕上。如果选择了“记忆示波”显示方式则应考虑选择“刺激器触发显示”，要求刺激与采样同步工作。还有其它显示方式，此处不再列举。 (8)采样间隔选择：注意采样间隔与所采信号相匹配。采样间隔调控的合适值应多试几次，以求最好。 (9)采样 进入实验项目（通道采样内容）从1～4通道输入生理信号并选择希望进行的实验项目，点击开始按钮，系统开始采样，采样窗中即有扫描线出现，并随外部信号变化，显示起伏波形。 注意：如果在触发方式中选定了刺激器触发，则应当在主界面中点击“刺激”按钮启动刺激器，即可开始同步采样。 (10)实时调整采样参数：为使采样波形达到最好——即最有利于观察的状态，可以在采样过程中,时实按以下步骤调节各部分：
①如感信号太大或太小,可实时点击各通道放大器增益按钮，改变放大倍数,将信号幅度放大至适当程度。 ②调节各通道的时间常数和高频滤波值 ③调节各通道的扫描速度。 ④如感到图形显示太大或太小, 可实时在Y轴上进行压缩或扩展，使图形大小适中。注意此时输入的信号并没有改变，仅是图形的变形。 ⑤如果感到图形X轴压缩比不合适,可实时点击X轴压缩或扩展按钮，使扫描线滚动速度适合观察。 ⑥在需要刺激时，可在刺激器参数调整栏中，逐个调整刺激参数，形成最佳参数。 ⑦ 如果出现50 Hz的干扰,可启动50 Hz抑制,将50 Hz电源的干扰信号消除掉。该命令只能对当前通道起作用。 (11)结束采样 点击采样结束按钮结束采样，全部结果数据以图形方式显示在各自的窗口，可移动X方向棍条从头到尾观察所有的图形。并可拖选图形进行观测量、进入表格、打印等后处理。 (12) 设置存盘 如果本次实验成功，所选的设置参数合理，可将本设置以自定义文件名存盘。2.5.3 刺激器的设置为了方便电生理实验，系统内置了一个由软件程控的刺激器，对采样条件设置完成后，即可对刺激器进行设置。根据不同实验要求，可选择不同的刺激模式。 刺激模式有：单刺激、 串刺激、主周期刺激、自动间隔调节，自动幅度调节，自动波宽调节、自动频率调节等模式。 (1)刺激的基本方式： 最基本的刺激方式有三种： ①单刺激，与普通刺激器一样，输出(数次)单个方波刺激，延时、波宽、幅度可调。可用于骨骼肌单收缩、心肌期前收缩等实验。 ②串刺激，相当于普通刺激器的复刺激，但刺激持续时间由程序控制。启动串刺激后，到达串长的时间，刺激器自动停止刺激输出。串刺激的延时（即普通复刺激的串间隔）、串长、波宽、幅度、频率可调。刺激降压神经、迷走神经和强直收缩等实验可采取此种刺激方式。 ③主周期刺激，与普通刺激器相比，此种刺激方式是将几个刺激脉冲组成一个刺激周期看待，于是有了主周期和周期数概念。主周期，每个周期所需要的时间。周期数：重复每一个周期的次数（即主周期数）。每个主周期下又有①延时、②波宽、③波幅、④波间隔、⑤脉冲数(详见刺激器部分)，这些参数都是可调的。有了这些可调参数，可输出多种刺激形式。如周期数为 1脉冲数也为1，表示重复1次主周期，主周期中只有一个脉冲，相当于单刺激。周期数是连续、脉冲数是1，即不断重复主周期，而且主周期内只有1个脉冲刺激，这相当于复刺激。周期数是连续、脉冲数是2，即不断重复主周期，而且主周期内有2个脉冲刺激，这相当于双脉冲刺激……。 (2)专用刺激方式：为了便于实验，在上述刺激方式的基础上还可以选择下述4种刺激方式。 ①自动间隔调节：在主周期刺激基础上自动增、减脉冲间隔，默认的脉冲数为2。主要用于不应期的测量。主周期、延时、波宽、波幅、首间隔、增量可调。 ②自动幅度调节：在主周期刺激基础上自动增、减脉冲的幅度。主要用于阈强度的测定。主周期、延时、波宽、初幅度、增量、脉冲数、间隔可调。 ③自动波宽调节：在主周期刺激基础上自动增、减脉冲的波宽。主要用于时间-强度曲线的测定。主周期、延时、波幅、频率、首波宽、增量可调。 ④自动频率调节：在串刺激基础上对刺激脉冲的频率自动增、减。主要用于单收缩，强直收缩，膈肌张力与刺激频率的关系等实验。串长、波宽、波幅、首频率、增量、串间隔可调。2.5.4换能器定标：
换能器是将非电生物信号转换为电信号的装置。由于制造时采用的部件不同及相同部件参数存在误差，所以每一个换能器在转换非生物信号时都不可能完全一致（即同样强度的能量经不同打的换能器转换的电压值不可能绝对一致）。因此，为了准确地反应实验结果，就有必要在实验前对换能器进行校验，使之尽量减少误差，保证实验结果的真实性和准确性。各种换能器标定的原理一致，仅是装置有所不同。定标包括调零和标定。 (1)调零: 选定“调零”命令之后,可使系统在输入端悬空时, 偏离基线(红色0校准线) 的直流输入信号波形回到基线位置。 (2)定标: 选定“定标”命令之后，给换能器一个固定值的标准的信号，再将其固定值输入系统，以更改原数值。今后将跟随该通道实验名称一起调用。例如为1通道张力信号定标： ①将信号参数选为张力信号；②张力换能器插入1通道，并使其处于悬空状态，即不负重；③调节张力换能器的零点（可参考2.2.2换能器部分），使其输入信号恰好处于1通道的基线上（0刻度线上），用鼠标按下定标对话框中的定标按钮；④将定标参数选择为“标准信号”，在张力换能器悬梁上挂一个砝码（1～200 g范围内任选），然后在“定标值输入”框内输入砝码的重量；⑤当输入信号稳定之后，按下“定标”按钮。⑥用同样的方法也可以对其它通道进行定标。压力信号的定标与此类同（图2.5-2,图2.5-3）。
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第一课 什么是卷积 卷积有什么用 什么是傅利叶变换 什么是拉普拉斯变换 引子很多朋友和我一样，工科电子类专业，学了一堆信号方面的课，什么都没学懂，背了公式考了试，然后毕业了。
先说"卷积有什么用"这个问题。(有人抢答，"卷积"是为了学习"信号与系统"这门课的后续章节而存在的。我大吼一声，把他拖出去枪毙！)
讲一个故事:
张三刚刚应聘到了一个电子产品公司做测试人员，他没有学过"信号与系统"这门课程。一天，他拿到了一个产品，开发人员告诉他，产品有一个输入端，有一个输出端，有限的输入信号只会产生有限的输出。
然后，经理让张三测试当输入sin(t)(t&1秒)信号的时候(有信号发生器)，该产品输出什么样的波形。张三照做了，花了一个波形图。
"很好！"经理说。然后经理给了张三一叠A4纸: "这里有几千种信号，都用公式说明了，输入信号的持续时间也是确定的。你分别测试以下我们产品的输出波形是什么吧！"
这下张三懵了，他在心理想"上帝，帮帮我把，我怎么画出这些波形图呢?"
于是上帝出现了: "张三，你只要做一次测试，就能用数学的方法，画出所有输入波形对应的输出波形"。
上帝接着说:"给产品一个脉冲信号，能量是1焦耳，输出的波形图画出来！"
张三照办了，"然后呢?"
上帝又说，"对于某个输入波形，你想象把它微分成无数个小的脉冲，输入给产品，叠加出来的结果就是你的输出波形。你可以想象这些小脉冲排着队进入你的产品，每个产生一个小的输出，你画出时序图的时候，输入信号的波形好像是反过来进入系统的。"
张三领悟了:" 哦，输出的结果就积分出来啦！感谢上帝。这个方法叫什么名字呢?"
上帝说:"叫卷积！"
从此，张三的工作轻松多了。每次经理让他测试一些信号的输出结果，张三都只需要在A4纸上做微积分就是提交任务了！----------------------------------------
张三愉快地工作着，直到有一天，平静的生活被打破。
经理拿来了一个小的电子设备，接到示波器上面，对张三说: "看，这个小设备产生的波形根本没法用一个简单的函数来说明，而且，它连续不断的发出信号！不过幸好，这个连续信号是每隔一段时间就重复一次的。张三，你 来测试以下，连到我们的设备上，会产生什么输出波形！"
张三摆摆手:"输入信号是无限时长的，难道我要测试无限长的时间才能得到一个稳定的，重复的波形输出吗?"
经理怒了:"反正你给我搞定，否则炒鱿鱼！"
张三心想:"这次输入信号连公式都给出出来，一个很混乱的波形；时间又是无限长的，卷积也不行了，怎么办呢?"
及时地，上帝又出现了:"把混乱的时间域信号映射到另外一个数学域上面，计算完成以后再映射回来"
"宇宙的每一个原子都在旋转和震荡，你可以把时间信号看成若干个震荡叠加的效果，也就是若干个可以确定的，有固定频率特性的东西。"
"我给你一个数学函数f，时间域无限的输入信号在f域有限的。时间域波形混乱的输入信号在f域是整齐的容易看清楚的。这样你就可以计算了"
"同时，时间域的卷积在f域是简单的相乘关系，我可以证明给你看看"
"计算完有限的程序以后，取f(-1)反变换回时间域，你就得到了一个输出波形，剩下的就是你的数学计算了！"
张三谢过了上帝，保住了他的工作。后来他知道了，f域的变换有一个名字，叫做傅利叶，什么什么... ...----------------------------------------
再后来，公司开发了一种新的电子产品，输出信号是无限时间长度的。这次，张三开始学拉普拉斯了......后记:
不是我们学的不好，是因为教材不好，老师讲的也不好。
很欣赏Google的面试题: 用3句话像老太太讲清楚什么是数据库。这样的命题非常好，因为没有深入的理解一个命题，没有仔细的思考一个东西的设计哲学，我们就会陷入细节的泥沼: 背公式，数学推导，积分，做题；而没有时间来回答"为什么要这样"。做大学老师的做不到"把厚书读薄"这一点，讲不出哲学层面的道理，一味背书和翻讲 ppt，做着枯燥的数学证明，然后责怪"现在的学生一代不如一代"，有什么意义吗?
第二课 到底什么是频率 什么是系统?
这一篇，我展开的说一下傅立叶变换F。注意，傅立叶变换的名字F可以表示频率的概念(freqence)，也可以包括其他任何概念，因为它只是一个概念模 型，为了解决计算的问题而构造出来的(例如时域无限长的输入信号，怎么得到输出信号)。我们把傅立叶变换看一个C语言的函数，信号的输出输出问题看为IO 的问题，然后任何难以求解的x-&y的问题都可以用x-&f(x)-&f-1(x)-&y来得到。1. 到底什么是频率?
一个基本的假设: 任何信息都具有频率方面的特性，音频信号的声音高低，光的频谱，电子震荡的周期，等等，我们抽象出一个件谐振动的概念，数学名称就叫做频率。想象在x-y 平面上有一个原子围绕原点做半径为1匀速圆周运动，把x轴想象成时间，那么该圆周运动在y轴上的投影就是一个sin(t)的波形。相信中学生都能理解这 个。
那么，不同的频率模型其实就对应了不同的圆周运动速度。圆周运动的速度越快，sin(t)的波形越窄。频率的缩放有两种模式(a) 老式的收音机都是用磁带作为音乐介质的，当我们快放的时候，我们会感觉歌唱的声音变得怪怪的，调子很高，那是因为"圆周运动"的速度增倍了，每一个声音分量的sin(t)输出变成了sin(nt)。(b) 在CD/计算机上面快放或满放感觉歌手快唱或者慢唱，不会出现音调变高的现象：因为快放的时候采用了时域采样的方法，丢弃了一些波形，但是承载了信息的输出波形不会有宽窄的变化；满放时相反，时域信号填充拉长就可以了。2. F变换得到的结果有负数/复数部分，有什么物理意义吗?
解释: F变换是个数学工具，不具有直接的物理意义，负数/复数的存在只是为了计算的完整性。3. 信号与系统这们课的基本主旨是什么?
对于通信和电子类的学生来说，很多情况下我们的工作是设计或者OSI七层模型当中的物理层技术，这种技术的复杂性首先在于你必须确立传输介质的电气特 性，通常不同传输介质对于不同频率段的信号有不同的处理能力。以太网线处理基带信号，广域网光线传出高频调制信号，移动通信，2G和3G分别需要有不同的 载频特性。那么这些介质(空气，电线，光纤等)对于某种频率的输入是否能够在传输了一定的距离之后得到基本不变的输入呢? 那么我们就要建立介质的频率相应数学模型。同时，知道了介质的频率特性，如何设计在它上面传输的信号才能大到理论上的最大传输速率?----这就是信号与 系统这们课带领我们进入的一个世界。
当然，信号与系统的应用不止这些，和香农的信息理论挂钩，它还可以用于信息处理(声音，图像)，模式识别，智能控制等领域。如果说，计算机专业的课程是 数据表达的逻辑模型，那么信号与系统建立的就是更底层的，代表了某种物理意义的数学模型。数据结构的知识能解决逻辑信息的编码和纠错，而信号的知识能帮我 们设计出码流的物理载体(如果接受到的信号波形是混乱的，那我依据什么来判断这个是1还是0? 逻辑上的纠错就失去了意义)。在工业控制领域，计算机的应用前提是各种数模转换，那么各种物理现象产生的连续模拟信号(温度，电阻，大小，压力，速度等) 如何被一个特定设备转换为有意义的数字信号，首先我们就要设计一个可用的数学转换模型。4. 如何设计系统?
设计物理上的系统函数(连续的或离散的状态)，有输入，有输出，而中间的处理过程和具体的物理实现相关，不是这们课关心的重点(电子电路设计?)。信号 与系统归根到底就是为了特定的需求来设计一个系统函数。设计出系统函数的前提是把输入和输出都用函数来表示(例如sin(t))。分析的方法就是把一个复 杂的信号分解为若干个简单的信号累加，具体的过程就是一大堆微积分的东西，具体的数学运算不是这门课的中心思想。
那么系统有那些种类呢?(a) 按功能分类: 调制解调(信号抽样和重构)，叠加，滤波，功放，相位调整，信号时钟同步，负反馈锁相环，以及若干子系统组成的一个更为复杂的系统----你可以画出系统 流程图，是不是很接近编写程序的逻辑流程图? 确实在符号的空间里它们没有区别。还有就是离散状态的数字信号处理(后续课程)。(b) 按系统类别划分，无状态系统，有限状态机，线性系统等。而物理层的连续系统函数，是一种复杂的线性系统。5. 最好的教材?
符号系统的核心是集合论，不是微积分，没有集合论构造出来的系统，实现用到的微积分便毫无意义----你甚至不知道运算了半天到底是要作什么。以计算机的观点来学习信号与系统，最好的教材之一就是&&， 作者是UC Berkeley的Edward A.Lee and Pravin Varaiya----先定义再实现，符合人类的思维习惯。国内的教材通篇都是数学推导，就是不肯说这些推导是为了什么目的来做的，用来得到什么，建设什 么，防止什么；不去从认识论和需求上讨论，通篇都是看不出目的的方法论，本末倒置了。第三课 抽样定理是干什么的 1. 举个例子，打电话的时候，电话机发出的信号是PAM脉冲调幅，在电话线路上传的不是话音，而是话音通过信道编码转换后的脉冲序列，在收端恢复语音波形。那 么对于连续的说话人语音信号，如何转化成为一些列脉冲才能保证基本不失真，可以传输呢? 很明显，我们想到的就是取样，每隔M毫秒对话音采样一次看看电信号振幅，把振幅转换为脉冲编码，传输出去，在收端按某种规则重新生成语言。
那么，问题来了，每M毫秒采样一次，M多小是足够的? 在收端怎么才能恢复语言波形呢?
对于第一个问题，我们考虑，语音信号是个时间频率信号(所以对应的F变换就表示时间频率)把语音信号分解为若干个不同频率的单音混合体(周期函数的复利叶 级数展开，非周期的区间函数，可以看成补齐以后的周期信号展开，效果一样)，对于最高频率的信号分量，如果抽样方式能否保证恢复这个分量，那么其他的低频 率分量也就能通过抽样的方式使得信息得以保存。如果人的声音高频限制在3000Hz，那么高频分量我们看成sin(3000t)，这个sin函数要通过抽 样保存信息，可以看为: 对于一个周期，波峰采样一次，波谷采样一次，也就是采样频率是最高频率分量的2倍(奈奎斯特抽样定理)，我们就可以通过采样信号无损的表示原始的模拟连续 信号。这两个信号一一对应，互相等价。
对于第二个问题，在收端，怎么从脉冲序列(梳装波形)恢复模拟的连续信号呢? 首先，我们已经肯定了在频率域上面的脉冲序列已经包含了全部信息，但是原始信息只在某一个频率以下存在，怎么做? 我们让输入脉冲信号I通过一个设备X，输出信号为原始的语音O，那么I(*)X=O，这里(*)表示卷积。时域的特性不好分析，那么在频率域 F(I)*F(X)=F(O)相乘关系，这下就很明显了，只要F(X)是一个理想的，低通滤波器就可以了(在F域画出来就是一个方框)，它在时间域是一个 钟型函数(由于包含时间轴的负数部分，所以实际中不存在)，做出这样的一个信号处理设备，我们就可以通过输入的脉冲序列得到几乎理想的原始的语音。在实际 应用中，我们的抽样频率通常是奈奎斯特频率再多一点，3k赫兹的语音信号，抽样标准是8k赫兹。2. 再举一个例子，对于数字图像，抽样定理对应于图片的分辨率----抽样密度越大，图片的分辨率越高，也就越清晰。如果我们的抽样频率不够，信息就会发生混 叠----网上有一幅图片，近视眼戴眼镜看到的是爱因斯坦，摘掉眼睛看到的是梦露----因为不带眼睛，分辨率不够(抽样频率太低)，高频分量失真被混入 了低频分量，才造成了一个视觉陷阱。在这里，图像的F变化，对应的是空间频率。
话说回来了，直接在信道上传原始语音信号不好吗? 模拟信号没有抗干扰能力，没有纠错能力，抽样得到的信号，有了数字特性，传输性能更佳。
什么信号不能理想抽样? 时域有跳变，频域无穷宽，例如方波信号。如果用有限带宽的抽样信号表示它，相当于复利叶级数取了部分和，而这个部分和在恢复原始信号的时候，在不可导的点上面会有毛刺，也叫吉布斯现象。3. 为什么傅立叶想出了这么一个级数来? 这个源于西方哲学和科学的基本思想: 正交分析方法。例如研究一个立体形状，我们使用x,y,z三个互相正交的轴: 任何一个轴在其他轴上面的投影都是0。这样的话，一个物体的3视图就可以完全表达它的形状。同理，信号怎么分解和分析呢? 用互相正交的三角函数分量的无限和：这就是傅立叶的贡献。入门第四课 傅立叶变换的复数 小波
说的广义一点，"复数"是一个"概念"，不是一种客观存在。
什么是"概念"? 一张纸有几个面? 两个，这里"面"是一个概念，一个主观对客观存在的认知，就像"大"和"小"的概念一样，只对人的意识有意义，对客观存在本身没有意义(康德: 纯粹理性的批判)。把纸条的两边转一下相连接，变成"莫比乌斯圈"，这个纸条就只剩下一个"面"了。概念是对客观世界的加工，反映到意识中的东西。
数的概念是这样被推广的: 什么数x使得x^2=-1? 实数轴显然不行，(-1)*(-1)=1。那么如果存在一个抽象空间，它既包括真实世界的实数，也能包括想象出来的x^2=-1，那么我们称这个想象空间 为"复数域"。那么实数的运算法则就是复数域的一个特例。为什么1*(-1)=-1? +-符号在复数域里面代表方向，-1就是"向后，转!"这样的命令，一个1在圆周运动180度以后变成了-1，这里，直线的数轴和圆周旋转，在复数的空间 里面被统一了。
因此，(-1)*(-1)=1可以解释为"向后转"+"向后转"=回到原地。那么复数域如何表示x^2=-1呢? 很简单，"向左转"，"向左转"两次相当于"向后转"。由于单轴的实数域(直线)不包含这样的元素，所以复数域必须由两个正交的数轴表示--平面。很明 显，我们可以得到复数域乘法的一个特性，就是结果的绝对值为两个复数绝对值相乘，旋转的角度=两个复数的旋转角度相加。高中时代我们就学习了迪莫弗定理。 为什么有这样的乘法性质? 不是因为复数域恰好具有这样的乘法性质(性质决定认识)，而是发明复数域的人就是根据这样的需求去弄出了这么一个复数域(认识决定性质)，是一种主观唯心 主义的研究方法。为了构造x^2=-1，我们必须考虑把乘法看为两个元素构成的集合: 乘积和角度旋转。
因为三角函数可以看为圆周运动的一种投影，所以，在复数域，三角函数和乘法运算(指数)被统一了。我们从实数域的傅立叶级数展开入手，立刻可以得到形式更 简单的，复数域的，和实数域一一对应的傅立叶复数级数。因为复数域形式简单，所以研究起来方便----虽然自然界不存在复数，但是由于和实数域的级数一一 对应，我们做个反映射就能得到有物理意义的结果。
那么傅立叶变换，那个令人难以理解的转换公式是什么含义呢? 我们可以看一下它和复数域傅立叶级数的关系。什么是微积分，就是先微分，再积分，傅立叶级数已经作了无限微分了，对应无数个离散的频率分量冲击信号的和。 傅立叶变换要解决非周期信号的分析问题，想象这个非周期信号也是一个周期信号: 只是周期为无穷大，各频率分量无穷小而已(否则积分的结果就是无穷)。那么我们看到傅立叶级数，每个分量常数的求解过程，积分的区间就是从T变成了正负无 穷大。而由于每个频率分量的常数无穷小，那么让每个分量都去除以f，就得到有值的数----所以周期函数的傅立叶变换对应一堆脉冲函数。同理，各个频率分 量之间无限的接近，因为f很小，级数中的f，2f，3f之间几乎是挨着的，最后挨到了一起，和卷积一样，这个复数频率空间的级数求和最终可以变成一个积分 式：傅立叶级数变成了傅立叶变换。注意有个概念的变化：离散的频率，每个频率都有一个"权"值，而连续的F域，每个频率的加权值都是无穷小(面积=0)， 只有一个频率范围内的"频谱"才对应一定的能量积分。频率点变成了频谱的线。
因此傅立叶变换求出来的是一个通常是一个连续函数，是复数频率域上面的可以画出图像的东西? 那个根号2Pai又是什么? 它只是为了保证正变换反变换回来以后，信号不变。我们可以让正变换除以2，让反变换除以Pi，怎么都行。慢点，怎么有"负数"的部分，还是那句话，是数轴 的方向对应复数轴的旋转，或者对应三角函数的相位分量，这样说就很好理解了。有什么好处? 我们忽略相位，只研究"振幅"因素，就能看到实数频率域内的频率特性了。
我们从实数(三角函数分解)-&复数(e和Pi)-&复数变换(F)-&复数反变换(F-1)-&复数(取幅度分量)-& 实数，看起来很复杂，但是这个工具使得，单从实数域无法解决的频率分析问题，变得可以解决了。两者之间的关系是: 傅立叶级数中的频率幅度分量是a1-an,b1-bn，这些离散的数表示频率特性，每个数都是积分的结果。而傅立叶变换的结果是一个连续函数: 对于f域每个取值点a1-aN(N=无穷)，它的值都是原始的时域函数和一个三角函数(表示成了复数)积分的结果----这个求解和级数的表示形式是一样 的。不过是把N个离散的积分式子统一为了一个通用的，连续的积分式子。
复频域，大家都说画不出来，但是我来画一下！因为不是一个图能够表示清楚的。我用纯中文来说:1. 画一个x,y轴组成的平面，以原点为中心画一个圆(r=1)。再画一条竖直线: (直线方程x=2)，把它看成是一块挡板。2. 想象，有一个原子，从(1,0)点出发，沿着这个圆作逆时针匀速圆周运动。想象太阳光从x轴的复数方向射向x轴的正数方向，那么这个原子运动在挡板(x=2)上面的投影，就是一个简协震动。3. 再修改一下，x=2对应的不是一个挡板，而是一个打印机的出纸口，那么，原子运动的过程就在白纸上画下了一条连续的sin(t)曲线!
上面3条说明了什么呢? 三角函数和圆周运动是一一对应的。如果我想要sin(t+x)，或者cos(t)这种形式，我只需要让原子的起始位置改变一下就可以了：也就是级坐标的向量，半径不变，相位改变。
傅立叶级数的实数展开形式，每一个频率分量都表示为AnCos(nt)+BnSin(nt)，我们可以证明，这个式子可以变成 sqr(An^2+Bn^2)sin(nt+x)这样的单个三角函数形式，那么：实数值对(An,Bn)，就对应了二维平面上面的一个点，相位x对应这个 点的相位。实数和复数之间的一一对应关系便建立起来了，因此实数频率唯一对应某个复数频率，我们就可以用复数来方便的研究实数的运算：把三角运算变成指数 和乘法加法运算。-------------------------------------------------------------------------
但是，F变换仍然是有限制的(输入函数的表示必须满足狄义赫立条件等)，为了更广泛的使用"域"变换的思想来表示一种"广义"的频率信息，我们就发明出了 拉普拉斯变换，它的连续形式对应F变换，离散形式就成了Z变换。离散信号呢? 离散周期函数的F级数，项数有限，离散非周期函数(看为周期延拓以后仍然是离散周期函数)，离散F级数，仍然项数有限。离散的F变换，很容易理解---- 连续信号通过一个周期采样滤波器，也就是频率域和一堆脉冲相乘。时域取样对应频域周期延拓。为什么? 反过来容易理解了，时域的周期延拓对应频率域的一堆脉冲。
两者的区别：FT=从负无穷到正无穷对积分 LT=从零到正无穷对积分 (由于实际应用，通常只做单边Laplace变换，即积分从零开始) 具体地，在Fourier积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt显然是为一纯虚数；而在laplace变换中，所乘因子为 exp(-st)，其中s为一复数：s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier变换中的jwt，而D则是实部，作为衰减因子，这样就能将许多无法 作Fourier变换的函数（比如exp(at),a&0）做域变换。
而Z变换，简单地说，就是离散信号(也可以叫做序列)的Laplace变换，可由抽样信号的Laplace变换导出。ZT=从n为负无穷到正无穷对求和。 Z域的物理意义: 由于值被离散了，所以输入输出的过程和花费的物理时间已经没有了必然的关系(t只对连续信号有意义)，所以频域的考察变得及其简单起来，我们把 (1,-1,1,-1,1,-1)这样的基本序列看成是数字频率最高的序列，他的数字频率是1Hz(数字角频率2Pi)，其他的数字序列频率都是N分之 1Hz，频率分解的结果就是0-2Pi角频率当中的若干个值的集合，也是一堆离散的数。由于时频都是离散的，所以在做变换的时候，不需要写出冲击函数的因 子
离散傅立叶变换到快速傅立叶变换----由于离散傅立叶变换的次数是O(N^2)，于是我们考虑把离散序列分解成两两一组进行离散傅立叶变换，变换的计算复杂度就下降到了O(NlogN)，再把计算的结果累加O(N)，这就大大降低了计算复杂度。
再说一个高级话题: 小波。在实际的工程应用中，前面所说的这些变换大部分都已经被小波变换代替了。
什么是小波？先说什么是波：傅立叶级数里面的分量，sin/cos函数就是波，sin(t)/cos(t)经过幅度的放缩和频率的收紧，变成了一系列的波 的求和，一致收敛于原始函数。注意傅立叶级数求和的收敛性是对于整个数轴而言的，严格的。不过前面我们说了，实际应用FFT的时候，我们只需要关注部分信 号的傅立叶变换然后求出一个整体和就可以了，那么对于函数的部分分量，我们只需要保证这个用来充当砖块的"波函数"，在某个区间(用窗函数来滤波)内符合 那几个可积分和收敛的定义就可以了，因此傅立叶变换的"波"因子，就可以不使用三角函数，而是使用一系列从某些基本函数构造出来的函数族，只要这个基本函 数符合那些收敛和正交的条件就可以了。怎么构造这样的基本函数呢？sin(t)被加了方形窗以后，映射到频域是一堆无穷的散列脉冲，所以不能再用三角函数 了。我们要得到频率域收敛性好的函数族，能覆盖频率域的低端部分。说的远一点，如果是取数字信号的小波变换，那么基础小波要保证数字角频率是最大的 2Pi。利用小波进行离频谱分析的方法，不是像傅立叶级数那样求出所有的频率分量，也不是向傅立叶变换那样看频谱特性，而是做某种滤波，看看在某种数字角 频率的波峰值大概是多少。可以根据实际需要得到如干个数字序列。
我们采用(0,f),(f,2f),(2f,4f)这样的倍频关系来考察函数族的频率特性，那么对应的时间波形就是倍数扩展(且包含调制---所以才有频 谱搬移)的一系列函数族。频域是窗函数的基本函数，时域就是钟形函数。当然其他类型的小波，虽然频率域不是窗函数，但是仍然可用：因为小波积分求出来的变 换，是一个值，例如(0,f)里包含的总能量值，(f,2f)里面包含的总能量值。所以即使频域的分割不是用长方形而是其他的图形，对于结果来说影响不 大。同时，这个频率域的值，它的分辨率密度和时域小波基函数的时间分辨率是冲突的(时域紧频域宽，时域宽频域紧)，所以设计的时候受到海森堡测不准原理的 制约。Jpeg2000压缩就是小波：因为时频都是局部的，变换结果是数值点而不是向量，所以，计算复杂度从FFT的O(NlgN)下降到了O(N)，性 能非常好。PS:不要瞧不起人人党啊
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我也是学工科的，慢慢的随着工作以前学的就饭吃了，等到涉及的多了慢慢发现数学真的非常有用，大学的教授门讲课要是想楼主这样，我们就不会只为考试而学习，之后快速忘记
古典吉他控，通信工程专业
两年前学信号的时候就看过了。。。对树立正确三观的帮助很大......
的话：两年前学信号的时候就看过了。。。对树立正确三观的帮助很大......唔……本人是毕了业才发现很多知识要重学一遍那种。。电气自动化专业，傅里叶和拉普拉斯也是要用哒！以前还看过一个用抽嘴巴解释卷积的蛋疼文 &。& 这些当年看起来神一般的理论理解的物理意义之后公式也就不难记忆了。
挺有意思，看看！
古典吉他控，通信工程专业
的话：唔……本人是毕了业才发现很多知识要重学一遍那种。。电气自动化专业，傅里叶和拉普拉斯也是要用哒！以前还看过一个用抽嘴巴解释卷积的蛋疼文 &。&这些当年看起来神一般的理论理解的物理意义之后公式也就不难记忆了。不过我之前跟一哥们儿讨论过，学习的时候是否要先从物理概念入手而不是从数学本身......结论是很多东西找不到对应的物理概念，不合理的类比法也会引入误解，过于依赖于物理概念会弱化数学推导的关键作用，同时会遮蔽许多数学性质，所以还是得看学习的用途了，搞研究的话就老老实实从数学入手吧，工程类重应用的从物理概念入手没问题......
到后来我们把细节全忘了，就记住了概念
环境工程博士生，计算机爱好者
不如那个打脸的好理解啊。。。。。尤其对我这种业余的来说
关于卷积的那个解释，没有前些天看到的”关于卷积的一个血腥解释“给力。。。
留个名字，学习下
好像很厉害。。
这个是通信人论坛上的吧。还有用带兵打仗来讲解变频跳频的
等会儿看，先写物联网导论作业
有些启发，但概念形成和变换部分感觉自己依然好弱！！来自
我也是学工科的，慢慢的随着工作以前学的就饭吃了，等到涉及的多了慢慢发现数学真的非常有用，大学的教授门讲课要是想楼主这样，我们就不会只为考试而学习，之后快速忘记
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