为什么条件收敛的点是幂级数收敛半径域的端点

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-12-21 11:42 标签： 幂级数收敛
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【考研】考研数学：函数展开成幂级数的收敛域为何不同?
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　　无穷级数是高等数学的一个组成部分，也是考研数学一和数学三的必考内容。无穷级数有多种不同的形式或类型，包括常数项级数和函数项级数，其中常数项级数可分为正项级数、交错级数和一般级数，函数项级数主要研究幂级数，一般函数都可展开成幂级数。将函数展开成幂级数有多种应用，如近似计算、求常数项级数的和、解微分方程等，下面网校的蔡老师对函数展开成幂级数的收敛域做些分析，供同学们参考。
　　一、为什么同一个函数展开成幂级数后的收敛域不同?
　　二、典型例题分析
　　上面的分析和例题说明，同一个函数展开成幂级数后，其收敛域可能不同，原因在于是将函数在不同点处展开，得到的是不同的幂级数，因而收敛域不同;在考试中如果要求将函数展开成幂级数，题目会明确说明是在哪一点展开，即指出展开成将函数展开成幂级数有两种方法：直接展开法和间接展开法，一般来说，优先考虑使用间接展开法，间接展开法比较简单。
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幂级数的发散点与收敛点什么关系
09-07-03 &匿名提问
幂级数　　函数项级数的概念　　定义1 函数列 ，　　则称为函数项级数。　　定义2取 ，则成为常数项级数，　　若收敛，则称为的收敛点；　　若发散，则称为的发散点。　　定义3 函数项级数的收敛点的集合称为其收敛域，记为D。　　定义4 对于任意一点，有收敛，因而有一个确定的和，该和是关于 的函数，称为 和函数，记为S（x）。　　定义5 若用 表示 的前n项的和，　　则在收敛域上有记称为的余项，且在收敛域上有 。[编辑本段]幂级数　　1．幂级数的有关概念　　定义6 具有下列形式的函数项级数　　（1）称为幂级数。　　特别地，在中令即上述形式化为　　（2）称为 的幂级数。　　取为常数项级数，如收敛，其和为 　　取为常数项级数，如收敛，其和为 　　取为和函数项级数，总收敛，其和为　　对幂级数主要讨论两个问题：　　（1）幂级数的收敛域 （2）将函数表示成幂级数。　　幂级数的收敛域具有特别的结构　　定理1：（i）如 在 收敛，则对于满足 的一切 ， 都绝对收敛；　　（ii）如 在 发散，则对于满足 的一切 ， 发散。　　证：（1）∵ 收敛 　　∴ （收敛数列必有界）　　而 为几何级数，当 即收　　∴ 收 ∴ 原级数绝对收敛　　（2）反证：如存在一点 使 收　　则由（1） 收，矛盾。　　由证明可知幂级数的收敛域为数轴上的对称区间，因此存在非负数R，使 收敛； 发散，称R为收敛半径，（-R，R）为收敛区间。　　2．幂级数的收敛域及其求法　　定理2：如幂级数 系数满足 ，　　则（1收敛区间为（-R，R）；　　（2）收敛区间为（－∞，＋∞）；　　（3）幂级数 仅在一点x=0处收敛。　　注意：当时， 的敛散性不能确定，要讨论 的敛散性，从而求得收敛域。　　例1：求下列幂级数的收敛域。　　（1） （2） （3） 　　解：（1） ， 故 ，　　当 时， 原级数为 为交错级数，满足　　& ， ∴ 收敛；　　当 时， 原级数为 发散，　　∴ 收敛域为 　　解（2）由于 ∴ 故收敛域为 。　　解（3） 　　令 ∴ 。　　当 时，　　原级数为 　　∴ 发散；　　同理 时， 级数也发散 ， 　　∴收敛域 　　三、 幂级数的性质 　　定理3　　定理　　求幂级数的和函数：利用逐项求导，逐次积分及四则运算等于将其化为可求和的形式，即化到公式：
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浅谈幂级数收敛半径和收敛域的求法
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由一道题目总结幂级数的收敛域问题
这个知识点可以联想阿贝尔的12块钱，即收敛区间内绝对收敛，边界需要特别讨论。
函数项级数∑∞n=1(2x+1)nn的收敛域为[-1,0)???????????
分析：首先想到通用形式是如何求解的。
形如∑∞n=0an(x-x0)n
注意变量x的系数是1！很多题目都是在x的系数上做文章，所以要抽出这个系数。其次是x0的含义，在满足x系数是1时，x0是收敛区间的中心。由中心左右扩大半径那么长，都是绝对收敛的区域。这是10块钱的事情。还有两块钱需要特别计算。即x=x0-R,x=x0+R两个点代入幂级数，变成常数项级数判敛问题。
注：ρ=limn→∞an+1an,R=1ρ
所以还需要有一个感性的认识是：后项比前项，比值越大，收敛半径越小。即收敛得很快，因此收敛的区间跨度将会越小。
回到题目。
S(x)=∑n=1∞(2x+1)nn=∑n=1∞2n(x+1)nnρ=limn→∞2n+12n?n+1n=2,R=1ρ=12
因此收敛区间为:(-1,0)
再特别看x = -1, x = 0:
x = -1时：
∑∞n=1(-1)nn条件收敛。
∑∞n=11n发散。
因此，收敛域是：[-1,0).
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