赋范空间中凸泛函Lipschitz连续性与函数有下界的关系--《应用泛函分析学报》2012年04期
赋范空间中凸泛函Lipschitz连续性与函数有下界的关系
【摘要】：关于凸函数局部有上界和函数Lipschitz连续性的等价性已经被多次研究过,但是这些研究都未曾涉及凸函数的Lipschitz连续性与函数有下界的关系.本文利用Hamel基构造了一个反例,说明了即使凸函数在全空间有下界也不能得到函数的Lipschitz连续性.接着,在空间完备的情形下,运用Baire纲理论证明了,函数在某一球型邻域内均下半连续等价于函数的Lipschitz连续性.
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：O174.13【正文快照】：
1引言凸函数是许多数学分支中的一个重要研究对象，其性质的研究受到各学科领域的广泛关注.Li卜schitz连续性是许多非线性间题中的一个最基本的假设条件，因此，有关凸函数的LIPschitz连续性的研究具有重要的理论意义，在许多数学分支中都有重要应用.张纯彦在参考文献!l]中证
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京公网安备75号第一节 映射与函数
第一节 映射与函数
区间和邻域
1．映射概念
定义 设，是两个非空集合，如果存在一个法则，使得对中每个元素，按法则，在中有唯一确定的元素与之对应，则称为从到的映射，记作
其中称为元素（在映射下）的一个原像；集合称为映射的定义域，记作，即；中所有元素的像所组成的集合称为映射的值域，记作或.
&1．函数的概念
定义& 设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于给定的每个数xD，变量y按照一定法则f总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)，数集D叫做这个函数的定义域，记作D(f),习惯上，x叫做自变量，y叫做因变量.y的取值范围叫函数的值域,记作Z(f).
是定义域与对应法则所确定的.因此，对于两个函数来说，当且仅当它们的定义域与对应法则都分别相同时，它们才表示同一个函数.例如
.自变量及因变量用什么字母表示无关，例如函数.
对应法则通过公式给出.
对应法则通过图像给出.例如，气象台为了掌握某地的气温变化，使用自动记录仪将每天的气温记录下来，自变量是时间，因变量是气温，对应法则是图像.
“当x为有理数时，y取1; 当x为无理数时，y取0”，这是Dirchlet函数，记为
理论研究中常用公式法，就是写出函数的数学表达式和定义域.需要注意的是，当函数用公式给出，而没有给出定义域，这是我们约定该函数的定义域就是使得公式有意义的一切
用两个以上表达式表达的函数关系叫分段函数.
称为分段点
2、函数的几种特性
有界性& 若有正数存在，使函数在区间上恒有，则称在区间上是有界函数；否则，在区间上是无界函数.
如果存在常数（不一定局限于正数），使函数在区间上恒有f(x)M，则称在区间上有上界，并且任意一个的数都是在区间上的一个上界；如畏存在常数，使在区间上恒有，则称在区间上有下界，并且任意一个的数都是在区间上的一个下界.
综上所述，函数在区间上有界的充分必要条件是在区间上既有上界又有下界.
为了以后论述的方便，我们引入符号,表示对任意的，即表示在集合中任意取元素；，表示表示集合中存在元素，为此
（1）在区间上有界可表示为：
（2）在区间上无界可表示为：
下面给出在区间上有界（无界）一个几何意义：函数在区间上有界就是在使得在区间上的函数值在内；反之，函数在区间上无界是对任意给定的函数总有这样的点，使得在外.
判定下列函数的有界性.
（1）；&&& （2）.
解：（1）因为
（2）因为时
要使只需要即可，故取，则
即在上无界.
单调性& 设函数在区间上的任意两点，都有（或），则称在区间上为严格单调增加（或严格单调减少）的函数.
如果函数在区间上的任意两点，都有（或），则称在区间上为广义单调增加（或广义单调减少）的函数.广义单调增加的函数，通常简称为单调增加的函数或非减函数；广义单调减少的函数则简称为单调减少的函数或非增函数.
例如，函数在区间内是严格单调减少的；在区间内是严格单调增加的.
而函数在区间内都是严格单调增加的.
奇偶性& 若函数在关于原点对称的区间上满足（或）则称为偶函数（或奇函数）.
偶函数的图形是关于轴对称的；奇函数的图形是关于原点对称的.
例如，在定义区间上都是偶函数.而、在定义区间上都是奇函数.
周期性& 对于函数，如果存在一个非零常数,对一切的均有，则称函数为周期函数.并把称为的周期.应当指出的是，通常讲的周期函数的周期是指最小的正周期.
对三角函数而言，都是以为周期的周期函数，而、则是以为周期的周期函数.
定义 &&设函数的定义域为，值域为.对于任意的，在上至少可以确定一个与对应，且满足.如果把看作自变量，看作因变量，就可以得到一个新的函数：.我们称这个新的函数为函数的反函数.
由函数求它的反函数的步骤是：由方程解出，得到，将中的和互换得到.在几何上与的图形关于对称.(注：把反函数写成是由于习惯上表示自变量，表示因变量.)
若函数在区间上单调，则在区间一定存在反函数.
该定理的逆命题不成立，即单调存在反函数的充分条件，而不是必要条件.
在上不单调，但它存在反函数.
定义 若，当的值域落在的定义域内时称是由中间变量u复合成的复合函数.
例 &&可复合成
注意：就不能复合.
，那么在上我们可定义：
函数的和（差）
函数的积&&&&& .
函数的商&&&&&
（1）幂函数 &
它的定义域和值域依的取值不同而不同，但是无论取何值，幂函数在内总有定或时，定义域为.常见的幂函数的图形如图1-1所示.
（2）指数函数&
，值域为.指数函数的图形如图1-2所示．
定义域为，值域为.对数函数是指数函数的反函数.其图形见图1-3.
在工程中，常以无理数e＝2.718
281 828…作为指数函数和对数函数的底，并且记，而后者称为自然对数函数.
（4）三角函数
、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数.其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图1-4.
（5）反三角函数
反三角函数主要包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数和反余切函数等．它们的图形如图1-5所示.
（为常数）
定义域为，函数的图形是一条水平的直线，如图1-6所示.
（2）双曲余弦
（3）双曲正切
小结：本节介绍了变量及函数的概念并且复习了中学学过的各种函数，应该熟记基本初等函数的性态，为后继课的学习作好准备.待解决问题
关于函数有界性
&&您好：&div&& 请问下函数的有界性存在是不是需要有下界与上界才叫有界，再比如f（x）=x 这个函数在（7,8）这个开区间上是否有界，如果不是，是不是必须找到一个数M使得f(x)在某个定义域上的点有f(x)=M成立才可以说它有界。&/div&&div&&&/div&
提问时间： 16:40:10提问者：
&有界需要有上界和下界，y=x在开区间是有界的
回答时间： 20:00:04
考研直通车
英语四六级
商务英语/BEC
口语风暴课程
青春期问题
娱乐八卦吐槽
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京公安备110-1081940函数的有界性
the boundedness
函数的有界性
基于1个网页-
以影响函数的有界性来描述估计量的局部稳健性。
The local robustness is described by the bounded Influence Function.
函数的准有界性在研究函数时与有界性揭示函数的性质，同样具有重要的作用。
A function's characteristic of standard limit is the same important for function study as exploration on the nature of a function.
在放弃神经网络激活函数的有界性、单调递增性和可微性条件下，得到了神经网络平衡点的存在性和唯一性条件；
Without assuming the boundedness, monotonicity and differentiability of the activation functions, the conditions ensuring existence and uniqueness of the equilibrium are obtained.
函数的有界性定义： 设函数f(x)的定义域为D，数集X∈D。如果存在数K1使得 f(x)≤K1对任意x∈X都成立则称函数f(x)在X上有上界。此外，如果存在数字K2使得 f(x)≥K2对任意x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有下界，而K2称为函数f(x)在X上的一个下界。 如果存在正数M，使得 |f(x)|≤M 对任一x∈X都成立，则称函数在X上有界。如果这样的M不存在就称函数f(x)在X上无界；这也就是说，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界。 此外，函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。 举例： 一般来说，连续函数在闭区间具有有界性。 例如: y=x+6在[1，2]上有最小值7，最大值8，所以说它的函数值在7和8之间变化，是有界的，所以具有有界性。但正切函数在有意义区间，比如(-π/2，π/2)内则无界。
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