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线性矩阵不等式的求解问题
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本帖最后由 wyf061 于
10:42 编辑
哪位大侠能帮我看一下下面的程序问题出在哪
我想要求一个X能满足以下线性矩阵不等式& && && && &AX+X A'+aXX +cI－bBB'
≤0&&(A和B分别是2* 2和2* 1的矩阵；a &0,b&0, c&0,均是实数；cI中的I是单位阵；X是2*2的对称正定矩阵)& && && && &利用schur定理，可以将上面的二次矩阵不等式变成以下形式& && && &[AX+X A' +cI－bBB'& && & sqrt(a)X& &; sqrt(a)X& && &-I ] ≤0& &然后用LMI工具箱中feasp求解器，程序如下:A= [1 1 ;0 1];B= [2 1 ]';a=1;b=1;c=1;Q= c*eye(2)-b*B*B';
setlmis([])
X=lmivar(1,[2 1]);%定义变量
lmiterm([1 1 1 X],1,A','s')%描述矩阵不等式中的各项lmiterm([1 1 1 0],Q)lmiterm([1 2 1 X],sqrt(a),1)lmiterm([1 2 2 0],-1)
lmis=[tmin,xfeas]=feasp(lmis)XX=dec2mat(lmis,xfeas,X)eig(XX)运行上面的程序后，结果明显不对，但我现在找不出问题在哪，希望哪位好心的人能帮帮忙，非常感谢！
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x正定没显示在lmiterm中
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如果没限定是正定，解得范围就更宽了，也应该求出一个来呀，但我运行出的是tmin&0
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不清楚了 难道是没有可行解 matlab还能求出 一个近似值
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那假如我不要求x是正定的，只要求出满足不等式的解就行，那我写的对吗
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如果x=[0.05 0.3;0.3 -0.2]这组数代进去，明显符合不等式，说明这个不等式有解呀，但是它就是显示tmin&0
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在不考虑x的正定情况下
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呵呵，问题解决了，谢谢你
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怎么解决的？分享下楼主
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我概念弄错了，比如 矩阵A&B是说矩阵A-B是负定，不是A的每个元素都小于B
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关于矩阵不等式的问题紧急求助！谢谢！
有一个关于矩阵不等式的问题，继续高手帮忙，烦请打开附件看一下。非常感谢！
您好，非常感性您的关注。是个这个证明问题 重新写了一下，看看这样能看清楚吗？
您好，谢谢关注。a与b是给定的已知量，在区间（0 1）之间取值。它其实是个加权因子！
你的某些LMI有明显的冲突，好好检查一下啊！！！！！
什么叫有明显的冲突呢 matlab还是可以运行出值的呀&&如果您方便的话 可否把联系方式告知我 我想请教您一下&&:P
现在做鲁棒H无穷好和痛苦好痛苦啊，一直找不到头绪:cry:
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扫描下载送金币双线性矩阵不等式
...设计的时候,给出的稳定性条件在控制器设计时都可以转化为简单的线性矩阵不等式(LMI)形式,避免了某些文献中双线性矩阵不等式(BLMI)的出现,这样就可以充分地应用MATLAB软件中的LMI工具箱来进行控制系统的分析及控制器设计。
基于18个网页-
bilinear matrix inequalities
...了增广的分段二次Lyapunov函数，将极大化α性能的控制器设计问题转化成一个受双线性矩阵不等式组(Bilinear Matrix Inequalities，BMIs)约束的非凸优化问题，动态输出反馈控制器便可以通过求解该BMIs问题得到。
基于6个网页-
bilinear matrix inequality
双线性矩阵不等式
基于4个网页-
...广的分段二次Lyapunov函数，将极大化α性能的控制器设计问题转化成一个受双线性矩阵不等式组(Bilinear Matrix Inequalities，BMIs)约束的非凸优化问题，动态输出反馈控制器便可以通过求解该BMIs问题得到。
基于2个网页-
Bilinear Matrix Inequalities
bilinear matrix inequality approach
Bilinear matrix inequality
biaffine matrix inquality (BMI)
linear/bilinear matrix inequality (LMI/BMI)
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bilinear matrix inequality
&2,447,543篇论文数据，部分数据来源于
针对设计过程中的双线性矩阵不等式问题，采用相似变换法将其转化为线性矩阵不等式（LMI）问题。
Similarity transformation method is used to convert a bilinear matrix inequality problem into a linear matrix inequality(LMI) problem.
针对设计过程中的双线性矩阵不等式问题，采用相似变换法将其转化为线性矩阵不等式（LMI）问题。
Based on linear matrix inequality(LMI) method, Ito formula, and so on, a sufficient condition for the solvability of this problem is obtained.
把这类非线性系统的鲁棒综合问题归纳成一个双线性矩阵不等式（BMI）问题，然后通过增加约束将BMI问题转化为线性矩阵不等式（LMI）问题。
The problem of robust stabilization of a class of nonlinear systems is induced into a problem of bilinear matrix inequality(BMI), and then transferred it to an LMI problem by adding constraint.
$firstVoiceSent
- 来自原声例句
请问您想要如何调整此模块？
感谢您的反馈，我们会尽快进行适当修改！
请问您想要如何调整此模块？
感谢您的反馈，我们会尽快进行适当修改！第2卷第4期1998年12月电机与控制学报；ELECTRICMACHINESANDCONTR；控制问题中的线性矩阵不等式及其求解＊；LMIsinControlProblemsand；王广雄林愈银谢冰；(哈尔滨工业大学)；WangGuangxiongLinYuyinXi；(HarbinInstituteofTechno；摘要介绍了有关线性矩阵不等式的一些基本概
第2卷第4期1998年12月电　机　与　控　制　学　报
ELECTRICMACHINESANDCONTROLVol.2　No.4Dec.　1998
控制问题中的线性矩阵不等式及其求解＊
LMIsinControlProblemsandItsSolution
王广雄　林愈银　谢　冰
(哈尔滨工业大学)
WangGuangxiong　LinYuyin　XieBing
(HarbinInstituteofTechnology)
摘　要　介绍了有关线性矩阵不等式的一些基本概念。对用于求解线性矩阵不等式的MAT-LAB5.1中的线性矩阵不等式工具箱作了简要说明。为了说明线性矩阵不等式的求解过程。文中还给出了一个稳定性分析的例子。
关键词　线性矩阵不等式;LMI控制工具箱;决策向量
分类号　TP13;O231
Abstract　ThispaperpresentssomebasicconceptsaboutLMIsincontrol,andgivesanintroductiontoMATLAB5.1/LMIControlToolbox,whichisusedtosolveLMIs.Inordertoillustratetheproce-dureofLMIssolving,anexampleisgiveninthispaper.
Keywords　liLMIControlTdecisionvector
的求解。线性矩阵不等式的一般形如下
L(X)=x1A1+x2A2+…+xnAn+A0≤0(1)或L(X)≤0(2)
其中,L(X)依靠于给定的对称矩阵A0,A1,…,An和决策向量x∈Rn,x=(x1,x2,…,xn)。这里,≤0代表负半定。通常把线性矩阵不等式写成式(2)而不写成式(1),在式(2)中矩阵为量X是一个对称矩阵即:X=XT。X的上三角矩阵中的元素和决策向量x中的元素一一对应。当有多个具有形如式(2)的线性矩阵不等式的限制条件时,可用下面定义的单一线性矩阵不等式L(X)≤0来表示,即
L(X)=Blockdiag(L1(X)X))≤0(3),…,Lm(式中,Blockdiag(L1(X),…,Lm(X))是一个方块对角矩阵,L1(X),…,Lm(X)在它的对角线上。这样,控制问题就转化成求满足式(2)或者式(3)的决策向量x。
在控制理论中,经常遇到的两种矩阵不等式为:a.李亚普诺夫(Lyapunov)不等式
随着控制技术的迅速发展,当今在反馈控制系统的设计中,常常需要考虑系统的不确定性,也即系统的鲁棒性。在处理不确定性系统的许多鲁棒控制问题及其控制系统理论中引起的许多其它控制问
题时,都可转化成一种称为线性矩阵不等式或带有线性矩阵不等式限制条件的最优化问题。线性矩阵不等式以及线性矩阵不等式方法(技术)已是控制工程、系统辨识、结构设计等领域的一个强有力的设计工具。用线性矩阵不等式技术来求解控制问题,是目前和今后控制理论发展的一个重要方向。
2　线性矩阵不等式问题
在控制工程中,许多控制问题尤其是鲁棒控制问题,都可转化成一种称为线性矩阵不等式问题或
带有线性矩阵不等式限制条件的简单的最优化问题
　收稿日期:
　＊国家高等学校博士学科点基金资助项目
　王广雄　男　1933年生,哈尔滨工业大学控制工程系教授、博士生导师。主要研究方向为H∞控制理论及应用,高精度伺服系统设计。
192电　机　与　控　制　学　报　
ATX+XA+Q≤0　X=XT∈Rn×n
线性矩阵不等式控制工具箱提供了在鲁棒控制设计中所遇到的凸最优化问题的解,同时给出了一个用于求解线性矩阵不等式的集成环境。由于这个工具箱功能强大和友好的用户界面,因此可以开发
自己的应用程序。
对于第2节中提到的三个一般问题的求解,线性矩阵不等式控制工具箱提供了与之对应的三个求解函数:feasp(),mincx()以及gevp()函数。此外,该工具箱可用于:①多目标控制器综合。包括LQG综合,H∞综合和极点配置综合;②系统鲁棒性的分析和测试,包括检测时变线性系统的二次稳定性,带有参数的李亚普诺夫稳定性,混合的μ分析以及带有非线性成分的Popov准则;③系统的辨识、滤波、结构设计、图形理论、线性代数以及加权值问题等方面。同时,还提供了两个交互的图形用户界面
b.李卡第(Riccati)不等式
AX+XA+XBBX+Q≤0　X=X∈R(5)
显然,式(4)是线性矩阵不等式,式(5)由于含有二次项XBBX,故此式是二次矩阵不等式而不是线性矩阵不等式,但利用Schur定理,可很容易将其变成线性矩阵不等式,即
ATX+XA+QXB
在上述两种线性矩阵不等式中,对称矩阵X中的n(n+1)/2个未知的自由项(元素)构成了决策向量x,即x=(x11,…x1n,x22,…,x2n,…,xnn)。
线性矩阵不等式的求解一般可归结为下列三类问题:
a.可行性问题
求x∈R使得　L(x)≤0(7)b.具有线性矩阵不等式限制条件的线性规划问题
mincx　满足于L(x)≤0(8)c.具有线性矩阵不等式限制条件的广义特征值最小化问题
minλ　B(x)&0A(x)≤λB(x)
三种线性矩阵不等式问题中的一种。
(GUI):LMI编辑器和Magshape界面。初学者可
以在LMI编辑器中很方便地描述线性矩阵不等式。
4　用线性矩阵不等式求解控制问题的
在控制工程理论中,大多数控制问题都可以转化成线性矩阵不等式问题,而后,可应用线性矩阵不等式控制工具箱中的命令和函数来求解这些线性矩
控阵不等式。下面本文用线性矩阵不等式方法来求解控制理论中的一个重要问题即控制系统的稳定性问题。首先,推导判别控制系统稳定性的线性矩阵不等式条件。假如,给定一个线性离散时间系统的系数矩阵A,当且仅当ρ(A)&1时,系统稳定,其中ρ
(?)为谱半径。据此可推导此系统稳定的线性矩阵不等式条件为
P:σ(PAP)&1　(σ(?)为最大奇异值)
P:PAP(PAP)-I&0
P:A(PTP)A-(PTP)&0
X:X=XT&0,AXAT-X&0
已知线性离散时间系统的系数矩阵A,若存在矩阵X=XT&0,使线性矩阵不等式AXAT-X&0成立,则此系统稳定。可以看出,这两个线性矩阵不等式条件即为第2节中提到的可行性问题的的形式:这样,把判别控制系统的稳定性问题转化成了求解线性矩阵不等式的问题。下面利用MATLAB5.1软件和线性矩阵不等式控制工具箱编程,计算并结-1
在控制理论中,大多数控制问题都可以转化成上述
3　LMI控制工具箱简要介绍[4]
在60年代,已经提出了线性矩阵不等式,但由于求解形如式(7)～(9)所描述的线性矩阵不等式的算法还不够成熟。再加上求解量大,因而线性矩阵不等式在实际中未得到充分应用。近几年来,由于线性矩阵不等式的理论不断完善,求解算法也不断成熟,加上计算机的广泛应用,线性矩阵不等式的求解变得很方便,因此线性矩阵不等式在实际工程中尤其在控制工程理论中得到广泛的应用。由于用线性矩阵不等式求解控制理论中的问题是当今控制理论发展的一个重要方向,因此出现了许多计算机应用软件,其中以美国MathsWorks.Inc公司用C语言开发的MATLAB软件最为流行;到目前为止,已经推出了MATLAB5.1版本。在这个版本中,增加了用于求解线性矩阵不等式的线性矩阵不等式控制
第2期系统的稳定性。
控制问题中的线性矩阵不等式及其求解　　　　　　　193
　　根据上述线性矩阵不等式条件,若闭环系统要稳定,则必存在一个矩阵X=XT&0,使线性矩阵不等式AXA-X&0成立。用MATLAB5.1软件中的线性矩阵不等式控制工具箱编程。部分程序如下:
%闭环系统的传递函数描述%闭环系统的状态空间描述%建立一个新的LMI
%定义矩阵变量X=XT,其维数为5%给LMI起名为LYY%LMI项:AXAT%LMI项:-X%计算可行性向量:xfeas
%返回相应的矩阵变量X及其特征值%返回系数矩阵A及其特征值
例题:给定离散时间系统的开环z传递函数为Gk(z)z
判别单位负反馈闭环系统的稳定性。
num=[5,4,1,0,6,3,0.5];den=[6,4,1,0,6,3,0.5];[A,b,c,d]=tf2ss(num,den);setlmis([]);x=lmivar(1,[51];lyy=
1miterm([lyy11x],A,A′);1miterm([lyy11x],-1,1);1misys=
[tmin,xfeas]=feasp(1misys);xf=dec2mat(1misys,xfeas,x);eig(xf);A;eig(A);
　　计算结果:矩阵变量X及其特征值如下:X=1.0e+008＊2.2
本文对线性矩阵不等式和线性矩阵不等式问题作了简要描述,对线性矩阵不等式控制工具箱的功能作了简要说明;并利用MATLAB5.1软件中的线性
矩阵不等式控制工具箱,结合系统稳定的线性矩阵不等式条件,给出了一个离散时间系统的稳定性分析的例子。在当今控制系统的设计中,控制问题变得越来越复杂,常常带有许多限制或者附加条件,这些一般都可转化成线性矩阵不等式条件,这样就可用基于线性矩阵不等式的设计方法来处理。线性矩阵不等式的描述以及求解程序是比较简单的,求解时间很短。因此,基于线性矩阵不等式的设计方法今后会有很大的发展和应用。
eig(X)=1.0e+008＊
1.3　0.3　5.9794上述的计算结果表明,可找到一个对称的正定矩
阵X使线性矩阵不等式AXAT-X&0成立,根据线性矩阵不等式稳定性判定条件,此闭环系统稳定。在计算结果中,同时还给出了闭环系统的系数矩阵A及其特征值:
A=-0.7-0.0-0.0833
1　DoyleJ,PackardA,ZhouKM.ReviewofLFTs,LMIs,andμIEEECDC,～1232
2　CahinetP.ExplictcontrollerformulasforLMI-basedH∞
synthesis,Automatica,):
3　IwasakiT,SkeltonRE.AllcontrollersforthegeneralH∞
LMIexistanceconditionsandstatespacefor-mulas.Automatica,):
4　GahinetP,NermirovskiA.General-purposeLMIsolverswithbenchmarks.IEEECDC,～3165
eig(A)=-0.1717
-0.2i　-0.2i
　0.9i　0.9i
系统矩阵A的特征值均在z平面的单位圆内,系统稳定,与上述用线性矩阵不等式条件判断结果一致。
三亿文库包含各类专业文献、应用写作文书、外语学习资料、生活休闲娱乐、中学教育、行业资料、幼儿教育、小学教育、73控制问题中的线性矩阵不等式及其求解等内容。　
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