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谈函数定义域的类型与求法
谈函数定义域的类型与求法
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谈函数定义域的类型与求法
&&& 导读:函数的定义域是函数三要素之关键。函数的定义域(使函数解析式有意义的自变量的取值范围)似乎是非常简单的。解析式,浅谈函数定义域的类型与求法。 关键词:解析式,定义域 函数作为高中数学的主线,贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是函数三要素之关键,特别是函数性质必须从定义域出发,它在解&&& 决和研究函数最值、奇偶性、周期、方程、不等式等问题中起着十分重要的作用。函数的定义域(使函数解析式有意义的自变量的取值范围)似乎是非常简单的,然而在解决问题中不加以注意,常常会使人误入歧途。大全,解析式。本文介绍求函数定义域的类型和求法,目的在于使学生全面认识定义域,深刻理解定义域,正确求函数的定义域,在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响,树立起“定义域优先”的观点,对提高学生的数学思维的培养是十分有益的。&&& 一 、一般型&&& 即给出函数的解析式求定义域,其解法的一般原则是:&&& ①如果为整式,其定义域为R;&&& ②如果为分式,其定义域是使分母不为0的实数集合;&&& ③如果是二次根式(偶次根式),其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合;&&& ④如果是基本初等函数(如指数函数、对数函数、三角函数、无理函数等),掌握其函数定义域。&&& ⑤如果是由以上几个部分的数学式子构成的,其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合;&&& ⑥f(x)=x0的定义域是;&&& 例1:y=lg(6-x2)&&& 解:要使函数有意义,则必须满足&&& x+5≥0x≥-5&&& ∵ 6-x2&0 ∴ -&x&&&& 6-x2≠1x≠±&&& 解得- &x&且x≠±&&& 二、实际问题型&&& 函数的解析式包括定义域和对应法则,所以在求函数的解析式时必须要考虑所求函数解析式的定义域,还要考虑实际问题中定义域受到实际意义的制约,否则所求函数关系式可能是错误。如:&&& 例2:将一个底面圆的直径为d的圆柱截成横截面为长方形的棱柱,若这个长方形截面的一条边长为x,对角线为d,截面的面积为A,求面积A以x为自变量的函数关系式?&&& 解:设截面的一条边长为x,对角线为d,另一条边为,由题意得:&&& S=x&&& 故函数解析式为:S=x&&& 如果解题到此为止,则本题的函数关系式还欠完整,缺少自变量的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或取不小于d的数时,S的值即截面的面积A为负数或被开方数为负数无意义,这与实际问题相矛盾,所以还应补上自变量的范围:&&& 即:函数关系式为:S=x()&&& 这个例子说明,在用函数方法解决实际问题时,必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点,就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化,就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性 。&&& 三 抽象函数型&&& 抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况&&& (1)已知的定义域,求的定义域。&&& 其解法是:已知的定义域是[a,b]求的定义域是解,即为所求的定义域。&&& 例3 已知的定义域为[-2,2],求的定义域。&&& 解:令,&&& 得,即,&&& 因此,从而,&&& 故函数的定义域是&&& (2)已知的定义域,求f(x)的定义域。&&& 其解法是:已知的定义域是[a,b],求f(x)定义域的方法是:由,求g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。大全,解析式。&&& 例4 已知的定义域为[1,2],求f(x)的定义域。&&& 解:∵1x2,&&& ∴22x4&&& ∴32x+15&&& 故函数f(x)的定义域是&&& 评述:例3和例4是互为逆向的,解这类题的关键在于搞清复合函数的自变量问题,抓住已知条件,得到要求函数的未知数。变式题&&& 例5:已知函数y=f(x+1)的的定义域是[-2,3], &&& 求y=f(2x-1)的定义域。&&& 解:∵函数y=f(x+1)的的定义域是[-2,3],&&& ∴ -2x3 ,&&& ∴-1x+14,&&& ∴定义域[-1,4]。&&& 再由-12x-14,得0x&&& 故y=f(2x-1)的定义域是[0, ]。&&& 四 逆向思维型&&& 给出函数的解析式可以求出其定义域,有时我们也会遇到给出函数式并给出其定义域,要求其函数式中参数的取值范围。&&& 例 6已知函数y=的定义域是R& ,求实数m的取值范围。 解: 函数y的定义域是R,即要求对任意实数x,mx2-6mx+m+80恒成立。 (1)当m=0时, y=,其定义域为R; (2) 当m0时,要使mx2-6mx+m+80恒成立。只需 m0 △=36m2-4m(m+8) 0 0&m1 综上所述,m的取值范围是0&m&le&&& ;1。大全,解析式。大全,解析式。 &&& 五 隐蔽型&&& 有些问题从表面上看并不求定义域,但是不注意定义域,往往导致错解,事实上定义域隐蔽在问题中,例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此,求函数的单调区间,必须先求定义域。&&& 例7:指出函数的单调区间.&&& 解:先求定义域:&&& ∵∴&&& ∴函数定义域为.&&& 令,知在上时,u为减函数,&&& 在上时, u为增函数。&&& 又∵.&&& ∴函数在上是减函数,在上是增函数。&&& 即函数的单调递增区间,单调递减区间是。&&& 如果在做题时,没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性,就说明学生对函数单调性的概念一知半解,没有理解,在做练习或作业时,只是对题型,套公式,而不去领会解题方法的实质,也说明学生的思维缺乏深刻性。&&& 六、参数型&&& 对于含有参数的函数,求其定义域时,必须对分母进行分类讨论,要注意讨论字母的方法。&&& 例8:已知函数的定义域为x(-,),求函数g(x)=f(ax)+f()(a&0)的定义域。&&& 解:由已知,有 -&ax&, -&x&,&&& -&&, -&x&a.&&& (1) 当a=1时, 定义域为{xO-&x&};&&& (2) 当&a, 即0&a&1时, 有-&-,&&& 定义域为{xO-&x&a};&&& (3)当&a, 即a&1时, 有-&-,&&& 定义域为{xO-&x&};&&& 故当a≥1时,定义域为{xO-&x&};&&& 当0&a&1时,定义域为{xO-&x&a}。大全,解析式。&&& 综上所述,在求函数的定义域时,要以基本函数的定义域为基础,遵循以上几条规则.当函数的解析式中含有参数时,要对参数分情况讨论,面面俱到,缺一不可;对于实际问题,函数的定义域除满足解析式之外还要注意问题的实际意义对自变量的限制,这点要加倍注意,以防定义域的扩大而前功尽弃。大全,解析式。只有这样,才能拓展思路,增强创新意识,提高分析问题解决问题的能力。
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&&&&&&&&&&最主要办法根据定义域求值域，还有一种不常用的方法，将x看做常数，y看做未知数，要使Y存在，y要有解，△≥0写一个函数，就要考虑定义域，尤其是应用题
其它回答（1条）
一次函数y=kx+b，正比例函数y=kx
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& 2017届高中数学黄金100题系列：专题05 函数定义域（原卷版）
2017届高中数学黄金100题系列：专题05 函数定义域（原卷版）
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资料概述与简介
I．题源探究·黄金母题
例1 求函数的定义域.
【解析】，
根据对数函数的单调性，则，
所以函数的定义域为.
II．考场精彩·真题回放
【例2】【2016高考江苏卷】函数y=的定义域是
【解析】，即，．故，
【例3】【2016高考新课标2文数】下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是
（A）y=x（B）y=lgx（C）y=2x（D）
【解析】，定义域与值域均为，只有D满足，故选D．
【试题来源】人教版A版必修一第74页习题2.2 A组第7题
【母题评析】本题以求函数定义域为载体，考查根式的概念及利用对数函数的性质解简单对数不等式.本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到一箭双雕的目的.
【思路方法】由函数式有意义得到关于自变量的不等式，利用有关函数的性质或不等式性质，解出自变量的取值范围，即为函数的定义域.
【命题意图】本题
【考试方向】【难点中心】
1．在函数y＝f(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
1.一次函数的定义域为；
的定义域为；
（且）定义域为；
4.对数函数（且）的定义域为；
5.幂函数（互质且），
（1）当，为奇数且时，定义域为；
（2）当为奇数为偶数且时，定义域为；
（3)当，为奇数且时，定义域为；
（4）当是奇数，为偶数且时，定义域为；
6.正弦函数、余弦函数定义域都为；
7.正切函数的定义域为.
考点三 函数定义域的求法
1.已知函数解析式，求定义域
紧扣“函数定义域是函数自变量的取值范围”这一概念。
（1）若的解析式是整式，则其定义域为R；
（2）若的解析式是分式，则其定义域是使分母不为0的实数的集合；
（3）若的解析式是偶次根式或可化为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；
（4）若的解析式是指数式，若指数为负指数或0指数，则其底数不为0，若指数含变量，则其底数应为大于0且不等于1；
（5）若的解析式是对数式，则真数应大于0，若底数含未知数，则底数大于0且不等于1；
（6）若的解析式是正切函数，则正切后部分不为；
（7）若是有限个函数四则运算得到，则其定义域为这几个函数定义域的交集（若含除法，则除式不为0）。
2.实际问题的定义域使实际问题有意义的集合；
3. 已知已知定义域为A求定义域
紧扣“函数定义域是函数自变量的取值范围”这一概念，定义域就是自变量的取值范围，因中的作用对象是，而中的作用对象为，故，解得的范围就是的定义域.
4. 已知定义域求定义域
函数的定义域是的作用对象的取值范围，故的值域就是定义域.
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】【技能方法】【】定义域与定义域的区别.
V．举一反三·触类旁通
求给定函数解析式的定义域函数的定义域为（
的定义域是（
【例6】【2013山东高考，文】函数的定义域为（
【例7】【2013安徽高考，文】 函数的定义域为_____________.
求抽象函数的定义域的定义域为，则函数的定义域（
【例9】【2016届福建福州五校联考4，理数】已知函数定义域是，则的定义域是
已知定义域确定参数问题已知函数=的定义域是R，则实数的取值范围是（
已知函数的定义域是（为整数），值域是，则所有满足条件的整数数对组成的集合为
的定义域为（
【例13】 【2014高考山东卷文第3题】函数的定义域为（
D. 的定义域为（
【例15】【2015高考重庆，文3】函数的定义域是（
的单调递增区间是（　　）
（B）（C）
（D）函数中，定义域是为增函数的是（
【例18】【2014高考天津卷卷文第12题】函数的单调递减区间是________.
考向7 定义域与集合
【例19】【2013年高考陕西卷】设全集为R, 函数的定义域为M, 则
(A) [－1,1] (B) (－1,1)
定义域与函数图像
【例20】【2015高考安徽，理9】函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（
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